九年级数学上册例析如何求解旋转扫过的面积(人教版)

人教版初三数学旋转模型(含详细解析)

∴F'、B、E、C在一条直线上
又∵∠1＋∠2＋∠EAB＝90°
∴∠3＋∠2＋∠EAB＝90°
∴∠F'AE＋∠2＝90°
又∵∠AFD＋∠1＝90°
∴∠AF'B＋∠1＝90°
∵∠1＝∠2
∴∠F'AE＝∠AF'B
∴AE＝F'E＝F'B＋BE＝FD＋BE
例6、如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与CB重合，BP到达BP'处，AP到达CP'处，若AP的延长线正好经过P'，求∠APB的度数。
4．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D、E在BC上，∠DAE=45°，求证：．
5、如图正方形ABCD中，，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF的面积．
【分析】：由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。
【解析】：把△ADF绕点A顺时针旋转90°，则点D转到了点B的位置，点F转到了点F'的位置，根据旋转的性质得：
∠3＝∠1，F'B＝FD，∠AF'B＝∠AFD
∵ABCD为正方形
∴∠D＝∠ABF'＝90°
∴∠2＝∠4
由∠1＝∠2＋∠3
∴∠1＝∠4＋∠3＝60°
（2）同理可得：∠GMH＝∠MGH＝60°
∴△GMH是等边三角形
观察思考：旋转是几何变换中的基本变换，它一般先对给定的图形或其中一部分，通过旋转，改变位置后得新组合，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系，进而揭示条件与结论之间的内在联系，找出证题途径。
∴△AEP中，AE＝PE

初三数学旋转的题解题方法

初三数学旋转的题解题方法
解题方法如下：
1. 首先，理解旋转的概念。

在数学中，旋转是指将一个图形或点绕某个中心点旋转一定角度得到的新图形或点。

2. 确定旋转的中心点。

题目中通常会给出旋转的中心点，可以根据题意来确定中心点的位置。

3. 确定旋转的角度。

题目中通常会给出旋转的角度，可以根据题意来确定旋转的角度。

4. 根据旋转的中心点和角度，确定旋转后的新图形或点的位置。

5. 利用几何知识和旋转的特性，解题。

根据题目要求，可以利用旋转的特性来求解问题。

需要注意的是，解题过程中要注意几何知识的灵活应用，学会将问题转化为几何图形的性质和关系，通过旋转将问题简化为解决直角三角形或相似三角形的问题。

另外，需要熟练掌握旋转的基本性质，例如旋转角度的正负、逆时针旋转和顺时针旋转等。

例说计算旋转扫过的面积

ABC OD计算旋转扫过的面积河北欧阳庆红我们知道线旋转,面在平面上旋转都扫过一定面积,如何计算图形旋转扫过的面积呢,下面跟随我的脚步来领略几例计算旋转扫过的面积问题.例1 (08内江市)如图1，Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点顺时针旋转而得，且点A B C '，，在同一条直线上，在Rt ABC △中，若90C =∠，2BC =，4AB =，则斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积为．解析: 欲求斜边AB 旋转到A B '所扫过的扇形面积，已知扇形半径AB=4,只要求出其圆心角∠A AB '度数, ∵Rt A BC ''△是由Rt ABC △绕B 点旋转得到的,∴△ACB ≌△B C A '',∴,2,4=='=='BC C B AB B A ∴∠A '=030,∴∠A AB '=∠C '+∠A '=01203090=+，∴.31636041202ππ=⨯⨯='A AB S 扇形例 2 （08甘肃兰州）如图2，在Rt ABC △中，903C AC ∠==，．将其绕B 点顺时针旋转一周，则分别以BA BC ，为半径的圆形成一圆环．则该圆环的面积为．解析：本题考察了圆的有关计算，勾股定理，旋转等方面的知识. 根据圆面积公式和勾股定理：圆环的面积为：πAB 2－πBC 2=π(AB 2－BC 2)= πAC 2 =π×32 =9π.所以本题填9π.例3 (08宁波)如图3，菱形OABC 中，120A =∠，1OA =，将菱形OABC 绕点O 按顺时针方向旋转90，则图中由BB '，B A ''，A C '，CB 围成的阴影部分的面积是．解析:本题主要考查扇形面积的计算和菱形的性质,连接BO,O B ',图2ACBCBA图1阴影部分的面积转化为扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-三角形BOC 面积-三角形O A B ''面积=扇形B BO '面积-扇形A CO '面积-菱形OABC 的面积,欲求扇形B BO '面积,需要计算OB 的长,于是连接AC,则AC ⊥OB, ∵120A =∠,∴∠AOC=060,∴∠AOB=21∠AOC=030, ∴AD=2121=AO ,根据勾股定理得,OD=22AD OA -=23, ∴OB=3,∵旋转角∠A AO '=，090∴∠A CO '=，030∴∠B BO '=，090∴()OB AC S ⨯⨯-⨯-⨯=2136013036039022ππ阴影=31211243⨯⨯--ππ=23π32-. 例4 (08鄂州)如图4，Rt ABC △中，90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，O H ，分别为边AB AC ，的中点，将ABC △绕点B 顺时针旋转120到11A BC △的位置，则整个旋转过程中线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为（ C ） A ．77π338- B ．47π338+ C ．πD ．4π33+ 解析:本题考查的知识点有扇形面积的计算,中位线定理和直角三角形的有关性质等,连接BH 和1BH ,∵90ACB ∠=，30CAB ∠=，2BC =，∴AB=2BC=4, ∴AC=,32242222=-=-BC AB∵O H ，分别为边AB AC ，的中点，∴OB=1OB =2,CH=32111==AC H C , ∴BH=()73222211211=+=+=H C BC BH ,易证△HOB ≌△B O H 11,∴线段OH 所扫过部分的面积（即阴影部分面积）为圆心角为图4AHBOC120,半径分别为7和3的两扇形的面积差,即3601202BH S π=阴影3601202BO π-=πππ=-3437.。

中考数学复习指导：例析线段旋转扫过的图形面积

例析线段旋转扫过的图形面积——兼谈一个基本图形的结构本文对于旋转中心O不在线段AB上，并且旋转角α为0°<α< 2β与360°－2β<α< 360°的情况进行再探讨，给出初中生也能理解的方法，并谈谈对一个基本图形的结构启示，以供读者参考．一、线段旋转的约定与问题解决如图1，将线段AB绕点O旋转到A'B'，设OA＝a，OB＝b(a≥b) ，OD＝h，∠BOD ＝β，旋转角度为α．情况1 当旋转角α的范围为0°<α<2β时．分析如图1，线段AB在旋转的过程中，应该分别考虑线段BD和线段AD所扫过的不同图形的面积．这里需要注意的是，不能将二者简单相加．DD'所围考察图1，可知上述两条线段都扫过了同一个区域，即由线段DP、D'P以及成的部分，此区域形状虽为不规则图形，但我们很容易将其转化为一个四边形与一个扇形面积的差．为方便起见，我们把这部分区域的面积表示为S PDD'，则有1于是得到此时线段AB扫过部分的面积为：情况2 当旋转角α的范围为360°－2β<α<360°时．分析将线段AB绕点O顺时针旋转α°到A'B'位置，如图2．依照上述方法，我们将线段AB分成AC、CD、DB三段来考察．由图2可知，AC扫过了一个宽度为b－a，圆心角为a的圆环的一部分；其中CD、DB两线段始终在一个宽度为a－h的圆环内扫，但此圆环中有部分区域未被扫到，即S PDD'．如上所述，我们考虑求出S PDD'，不过现在的∠DOD'＝360°－α，不妨记以a－h为宽度的圆环面积为S中环，故得此时线段AB扫过部分的面积为：23二、基本图形解构至此，我们利用初中数学知识得到了上述两类线段扫过面积的求法．同时，值得注意的是，在以上两种情况下，我们都需要用到一个对角互补的筝形，如图3．其基本结构所包含的数学形态颇多，笔者曾经刊文指出这一基本模型的变化方式，现在看来，此图又可解构为一个扇形与一个由两条线段和一条弧所围成的封闭图形；或者整体地看，DP 、DP'是以O 为圆心，OD 为半径的圆的两条切线段，计算S PDD'这个封闭图形的面积只要结合全等、三角函数、扇形面积公式即可解决．由此联想，此图在数学教学中大有用武之地．鉴于此，笔者尝试将该图从不同角度的解构做一梳理、总结．解构1 角平分线定理与逆定理教学用图（如图4）．解构2 分成两个等底等腰三角形（如图4)．解构3 延长一组对边后形成一对相似三角形（如图5）．4解构4 分割后旋转形成等腰三角形（如图6）．解构5 分别以O ，P 为圆心，以DP ，OD 为半径在图形内部画弧可分别得到两个扇形（如图7）．三、一点感想基本图形的教学是初中几何教学中的重点，也是个难点，笔者以为，在初三首轮复习阶段，尤其是几何模块的复习教学过程中，对这样的基本图形进行解构式的教学非常重要，再辅以实例，可以使学生获得解一题、通一类、会一片的效果．正如波利亚所说：“拿一个有意义但又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域．”。

人教课标版初中数学九年级上册第二十二章23.1.2图形的旋转利用旋转解决问题教案

人教课标版初中数学九年级上册第二十二章23.1.2图形的旋转利用旋转解决问题教案《利用旋转解决问题》教案教学目标:1.巩固旋转的性质。

2.利用旋转构全等三角形，转移角和线段解决问题。

教学重点：利用旋转构全等解决几何问题。

教学难点：如何旋转构全等三角形解决几何问题。

教学过程：一．旋转的性质回顾二．利用旋转解决问题例1：如图等腰RT △ABC 中，∠C=90°，∠CPB=135°，CP=2，BP=3，求AP 的长。

（1）组织学生分析思考：① 由已知条件你能想到哪些隐含条件？ ② 所给条件能直接求出AP 的长吗？如何求AP 的长？启发：①利用什么方法改变线段和角的位置来求AP 的长？（2）教师组织学生利用旋转构全等三角形求AP 的长（略）（3）小结归纳： E FBCAOD旋转的性质：1.对应点到旋转中心的距离相等。

2.对应点到旋转中心连线的夹角都是旋转角。

3.旋转前后图形全等。

方法小结：1.如图，正方形ABCD 中，点P 为正方形ABCD内一点，已知BP=2，CP=3，∠BPC=135°求DP.2.如图，P 为等边△ABC 内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB.3.如图，两块三角板如图摆放，D 为BC 中点，E,F 分别在AB,AC 上，BE,CF,EF 间有何数量关系？并证明。

4.如图，△ABC 中，以AB,AC 为直角边向外作等腰RT △ABD 和等腰RT △ACE ，M 为BC 的中点，求证：DE=2AMABCDPFNABDEMDABC。

中考数学：线段旋转所扫边的图形面积

线段旋转所扫边的图形面积线段AB 和点O 在同一平面内，将线段AB 绕点O 旋转，在旋转过程中，线段AB 所扫过的图形面积该如何计算？笔者认为可从点与线段的位置及旋转的角度等几个方面研究．一、旋转中心O 在线段AB 上如图1，设AO ＝a ，BO ＝b(a ≥b)，旋转角度为α．(1)当0°≤α≤180°时，线段AB 所扫过的图形如图2中的阴影部分所示，其蕊积为扇形OAA'与扇形OB B'的面积和，故()2222360360360S a b a b αααππ=+=+(2)当180°<α≤360°时，线段AB 所扫过的图形如图3中的阴影部分所示，其面积为以AO 为半径的圆的面积减去图中空白部分的面积，故二、旋转中心O 在线段AB 的延长线上如图4，设AO ＝a ，BO ＝b ，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图5中的阴影部分所示，其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-三、旋转中心O 不在直线AB 上(1)当线段AB 的两个端点分别是线段AB 上到旋转中心O 的距离最长的点和距离最短的点时，如图6(1)．设AO ＝a ，BO ＝b(a>b)，旋转角度为α．线段AB 所扫过的图形如图6(2)中的阴影部分所示．因为△OAB ≌△OA'B'，所以阴影部分的面积可转化为其面积为扇形OAA'减去扇形OBB'的面积，故()2222360360360S a b a b αααππ=-=-(2)当线段AB 的两个端点不是线段AB 上到旋转中心O 的距离最短的点时，如图7．作OD ⊥AB ，垂足为D ，设OA ＝a ，OB ＝b(a ≥b)，O D ＝h ，∠BOD ＝β，旋转的角度为α．①若0°<α<2β时，线段AB 所扫过的图形如图8中的阴影部分所示，计算线段AB 所扫过的图形面积比较复杂，限于初中学生的知识水平，不需要掌握．②若2β≤α≤360°－2β时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．作OI ⊥A'B'，垂足为I ，则△OAD ≌△OA'I ，所以阴影部分的面积可以用以OA 和OD 为半径的两个扇形的面积差加上一个弓形的面积表示，即()22222tan 360360S a b h bαβπβπ=-+-∙．③若360°－2β<α<360°时，线段AB 所扫过的图形如图9中的阴影部分所示．此时阴影部分的面积以初中学生的知识也不能计算．④若α＝360°时，线段AB 所扫过的图形如图11中的阴影部分所示，为一个圆环的面积，故S ＝π（a 2－h 2）．计算线段AB 绕点O 旋转所形成的图形面积，关键在于准确画出AB 旋转所形成的图形．其形状是由线段AB 的初始位置、终止位置及点A 、B 、D （点D 是线段AB 上到O 点距离最近的点）的运动轨迹所围成的封闭图形．。

中考数学复习指导：例析线段旋转扫过的图形面积

例析线段旋转扫过的图形面积——兼谈一个基本图形的结构本文对于旋转中心O不在线段AB上，并且旋转角α为0°<α< 2β与360°－2β<α< 360°的情况进行再探讨，给出初中生也能理解的方法，并谈谈对一个基本图形的结构启示，以供读者参考．一、线段旋转的约定与问题解决如图1，将线段AB绕点O旋转到A'B'，设OA＝a，OB＝b(a≥b) ，OD＝h，∠BOD ＝β，旋转角度为α．情况1 当旋转角α的范围为0°<α<2β时．分析如图1，线段AB在旋转的过程中，应该分别考虑线段BD和线段AD所扫过的不同图形的面积．这里需要注意的是，不能将二者简单相加．DD'所围考察图1，可知上述两条线段都扫过了同一个区域，即由线段DP、D'P以及成的部分，此区域形状虽为不规则图形，但我们很容易将其转化为一个四边形与一个扇形面积的差．为方便起见，我们把这部分区域的面积表示为S PDD'，则有1于是得到此时线段AB扫过部分的面积为：情况2 当旋转角α的范围为360°－2β<α<360°时．分析将线段AB绕点O顺时针旋转α°到A'B'位置，如图2．依照上述方法，我们将线段AB分成AC、CD、DB三段来考察．由图2可知，AC扫过了一个宽度为b－a，圆心角为a的圆环的一部分；其中CD、DB两线段始终在一个宽度为a－h的圆环内扫，但此圆环中有部分区域未被扫到，即S PDD'．如上所述，我们考虑求出S PDD'，不过现在的∠DOD'＝360°－α，不妨记以a－h为宽度的圆环面积为S中环，故得此时线段AB扫过部分的面积为：23二、基本图形解构至此，我们利用初中数学知识得到了上述两类线段扫过面积的求法．同时，值得注意的是，在以上两种情况下，我们都需要用到一个对角互补的筝形，如图3．其基本结构所包含的数学形态颇多，笔者曾经刊文指出这一基本模型的变化方式，现在看来，此图又可解构为一个扇形与一个由两条线段和一条弧所围成的封闭图形；或者整体地看，DP 、DP'是以O 为圆心，OD 为半径的圆的两条切线段，计算S PDD'这个封闭图形的面积只要结合全等、三角函数、扇形面积公式即可解决．由此联想，此图在数学教学中大有用武之地．鉴于此，笔者尝试将该图从不同角度的解构做一梳理、总结．解构1 角平分线定理与逆定理教学用图（如图4）．解构2 分成两个等底等腰三角形（如图4)．解构3 延长一组对边后形成一对相似三角形（如图5）．4解构4 分割后旋转形成等腰三角形（如图6）．解构5 分别以O ，P 为圆心，以DP ，OD 为半径在图形内部画弧可分别得到两个扇形（如图7）．三、一点感想基本图形的教学是初中几何教学中的重点，也是个难点，笔者以为，在初三首轮复习阶段，尤其是几何模块的复习教学过程中，对这样的基本图形进行解构式的教学非常重要，再辅以实例，可以使学生获得解一题、通一类、会一片的效果．正如波利亚所说：“拿一个有意义但又不复杂的题目去帮助学生发掘问题的各个方面，使得通过这道题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域．”。

人教2011课标版初中数学九年级上册第二十二章23.1.2图形的旋转-利用旋转解决问题教案

（3）空间想象能力的培养：学生在面对复杂的旋转问题时，空间想象能力不足，难以快速找到解题思路；
突破方法：利用多媒体教学手段，如动画、立体模型等，帮助学生建立空间观念，提高空间想象能力。
（4）旋转在实际问题中的应用：学生难以将旋转知识应用于实际问题中，缺乏解决实际问题的能力；
突破方法：结合生活实例，设计实际应用题，让学生在实际操作中学会运用旋转知识解决问题。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“图形旋转在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
此外，在实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们动手动脑，提高了他们的参与度。但在小组讨论过程中，我发现有些学生并没有充分发表自己的观点，这可能是因为我在引导讨论时，没有给予他们足够的空间和时间。因此，在今后的教学中，我要注意调整讨论的节奏，鼓励更多学生参与到讨论中来。
在学生小组讨论环节，我对各组的成果分享进行了点评，并及时给予了反馈。但我意识到，在点评过程中，我可能过于注重结果，而忽视了学生在讨论过程中的思考。在今后的教学中，我应该更加关注学生的思考过程，引导他们如何分析问题、解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调旋转中心、旋转角以及旋转前后图形的关系。对于难点部分，如旋转后图形的求解，我会通过具体例子和步骤来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与图形旋转相关的实际问题，如旋转后图形的面积和周长计算。

九年级数学上册例析如何求解旋转扫过的面积(人教版)

人教版初三数学旋转模型(含详细解析)

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例说计算旋转扫过的面积

中考数学复习指导：例析线段旋转扫过的图形面积

人教课标版 初中数学九年级上册第二十二章23.1.2图形的旋转利用旋转解决问题教案

中考数学：线段旋转所扫边的图形面积

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人教2011课标版初中数学九年级上册第二十二章23.1.2图形的旋转-利用旋转解决问题教案

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