《圆的切线的判定和性质》导学案

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圆的切线判定和性质(教案)

圆的切线判定和性质(教案)第一章：圆的切线定义和判定1.1 圆的切线定义引入圆的切线概念，讲解切线的定义和特点展示圆的切线示意图，让学生理解切线与圆的关系1.2 圆的切线判定条件讲解圆的切线的判定条件通过示例和练习，让学生掌握如何判断一条直线是否为圆的切线第二章：圆的切线性质2.1 圆的切线性质介绍圆的切线的性质，如切线与半径垂直、切线与圆心连线垂直等展示切线性质的示意图，让学生理解并记忆这些性质2.2 圆的切线定理讲解圆的切线定理，如切线定理、切线长定理等通过示例和练习，让学生掌握切线定理的应用和证明方法第三章：圆的切线方程3.1 圆的切线方程的定义和特点讲解圆的切线方程的定义和特点展示切线方程的示意图，让学生理解切线方程的形式和含义3.2 圆的切线方程的求法讲解如何求解圆的切线方程通过示例和练习，让学生掌握求解切线方程的方法和技巧第四章：圆的切线与圆的位置关系4.1 圆的切线与圆相切讲解圆的切线与圆相切的情况和特点展示切线与圆相切的示意图，让学生理解切线与圆的切点、切线与半径的关系4.2 圆的切线与圆相离讲解圆的切线与圆相离的情况和特点通过示例和练习，让学生掌握如何判断切线与圆的位置关系第五章：圆的切线应用5.1 圆的切线与圆的切点应用讲解如何利用切点性质解决问题，如求解切线长度、切线与半径的关系等通过示例和练习，让学生掌握切点性质的应用方法5.2 圆的切线与圆的方程应用讲解如何利用切线方程解决问题，如求解切线方程、判断切线与圆的位置关系等通过示例和练习，让学生掌握切线方程的应用方法第六章：圆的切线与圆的交点应用6.1 圆的切线与圆的交点性质讲解圆的切线与圆的交点的性质，如切线与圆的交点与圆心连线垂直、交点到圆心的距离等于半径等展示切线与圆的交点性质的示意图，让学生理解并记忆这些性质6.2 圆的切线与圆的交点应用讲解如何利用切线与圆的交点解决问题，如求解交点坐标、判断交点与圆的关系等通过示例和练习，让学生掌握切线与圆的交点的应用方法第七章：圆的切线与圆的切线应用7.1 圆的切线与圆的切线相交讲解圆的切线与圆的切线相交的情况和特点展示切线与切线相交的示意图，让学生理解切线与切线的交点、切线与半径的关系7.2 圆的切线与圆的切线平行讲解圆的切线与圆的切线平行的情况和特点通过示例和练习，让学生掌握如何判断切线与切线的位置关系第八章：圆的切线与圆的切线综合应用8.1 圆的切线与圆的切线相切讲解圆的切线与圆的切线相切的情况和特点展示切线与切线相切的示意图，让学生理解切线与切线的切点、切线与半径的关系8.2 圆的切线与圆的切线综合应用讲解如何利用切线与切线综合解决问题，如求解切线与切线的交点、判断切线与圆的位置关系等通过示例和练习，让学生掌握切线与切线综合的应用方法第九章：圆的切线与圆的应用实例9.1 圆的切线与圆的切割应用实例讲解圆的切线与圆的切割应用实例，如切割线段、切割角度等展示切割应用实例的示意图，让学生理解切割原理和应用9.2 圆的切线与圆的轨迹应用实例讲解圆的切线与圆的轨迹应用实例，如轨迹方程、轨迹图形等通过示例和练习，让学生掌握切线与圆的轨迹的应用方法第十章：圆的切线综合练习10.1 圆的切线综合练习题提供一系列圆的切线综合练习题，让学生巩固所学知识通过解答练习题，让学生提高解题能力和综合运用能力10.2 圆的切线综合练习解答提供练习题的解答和解析，帮助学生理解和掌握解题方法通过练习解答，让学生巩固知识，提高学习效果重点和难点解析一、圆的切线定义和判定（第一章）重点关注内容：圆的切线的定义和特点，以及如何判断一条直线是否为圆的切线。

九年级数学上册圆的切线的性质和判定导学案新人教版

A圆的切线的性质和判定学习目标：掌握切线的判定定理和性质定理重点：掌握切线的判定定理和性质定理难点：切线的判定定理和性质定理应用学法：先学后教学习过程：一．学习指导：阅读课本P 并完成以下各题。

１．切线的判定定理：经过半径的并且的直线是圆的切线。

２．判断一条直线是否为圆的切线，现已有种方法：一是看直线与圆公共点的个数；二看圆心到直线的距离ｄ与圆的半径之间的关系；三是利用。

３．切线的性质定理：圆的切线的半径。

二．课堂练习：１．下面关于判定切线的一些说法：①与直径垂直的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；④经过半径外端的直线是圆的切线； ⑤经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，其中正确的是（）Ａ ①②③ Ｂ②③⑤ Ｃ ②④⑤ Ｄ③④⑤２．圆的切线（）Ａ．垂直于半径Ｂ．平行于半径Ｃ．垂直于经过切点的半径Ｄ．以上都不对３．如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，DC 切⊙O 于C,若∠A=25°，则∠D 等于（）Ａ４０° Ｂ５０° Ｃ６０° Ｄ７０° ４．如图，两个同心圆，弦AB ，CD 相等，AB 切小圆于点E 。

求证：CD 是小圆的切线。

DB ACA三、当堂检测１如图，两个同心圆的半径分别为３ｃｍ和５ｃｍ，弦AB与小圆相切于点C,则AB的长为（）A4cm B5cm C6cm D8cm2如图，若⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，切线CD与AB的延长线交于点D,且的半径为2，则CD的长为（）A 32 B 43 C 2 D 43如图，∠MAB=30°，Ｐ为ＡＢ上的点，且ＡＰ＝６，圆Ｐ与ＡＭ相切，则圆Ｐ的半径为。

4．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC交于点D，过D 作DE⊥BC，交AB 的延长线于E，垂足为F。

北师版数学高二-第一章22.2圆的切线的判定和性质学案

2．2圆的切线的判定和性质[自主学习]1．切线的判定定理文字语言符号语言图形语言切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线OA是圆O的半径．直线l⊥OA且A∈l，则l是圆O的切线2．切线的性质定理及推论文字语言符号语言图形语言切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径直线l与圆O相切于点A，则l⊥OA推论1经过圆心且垂直于切线的直线经过切点直线l与圆O相切于点A.过O作直线m⊥l，则A∈m推论2经过切点且垂直于切线的直线经过圆心直线l与圆O相切于点A过A作直线m⊥l，则O∈m3．切线长定理过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线长相等．[合作探究]怎样求圆的切线长？提示：利用圆外的点、圆心、切点构成的直角三角形求长．切线的判定定理的应用如图，在△ABC中，∠C＝90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆．求证：AC是⊙O的切线．本题主要考查切线的判定问题，解此题时只需证明AC⊥OE即可．连接OE.∵OE＝OB，∴∠OEB＝∠OBE.又∵BE平分∠CBD，∴∠CBE＝∠DBE.∴∠OEB＝∠CBE.∴EO∥CB.∵∠C＝90°，∴∠AEO＝90°，即AC⊥OE.∵E为⊙O半径OE的外端，∴AC是⊙O的切线．证明直线与圆相切一般有以下几种方法：(1)直线与圆只有一个公共点；(2)圆心到直线的距离等于圆的半径；(3)切线的判定定理．几何证明问题常用方法(3)．1．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是()A．DE＝DO B．AB＝ACC．CD＝DB D．AC∥OD解析：选A当AB＝AC时，如图：连接AD，因为AB是⊙O的直径，所以AD⊥BC，所以CD＝BD，因为AO＝BO，所以OD是△ABC的中位线，所以OD∥AC，因为DE⊥AC，所以DE⊥OD，所以DE是⊙O的切线．所以B正确．当CD＝BD时，AO＝BO，同B，所以C正确．当AC∥OD时，因为DE⊥AC，所以DE⊥OD.所以DE是⊙O的切线．所以D正确．2．已知D是△ABC的边AC上的一点，AD∶DC＝2∶1，∠C＝45°，∠ADB＝60°，求证：AB是△BCD的外接圆的切线．证明：如图，连接OB ，OC ，OD ，OD 交BC 于E . ∵∠DCB 是BD 所对的圆周角， ∠BOD 是BD 所对的圆心角， ∠BCD ＝45°，∴∠BOD ＝90°. ∵∠ADB 是△BCD 的一个外角，∴∠DBC ＝∠ADB －∠ACB ＝60°－45°＝15°， ∴∠DOC ＝2∠DBC ＝30°，从而∠BOC ＝120°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°. 在△OEC 中，∵∠EOC ＝∠ECO ＝30°， ∴OE ＝EC .在△BOE 中， ∵∠BOE ＝90°，∠EBO ＝30°， ∴BE ＝2OE ＝2EC ，∴CE BE ＝CD DA ＝12，∴AB ∥OD .∴∠ABO ＝90°，故AB 是△BCD 的外接圆的切线.切线的性质定理的应用AB 于E ，若BC ＝5，AC ＝12.求⊙O 的半径．⊙O 切AB 于点E ，由圆的切线的性质，易联想到连接OE 构造Rt △OAE ，再利用相似三角形的性质，求出⊙O 的半径．连接OE ，∵AB 与⊙O 切于点E ，∴OE ⊥AB ，即∠OEA ＝90°.∵∠C ＝90°，∠A ＝∠A ， ∴Rt △ACB ∽Rt △AEO ， ∴OE BC ＝AOAB.∵BC ＝5，AC ＝12，∴AB ＝13， ∴OE 5＝12－OE 13，∴OE ＝103. 即⊙O 的半径为103.利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算有时需添加辅助线，其中连接圆心和切点的半径是常用辅助线，从而可以构造直角三角形，利用直角三角形边角关系求解，或利用勾股定理求解，或利用三角形相似求解等．3.如图，AB 切⊙O 于点B ，延长AO 交⊙O 于点C ，连接BC .若∠A ＝40°，则∠C ＝( )A ．20°B ．25°C ．40°D ．50°解析：选B 连接OB ，因为AB 切⊙O 于点B ，所以OB ⊥AB ，即∠ABO ＝90°，所以∠AOB ＝50°，又因为点C 在AO 的延长线上，且在⊙O 上，所以∠C ＝12∠AOB ＝25°.4．AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA ＝DC ，求证：AB ＝2BC .证明：连接OD ，则OD ⊥DC ，又OA ＝OD ，DA ＝DC ，所以∠DAO＝∠ODA＝∠DCO，∠DOC＝∠DAO＋∠ODA＝2∠DCO，所以∠DCO＝30°，∠DOC＝60°，所以OC＝2OD，即OB＝BC＝OD＝OA.所以AB＝2BC.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线交AC于E.求证：DE⊥AC.本题主要考查切线性质定理的应用．解题时由于DE是⊙O的切线，则OD⊥DE，故要证DE⊥AC，只需证明OD∥AC即可．连接OD、AD，如图．∵AB为⊙O直径，∴AD⊥BC.∵AB＝AC，即△ABC为等腰三角形，∴AD为BC边上的中线，即BD＝DC.又OA＝OB，∴OD为△ABC的中位线．∴OD∥AC.∵DE切⊙O于D，∴OD⊥DE.∴DE⊥AC.与圆的切线有关问题往往连接圆心与切点添加辅助线后出现垂直关系，这是解决圆的切线问题的一个关键点．5．如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B是切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝20°，求∠P的度数．解：如图，连接OB ，∵OA ＝OB ，OA ⊥AP ，OB ⊥BP ， ∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∠OAB ＝∠OBA . 又∠BAC ＝20°，∴∠OBA ＝20°，∠BAP ＝90°－∠BAC ＝70°， ∠ABP ＝90°－∠OBA ＝70°. ∴∠P ＝180°－∠BAP －∠ABP ＝40°.6.如图，已知AD 为⊙O 的直径，B 为AD 延长线上一点，BC 与⊙O 切于C 点，∠A ＝30°.求证：(1)BD ＝CD . (2)△AOC ≌△BDC .证明：(1)因为AD 为⊙O 的直径，所以∠ACD ＝90°，又因为∠A ＝30°，OA ＝OC ＝OD ，所以∠ACO ＝30°，∠ODC ＝∠OCD ＝60°，又因为BC 与⊙O 切于C 点，所以∠OCB ＝90°，所以∠BCD ＝30°，所以∠B ＝30°，所以∠BCD ＝∠B ，所以BD ＝CD . (2)因为∠A ＝∠ACO ＝∠BCD ＝∠B ＝30°，所以AC ＝BC ，在△AOC 和△BDC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠B ，AC ＝BC ，∠ACO ＝∠BCD ，所以△AOC≌△BDC.本课时主要考查圆的切线的性质定理与判定定理的应用，题目难度中档．如图，圆O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，满足∠ABC＝30°，过点A作圆O 的切线与OC的延长线交于点P，则P A＝.本题主要考查圆的切线的性质定理和圆周角定理的应用．如图，连接OA.由∠ABC＝30°，得∠AOC＝60°，在直角三角形AOP中，OA＝1，于是P A＝OA tan 60°＝ 3.答案： 3一、选择题1．矩形的两邻边长分别为2.5和5，若以较长一边为直径作半圆，则矩形中与半圆相切的边有()A．1条B．2条C．3条D．0条解析：选C以较长的边为直径作半圆，半径正好与另一边相等，所以由图可知，与半圆相切的边有3条．2.如图，⊙O内切于△ABC，切点分别为D，E，F，若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，连接OE，OF，则∠EOF＝()A．30°B．45°C．100°D．90°解析：选C因为∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，所以∠A＝80°，则∠EOF＝180°－80°＝100°.3．如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，PC与⊙O相切于点C，PC＝AC＝1，则⊙O的半径为()A．33B．23C．35D．25解析：选A连接OC.设∠P AC＝θ.因为PC＝AC，所以∠CP A＝θ，∠COP＝2θ.又因为PC与⊙O相切于点C，所以OC⊥PC.所以3θ＝90°.所以θ＝30°.设⊙O的半径为r，在Rt△POC中，r＝CP·tan30°＝1×33＝33.4．如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过B点的切线与AD的延长线交于C，若AD＝DC，则sin∠ACO＝()A．1010B．210C．55D．24解析：选A连接BD，则BD⊥AC.∵AD＝DC，∴BA＝BC，∵BC是⊙O的切线，切点为B，∴∠OBC＝90°，∠BCA＝45°.∴sin∠BCO＝OBOC＝OB5OB＝55，cos ∠BCO ＝BC OC ＝2OB 5OB＝255. ∴sin ∠ACO ＝sin(45°－∠BCO )＝sin45°cos ∠BCO －cos45°sin ∠BCO ＝22×255－22×55＝1010. 二、填空题5．如图，⊙O 是边长为2的等边△ABC 的内切圆，则⊙O 的半径为．解析：设⊙O 与BC 边的切点为D ，连接OD 以及OC ，如图，由等边三角形的内切圆的性质可得OD ⊥BC ，∠OCD ＝30°，OD 即为圆的半径．又由BC ＝2，则CD ＝1，所以在Rt △OCD 中，ODCD ＝tan 30°，解得OD ＝33. 答案：336．如图，已知EB 是半圆O 的直径，A 是BE 延长线上一点，AC 切半圆O 于点D ，BC ⊥AC 于C ，若BC ＝6，AC ＝8，则AE ＝，AD ＝ .解析：据题意设圆的半径为R ，连接OD ，由OD ∥BC 得： OD BC ＝AO AB ⇒R 6＝10－R 10⇒R ＝154，故AE ＝10－2R ＝52，由AD AC ＝OD BC，得AD ＝5. 答案：525 7．已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于B 点，PB ＝1，则圆O 的半径R ＝ . 解析：AB ＝AP 2－PB 2＝ 3.由AB 2＝PB ·BC ，∴BC ＝3，Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝2 3.∴R ＝ 3.答案： 38．如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝90°，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，CD ＝1，则⊙O 的半径等于．解析：如图所示，设点E 为BC 与⊙O 的切点，连接OE ，则OE ⊥BC .又∵∠C ＝90°，∴OE ∥AC ，CE ＝OE ＝r ，∴DE ＝1－r .∴DE DC ＝OEAC ， ∴1－r 1＝r4，解得r ＝45.答案：45三、解答题9.如图，AC 是⊙O 的直径，P A 是⊙O 的切线，A 为切点，连接PC 交⊙O 于点B ，连接AB ，且PC ＝10，P A ＝6.求：(1)⊙O 的半径．(2)cos ∠BAC 的值．解：(1)因为AC 是⊙O 的直径，P A 是⊙O 的切线，所以CA ⊥P A ，即∠P AC ＝90°，因为PC ＝10，P A ＝6，所以AC ＝PC 2－P A 2＝8，所以OA ＝12AC ＝4，所以⊙O 的半径为4.(2)因为AC 是⊙O 的直径，P A 是⊙O 的切线，所以∠ABC ＝∠P AC ＝90°，所以∠P ＋∠C ＝90°，∠BAC ＋∠C ＝90°，所以∠BAC ＝∠P ，在Rt △P AC 中，cos ∠P ＝P A PC ＝610＝35，所以cos ∠BAC ＝35. 10．如图，已知P AB 是⊙O 的割线，AB 为⊙O 的直径．PC 为⊙O 的切线，C 为切点，BD ⊥PC 于点D ，交⊙O 于点E ，P A ＝AO ＝OB ＝1.(1)求∠P 的度数；(2)求DE 的长．解：(1)∵C 为切点，∴OC ⊥PC ，△POC 为直角三角形．∵OC ＝OA ＝1，PO ＝P A ＋AO ＝2，∴sin P ＝OC PO ＝12.∴∠P ＝30°. (2)∵BD ⊥PD ，在Rt △PBD 中，由∠P ＝30°，PB ＝P A ＋AO ＋OB ＝3，得BD ＝32. 连接AE ，则∠AEB ＝90°，∴AE ∥PD .∴∠EAB ＝∠P ＝30°，∴BE ＝AB sin30°＝1，∴DE ＝BD －BE ＝12. 11．如图所示，⊙O 的外切四边形ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ，∠A ＝∠B ＝90°.(1)求证：OC ⊥OD .(2)若CD ＝4 cm ，∠BCD ＝60°，求⊙O 的半径．解：(1)证明：因为AD ∥BC ，所以∠BCD ＋∠ADC ＝180°，由题意知∠ODC ＝12∠ADC ， ∠OCD ＝12∠BCD ，所以∠ODC ＋∠OCD ＝12∠ADC ＋12∠BCD ＝90°，所以∠DOC ＝90°，即OC ⊥OD .(2)过点D 作DE ⊥BC 于点E ，则四边形ABED 是矩形，DE 等于⊙O 的直径，在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，∠ECD ＝∠BCD ＝60°，CD ＝4 cm ，所以CE ＝12CD ＝2 cm ，DE ＝42－22＝2 3 cm ，所以⊙O 的半径为 3 cm.。

2.5.2 圆的切线的判定、性质和画法导学案

2.5.2 圆的切线的判定、性质和画法导学案【学习目标】1、探究圆的切线的判定定理，并掌握圆的切线的判定定理；2、会利用切线的判定定理证明直线是圆的切线，并初步掌握切线证明问题中辅助线的添加方法。

【学习过程】一、课前抽测1、直线与圆的位置关系有：、、三种。

2、与圆相切的直线叫线，与圆个交点，这个交点叫点。

3、已知⊙O 的直径为6cm ，如果圆心O 到直线l 的距离为3cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是。

二、问题探究探究一：切线的判定定理例1：已知:如图,AB 是⊙O 的直径,D 是BC 弧的中点,DE ⊥AC ，交AC 的延长线于E,求证:DE 是⊙O 的切线。

探究二:切线的性质例2：已知：如图，AB 切⊙O 于点B ，OA 与⊙O 交于点C ，点P 在⊙O 上，若∠BAC=40°，则∠BPC 的度数为（）A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°学法指导：切线的判定方法：（1）若切点已知，则连半径，证垂直；（2）若切点未知，则作垂直（过圆心作线段垂直直线），证半径（证明垂线段的长度等于半径）。

学法指导：切线的性质：如果出现圆的切线，则通常连结圆心和切点（作半径），得垂直。

简称“见切点，连半径，得垂直”三、知识归纳1、切线的判定方法：经过半径的并且于这条半径的直线是圆的切线。

如图1所示，⊙O 的半径OA=2cm ，过点A 作直线l 与OA 垂直。

⑴圆心O 到直线l 的垂线段是； ⑵圆心O 到直线l 的距离等于 cm ；⑶直线l 与⊙O 的位置关系是，直线l 是⊙O 的线。

2、切线的性质：圆的切线半径。

四、课堂检测1、下列命题中是真命题的是（）A 、经过半径外端的直线是圆的切线B 、直线和圆有公共点，则直线和圆相交C 、圆的切线垂直于半径D 、过圆上一点有且只有一条直线与圆相切 2、如图，AB 是⊙O 的直径，下列条件中不能判定直线AT 是⊙O 的切线的是（） A. AB=4，AT=3，BT=5 B. ∠B=45°，AB=AT C. ∠B=55°，∠TAC=55°D. ∠ATC=∠B3、如图所示，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心。

切线的判定与性质导学案

中考数学复习切线的判定与性质导学案学校班级姓名一、学习内容：中考数学复习——切线的判定与性质二、学习目标：1、知识技能：（1）掌握切线的判定定理，能判断一条直线是否为圆的切线；（2）掌握切线的性质定理，能利用切线的性质定理解决相关问题。

2、能力技能（1）通过观察、比较切线的判定方法，发展学生的推理与归纳能力；（2）学生通过运用切线的性质解决问题的过程，逐渐形成用数学语言表述问题的能力。

（3）通过学习添加辅助线，提高思维能力。

3．情感、态度与价值观经历复习圆的切线的判定与性质的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累学习经验，获得成功的体验；利用数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．三、重、难点:重点：掌握切线的判定定理和性质定理难点：切线的判定定理和性质定理应用四、自学导学（一）知识简要归纳——温故而知新阅读课本P 95-96１．切线的判定定理：经过半径的并且２．判断一条直线是否为圆的切线，现已有种方法：一是看直线与圆公共点的个数：（与圆有公共点的直线是圆的切线）二看圆心到直线的距离ｄ与圆的半径之间的关系；（当d r 时，直线是圆的切线）三是利用。

3.认真观察下列图形，看看下列说法是否正确(1)．与圆有公共点的直线是圆的切线．（）(2)．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线; （）(3)．垂直于圆的半径的直线是圆的切线; ( )(4)4图（1）图（2）图（3）图（4）图（5）（二）、合作探究例1（教材P 95）直线A B 经过⊙O 上的点C , 并且O A =O B ,C A =C B ,求证:直线A B 是⊙O 的切线.归纳小结：象例1 这种证明方法可简记为：例2:已知：O 为∠B A C 平分线上一点，O D ⊥A B 于D ,以O 为圆心，O D 为半径作⊙O 。

求证：⊙O 与A C 相切。

归纳小结：象例2这种证明方法可简记为：。

九年级圆的切线的判定和性质复习导学案

圆的切线的判定和性质【学习目标】1．判断一条直线是否是圆的切线；2．会过圆上一点画圆的切线；3．能运用圆的切线的判定和性质解决问题【知识梳理】1．切线的判定定理2．切线的性质定理【典例探究】1.证明直线是圆的切线【例1】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．求证：DE是⊙O的切线．例1 练1总结：判断切线的方法有：（1）如果可以证明直线与圆有唯一公共点，那么该直线与圆相切.（2）如果图形中没有给出直线和圆的交点，那么过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于这个圆的半径. 简记为：无交点，作垂直，证半径.（3）如果图形中给出了直线和圆的交点，那么连接圆心和这个点，证明此半径与这条直线垂直．简记为：有交点，连半径，证垂直.练1．如图，△ABC为等腰三角形，AB=AC，点O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．2．已知圆的切线求线段长【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，以点A为圆心，以3cm为半径作⊙A，BC与⊙A 相切，则AB=_____cm.例2 练2总结：切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径．1.切线问题中，常见辅助线作法：连接圆心与切点，得半径与切线垂直，即“连半径，得垂直”.3.由切线的性质可构造一个直角，所以切线问题中，一般都要结合勾股定理求解.练2．（2015•枣庄）如图，一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等．⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1.5cm3.切线的性质和判定的综合应用【例3】（2015•通州区一模）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长．例3 练3总结：当题中已知切线，可以“连半径，得垂直”，计算问题往往与直角三角形、勾股定理有关.1.若题中求证切线，可以从数量关系入手，也可从判定定理入手，注意半径这条重要的辅助线.练3．如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD．已知PC=PD=BC．下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=CD；（4）弧AC=弧AD．其中正确的个数为______________【巩固练习】一、选择题1．如图，点P在⊙O外，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∠P=50°，则∠AOB等于（）第1题图第2题图第3题图A．150°B．130°C．155°D．135°2．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB 交于点P，则∠ADP的度数为（）A．40°B．35°C．30°D．45°3．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB=（）A．30°B．35°C．45°D．60°4．如图，P是⊙O外一点，OP交⊙O于点A，OA=AP．甲、乙两人想作一条通过点P与⊙O相切的直线，其作法如下：甲：以点A为圆心，AP长为半径画弧，交⊙O于点B，则直线BP即为所求．乙：过点A作直线MN⊥OP：以点O为圆心，OP为半径画弧，交射线AM于点B，连接OB，交⊙O于点C，直线CP即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是（）A．甲正确，乙错误；B．乙正确，甲错误；C．两人都正确；D．两人都错误二、填空题5．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是________．（不添加其他字母和线条）第4题图第5题图第6题图6．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使BC是⊙O的切线，你所添加的条件为_________．三、解答题7．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥OA，交AB与点P，且PC=BC，求证：BC是⊙O的切线．第9题图第10题图8．如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．（1）求BC的长；（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．9．已知：△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．（1）如图①，AB为直径，要使EF为⊙O的切线，还需添加的条件是（只需写出三种情况）：①；②；③．（2）如图②，AB是非直径的弦，∠CAE=∠B，求证：EF是⊙O的切线．（3）如图③，AB是非直径的弦，∠CAE=∠ABC，EF还是⊙O的切线吗？若是，请说明理由；若不是，请解释原因．10．如图，直线l经过点A（4，0），B（0，3）．（1）求直线l的函数表达式；（2）若圆M的半径为2，圆心M在y轴上，当圆M与直线l相切时，求点M的坐标．。

人教版初三数学上册《圆的切线的判定和性质》导学案.doc

《圆的切线的判定和性质》导学案咸丰民族中学陈永红学习目标：理解切线的判定定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．重（难）点预见重点：切线的判定定理的两种辅助线思路及其运用它们解决一些具体的题目：学习流程：一、揭示目标二、教学过程（一）复习下列内容1.直线和圆有三种位置关系，分别是——、——、——。

2.直线与圆有两个公共点时，直线与圆——；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆——；直线与圆没有公共点时，直线与圆——。

3.若圆O的半径为4，直线a与点O的距离为5，则直线a与圆O——；直线b与点O的距离为4，则直线b与圆O——；直线c与点O的距离为1，则直线c与圆O——。

4、直线与圆相切有哪几种判断方法？思考作图：已知：点A为⊙o上的一点，如和过点A作⊙o的切线呢？交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA过A 点作OA的垂线从作图中可以得出：经过_________________并且___________与这条半径的的直线是圆的切线思考：如图所示，它的数学语言该怎样表示呢？思考探索；如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线l与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？（二）小结：切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（三）切线判定定理的运用：例1.如图,线段AB经过圆心O,交⊙O于点A,C,∠BAD＝∠B＝30°,边BD交圆于点D。

求证：BD是⊙O 的切线学生练习：如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，⊙O过点B 且分别与边AB，BC相交于点D，E，EF⊥AC，垂足为F．求证：直线EF是⊙O的切线．例2.如图大⊙O的半径为8，弦AB= ，以O为圆心，4为半径作小圆，求证：AB与小圆O相切.学生练习：如图，点D是∠AOB的平分线OC上任意一点，过D作DE⊥OB于E，以DE为半径作⊙D，判断⊙D与OA的位置关系，并证明你的结论。

证明切线的常用辅助线方法小结：1连半径，证垂直（直线与圆的公共点明确时）2作垂直，证半径（直线与圆的公共点不明确时）四、当堂检测1、下列说法正确的是（）A．与圆有公共点的直线是圆的切线．B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线2、已知:如图,A是⊙O外一点,AO的延长线交⊙O于点C,点B在圆上,且AB=BC, ∠A=30.求证:直线AB是⊙O的切线.C O A3.：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD＝∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。

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《圆的切线的判定和性质》教案教学目标：理解切线的判定定理和性质定理并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．
重（难）点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目：
教学流程
一、复习下列内容
1.直线和圆有哪些位置关系？
2.什么叫相切？
3.我们学习过哪些切线的判断方法？
二新授
1.思考作图：已知点A为⊙o上的一点，如何过点A作⊙o的切线呢？
2.交流总结：根据直线要想与圆相切必须d=r,所以连接OA过A点作
OA的垂线
从作图中可以得出：
经过____________并且________与这条半径的的直线是圆的切线
思考：如图所示，它的数学语言该怎样表示呢？
3、思考探索；如图，直线l与⊙O相切于点A，OA是过切点的半径，直线l与半径OA是否一定垂直？你能说明理由吗？
判断
1. 过半径的外端的直线是圆的切线（）
2. 与半径垂直的的直线是圆的切线（）
3. 过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）
利用判定定理时，要注意直线须具备以下两个条件,缺一不可:
(1)直线经过半径的外端;
(2)直线与这半径垂直。

小结：1.
想一想
判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?
有以下三种方法:
1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是
圆的切线。

2.利用d与r的关系作判断:当d＝r 时直线是圆的
切线。

3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂
直于这条半径的直线是圆的切线。

2.切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径。

（1）圆的切线（）过切点的半径。

（2）一条直线若满足①过圆心，②过切点，③垂直于切线这三条中的（）两条，就必然满足第三条。

4、例题精析：
例1、（教材103页例1）如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB,CA=CB,求证直线AB是⊙O的切线。

B
例2.如图，点D 是∠AOB 的平分线OC 上任意一点，过D 作DE ⊥OB 于E ，以DE 为半径作⊙D ，判断⊙D 与OA 的位置关系，并证明你的结论。

（无点作垂线证半径）
课堂小结
1. 判定切线的方法有哪些？直线l
与圆有唯一公共点
与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径
l 是圆的切线2. 常用的添辅助线方法？
⑴直线与圆的公共点已知时，作出过公共点的半径，再证半径垂直于该直线。

（连半径，证垂直）⑵直线与圆的公共点不确定时，过圆心作直线的垂线段，再证明这条垂线段等于圆的半径。

（作垂直，证半径）
l 是圆的切线l 是圆的切线
已知:如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点C,点B 在圆上,且AB=BC, ∠A=30.
求证:直线AB 是⊙O 的切线.
E O D
C
O
A。