中考数学教学指导：如何求解旋转扫过的面积
求在旋转过程中BC边扫过的面积
【6533】
我们知道三角形的内角和是180°，一个平角也是l80°，请你利用以上两个结论完成下列各题：
（1）如图①，延长三角形ABC的边BC到D，请探究∠ACD、∠A、∠B三者之间的关系，请说明理由。
（2）如图②，已知∠A=40°，∠B=21°，∠C=18°，求∠BDC的大小。
（3）如图③，求∠A+∠8+∠C+∠D+∠E的大小。
A.a B.b C.ab D.无法判断
【6537】
在比例尺是1：5000000的地图上，量得甲乙两城市之间的距离是4.5cm，如果一辆汽车的速度是90千米/时，那么从甲城到乙城需用（ ）小时。
【6538】
动物园售票处规定，一人券2元一张，团体券15元一张（可供10人参观)，六年级（1)班有58人，买门票最少要花（ ）元。
【6534】
下列图形中正方体展开图是（ ）
【6535】
如图，下列说法正确的是
①面积最大的是亚洲；
②南美洲、北美洲、非洲共占面积的50%；
③非洲占总面积1/3
④南美洲的面积是大洋洲面积的2倍
A.①② B.①②③④北美洲
C.①④ D.①②④
【6536】
a和b都是自然数，且0.3a=b，那么a和b的最小公倍数是（ ）
（1）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后所得的△AB'C'；
（2）若每个小正方形的边长为1，AB的长为10，求在旋转过程中BC边扫过的面积。
（π取3.14）
【6532】
搬只要赔5角，结果运完后搬运工共得搬运费280元，问搬运时不小心打碎了几只玻璃瓶？
【6539】
已知x，y（均不为0）能满足1/2x=1/3x，那么x，y成（ ）比例，并且x:y=（ ）。
例说计算旋转扫过的面积
ABC OD计算旋转扫过的面积河北 欧阳庆红我们知道线旋转,面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢,下面跟随我的脚步来领略几例计算旋转扫过的面积问题.例1 (08内江市)如图1，Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点A B C '，，在同一条直线上，在Rt ABC △中，若90C =∠，2BC =，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积为 ．解析: 欲求斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积，已知扇形半径AB=4,只要求出其圆心角∠A AB '度数, ∵Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点旋转得到的,∴△ACB ≌△B C A '',∴,2,4=='=='BC C B AB B A ∴∠A '=030,∴∠A AB '=∠C '+∠A '=01203090=+，∴.31636041202ππ=⨯⨯='A AB S 扇形例 2 （08甘肃兰州）如图2，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．解析：本题考察了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理：圆环的面积为：πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.所以本题填9π.例3 (08宁波)如图3，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由BB '，B A ''，A C '，CB 围成的阴影部分的面积是 ．解析:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',图2ACBCBA图1阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,则AC ⊥OB, ∵120A =∠,∴∠AOC=060,∴∠AOB=21∠AOC=030, ∴AD=2121=AO ,根据勾股定理得,OD=22AD OA -=23, ∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=，090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090∴()OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=2136013036039022ππ阴影=31211243⨯⨯--ππ=23π32-. 例4 (08鄂州)如图4，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ C ） A ．77π338- B ．47π338+ C ．πD ．4π33+ 解析:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，∴AB=2BC=4, ∴AC=,32242222=-=-BC AB∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，∴OB=1OB =2,CH=32111==AC H C , ∴BH=()73222211211=+=+=H C BC BH ,易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为图4AHBOC120,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即3601202BH S π=阴影3601202BO π-=πππ=-3437.。
线段旋转扫过的图形
课题：§线段旋转扫过的面积泉州市经济技术开发区泉州经济技术开发区实验学校黄立内容分析1．课标要求通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索它的基本性质；能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能利用旋转进行弧长和面积的相关计算。
2．教材分析知识层面：旋转的基本性质：对应线段相等，对应角相等，图形中每一个点都绕旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度。
角的动态定义：将一条射线绕着端点旋转一定的角度所形成的图形。
圆的定义的轨迹说：将一条线段绕着一个端点旋转一周所形成的图形。
本课时既承接这三个知识点，又通过图形面积的割补法推导所得线段旋转扫过的面积，也丰富了圆中的计算的相关应用。
能力层面：学生在学习了旋转的基本性质，已经具有观察和操作能力，积累了一定的探索和推理经验，具备进行“探索—猜想—证明”线段旋转扫过的面积的基础。
先通过学生课前分组发现问题，操作观察，思考解决方案，培养学生的创新意识和建模能力；由合情推理得出结论，再演绎推理论证结论的合理性，进一步发展学生推理证明的能力；最后回到课前的问题解决来培养学生的应用意识。
思想层面：线段旋转扫过的面积的探索和论证过程为渗透数学思想方法提供一个发展提高平台：通过对不规则图形的割补为规则图形进行计算，体现化归与转化的思想；通过线段端点在垂足同侧→线段端点在垂足异侧，这个探究过程体现从特殊到一般的思想，有助于培养学生几何直观能力和思维层次性。
3．学情分析（1）学生已经学习了旋转的基本性质，角的动态定义，圆的定义的轨迹说，并且进行了实际操作验证，这为探究线段旋转扫过的面积提供了认知基础。
（2）从学生的学习动机与需要上看，他们有探究新事物的欲望和好奇心，这为探究线段旋转扫过的面积的证明策略及方法提供了情感保障。
（3）学生在探究线段旋转扫过的面积过程中，其认知顺序可能是建构型的。
旋转的基本性质，角的动态定义，圆的定义的轨迹说是其原有知识储备的主要图式，通过对原有图式完全可以建立线段旋转过程的几何模型，进一步探究求面积的割补方法。
三角形旋转解题技巧初中
三角形旋转解题技巧初中篇一：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。
在初中数学中，三角形旋转通常用于解决角度问题和面积问题。
以下是一些初中三角形旋转的解题技巧:1. 了解三角形旋转的性质：三角形旋转后，其顶点的位置不会改变，而边的长度会发生变化。
同时，三角形的面积也可以通过旋转来变化。
2. 利用旋转角求解角度问题：在初中数学中，常常需要求解三角形中的某个角度。
可以利用三角形旋转的性质，将求解的问题转化为已知角度的问题，然后再通过旋转来解决。
3. 利用旋转来解决面积问题：在解决面积问题时，可以利用三角形旋转的性质，将原来的问题转化为面积相等的三角形，然后再通过旋转来解决。
4. 熟悉三角形旋转的基本公式：三角形旋转的基本公式为:旋转角度=原角度 - 旋转角度，旋转角度=旋转角度 + 原角度。
这些公式可以帮助更好地理解和解决三角形旋转的问题。
三角形旋转在初中数学中是一种常见的几何变换，可以帮助我们更好地理解和解决一些问题。
通过不断练习和积累，可以逐渐掌握三角形旋转的解题技巧，提高解题能力。
篇二：三角形旋转是一种重要的几何变换，可以在解题过程中发挥重要作用。
在初中阶段，三角形旋转通常作为求解几何问题的一种技巧来介绍。
下面是一些常见的三角形旋转解题技巧:1. 了解三角形旋转的基本性质：三角形旋转是一个沿固定轴旋转的变换，可以保持不变的性质有面积、周长、对称中心、对称轴等;可以改变的性质有方向、位置、形状等。
2. 利用旋转变换求解几何问题：在初中阶段，常见的利用三角形旋转求解的几何问题有：求解对称轴、对称中心、重心等;将复杂的几何问题转化为简单的代数问题，从而实现化繁为简、化难为易的目的。
3. 掌握常见的旋转变换公式：在三角形旋转中，存在一些常用的旋转公式，如旋转角度、旋转角度与旋转中心的关系、旋转前后面积的变化等。
熟悉这些公式可以更好地理解和解决旋转问题。
4. 实践三角形旋转的技巧：在初中阶段，可以通过一些简单的例子来实践三角形旋转的技巧，如求解三角形的重心、对称中心、对称轴等。
三角形旋转体面积的求法
三角形旋转体面积的求法
在数学中，三角形旋转体是指由一个三角形绕着其中一条边旋转而成的立体图形。
要计算三角形旋转体的表面积，可以使用积分来解决这个问题。
首先，我们需要知道三角形的边长和高。
假设三角形的底边长为a，高为h。
现在，我们将三角形绕底边旋转360度，形成一个旋转体。
这个旋转体的表面积可以通过积分来求解。
首先，我们将三角形绕着底边旋转，得到的旋转体可以看作是由无数个小矩形叠加而成的。
每个小矩形的宽度可以看作是一个微小的长度dx，而高度则是三角形的高h。
因此，每个小矩形的面积可以表示为2πxh，其中x是距离底边的距离。
为了计算整个旋转体的表面积，我们需要对所有这些小矩形的面积进行求和。
因此，旋转体的表面积S可以表示为：
S = ∫(0到a) 2πxh dx.
通过对上式进行积分，我们可以得到三角形旋转体的表面积。
这个方法可以用于任意形状的旋转体，只需要根据具体的形状和旋
转轴来确定积分的上下限和积分式。
通过这种方法，我们可以很方便地求解三角形旋转体的表面积，同时也可以推广到其他形状的旋转体，为解决更加复杂的几何问题
提供了一种有效的工具。
中考数学复习指导：线段旋转所扫边的图形面积
线段旋转所扫边的图形面积线段AB和点O在同一平面内，将线段AB绕点O旋转，在旋转过程中，线段AB所扫过的图形面积该如何计算？笔者认为可从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究．一、旋转中心O在线段AB上如图1，设AO＝a，BO＝b(a≥b)，旋转角度为α．(1)当0°≤α≤180°时，线段AB所扫过的图形如图2中的阴影部分所示，其蕊积为扇形OAA'与扇形OBB'的面积和，故2222S a b a b360360360(2)当180°<α≤360°时，线段AB所扫过的图形如图3中的阴影部分所示，其面积为以AO为半径的圆的面积减去图中空白部分的面积，故二、旋转中心O在线段AB的延长线上如图4，设AO＝a，BO＝b，旋转角度为α．线段AB所扫过的图形如图5中的阴影部分所示，其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故2222360360360S a b a b 三、旋转中心O 不在直线AB 上(1)当线段AB 的两个端点分别是线段AB 上到旋转中心O 的距离最长的点和距离最短的点时，如图6(1)．设AO ＝a ，BO ＝b(a>b)，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图6(2)中的阴影部分所示．因为△OAB ≌△OA'B'，所以阴影部分的面积可转化为其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故2222360360360S a b a b (2)当线段AB 的两个端点不是线段AB 上到旋转中心O 的距离最短的点时，如图7．作OD ⊥AB ，垂足为D ，设OA ＝a ，OB ＝b(a ≥b)，OD ＝h ，∠BOD ＝β，旋转的角度为α．①若0°<α<2β时，线段AB 所扫过的图形如图8中的阴影部分所示，计算线段AB 所扫过的图形面积比较复杂，限于初中学生的知识水平，不需要掌握．②若2β≤α≤360°－2β时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．作OI ⊥A'B'，垂足为I ，则△OAD ≌△OA'I ，所以阴影部分的面积可以用以OA 和OD 为半径的两个扇形的面积差加上一个弓形的面积表示，即22222tan 360360S a b h b ．③若360°－2β<α<360°时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．此时阴影部分的面积以初中学生的知识也不能计算．④若α＝360°时，线段AB所扫过的图形如图11中的阴影部分所示，为一个圆环的面积，故S＝π（a2－h2）．计算线段AB绕点O旋转所形成的图形面积，关键在于准确画出AB旋转所形成的图形．其形状是由线段AB的初始位置、终止位置及点A、B、D（点D是线段AB上到O 点距离最近的点）的运动轨迹所围成的封闭图形．。
中考数学：线段旋转所扫边的图形面积
线段旋转所扫边的图形面积线段AB 和点O 在同一平面内，将线段AB 绕点O 旋转，在旋转过程中，线段AB 所扫过的图形面积该如何计算？笔者认为可从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究．一、旋转中心O 在线段AB 上如图1，设AO ＝a ，BO ＝b(a ≥b)，旋转角度为α．(1)当0°≤α≤180°时，线段AB 所扫过的图形如图2中的阴影部分所示，其蕊积为扇形OAA'与扇形OB B'的面积和，故()2222360360360S a b a b αααππ=+=+(2)当180°<α≤360°时，线段AB 所扫过的图形如图3中的阴影部分所示，其面积为以AO 为半径的圆的面积减去图中空白部分的面积，故二、旋转中心O 在线段AB 的延长线上如图4，设AO ＝a ，BO ＝b ，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图5中的阴影部分所示，其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-三、旋转中心O 不在直线AB 上(1)当线段AB 的两个端点分别是线段AB 上到旋转中心O 的距离最长的点和距离最短的点时，如图6(1)．设AO ＝a ，BO ＝b(a>b)，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图6(2)中的阴影部分所示．因为△OAB ≌△OA'B'，所以阴影部分的面积可转化为其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-(2)当线段AB 的两个端点不是线段AB 上到旋转中心O 的距离最短的点时，如图7．作OD ⊥AB ，垂足为D ，设OA ＝a ，OB ＝b(a ≥b)，O D ＝h ，∠BOD ＝β，旋转的角度为α．①若0°<α<2β时，线段AB 所扫过的图形如图8中的阴影部分所示，计算线段AB 所扫过的图形面积比较复杂，限于初中学生的知识水平，不需要掌握．②若2β≤α≤360°－2β时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．作OI ⊥A'B'，垂足为I ，则△OAD ≌△OA'I ，所以阴影部分的面积可以用以OA 和OD 为半径的两个扇形的面积差加上一个弓形的面积表示，即()22222tan 360360S a b h bαβπβπ=-+-∙．③若360°－2β<α<360°时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．此时阴影部分的面积以初中学生的知识也不能计算．④若α＝360°时，线段AB 所扫过的图形如图11中的阴影部分所示，为一个圆环的面积，故S ＝π（a 2－h 2）．计算线段AB 绕点O 旋转所形成的图形面积，关键在于准确画出AB 旋转所形成的图形．其形状是由线段AB 的初始位置、终止位置及点A 、B 、D （点D 是线段AB 上到O 点距离最近的点）的运动轨迹所围成的封闭图形．。
如何求解旋转扫过的面积
如何求解旋转扫过的面积我们知道线旋转、面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢？下面跟随我的脚步来领略几例此类问题.例 1如图，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．析解：本题考查了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理，得圆环的面积为： πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.例2如图，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由弧BB ′，B ′A ′，弧A ′C ，CB 围成的阴影部分的面积是 ．析解:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,则AC ⊥OB, ∵120A =∠,∴∠AOC=060,∴∠AOB=21∠AOC=030,∴AD=2121=AO , 根据勾股定理得,OD=22AD OA -=23, ∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=，090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090∴()OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=2136013036039022ππ阴影=31211243⨯⨯--ππ=2π3例3 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）A．7π3-B．4π3+C ．πD．4π3+析解:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =， ∴AB=2BC=4,∴AC=,32242222=-=-BC AB ∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，∴OB=1OB =2,CH=32111==AC H C ,∴BH=()73222211211=+=+=H C BC BH ,易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为120,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即3601202BH S π=阴影3601202BO π-=πππ=-3437.AH BOC 1O 1H1A1C。
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如何求解旋转扫过的面积
我们知道线旋转、面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢？下面跟随我的脚步来领略几例此类问题.
例 1如图，在Rt ABC △中，903C AC ∠== ，．将其绕B 点顺时针旋转一
周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为 ．
析解：本题考查了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理，得圆环的面积为： πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.
例2如图，菱形OABC 中，120A = ∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90 ，则图中由弧BB ′，B ′A ′，弧A ′C ，CB 围成的阴影部分的面积是 ．
析解:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,则AC ⊥OB, ∵120A = ∠,∴∠AOC=060,
∴∠AOB=21
∠AOC=030,∴AD=2
121=AO , 根据勾股定理得,OD=22AD OA -=2
3, ∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=
，090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090
∴()
OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=
21360130360
39022
ππ阴影
=3121
1243⨯⨯--ππ=2π3-例3 如图，Rt ABC △中，90ACB ∠= ，30CAB ∠= ，2BC =，O H ，分别为边
AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120 到11A BC △的位置，则整个旋
转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A
．7π3 B
．4π3+
C ．π
D
．4
π3
+析解:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,
∵90ACB ∠= ，30CAB ∠= ，2BC =， ∴AB=2BC=4,
∴AC=,32242
2
2
2
=-=-BC AB
∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，
∴OB=1OB =2,CH=32
1
11==AC H C ,
∴BH=()7322
2211211=+=+=H C BC BH ,
易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为120 ,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即
3601202BH S π=阴影
360
1202BO π-
=ππ
π=-3437.
A
H B
O
C 1O 1H
1A
1C。