如何求解旋转扫过的面积
求在旋转过程中BC边扫过的面积
【6533】
我们知道三角形的内角和是180°，一个平角也是l80°，请你利用以上两个结论完成下列各题：
（1）如图①，延长三角形ABC的边BC到D，请探究∠ACD、∠A、∠B三者之间的关系，请说明理由。
（2）如图②，已知∠A=40°，∠B=21°，∠C=18°，求∠BDC的大小。
（3）如图③，求∠A+∠8+∠C+∠D+∠E的大小。
A.a B.b C.ab D.无法判断
【6537】
在比例尺是1：5000000的地图上，量得甲乙两城市之间的距离是4.5cm，如果一辆汽车的速度是90千米/时，那么从甲城到乙城需用（ ）小时。
【6538】
动物园售票处规定，一人券2元一张，团体券15元一张（可供10人参观)，六年级（1)班有58人，买门票最少要花（ ）元。
【6534】
下列图形中正方体展开图是（ ）
【6535】
如图，下列说法正确的是
①面积最大的是亚洲；
②南美洲、北美洲、非洲共占面积的50%；
③非洲占总面积1/3
④南美洲的面积是大洋洲面积的2倍
A.①② B.①②③④北美洲
C.①④ D.①②④
【6536】
a和b都是自然数，且0.3a=b，那么a和b的最小公倍数是（ ）
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后所得的△AB'C'；
（2）若每个小正方形的边长为1，AB的长为10，求在旋转过程中BC边扫过的面积。
（π取3.14）
【6532】
搬只要赔5角，结果运完后搬运工共得搬运费280元，问搬运时不小心打碎了几只玻璃瓶？
【6539】
已知x，y（均不为0）能满足1/2x=1/3x，那么x，y成（ ）比例，并且x:y=（ ）。
中考数学复习指导：例析线段旋转扫过的图形面积
例析线段旋转扫过的图形面积——兼谈一个基本图形的结构本文对于旋转中心O不在线段AB上，并且旋转角α为0°<α< 2β与360°－2β<α< 360°的情况进行再探讨，给出初中生也能理解的方法，并谈谈对一个基本图形的结构启示，以供读者参考．一、线段旋转的约定与问题解决如图1，将线段AB绕点O旋转到A'B'，设OA＝a，OB＝b(a≥b) ，OD＝h，∠BOD ＝β，旋转角度为α．情况1 当旋转角α的范围为0°<α<2β时．分析如图1，线段AB在旋转的过程中，应该分别考虑线段BD和线段AD所扫过的不同图形的面积．这里需要注意的是，不能将二者简单相加．DD'所围考察图1，可知上述两条线段都扫过了同一个区域，即由线段DP、D'P以及成的部分，此区域形状虽为不规则图形，但我们很容易将其转化为一个四边形与一个扇形面积的差．为方便起见，我们把这部分区域的面积表示为S PDD'，则有1于是得到此时线段AB扫过部分的面积为：情况2 当旋转角α的范围为360°－2β<α<360°时．分析将线段AB绕点O顺时针旋转α°到A'B'位置，如图2．依照上述方法，我们将线段AB分成AC、CD、DB三段来考察．由图2可知，AC扫过了一个宽度为b－a，圆心角为a的圆环的一部分；其中CD、DB两线段始终在一个宽度为a－h的圆环内扫，但此圆环中有部分区域未被扫到，即S PDD'．如上所述，我们考虑求出S PDD'，不过现在的∠DOD'＝360°－α，不妨记以a－h为宽度的圆环面积为S中环，故得此时线段AB扫过部分的面积为：23二、基本图形解构至此，我们利用初中数学知识得到了上述两类线段扫过面积的求法．同时，值得注意的是，在以上两种情况下，我们都需要用到一个对角互补的筝形，如图3．其基本结构所包含的数学形态颇多，笔者曾经刊文指出这一基本模型的变化方式，现在看来，此图又可解构为一个扇形与一个由两条线段和一条弧所围成的封闭图形；或者整体地看，DP 、DP'是以O 为圆心，OD 为半径的圆的两条切线段，计算S PDD'这个封闭图形的面积只要结合全等、三角函数、扇形面积公式即可解决．由此联想，此图在数学教学中大有用武之地．鉴于此，笔者尝试将该图从不同角度的解构做一梳理、总结．解构1 角平分线定理与逆定理教学用图（如图4）．解构2 分成两个等底等腰三角形（如图4)．解构3 延长一组对边后形成一对相似三角形（如图5）．4解构4 分割后旋转形成等腰三角形（如图6）．解构5 分别以O ，P 为圆心，以DP ，OD 为半径在图形内部画弧可分别得到两个扇形（如图7）．三、一点感想基本图形的教学是初中几何教学中的重点，也是个难点，笔者以为，在初三首轮复习阶段，尤其是几何模块的复习教学过程中，对这样的基本图形进行解构式的教学非常重要，再辅以实例，可以使学生获得解一题、通一类、会一片的效果．正如波利亚所说：“拿一个有意义但又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域．”。
中考数学：线段旋转所扫边的图形面积
线段旋转所扫边的图形面积线段AB 和点O 在同一平面内，将线段AB 绕点O 旋转，在旋转过程中，线段AB 所扫过的图形面积该如何计算？笔者认为可从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究．一、旋转中心O 在线段AB 上如图1，设AO ＝a ，BO ＝b(a ≥b)，旋转角度为α．(1)当0°≤α≤180°时，线段AB 所扫过的图形如图2中的阴影部分所示，其蕊积为扇形OAA'与扇形OB B'的面积和，故()2222360360360S a b a b αααππ=+=+(2)当180°<α≤360°时，线段AB 所扫过的图形如图3中的阴影部分所示，其面积为以AO 为半径的圆的面积减去图中空白部分的面积，故二、旋转中心O 在线段AB 的延长线上如图4，设AO ＝a ，BO ＝b ，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图5中的阴影部分所示，其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-三、旋转中心O 不在直线AB 上(1)当线段AB 的两个端点分别是线段AB 上到旋转中心O 的距离最长的点和距离最短的点时，如图6(1)．设AO ＝a ，BO ＝b(a>b)，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图6(2)中的阴影部分所示．因为△OAB ≌△OA'B'，所以阴影部分的面积可转化为其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-(2)当线段AB 的两个端点不是线段AB 上到旋转中心O 的距离最短的点时，如图7．作OD ⊥AB ，垂足为D ，设OA ＝a ，OB ＝b(a ≥b)，O D ＝h ，∠BOD ＝β，旋转的角度为α．①若0°<α<2β时，线段AB 所扫过的图形如图8中的阴影部分所示，计算线段AB 所扫过的图形面积比较复杂，限于初中学生的知识水平，不需要掌握．②若2β≤α≤360°－2β时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．作OI ⊥A'B'，垂足为I ，则△OAD ≌△OA'I ，所以阴影部分的面积可以用以OA 和OD 为半径的两个扇形的面积差加上一个弓形的面积表示，即()22222tan 360360S a b h bαβπβπ=-+-∙．③若360°－2β<α<360°时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．此时阴影部分的面积以初中学生的知识也不能计算．④若α＝360°时，线段AB 所扫过的图形如图11中的阴影部分所示，为一个圆环的面积，故S ＝π（a 2－h 2）．计算线段AB 绕点O 旋转所形成的图形面积，关键在于准确画出AB 旋转所形成的图形．其形状是由线段AB 的初始位置、终止位置及点A 、B 、D （点D 是线段AB 上到O 点距离最近的点）的运动轨迹所围成的封闭图形．。
图形旋转中面积计算的两个结论
朝 阳） 图 ３ ＡＣ是 汽 车 如 ，
风 玻 璃 前 的刮 雨 刷． 如
ＯＡ ＝ ６ ｍ ， ） ５ｃ （Ｃ一 １ ｍ ， ５ｃ
【 ２ （０ ９ 广东 汕头） 图 ２ ， 例 】 ２０ ， 如 —１ ｏ０的 内接 △ＡＢ Ｃ中， —Ｂ ＝Ｃ ０Ｄ、 ＡＢ Ｃ Ａ， ｏＥ为 （ｏ的半径 ， ｌ 上 三 ） ０ ＿ Ｄ ＿
一
惠
、
重 叠 部 分 的面 积
【 １ 如 图 １ 正 方 形 ＡＢ Ｄ 例 】 ， Ｃ 的对 角 线 相 交 于点 ０， ０ 也 是 正 方 点 形 Ａ Ｂ Ｃ０ 的一 个 顶 点 ， 果 两 个 正 如
方形的边长都 是 ２ 正 方形 Ａ ， Ｂ Ｃ０
绕着点 ０旋转 ， 探求两个正方形 重叠 部分的 面积是 否 发 生变 化． 如变 化 ， 请说明理 由； 不 变 ， 求 出重 叠 部 如 请
条边 围成 的 图形 （ 中 阴 影 部 分 ） 积始 终 是 Ａ ＡＢ 的 图 面 Ｃ
１
分 析 ： 题 极 易 出错 ． 为 一 般 本 因
只会考虑到点 Ｂ和点 ｃ绕点 Ａ 旋
转 所 形 成 的 圆 周 ， 办 法 找 到 边 没
面积的÷ ．
０
ＡＢ所扫过的 图形． 实在线段 Ｂ 其 Ｃ 上距离 点 Ａ 最 近 的点 是 Ｂ 的 中 Ｃ 点 ， 远 的点 是 点 Ｂ和 点 Ｃ， 以线 一 最 所
Ｂ Ｃ于 点 Ｆ， Ｅ ０ 上ＡＣ于 点 Ｇ ．
／ ４
ＡＣ绕点 ０ 旋 转 ９ 。 ， Ｏ时
图２ １ —
１
图２ ２ —
（） 证 ： １求 阴影 部分 四边 形 Ｏ Ｃ Ｆ Ｇ的面积 是ＡＡ Ｃ Ｂ 的面积的÷ ．
小圆滚动中扫过的面积计算公式
小圆滚动中扫过的面积计算公式一、小圆滚动中扫过的面积相关概念。
1. 滚动方式。
- 当小圆在平面上滚动时，有不同的滚动情况。
如果是沿着直线滚动，扫过的面积形状相对规则；如果是沿着曲线滚动，情况会复杂一些。
2. 小圆的特征。
- 小圆的半径r是计算扫过面积的重要参数。
二、小圆沿直线滚动扫过的面积。
1. 完整滚动一周。
- 当小圆完整滚动一周时，它扫过的面积由两部分组成：一个长方形和两个半圆（合起来是一个圆）。
- 长方形的长为小圆滚动一周的距离，也就是小圆的周长C = 2π r，宽为小圆的直径2r。
- 所以长方形的面积S_1=2π r×2r = 4π r^2。
- 两个半圆合起来的圆面积S_2=π r^2。
- 那么小圆滚动一周扫过的总面积S = S_1+S_2=4π r^2+π r^2=5π r^2。
2. 滚动多周。
- 如果小圆滚动n周，扫过的面积就是S = 5π r^2× n。
三、小圆沿曲线滚动扫过的面积（以沿大圆滚动为例）1. 小圆在大圆内部滚动。
- 设大圆半径为R，小圆半径为r。
- 当小圆在大圆内部滚动时，小圆滚动一周扫过的面积是一个环形的一部分。
- 小圆滚动的圆心轨迹半径为R - r。
- 小圆滚动一周扫过的面积S=π((R - r + r)^2-(R - r)^2)=π(R^2-(R - r)^2)=π(2Rr - r^2)。
2. 小圆在大圆外部滚动。
- 小圆滚动的圆心轨迹半径为R + r。
- 小圆滚动一周扫过的面积S=π((R + r + r)^2-(R + r)^2)=π((R + 2r)^2-(R +r)^2)=π(2Rr+ 3r^2)。
利用积分解决曲线旋转体表面积问题的方法
利用积分解决曲线旋转体表面积问题的方法积分法解决曲线旋转体表面积问题在数学中，我们经常遇到需要求解曲线旋转体的表面积问题。
为了解决这一问题，其中一个有效的方法是利用积分。
本文将介绍如何使用积分来解决曲线旋转体表面积问题，并讨论其应用。
【引言】曲线旋转体表面积问题是一种常见的数学问题，它涉及到将曲线绕某个轴旋转一周所形成的体积。
这个问题在实际中有着广泛的应用，例如在建筑设计、物理学和工程学领域。
为了求解这个问题，我们可以使用积分的方法。
【主体部分】一、曲线旋转体表面积的定义曲线旋转体表面积指的是将一条曲线绕某个轴旋转一周所形成的表面积。
我们可以将这个问题看作是通过许多薄圆环的叠加来计算的。
当我们将曲线细分为无数个小段，并将每个小段旋转一周，就可以得到一个非常接近真实表面积的近似值。
通过积分的方法，我们可以将这些小段的表面积相加，并取极限，从而得到曲线旋转体的精确表面积。
二、基本的积分方法要解决曲线旋转体表面积问题，我们需要掌握一些基本的积分方法。
对于给定的曲线，我们可以使用参数方程、极坐标或者直角坐标来描述它。
具体选择哪种方法，取决于问题的具体情况。
然后，我们需要将旋转轴与曲线相交，并确定旋转范围。
这些准备工作完成后，我们就可以通过积分求解表面积了。
三、实例分析为了更好地理解如何使用积分解决曲线旋转体表面积问题，我们来看一个实际的例子。
假设我们需要计算y = x^2 (0 ≤ x ≤ 1) 绕 x 轴旋转一周所形成的表面积。
首先，我们可以使用直角坐标来描述曲线，并将旋转轴选择为x 轴。
接下来，我们需要计算曲线的微元弧长 ds，并将其表示为 dx 的函数。
根据微元弧长的计算公式，我们有 ds = sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx = sqrt(1 +4x^2) dx。
然后，我们可以利用微元弧长 ds 计算微元表面积 dA。
由于曲线绕x 轴旋转，微元表面积 dA 可以表示为dA = 2πy ds。
通过旋转求三角形面积的题目
通过旋转求三角形面积的题目
正文:
求解三角形面积是几何学中的基本问题之一。
通常，我们会使用三角形的底和高来计算面积。
然而，还有一种有趣的方法可以通过旋转三角形来求解其面积。
在这种方法中，我们将三角形绕其中一个顶点旋转，使其成为一个平行于底边的矩形。
然后，我们可以通过计算矩形的面积来得到三角形的面积。
具体步骤如下：
1. 选择一个顶点作为旋转点，使其成为底边的一个端点。
2. 将剩余的两个顶点连接到旋转点，形成一个新的三角形。
3. 将这个新的三角形绕旋转点旋转，直到其底边平行于原始三角形的底边。
4. 旋转后，新的三角形将成为一个矩形，其底边与原始三角形的底边平行，且长度相等。
5. 计算矩形的面积，即底边长度乘以高度，即可得到原始三角形的面积。
这种方法的关键在于选择旋转点。
通常，我们选择离底边最近的顶点作为旋转点，这样可以确保旋转后的矩形面积最大。
如果选择不当，旋转后的矩形可能会超出原始三角形的范围，导致计算出的面积错误。
这种通过旋转求三角形面积的方法虽然不如传统的底高公式直接，但在某些情况下，特别是当三角形的底边很长或高度很短时，可以更快地得到近似的面积值。
此外，这种方法还有助于培养几何直观和观察力，让学生从不同的角度思考几何问题。
总之，通过旋转求解三角形面积是一种有趣且有效的方法，可以拓宽我们的几何学知识，并提供了一种不同的思考角度。
可以在教学中引入这样的问题，让学生体验几何学的乐趣，并培养他们的创造力和解决问题的能力。
旋转曲面的面积公式推导
旋转曲面的面积公式推导要推导旋转曲面的面积公式，我们首先需要了解旋转曲面的定义和特征。
旋转曲面是由一个平面曲线围绕其中一轴旋转一周形成的曲面。
在数学中，我们通常将轴称为旋转轴，将平面曲线称为母线。
一般来说，旋转曲面的面积可以通过将曲面切分成无数个微小的扇形面元来进行计算。
每个小扇形面元的面积可以近似地看作一个扇形的面积。
现在，让我们来具体推导旋转曲面的面积公式：假设我们的旋转曲面是由一个平面曲线y=f(x)（母线）绕x轴旋转一周得到的。
首先，我们将曲线分成n个小段，并将每个小段切分成微小的线段。
第i个小段的长度为Δl_i，小段的起点和终点分别为(x_i,y_i)和(x_i+1,y_i+1)。
现在，我们来推导一个微小线段的扇形面积。
根据旋转曲面的特征，我们可以得知旋转轴到任意点(x_i,y_i)的距离可以表示为r_i=y_i。
因此，我们可以将微小线段的长度Δl_i转化为弧长Δs_i=r_i*Δθ_i。
其中，Δθ_i可以通过微积分中的极限求解方法得到，即Δθ_i = lim(θ_i+1 - θ_i) 当Δx_i -> 0 时根据微积分的定义，我们知道tan(Δθ_i) = Δy_i / Δx_i。
当Δx_i -> 0 时，tan(Δθ_i) 可以近似地等于 dy_i / dx_i，即微分形式。
因此，Δθ_i等于 dy_i / dx_i。
由于我们是围绕x轴旋转的，因此弧长Δs_i可以表示为：Δs_i = r_i * Δθ_i = y_i * dy_i / dx_i然后，我们根据扇形面积的公式，将Δs_i和Δl_i相乘，得到扇形面积的微分形式。
dA_i = (Δs_i * Δl_i) = (y_i * dy_i / dx_i) * Δl_i我们可以将Δl_i表示为微小线段的长度Δx_i。
由于我们是将曲线分成了n个小段，将所有扇形面积的微分形式相加得到曲面的面积。
A = ∑(i=1 to n) dA_i= ∑(i=1 to n) (y_i * dy_i / dx_i) * Δx_i当我们令n趋向于无穷大时，即Δx_i趋向于0时，我们可以将上式改写为定积分的形式：A = ∫(x=a to b) y(x) * sqrt(1 + y'(x)^2) dx这就是旋转曲面的面积公式推导的结果。
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如何求解旋转扫过的面积 我们知道线旋转、面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢？下面跟随我的脚步来领略几例此类问题. 例 1如图，在Rt ABC △中，903C AC ∠==o ，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积
为 ．
析解：本题考查了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识.
根据圆面积公式和勾股定理，得圆环的面积为：
πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.
例2如图，菱形OABC 中，120A =o ∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90o ，则图中由弧BB ′，B ′A ′，弧A ′C ，CB
围成的阴影部分的面积是 ．
析解:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,则AC ⊥OB,
∵120A =o ∠,∴∠AOC=060,
∴∠AOB=21∠AOC=030,∴AD=2
121=AO ,
根据勾股定理得,OD=22AD OA -=23, ∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=
，
090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090 ∴()OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=2136013036039022ππ阴影=31211243⨯⨯--ππ=23π32
-. 例3 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=o ，30CAB ∠=o ，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120o 到11A BC △的位置，则整个旋
转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ） A ．77π338- B ．47π338+ C ．π D ．4π33
+ 析解:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,
∵90ACB ∠=o ，30CAB ∠=o ，2BC =，
∴AB=2BC=4,
∴AC=,32242222=-=-BC AB ∵O H ，分别为边AB AC ，的中点， ∴OB=1OB =2,CH=32
111==AC H C , ∴BH=()7322
2211211=+=+=H C BC BH , 易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为120o ,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即
3601202BH S π=阴影360
1202BO π-=πππ=-3437.
A H
B O
C 1O 1H 1A 1C。