例说计算旋转扫过的面积
绕y轴旋转面积
绕y轴旋转面积
从古至今，转动物体围绕y轴旋转是一直被探索的十分吸引人的物理概念。
转动物体绕y 轴旋转后得到的面积有着十分复杂的计算方法。
在计算物体绕y轴旋转后形成的面积前，我们必须明确物体的原形及其在椭圆上的分布情况。
以椭圆为例，最外部的曲线被称为焦线，两个内部的曲线称为锥台线，中心的曲线称为锥底。
我们可通过多边形的旋转得到物体在y轴上的面积。
计算物体绕y轴旋转后形成的面积时，必须将空间旋转为二维形状，以标准x轴，y轴坐标系为参照坐标系，将旋转轴安排在y轴上。
根据x、y坐标系，可以把物体分成若干小形状，通过计算每部分的面积，最终得出物体在y轴旋转后的总面积。
计算物体绕y轴旋转后得到的面积有一系列的计算方法，例如旋转积分法、牛顿多项式法等，每种方法都有其各自的优点和缺点。
这说明在计算问题时，必须结合物体形状及其在椭圆上的分布情况来选择最适合的方法。
总之，转动物体绕y轴旋转形成的面积是一个复杂的物理概念，计算其面积时，有一系列各具特色的方法可供选择，而计算正确的面积，需要把握情况，适当取舍，我们必须根据物体的形状及其在椭圆上的分布情况来选择最适合的方法。
三角形旋转体面积的求法
三角形旋转体面积的求法
在数学中，三角形旋转体是指由一个三角形绕着其中一条边旋转而成的立体图形。
要计算三角形旋转体的表面积，可以使用积分来解决这个问题。
首先，我们需要知道三角形的边长和高。
假设三角形的底边长为a，高为h。
现在，我们将三角形绕底边旋转360度，形成一个旋转体。
这个旋转体的表面积可以通过积分来求解。
首先，我们将三角形绕着底边旋转，得到的旋转体可以看作是由无数个小矩形叠加而成的。
每个小矩形的宽度可以看作是一个微小的长度dx，而高度则是三角形的高h。
因此，每个小矩形的面积可以表示为2πxh，其中x是距离底边的距离。
为了计算整个旋转体的表面积，我们需要对所有这些小矩形的面积进行求和。
因此，旋转体的表面积S可以表示为：
S = ∫(0到a) 2πxh dx.
通过对上式进行积分，我们可以得到三角形旋转体的表面积。
这个方法可以用于任意形状的旋转体，只需要根据具体的形状和旋
转轴来确定积分的上下限和积分式。
通过这种方法，我们可以很方便地求解三角形旋转体的表面积，同时也可以推广到其他形状的旋转体，为解决更加复杂的几何问题
提供了一种有效的工具。
几何体的旋转表面积
几何体的旋转表面积几何体的旋转表面积是指当一个二维曲线绕定定轴旋转一周形成的三维几何体的表面积。
在计算旋转表面积时，我们需要确定旋转轴、旋转范围和旋转曲线，并利用积分来求解。
一、圆柱的旋转表面积圆柱是最简单的旋转几何体，其旋转表面积的计算公式如下：S = 2πrh + 2πr²其中，r为圆柱的底面半径，h为圆柱的高度。
公式中的第一项2πrh 表示圆柱的侧面积，第二项2πr²表示圆柱的上下两个底面积。
例如，如果给定圆柱的半径r为3cm，高度h为5cm，那么可以直接代入公式计算：S = 2π × 3 × 5 + 2π × 3² = 30π + 18π = 48π ≈ 150.8 (cm²)所以，该圆柱的旋转表面积约为150.8平方厘米。
二、圆锥的旋转表面积圆锥是另一种常见的旋转几何体，其旋转表面积的计算公式如下：S = πrl + πr²其中，r为圆锥的底面半径，l为圆锥的母线长度。
公式中的第一项πrl表示圆锥的侧面积，第二项πr²表示圆锥的底面积。
假设给定圆锥的半径r为4cm，母线长度l为6cm，则可以代入公式计算：S = π × 4 × 6 + π × 4² = 24π + 16π= 40π ≈ 125.6 (cm²)因此，该圆锥的旋转表面积约为125.6平方厘米。
三、球体的旋转表面积球体的旋转表面积是通过一个二维半圆绕其直径旋转一周形成的三维几何体的表面积。
球体的旋转表面积的计算公式如下：S = 4πr²其中，r为球的半径。
如果给定球的半径r为7cm，则可代入公式计算：S = 4π × 7² = 4π × 49 = 196π ≈ 615.752 (cm²)所以，该球体的旋转表面积约为615.752平方厘米。
也谈线段旋转扫过的面积
，
一
图４
ｍ ｓ ： 丌 （ ＯＢ ２ 一ＯＣ ２ ） ＝
一
我们 也可 以这样理 解， 图１ 的情 形虽然 不 满足图２ 、图３ 所示 的特 征 条件 ， 但 可 以换 一 个角度让 它满足特征条件． 实 际上 ， 线 段 ＡＢ 上 的 点 可 分 为 两 类 ：一 类 是 线 段 Ｂ 上 的 点 ，另 类是线 段 Ｃ上 的点， 无论线段Ｂ 还是Ａ ，
２ ０ １ ３ 年第 ２ 期
数 学教 学
２ — １ ５
图２ 和图３ 的情 形完全符合 授课教师 总结 的规 律 ， 这 两 种 情 形 有 一 个 共 同 点， 就 是 线 段 Ｂ上 各 点到旋 转 中心 （ 二 ） 的距 离 均不 相等 ， 且端 点 离 点 （ 二 ） 最近， 端点 Ｂ离 点 （ ＝ ） 最远． 凡 符合这种特征条件 的线段绕旋转中心旋转扫过 的面 积 均 可 以用 “ 扇形面积差” 来表 达 ． 我 们 知 道，线 段 Ｂ绕 点 Ｄ逆 时 针 旋 转 ９ ０ 。 ，可 以 理 解 为 其 上 的所 有 点 均 绕 点 （ ＝ ） 逆 时针 旋转 ９ ０ 。 ， 因此 线 段 ＡＢ旋 转 扫过 的区域 可 以看 作 线 段 ＡＢ上 所 有 点 绕 点 （ ＝ ） 旋 转９ ０ 。 形成 的弧线的集合． 图２ 、图 ３ 中， 由于点 距 旋 转 中心 （ 二 ） 最 近， 点 Ｂ 离点 （ ＝ ） 最远， 所 以各 弧 线 必 夹 在 和 ＢＢ 之 间， 与线 段 Ｂ 只有 唯 一 公 共 点， 不 会 出现 “ 越 过” 线 段 Ｂ 的情 形．而 图 １ 中， 垂 足 是 线段 Ａ Ｂ上所 有 点 中 距 离旋转 中心 （ ＝ ） 最近 的点 因此线段 ＡＢ上 点 Ｂ、 之 间的 点旋转 形成 的 弧线 必位 于 ＢＢ 、 Ｃ 之 间， 而线 段 Ａ Ｂ上 点 Ａ、Ｃ之 间 的点旋 转 形 成 的 弧 线 必 位 于 ＡＡ 、 之 间，显 然 线 段 Ｂ 与 相 切，所 以 点 、 之 间 的 点 旋 转 形 成 的弧 线 必 与 线 段 Ｂ 相 交 于 两 点（ 如 图４ 所 示） ， 因而 线 段 Ａ日扫 过 的 区域被 线段 Ｂ 分割为两 部分， 它们 分居 Ｂ 两侧 ， 从而形成如 图 １ 所示 的区域．
通过旋转求三角形面积的题目
通过旋转求三角形面积的题目
正文:
求解三角形面积是几何学中的基本问题之一。
通常，我们会使用三角形的底和高来计算面积。
然而，还有一种有趣的方法可以通过旋转三角形来求解其面积。
在这种方法中，我们将三角形绕其中一个顶点旋转，使其成为一个平行于底边的矩形。
然后，我们可以通过计算矩形的面积来得到三角形的面积。
具体步骤如下：
1. 选择一个顶点作为旋转点，使其成为底边的一个端点。
2. 将剩余的两个顶点连接到旋转点，形成一个新的三角形。
3. 将这个新的三角形绕旋转点旋转，直到其底边平行于原始三角形的底边。
4. 旋转后，新的三角形将成为一个矩形，其底边与原始三角形的底边平行，且长度相等。
5. 计算矩形的面积，即底边长度乘以高度，即可得到原始三角形的面积。
这种方法的关键在于选择旋转点。
通常，我们选择离底边最近的顶点作为旋转点，这样可以确保旋转后的矩形面积最大。
如果选择不当，旋转后的矩形可能会超出原始三角形的范围，导致计算出的面积错误。
这种通过旋转求三角形面积的方法虽然不如传统的底高公式直接，但在某些情况下，特别是当三角形的底边很长或高度很短时，可以更快地得到近似的面积值。
此外，这种方法还有助于培养几何直观和观察力，让学生从不同的角度思考几何问题。
总之，通过旋转求解三角形面积是一种有趣且有效的方法，可以拓宽我们的几何学知识，并提供了一种不同的思考角度。
可以在教学中引入这样的问题，让学生体验几何学的乐趣，并培养他们的创造力和解决问题的能力。
旋转体的表面积和体积计算
旋转体的表面积和体积计算旋转体是指通过绕某一轴旋转而形成的立体图形。
在几何学中，计算旋转体的表面积和体积是一种重要的技巧。
本文将介绍旋转体的表面积和体积计算方法，以及一些常见的旋转体示例。
一、旋转体的表面积计算方法要计算旋转体的表面积，我们可以使用定积分的方法。
设旋转体由曲线y=f(x)（0≤x≤a）绕x轴旋转而成，其中f(x)在闭区间[0,a]上连续且非负。
基于定积分的表面积计算公式为：S = 2π∫[a→0] y·ds其中，ds表示曲线的微小弧长。
在极坐标下，微小弧长ds可以表示为：ds = √(1+(dy/dx)²)·dx通过将dy/dx替换为f'(x)，我们可以将表面积计算公式简化为：S = 2π∫[a→0] f(x)·√(1+f'(x)²)·dx通过求解上述定积分，即可得到旋转体的表面积。
二、旋转体的体积计算方法旋转体的体积计算同样可以使用定积分的方法。
仍假设旋转体由曲线y=f(x)（0≤x≤a）绕x轴旋转而成。
体积计算公式为：V = π∫[a→0] y²·dx通过将y替换为f(x)，我们可以将体积计算公式写为：V = π∫[a→0] f(x)²·dx求解上述定积分即可得到旋转体的体积。
三、旋转体计算示例下面将以圆锥为例，演示旋转体的表面积和体积计算方法。
圆锥由一条斜边和底面形成，底面是一个半径为r的圆。
我们将底面放置在坐标轴上，圆锥的斜边与x轴的交点记为（0，h）。
要计算圆锥的表面积和体积，首先我们需要确定圆锥的方程。
通过类似三角函数的方法，我们可以得到圆锥的方程为：y = h/r·x其中，0≤x≤r，0≤h≤√(r²-x²)。
根据上述方程，我们可以计算出圆锥的表面积和体积。
四、总结通过本文的介绍，我们了解了旋转体的表面积和体积计算方法，并以圆锥为例进行了演示。
几何中的旋转问题
熟练运用旋转解决平面几何中的问题平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果．例图1中以△ABC的边AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形ACFG，连结BG、CE．求证：(1)BG=CE；(2)BG⊥CE．分析：一般的证法是证明△ABG与△AEC全等，然后应用全等三角形的性质。
而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知，点E绕点A逆时针旋转90°为点B，点C绕点A 逆时针旋转90°为点G，从而知线段EC绕点A逆时针旋转90°为线段BG，故有BG=CE，BG ⊥CE．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。
一、按旋转的角度进行区分1、90°角旋转例1 如图2，E、F分别是边长为1的正方形ABCD的BC、CD—上的点，且△CEF的周长是2．求∠EAF的大小。
解：将△ABE绕点A作逆时针旋转90°，则AB边与AD边重合，设旋转后E→E′，由条件△CEF的周长为2，即CE+EF+CF=2，又BE+CE+CF+ DF=2，且显然有BE=DE′，故CE+ CF+FE′=2．从而必有EF=FE′，又AE= AE′，AF=AF，故△AEF≌△AE'F，∴∠EAF=E'AF，又从作图知∠EAE′=90°，故∠EAF=45°。
例2（北京东城2010年上学期期末）如图，P 为正方形ABCD 内一点，若PA =1，PB =2，PC =3 ，求:(1)∠APB 的度数;(2)正方形ABCD 的面积．分析:三条已知的线段PA 、PB 、PC 具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形．但是当把△ABP 按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三角形，于是PA 旋转后的线段与PC 构成了一个新的三角形．解:(1)将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转90°得△CBQ ． 则△ABP ≌ △CBQ 且PB ⊥QB ．于是PB =QB =2a ，PQ =22PB QB =22a ． 在△PQC 中，∵PC 2=9a 2，PQ 2＋QC 2=9a 2． ∴PC 2=PQ 2＋QC 2． ∴∠PQC =90°． ∵△PBQ 是等腰直角三角形， ∴∠BPQ =∠BQP =45°．故∠APB =∠CQB =90°＋45°=135°．(2)∵∠APQ =∠APB ＋∠BPQ =135°＋45°=180°， ∴三点A 、P 、Q 在同一直线上．在Rt △AQC 中，AC 2=AQ 2＋QC 2=(a ＋22a )2＋a 2=(10＋42)a 2．故S 正方形ABCD =12AC 2=(5＋22)a 2． 思考 例2中，如果把△CBP 绕点B 逆时针方向旋转90°得△ABM ，怎样解以上问题?(答: (1)△PBM 是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得∠APM =90°;(2)过点B 作BN ⊥AP ，垂足为N ．则PN =BN =2a ，于是在△ABN 中可求出边长AB 的平方，即得正方形的面积．)2、60°角旋转．例1 如图3，分别以△ABC的边AB、AC为一边向外作等边三角形ABD及等边三角形ACE。
旋转体侧面积和体积的计算公式
旋转体侧面积和体积的计算公式
旋转体的侧面积和体积的计算公式是物理中非常重要的计算方法。
旋转体是由一个固定圆环和一个旋转圆环组成的结构，因此它的侧面积和体积的计算公式也有一定的不同之处。
首先，我们来看旋转体的侧面积的计算公式，它的计算公式如下：S=2πrh，其中S表示旋转体的侧面积，π是圆周率，r表示旋转体的半径，h表示旋转体的高度。
其次，我们来看旋转体的体积的计算公式。
它的计算公式如下：V=πr (r + h)h，其中V表示旋转体的体积，π是圆周率，r表示旋转体的半径，h表示旋转体的高度。
最后，我们来看一个典型的例子，假设旋转体的半径为2米，高度为4米，则旋转体的侧面积和体积分别为：S=2π×2×4=32π㎡，V=π×2×(2+4)×4=64π㎓。
由此可见，旋转体的侧面积和体积的计算公式是非常简单易懂的，它们既可以用来计算实际问题，也可以用于教学和研究。
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A
B
C O
D
计算旋转扫过的面积
河北 欧阳庆红
我们知道线旋转,面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢,下面跟随我的脚步来领略几例计算旋转扫过的面积问题.
例1 (08内江市)如图1，Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点
A B C '，，在同一条直线上，在Rt ABC △中，若90C =∠，
2BC =，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积
为 ．
解析: 欲求斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积，已知扇形半径AB=4,只要求出其圆心角∠A AB '度数, ∵Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点旋转得到的,∴△ACB ≌△
B C A '',∴,2,4=='=='BC C B AB B A ∴∠A '=030,
∴∠A AB '=∠C '+∠A '=0
1203090=+，∴.3
1636041202ππ=⨯⨯='
A A
B S 扇形
例 2 （08甘肃兰州）如图2，在Rt ABC △中，
903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以
BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．
解析：本题考察了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理：圆环的面积为：πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.所以本题填9π.
例3 (08宁波)如图3，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由BB '，B A ''，A C '，CB 围成的阴影部分的面积是 ．
解析:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',
图2
A
C
B
C
B
A
图1
阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,
则AC ⊥OB, ∵120A =∠,∴∠AOC=060,∴∠AOB=2
1
∠AOC=030, ∴AD=
2121=AO ,根据勾股定理得,OD=22AD OA -=2
3, ∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=，090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090∴
()
OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=
2
1360130360
39022
ππ阴影
=
3121
1243⨯⨯--ππ=23π32
-. 例4 (08鄂州)如图4，Rt ABC △中，
90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的
中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ C ） A ．
77π338
- B ．
47
π338
+ C ．π
D ．
4
π33
+ 解析:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，∴AB=2BC=4, ∴AC=,32242222=-=-BC AB
∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，∴OB=1OB =2,CH=32
1
11==AC H C , ∴BH=()
7322
2211211=+
=+=H C BC BH ,
易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为
图4
A
H
B
O
C
120,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即3601202BH S π=阴影360
1202BO π-
=ππ
π=-3437.。