旋转曲面的面积(1)
旋转曲面的表面积公式推导
旋转曲面的表面积公式推导
以曲边梯形的面积为例：
设f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（x）≥0。
由曲线y=f(x)，直线x=a,x=b 以及x轴所围成的平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积。
作法：（i）分割。
在区间[ a，b]内任取n-1个分点，它们依次为a=x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn=b，这些点把[a,b]分割成n个小区间[xi－1, xi],I=1,2,…n.再用直线x= xi,i=1,2,…，n-1把曲边梯形分割成n个小曲边梯形。
（ii）近似求和。
在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点，作以f(x)为高，[xi-1,xi]为底的小矩形。
当分割[a,b]的点分点较多，又分割得较细密时，由于f为连续函数，它在每个小区间上的值变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积。
n个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S的近似值。
扩展资料：
旋转曲面是一类特殊的曲面，它是一条平面曲线绕着它所在的平面上一条固定直线旋转一周所生成的曲面。
该固定直线称为旋转轴，该旋转曲线称为母线。
曲面和过旋转轴的平面的交线称为经线或子午线，曲面和垂直于旋转轴的平面的交线称为纬线或平行圆。
例如：球面是由圆绕着其直径旋转而成；环面是由圆绕着外面的一条直线旋转而成。
计算旋转曲面面积的公式及几种证法
加强曲线、曲面积分概念讲解,标准化曲线、曲面积分的计算程序,沟通有关积分之间关系,以消除学生对斯托克斯等公式的深奥感,有效地突破了曲 线、曲面积分教学中的几个难点.
4.期刊论文 赵清波.李文潮.赵东涛.张辉 曲线积分与曲面积分的一题多解 -数理医药学杂志2008,21(3)
8.期刊论文 纪荣芳.娄本平 对称性在曲线积分及曲面积分计算中的应用 -泰山学院学报2004,26(3)
给出了利用对称性简化曲线积分和曲面积分计算的一些定理和方法,并对定理的结论予以证明.
9.期刊论文 彭一鸣.马新科.宁荣健 第一型曲面积分转为第一型曲线积分的算法 -高等数学研究2010,13(2)
2.期刊论文 刘富贵.鲁凯生.Liu Fugui.Lu Kaisheng 利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 -武汉理
工大学学报（交通科学与工程版）2006,30(6)
由于第二类曲线积分与曲面积分涉及到方向性问题,因此利用对称性来计算较为困难.文中给出了利用对称性计算第二类曲线积分与曲面积分的方法 ,并证明了方法的可行性,并通过实例表明,此方法有时能起到简化计算的作用.
＝ｌ。ｉｒａ石乏｛［，（参）＋，（最）】√ｌ＋，”（参）△ｘｉ＋
∑口ｆ Ａ ｘ。｝
砌烛喜聪）Ｆ丽
＝２ｎ ｅ，（ｘ）√ｌ＋，“∽ｄｘ＝２兀ｅｆ（ｘ）ｄｓ．
１．２用微元法证明计算旋转曲面面积公式 证：在［ａ．ｂ】上的任意小区间【ｘ，ｘ＋ｄｘ］的
小截锥面积近似于小旋转曲面的面积． 从而得面积元素ｄＡ＝２矽（石）ｄｓ所以旋
6.期刊论文 李育强.石瑞民 曲线积分在曲面积分中的应用 -大学数学2003,19(3)
函数绕y轴旋转所生成的曲面面积
函数绕y轴旋转所生成的曲面面积以《函数绕y轴旋转所生成的曲面面积》为标题，本文将探讨函数绕y轴旋转所生成的曲面面积问题。
此类曲面通常称为曲线积分表面，它们可以用不同的函数构成，例如多项式、指数函数和三角函数等，其中一些曲面在计算机图形学和工程技术中得到广泛应用。
这些曲面构成的一般称为曲面积分表面，它们可以用应用积分方法求出其体积。
函数绕y轴旋转所生成的曲面积分表面可以用极坐标方法求出面积。
极坐标方法把空间分成若干小块，每一个小块有一个曲面积的近似值。
在Riemann求积公式中，把空间分割成若干小块，每一小块都有一个面积的近似值。
计算曲面面积的公式为：面积＝π*Integral[from 0 to 2π] r*dθ其中，r为以原点为中心的极坐标系中的曲线函数。
曲线函数可以是任意形式，如多项式函数、指数函数、三角函数等等。
θ表示极坐标系中的角度。
函数绕y轴旋转所生成的曲面面积也可以通过其他方法计算，其中一个传统的计算方法是变量替换法。
变量替换法将计算的函数曲线加以分离，然后对两个部分进行计算，而最终的结果也可以通过积分来求出，其核心思想是将曲面做一个变换，使其在新的坐标系中更为简单。
函数绕y轴旋转所生成的曲面面积也可以用数值分析方法计算。
由于曲面积分表面的复杂性，使得一般的精确求解通常很难实现，因此，对于曲面积分表面，数值分析方法有着重要的意义。
数值分析方法可以用来计算曲面的面积，从而获得曲面的体积。
数值方法计算曲面面积的核心思想是将曲面分割成若干小块，每一小块有一个曲面积的近似值。
总之，函数绕y轴旋转所生成的曲面面积可以用极坐标方法、变量替换法和数值分析方法来求出。
本文简述了函数绕y轴旋转所生成的曲面面积的计算方法，同时介绍了极坐标方法、变量替换法和数值分析方法。
本文的研究可以为计算函数绕y轴旋转所生成的曲面面积提供有价值的参考。
旋转曲面侧面积公式
旋转曲面侧面积公式
旋转曲面的侧面积公式是通过求解曲线在绕某条轴旋转一周所得到的曲面的侧面积。
具体公式如下：
侧面积S = 2π∫[a,b] f(x)√(1 + f'(x)²) dx
其中，f(x)是曲线的方程，f'(x)表示f(x)的导数。
这个公式可以通过对曲线在x轴上的一小段弧长进行积分求得，并考虑到旋转所得到的曲面的半径为f(x)。
√(1 + f'(x)²)是因为旋转曲面侧面上的每一点都可以看作是曲线在这一点的切线，所以在计算侧面积时需要考虑该点的斜率。
拓展:
除了上述的旋转曲面侧面积公式，还存在其他带有复杂形式的旋转曲面侧面积公式。
例如，当曲线方程为参数方程形式时，可以使用如下公式计算旋转曲面的侧面积：
S = 2π∫[t1, t2] y(t)√(x'(t)² + y'(t)²) dt
其中，x(t)和y(t)是曲线的参数方程。
x'(t)和y'(t)分别表示x(t)和y(t)的导数。
此外，在计算侧面积时，还可以根据具体曲线方程和旋转轴的特性，采用其他数学方法进行求解。
§4旋转曲面的面积
(3)
首页
×
如果光滑曲线Ｃ由参数方程 x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β] 且 y(t)≥0，那么由弧微分知识推知曲线C绕 x 轴旋转所得 旋转曲面的面积为
S 2 y(t ) x 2 (t ) y'2 (t )dt .
(4)
事实上，由（２）知，
S 2 f x 1 f
lim f ( x )dx a f ( x )dx.
b T 0
首页
×
一般地，我们归纳出所求量Φ的积分表达式的步骤. (1) 选取积分变量及变化区间； (2) 设想把区间[a,b]分成n个小区间,取其中任一小 区间并记作[x, x+△x]，求出相应于此小区间的 部分量△Φ的近似值
ｄΦ＝f（x）dx；
b a 2
x dx = 2 a f x
b
dy 2 1( ) dx dx
= 2 f x dx dy = 2 y( t )ds
b 2 2 a
= 2
2 '2 = 2 y( t ) x ( t ) y ( t )dt .
首页
dx 2 dy 2 y( t ) ( ) ( ) dt dt dt
S f (i )xi ( xi xi xi 1 ).
i 1
首页
n
×
（iii）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a, b] 的分割,又与所有中间点 i( i=1,2,…，n）的取法
有关.可以想象,当分点无限增多,且对[a, b]无限细
分时,如果此和式与某一常数无限接近,且与分点xi, 中间 i 点的选取无关,则就把此常数定义作为曲边梯 形的面积S.
旋转曲面的面积
作业
P255：1，2，3.
0
2
64 a2
3
例3 已知
y
星形线
x y
a a
cos 3 sin 3
t t
(a 0)
a
o
ax
求 10 它所围成的面积;
20 它的弧长;
30 它绕轴旋转而成的旋转体 体积及表面积.
解 10 设面积为 A. 由对称性,有
a
A 4 ydx 0
4
0
a
sin3
积 面，它们在旋转曲面上截下一条狭带．当 dx
很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面
积，取其为面积元素，dS 2 f (x) 1 f '2 xdx
旋转曲面的面积为
S
2
b
a
f
x
1 f '2 xdx
若曲线由参数方程
x y
xt y t
,
t
x x(t)
y
y(t)
( t )给出，则侧面积公式为：
A 2
y (t )
x'2 (t) y'2 (t)dt
若曲线段由极坐标方程
( ) ( )给出，则侧面积公式为
A 2
( ) sin
2 ( ) '2 ( )d
,
定义，且
y
t
0,
则由弧
微分只是推知曲线 C 绕 x 轴旋转所得曲面的面积
S 2 y t x' 2 t y' 2 t dt
旋转曲面公式
旋转曲面公式旋转曲面公式是数学中常见的一类曲面方程。
在平面上，旋转曲面是通过绕着直线或点旋转形成的曲面。
旋转曲面公式是表达这类曲面的数学方程形式，非常有用且广泛应用于工程、物理和计算机图形学领域。
本文将介绍旋转曲面公式的定义、种类、基本特性和应用。
一、定义旋转曲面是指在平面上绕一个直线或一个点旋转所形成的曲面。
旋转曲面通常是由一条曲线绕着一定的轴或点旋转而生成。
旋转曲面公式是表达这类曲面的方程形式。
二、种类1. 绕x轴旋转当曲线绕x轴旋转时，生成的曲面被称为“圆锥面”或“圆锥体”（如果包含了内部）。
2. 绕y轴旋转当曲线绕y轴旋转时，生成的曲面被称为“旋转椭球面”或“旋转椭球体”（如果包含了内部）。
3. 绕z轴旋转当曲线绕z轴旋转时，生成的曲面被称为“旋转双曲面”，“旋转抛物面”或“旋转超球面”等。
三、基本特性1. 参数化形式旋转曲面可以用参数化的形式表示。
考虑曲线在xy平面上的表示形式r(t)。
为了将曲线绕z轴旋转，定义参数u表示绕z轴旋转的角度，曲面上每个点的坐标可以用下列参数化方程表示：x(u,t) = r(t)cos(u)y(u,t) = r(t)sin(u)z(u,t) = h(u)其中，r(t) 和 h(u) 是曲线在xy平面上和在z轴上的函数表示。
2. 等距线和平行线旋转曲面上的等距线是该曲面上的一条线，该线上的所有点到轴线（旋转轴）的距离相等。
相比之下，平行线是该曲面上的两条直线，它们不相交且距离相等。
对于圆锥面和旋转椭球面，等距线是从顶点或焦点到曲面上各点所在直线；对于旋转双曲面和旋转抛物面，等距线是与两极相切的曲面上的一条曲线。
3. 对称性旋转曲面具有一些特殊的对称性质。
根据对称平面或对称点的位置，旋转曲面可以被分为各种对称类型。
例如，对于绕x轴旋转的圆锥体，它有一个顶点和一条中心轴，因此它具有中心对称性；对于绕y轴旋转的旋转椭球体，它具有两个焦点和一条中心轴，具有反演和中心对称性。
§3旋转曲面的面积
2 R
3
例 12 求以半径为 R的圆为底、平行且等于底
圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.
解 取坐标系如图
y
底圆方程为
x2 y2 R2,
o x Rx
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 A( x) h y h R2 x2
立体体积
V
R
h R
R2 x2dx 1 R2h. 2
• 习题7.3 3，5，6
63a3.
2 平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
A( x) 表示过点 o a x 且垂直于x 轴
x x dx
b
x
的截面面积， A( x)为x 的已知连续函数
dV A( x)dx,
立体体积 V
习题7.Байду номын сангаас 1（3），2
作业
b
A( x)dx.
a
例 11 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中
心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所
得立体的体积.
解 取坐标系如图
R
底圆方程为 x2 y2 R2
o
y
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积 A( x) 1 (R2 x2 )tan ,
2
立体体积 V 1 R (R2 x2 )tandx 2 R3 tan .
绕x轴旋转一周,得到旋转 o
x x dx
x
曲面.
S [ f ( x) f ( x x)] x2 y2
[2 f ( x) y]
1