83-84体积、旋转曲面面积
新概念一Lesson 83-84 ppt课件
电影
film n.胶卷，底片
Please give me a roll of film. 请给我一卷胶卷。
film v.拍电影
I have filmed . 我拍过电影。
★ beautiful adj.
adj. 美丽的，漂亮的
a beautiful flower 美丽的花 a beautiful woman 美丽的女人
★cinema n.电影院
cinthe cinema tomorrow.（movie theater <美语>电影院） 明天我们打算去电影院。
film n.电影
a film star 电影明星
see the film 看电影
make a film拍
London 伦敦
Tokyo 东京
Washington 华盛顿 Sydney 悉尼
巴黎凯旋门
(Triumphal Arch [trai'Λmfel a:k])
• 凯旋门坐落在巴黎西北面的戴高乐 广场,12条大街以它为中心放射形 散开,因此,戴高乐广场也称星际广 场。 凯旋门的建造,始于古罗马。 1806年2月22日,拿破仑一世在欧斯 代尔利茨战役中打败了奥俄联军, 凯旋回国,经过星际广场,在国民的 欢呼声中,...
Lesson 83-84
1.Who calls at Carol`s house? 2.What are they doing? 3.Has Tom had his lunch? 4.When did he have his lunch? 5.我已经吃过我的午饭了 6.我已经喝过咖啡了。 7.我已经度过假了。 8.乱七八糟，请原谅。 9.我们正在整理行李。 10.你们真幸运！
圆柱的体积
一个圆柱形状的零件,
底面半径5厘米,高8厘
米。这个零件的体积
是多少立方厘米?
3.14×5² =78.5（平方厘米）
78.5×8=628（立方厘米）
答：这个零件的体积是628立
方厘米。
江苏省电化教育馆制作
练一练
第1题
先看图说说每个圆柱中的 已知条件，再动笔算一算。
江苏省电化教育馆制作
练一练
第2题
自己读题，理解题意。
电饭煲的“容积”是什么意思？ 为什么要从里面量电饭煲的 底面直径和高？
江苏省电化教育馆制作
圆柱的体积
江苏省电化教育馆制作
序言
本编为大家提供各种类型的PPT课件，如数学课件、语文课件、英语 课件、地理课件、历史课件、政治课件、化学课件、物理课件等等，想了 解不同课件格式和写法，敬请下载!
Moreover, our store provides various types of classic sample essays, such as contract agreements, documentary evidence, planning plans, summary reports, party and youth organization materials, reading notes, post reading reflections, essay encyclopedias, lesson plan materials, other sample essays, etc. If you want to learn about different formats and writing methods of sample essays, please stay tuned!
数学立体几何知识点
数学立体几何知识点数学立体几何知识点立体几何是高中数学知识点中重要内容之一，也是每年高考中都会占有一定的分值，不管是在选择题、填空题还是应用大题，都是必出的题型，而且出题难度系数较大。
下面是店铺搜集整理的数学立体几何知识点，希望对你能有帮助。
数学立体几何知识点11.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。
能够用斜二测法作图。
2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。
3.直线与平面①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。
②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。
③直线与平面垂直的证明方法有哪些？④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.4.平面与平面(1)位置关系：平行、相交，（垂直是相交的一种特殊情况）(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。
(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。
尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。
(4)两平面间的距离问题点到面的距离问题(5)二面角。
二面角的平面交的作法及求法：①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。
③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点，两个面的交线不容易找到时用此法数学立体几何知识点2立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
03-03 面积坐标及体积坐标
§3-3 面积坐标及体积坐标在研究高次单元时，仍采用直角坐标多项式的位移函数，求解时非常繁杂，为了简化计算，多采用局部坐标。
在这一节里介绍一种三角形面积坐标和体积坐标。
一、面积坐标1. 定义● 在如图3-15所示的三角形单元中，任一点p 的位置，它在直角坐标系中可用坐标值(x,y)来确定。
● 如果连接pi 、pj 、pm 则形成三个小三角形pjm 、pmi 、pij ，当x,y 值确定后，则三个小三角形的面积也就确定了。
反之，当三个小三角形面积确定后，p 点的位置也就确定了。
由此可见，三角形单元中任意一点p 的位置，除了用直角坐标x,y 确定外，还可以用p 点与三个节点所形成的三个小三角形的面积来确定。
● 也就是说，三具小三角形的面积与P 点的位置具有一一对应关系，可以做为坐标使用。
以△i 、△j 、△m 分别表示与i 、j 、m 三个节点相对的pjm 、pmi 、pij 三个小三角形的面积，令Li 、Lj 、Lm 分别表示三个小三角形面积与三角形单元面积△的比值，即∆∆=i i L ∆∆=jj L ∆∆=m m L (3-74)则这三个比值就称为三角形单元中p 点的面积坐标。
显然，面积坐标有下面的特性：（1） 三个面积坐标并不是互相独立的。
由于 i j m ∆+∆+∆=∆ 所以1=++m j i L L L (3-75)其中任意一个面积坐标可以用另两个面积坐标来表示。
（2） 面积坐标是一种局部坐标这里所引用的面积坐标，只限于用在一个三角形单元之内，在该三角形之外则无定义，因而是一种局部坐标。
而以前所用的直角坐标系则是一种整体坐标，即通用于整个变形体。
（3） 特殊的点线坐标 根据面积坐标定义，pi pi i i i i h mj h L h h mj∆===∆图3-15 三角形面积坐标● 平行于jm 边的任一直线上所有各点的面积坐标Li 都相等，在图3-15中可看出，在平行于jm 边的任一直线上所有各点与jm 边所构成的小三角形面积相等，所以该直线上所有各点的面积坐标Li 都相等，其值等于该直线至jm 边的距离与节点i 至jm 边的距离的比值。
旋转曲面面积与旋转体体积的积分公式
旋转曲面面积与旋转体体积的积分公式
旋转体表面积的公式S=∫2πf(x)*(1+y'²)dx，体积公式为Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。
在x轴上取x→x+△x【△x→0】区域，该区域绕x轴旋转一周得到的旋转曲面的面积，即表面积积分元。
等于以f(x)为半径的圆周周长×弧线长度，即它可以看做是沿x轴方向上，将△x宽度的圆环带剪断，得到一个以圆环带周长为长，宽为x→x+△x弧线长度的矩形的面积。
以f(x)为半径的圆周长=2πf(x)，对应的弧线长=√(1+y'^2)△x，所以其面积=2πf(x)*√(1+y'^2)△x
这就得到表面积积分元，所以，表面积为∫2πf(x)*(1+y'^2)dx。
将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x，则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱，该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx*△x，该圆环柱的高为f(x)，所以当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πx*f(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。
1。
新概念英语第一册lesson83-84课件
I had lunch an hour ago. She went to London last year.
一般现在时& 一般过去时 & 现在完成时 & 现在进行时
1. 一般过去时：表示在过去的同某个时间做过的事情或 存在的状态。I did my homework last night.
2. 现在完成时：动作发生在过去，但对现在造成了影响
leave come go arrive 可以代替一般将来时 We’re tomorrow Tom and Ileaving are going to have a
I’m coming soon. holiday. She’s going My father is arriving
We’re going to leave tomorrow. = We’re leaving tomorrow. 当动词是leave, go, come, arrive等时，可 以用现在进行时表将来。 I’m coming. 他今天晚上就到 He’s arriving tonight.
现在完成时vs一般过去时时态用法动词形式时间状语标志词例句现在完已经发生的事对现在的影响havehas动词的过去分词alreadyjust用于肯定ivealreadyhadlunchhaveyouhadsometea
洗澡 在楼上 快准备好了 请抽烟 来杯威士忌 在7点钟 吃晚餐 去饭店
烤牛肉和土豆
Lesson 81 短语 1.Have a bath
否定式: 主语 + 助动词have/has + not + 动词的过去分词.
英语小贴士
already & yet
1. already “已经”，用于肯定、 2. yet 用于疑问、否定句的句尾，含有“仍然”， “还没有”之意。 Have you done it yet? ---- Yes, I have already done it.
§3旋转曲面的面积
2 R
3
例 12 求以半径为 R的圆为底、平行且等于底
圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.
解 取坐标系如图
y
底圆方程为
x2 y2 R2,
o x Rx
垂直于x 轴的截面为等腰三角形
截面面积 A( x) h y h R2 x2
立体体积
V
R
h R
R2 x2dx 1 R2h. 2
• 习题7.3 3，5，6
63a3.
2 平行截面面积为已知的立体的体积
如果一个立体不是旋转体，但却知道该立
体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这 个立体的体积也可用定积分来计算.
A( x) 表示过点 o a x 且垂直于x 轴
x x dx
b
x
的截面面积， A( x)为x 的已知连续函数
dV A( x)dx,
立体体积 V
习题7.Байду номын сангаас 1（3），2
作业
b
A( x)dx.
a
例 11 一平面经过半径为 R的圆柱体的底圆中
心，并与底面交成角 ，计算这平面截圆柱体所
得立体的体积.
解 取坐标系如图
R
底圆方程为 x2 y2 R2
o
y
x
R
垂直于x 轴的截面为直角三角形
x
截面面积 A( x) 1 (R2 x2 )tan ,
2
立体体积 V 1 R (R2 x2 )tandx 2 R3 tan .
绕x轴旋转一周,得到旋转 o
x x dx
x
曲面.
S [ f ( x) f ( x x)] x2 y2
[2 f ( x) y]
1
0-4,5旋转曲面的面积 物理应用 1
§4 旋转曲面的面积(一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式．(二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式．基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．————————————————————一微元法用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量是一个与某变量(设为x)的变化区间有关的量，且关于区间具有可加性. 我们就设想把分成n个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐，然后就寻求相应于这个小区间的部分量的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到的形如近似表达式（其中为上的一个连续函数在点x处的值，为小区间的长度),那么就把称为量的元素并记做，即以量的元素作为被积表达式在上进行积分，就得到所求量的积分表达式：例如求由两条曲线 (其中)及直线所为成图形的面积A.容易看出面积元素于是得平面图形的面积为采用微元法应注意一下两点：1）所求量关于分布区间具有代数可加性.2）对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：二旋转曲面的面积§5 定积分在物理中的某些应用(一) 教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法．(二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率．基本要求：(1)要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(2) 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(三) 教学建议：要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．——————————————————————————1 变力沿直线所作的功从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体移动了距离s时,力F 对物体所作的功是如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功例1把一个带电量为的点电荷放在轴的原点处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为的地方，那么电场对它的作用力的大小为（是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从处沿轴移动到处时，计算电场力对它所做得功.解在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，当单位正电荷从移动到时，电场力对它所作的功近似于，从而得功元素为于是所求的为例2 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
2 3
2 3
2 3
x a cos 3 t 3 y a sin t
(0 t 2)
a
o
a x
2016/10/5
福州大学数学与计算机学院
22
由对称性,有
2 S 2 2y 1 yx dx 0 a
4 a sin3 t 3a cos t sin tdt 12 2 a . 5
解 A 2 a(1 cos t ) x ' y ' dt 0 2 t 2 2 2a (1 cos t ) | sin | 0 2 64 2 a 3
2 2
福州大学数学与计算机学院
2
21
例 3 求星形线 x y a (a 0) 绕 x 轴旋转 构成旋转体的表面积.
思考题解答
xy 4 y 1
立体体积 交点 ( 4,1),
y
y 1
o
x
Vy
1
x 2dy
2016/10/5
16 16 dy 16. 2 1 y y 1 福州大学数学与计算机学院
15
第四节 旋转曲面面积
2016/10/5
圆台
6
1、绕 x 轴旋转所得旋转体体积
如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直 线 x a 、 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f ( x)
x [a , b ]
在[a , b]上任取小区 间[ x , x dx ] ，
o
x x dx
x
2016/10/5
福州大学数学与计算机学院
17
通过 x 轴上的点 x 与 dx 分别作垂直于 x 轴的平 面，它们在旋转曲面上截下一条狭带．当 dx 很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面 积，取其为面积元素，
y
y f ( x)
dS 2 f ( x) 1 f '2 x dx
圆锥体的体积
2
P
r
o
h
x
r x hr 2 r V x dx 2 . 0 3 h 3 0 h
h
2
2
3 h
2016/10/5
福州大学数学与计算机学院
10
例 2 求星形线 x y a ( a 0) 绕 x 轴旋转 构成旋转体的体积.
R
R
2
x R x 1 2 2 dx R x
2 2
2
4 R
2016/10/5
福州大学数学与计算机学院
20
例2、求摆线 x a (t sin t ) (0 t 2 ) y a (1 cos t ) 绕x轴旋转一周所得旋转体的表面积。
2016/10/5
'2 '2
x x t , t , 定义， y y t
2016/10/5
福州大学数学与计算机学院
19
例 1 、求半径为R的球面面积。
解：球面可看作由半圆y R x
2 2
( R x R )绕x轴旋转而成，于是
A 2
V a A( x )dx
2016/10/5 福州大学数学与计算机学院
b
A(x)
2
例1
求以半径为 R 的圆为底、平行且等于底圆
半径的线段为顶、高为 h 的正劈锥体的体积.
解
取坐标系如图 底圆方程为
y
o x 2 y 2 R2 , 垂直于x 轴的截面为等腰三角形
立体体积 V h
2016/10/5
第三节
体积
一、平行截面面积为已知的 立体的体积 二、旋转体的体积
2016/10/5
1
一、平行截面面积为已知的立体的体积
设 为三维空间中的一立体，它夹在 x＝a 和 x ＝ b （ a<b ）这两个平行平面之间，在任意一点 x [a , b]处作垂直于 x 轴的平面去截此几何体， 它截得的截面面积显然是 x 的函数， 记为 A （x ） ， 称为 的截面面积函数。如果 A(x)是[a,b]上的 （R ）可积函数，则该几何体的体积 V 等于：
11
福州大学数学与计算机学院
2、绕 y 轴旋转所得旋转体体积
类似地，如果旋转体是由连续曲线
x ( y )、 直线 y c 、y d 及 y 轴所围成
的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体，体
y
积为
d
V [ ( y)] dy
2 c
2016/10/5 福州大学数学与计算机学院
2
a 2 ( t sin t )2 a sin t dt
0
a
2016/10/5
3
0
2
( t sin t )2 sin t dt 6 3a 3 .
福州大学数学与计算机学院 14
思考题
求曲线 xy 4 ， y 1 ， x 0 所围成 的图形绕 y 轴旋转构成旋转体的体积.
o
x x dx
x
旋转曲面的面积为
S 2 f x 1 f
a
2016/10/5
b
'2
x dx
18
福州大学数学与计算机学院
若曲线由参数方程
且 y t 0, 则由弧微分只是推知曲线 C 绕 x 轴 旋转所得曲面的面积
S 2 y t x t y t dt
绕 x 轴旋转一周所得的旋转体的体积为
b
V a [ f ( x )]2 dx
2016/10/5
福州大学数学与计算机学院
8
例 1 连接坐标原点O 及点P ( h, r ) 的直线、直线
x h 及x 轴围成一个直角三角形．将它绕x 轴 旋转构成一个底半径为 r 、高为h 的圆锥体，
计算圆锥体的体积．
x
RLeabharlann x截面面积 A( x ) h y h R 2 x 2
R R
R 2 x 2 dx R 2 h.
3
1 2
福州大学数学与计算机学院
例 2 求由两个圆柱面
x2 y2 a2 与z2 x2 a2
所围成的立体的体积。
2016/10/5
福州大学数学与计算机学院
4
解 图形为所求体积的 1/8,过点(x,0,0)作垂直 于 x 轴的截面为正方形,边长为 成的立体的体积
a
a 2 x2 ,所以所围
16 3 V 8 (a x )dx a . 3 。 0
2 2
2016/10/5
福州大学数学与计算机学院
5
二、旋转体的体积
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
2016/10/5
圆锥
福州大学数学与计算机学院
d
x ( y)
c
o
x
12
例 求摆线 x a ( t sin t ) ， y a (1 cos t ) 的 一拱与 y 0 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴 旋转构成旋转体的体积.
解 绕 x 轴旋转的旋转体体积
y( x )
a
2a
Vx
0
2a
0
y 2 ( x )dx
2 0
2016/10/5
福州大学数学与计算机学院
23
o
x x dx
x
取以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的 2 薄片的体积为体积元素，dV [ f ( x )] dx
2016/10/5 福州大学数学与计算机学院 7
于是可得：
设 f ( x ) 是[a , b] 上连续函数， 则由平面图形
0 | y || f ( x ) |, a x b
解 直线 OP方程为
y
P
r y x h
r
o
h
x
取积分变量为x ， x [0, h]
在[0, h]上任取小区间[ x , x dx ] ，
2016/10/5 福州大学数学与计算机学院 9
以 dx 为底的窄边梯形绕 x 轴旋转而成的薄片 的体积为 y
r dV x dx h
a 2 (1 cos t )2 a(1 cos t )dt a
2016/10/5
2
3
0
2
(1 3 cos t 3 cos 2 t cos 3 t )dt 5 2 a 3 .
福州大学数学与计算机学院 13
绕 y轴旋转的旋转体体积
可看作平面图OABC 与OBC
2a 2 2a
y
分别绕 y 轴旋转构成旋转体的体积之差.
B x x2 ( y ) 2a C x x1 ( y ) A o 2 a x
V y x 2 ( y )dy x 12 ( y )dy
0 0
a 2 ( t sin t )2 a sin t dt
16
旋转曲面的面积
如果旋转体是由连续曲线 y f ( x ) 、直 线 x a 、 x b 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成的立体，其面积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f ( x)
x [a , b ]
在[a , b]上任取小区 间[ x , x dx ] ，
解 y a x ,