10.4旋转曲面的面积
旋转曲面的表面积公式推导
旋转曲面的表面积公式推导
以曲边梯形的面积为例：
设f为闭区间[a，b]上的连续函数，且f（x）≥0。
由曲线y=f(x)，直线x=a,x=b 以及x轴所围成的平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积。
作法：（i）分割。
在区间[ a，b]内任取n-1个分点，它们依次为a=x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn=b，这些点把[a,b]分割成n个小区间[xi－1, xi],I=1,2,…n.再用直线x= xi,i=1,2,…，n-1把曲边梯形分割成n个小曲边梯形。
（ii）近似求和。
在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点，作以f(x)为高，[xi-1,xi]为底的小矩形。
当分割[a,b]的点分点较多，又分割得较细密时，由于f为连续函数，它在每个小区间上的值变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积。
n个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S的近似值。
扩展资料：
旋转曲面是一类特殊的曲面，它是一条平面曲线绕着它所在的平面上一条固定直线旋转一周所生成的曲面。
该固定直线称为旋转轴，该旋转曲线称为母线。
曲面和过旋转轴的平面的交线称为经线或子午线，曲面和垂直于旋转轴的平面的交线称为纬线或平行圆。
例如：球面是由圆绕着其直径旋转而成；环面是由圆绕着外面的一条直线旋转而成。
10.4旋转曲面面积
若平面光滑曲线C由参数方程 x x(t ), y y (t ), t [ , ] 给出.则曲线 C 绕 x 轴旋转一周所得 旋转曲面面积为 S 2 y (t ) x (t ) y (t )dt.
2 2
若平面光滑曲线C由极坐标方程 r r ( ), [ , ] 给出 。 则此曲线绕极轴旋转一 周所得的 旋转曲面面积为 S 2 r ( ) sin r ( ) r ( ) d .
12 2 Key : S a . 5
例3、求心形线r a(1 cos ) 曲面的面积。
(a 0,0 2 ) 绕极轴旋转所成
32 2 Key : S a . 5
作业:P262
1(2)(4)；3（2）
前面所求的平面图形面 积、立体体积 和曲线 的弧长, 用微元法来处理，所求 的 微元表达式为
S y x, 且dS y dx; V S ( x)x, 且dV S ( x)dx;
s 1 y x, 且ds 1 y dx;
2 2
二、旋转曲面的面积
设平面光滑曲线 C的方程为y f ( x), 其中x [a, b], 且f ( x) 0, 则该曲线绕 x轴旋转一周所得的旋转 曲面面积为
2 dS 2 f ( x) 1 f ( x) dx ,o2aFra bibliotekS( x)
x
x dx
b
x
S 2 f ( x) 1 f ( x)dx.
a
b
若平面曲线C由直角坐标方程 y f ( x), x [a, b] 给出 。 则当 f ( x)在 [a, b]上连续可微时 , 此曲线 是绕x轴旋转一周所得的旋转 曲面面积为 S 2
数学分析2课件：10-4 旋转曲面的面积
（此时，以简代繁、以直代曲、以静代动）。
则
U b f ( x)dx。 a
三、旋转曲面的面积
y
设平面光滑曲线C的方程为:
y f (x)
y f ( x), x [a,b] (不妨设f ( x) 0).
o
x x x
x
这段曲线绕x轴旋转一周得到旋转曲面，求这 个曲面的面积。
过x和x x分别作垂直于x轴的平面，
[2 f ( x) y]
1
y x
2
x
2f
(
x
)
1
f 2( x)x
o(x).
dS 2f ( x) 1 f 2( x)dx 2f ( x)ds,
S 2
b
f (x)
1 f 2( x)dx.
a
——直角坐标下旋转曲面面积计算公式。
如果光滑曲线C的参数方程为：
x x(t), y y(t),t [a, ] y(t) 0,
则曲线C绕x轴旋转所得旋转曲面的面积为 ：
S 2 a y(t)ds
dS 2yds
2
y(t )
x2(t ) y2(t )dt.
a
如果光滑曲线C的极坐标方程为：
r r( ), ,
则 S 2
y( )ds
a
2
r( )sin
r 2( ) r2( )d .
a
例1 求抛物线 y2 8x, 0 x 1 4
则 U b f ( x)dx。 a
平面图形的面积：
y
y f (x)
A | y | x,
dA | y | dx; A( x)
x x dx
o a x x dx b x
立体的体积： V A( x)x, dV A( x)dx;
第十章定积分的应用§4旋转曲面的面积_数学分析
一 微元法
用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通
过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这
样的：设所求量 是一个与某变量(设为 x)的变化区间 有关的量，且关于区间 具
有可加性. 我们就设想把 分成 n 个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐
近似表达式（其中 为
称为量
1）所求量 关于分布区间
2） U f (x)x o(x)
具有代数可加性.
对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：
S | y | x V S(x)x s 1 y2 x
二 旋转曲面的面积
§5 定积分在物理中的某些应用
(一) 教学目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法． (二) 教学内容：液体静压力；引力；功与平均功率．
。在
的一段近似的看成质点，其质量为 ，与 相距
，因此可以按照两质点间的引力计算公式求出这段细直棒对质点 的引力 的大小为
从而求出 在水平方向分力
Fx 的元素为
于是得到引力在水平方向的分力为
dFx
k
的近似值，即细直棒对质点
amdy (a2 y 2 )3/ 2
上式中的负号表示 指向 轴的负向，又由对称性知，引力在铅直方向分力为
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
旋转曲面的面积
§4 旋转曲面的面积教学目的与要求：1. 理解并掌握在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式.2. 理解并掌握微元法的思想及应用.教学重点，难点：1. 在直角坐标系、参数方程、极坐标中， 计算旋转曲面的面积的公式.2. 微元法的思想及应用.教学内容：定积分的所有应用问题，一般总可按“分割，近似求和，取极限”三个步骤导出所求量的积分形式。
但为简便实用起见，也常采用下面介绍的“微元法”。
本节和下一节将采用此法来处理。
一 微元法为了介绍微元法，我们首先回顾一下在讲定积分定义时引入的例子——求曲边梯形的面积问题。
设f 为闭区间[a ，b]上的连续函数，且f （x ）≥0。
由曲线y=f (x)，直线x=a,x=b 以及x 轴所围成的平面图形（图9-1），称为曲边梯形，下面讨论曲边梯形的面积作法：（ｉ）分割 在区间[ a ，b]内任取n-1个分点，它们依次为a=x 0＜x 1＜x 2＜…＜x n －１＜x n =b,这些点把[a,b]分割成n 个小区间[x ｉ－１, x ｉ],I=1,2,…n.再用直线x= x ｉ, ｉ=1,2,…，n-1把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形（图9-2）。
（ii ）近似求和 在每个小区间[x i-1,x i ]上任取一点i ξ，作以f (i ξ)为高，[x i-1,x i ]为底的小矩形.当分割[a,b]的点分点较多,又分割得较细密时,由于f 为连续函数,它在每个小区间上的值变化不大,从而可用这些小矩形的面积近似替代相应小曲边梯形的面积.于是, n 个小矩形面积之和就可作为该曲边梯形面积S 的近似值,即1()n i i i S f x ξ=≈∆∑ ).(1--=∆i i i x x x（iii ）取极限 注意到(1)式右边的和式既依赖于对区间[a,b]的分割，又与所有中间点i ξ（i=1,2,…，n ）的取法有关。
可以想象，当分点无限增多，且对[a,b]无限细分时，如果此和式与某一常数无限接近，而且与分点x i和中间点i ξ的选取无关，则就把此常数定义作为曲边梯形的面积S.S=01()().lim n bi i a T i f x f x dx ξ→=∆=∑⎰ 引入问题：这个过程显然是比较繁琐的，那么遇到一个实际问题如何直接利用定积分表示呢？ 我们看出，在引出Φ的积分表达式的步骤中，关键是第二步。
绕y旋转曲面的面积公式
绕y旋转曲面的面积公式
绕y旋转曲面是一种常见的几何曲面，它是由一个曲线（一般为抛物线、圆弧或者椭圆）绕着y轴旋转得到的曲面。
它是一种被广泛应用于工程设计中的几何曲面，比如可以用来制作喷嘴、叶轮、鼓风机、冷却器等。
绕y旋转曲面的面积计算有两种方法，一种是旋转体积公式，另一种是极限区域公式。
旋转体积公式是指将一个曲线绕着y轴旋转后，求得的曲面的面积公式。
极限区域公式是指将一维曲线的极限区域求和，求得曲面面积的公式。
旋转体积公式可以用以下公式来表示：面积=π∫ (y2 - y1)f (y) dy 。
其中，y1和y2是绕y旋转曲面的曲线的两个端点，f (y)是曲线的函数表达式，π是圆周率。
极限区域公式可以用以下公式来表示：面积=2π∫ (y2 - y1) dy。
其中，y1和y2是绕y旋转曲面的曲线的两个端点，π是圆周率。
绕y旋转曲面的面积计算公式是几何学中非常重要的一部分，它被广泛用于工程设计中，为工程师提供了一种计算曲面面积的有效方法。
两种计算曲面面积的公式都可以很容易地得出正确的结果，但是旋转体积公式更加简单明了，而且容易理解，因此更受欢迎。
绕y旋转曲面的面积公式不仅被用于工程设计，而且也是几何学中非常重要的一部分，它可以极大地提高我们对几何学的理解。
只要掌握了绕y旋转曲面的面积公式，我们就可以计算出曲面的面积，从而更好地理解几何学中的基本概念。
,旋转曲面的面积 物理应用
§4 旋转曲面的面积(一> 教案目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式．(二> 教案内容：旋转曲面的面积计算公式．基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式．(三> 教案建议：要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．————————————————————一微元法用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量是一个与某变量(设为x>的变化区间有关的量，且关于区间具有可加性. 我们就设想把分成n个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐，然后就寻求相应于这个小区间的部分量的近似值<做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到的形如近似表达式<其中为上的一个连续函数在点x处的值，为小区间的长度>,那么就把称为量的元素并记做，即以量的元素作为被积表达式在上进行积分，就得到所求量的积分表达式：例如求由两条曲线 (其中>及直线所为成图形的面积A.容易看出面积元素于是得平面图形的面积为采用微元法应注意一下两点：1）所求量关于分布区间具有代数可加性.2）对于前面所讲过的平面图形的面积、立体体积、曲线弧长相应的微元分别为：二旋转曲面的面积§5 定积分在物理中的某些应用(一> 教案目的：掌握定积分在物理中的应用的基本方法．(二> 教案内容：液体静压力；引力；功与平均功率．基本要求：(1>要求学生掌握求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(2> 较高要求：要求学生运用微元法导出求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．(三> 教案建议：要求学生必须理解和会用求液体静压力、引力、功与平均功率的计算公式．——————————————————————————1 变力沿直线所作的功从物理学知道，如果物体在做直线运动的过程中受到常力F作用，并且力F 的方向与物体运动的方向一致，那么，当物体移动了距离s时,力F 对物体所作的功是如果物体在运动过程中所受到的力是变化的，那么就遇到变力对物体作功的问题，下面通过例1说明如何计算变力所作的功例1把一个带电量为的点电荷放在轴的原点处，它产生一个电场，并对周围的电荷产生作用力，由物理学知道，如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为的地方，那么电场对它的作用力的大小为<是常数），如图，当这个单位正电荷在电场中从处沿轴移动到处时，计算电场力对它所做得功.解在上述移动过程中，电场对这个单位正电荷的作用力是不断变化的，取为积分变量，它的变化区间为，在上任取一小区间，当单位正电荷从移动到时，电场力对它所作的功近似于，从而得功元素为于是所求的为例2 某水库的闸门形状为等腰梯形，它的两条底边各长10m和6m,高为20m,较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力。
10.4旋转曲面的面积
y( t )
( dx )2 ( dy )2 dt
dt
dt
= 2
y( t )
x2 ( t ) y' 2 ( t )dt .
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例1 计算圆 x2 y2 R2 在 [x1, x2 ] [R, R] 上的
弧段绕 x 轴旋转所得球带的面积.
解 对曲线 y = R2 x2 在区间[x1, x2]上应用公式(3)，
绕
x
轴旋转所得
椭球面的面积.
解 将上半椭圆写成参数方程
x a cos t , y bsin t , 0 t π.
令 c2 a2 b2, e c ,则 a
S 2π
π
bsin t
a2 sin2 t b2 cos2 tdt
0
π
4πb 2 sin t a2 (a2 b2 )cos2 tdt 0 π
2πb b
arcsin a2 b2
a
.
特别当 a b 时,即半径为 a 的球面的面积:
π
S 4πa2 2 sin tdt 4πa2 cos t 0 4πa2 .
0
π/2
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例4 求心形线 r a(1 cos ) 绕极轴旋转所得曲
面的面积. 解 将曲线用参数方程表示:
得到
S 2
x2
x1
R2 x2
1
x2 R2
x2
dx
=2 R
x2 dx 2 R
x1
x2 x1
.
特别当x1=-R, x2=R 时，得球的表面积 S球= 4πR.
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§4 旋转曲面的面积
教学目标：掌握旋转曲面的面积计算公式．
教学内容：旋转曲面的面积计算公式．
基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式．
教学建议：
要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积．
教学过程：
一、微元法
对任意小区间],[],[b a x x x ⊂∆+，若能把函数Φ的微小增∆Φ近似地表示为x ∆的线性形式：x x f ∆≈∆Φ)(，其中f 为某一连续函数，且当0→∆x 时，)()(x x x f ∆=∆-∆Φ ，即dx x f d )(=Φ，则得
)
0)(.()()(=Φ=Φ⎰a dx x f b b
a
此法称为微元法。
注：采用微元法需注意：
1、所求量Φ关于分布区间是代数可加的；
2、关键是给出x x f ∆≈∆Φ)(，但一般要检验).()(x x x f ∆=∆-∆Φ
二、旋转曲面的面积
设平面光滑曲线],[),(:b a x x f y C ∈=，不妨设0)(≥x f 。
下面求这段曲线绕x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的面积。
在点x x x ∆+,分别作垂直于x 轴的平面，它们在旋转曲面上截下一条狭带。
当x ∆很小时，此狭带的面积近似于一圆台的侧面积，即
22)]()([y x x x f x f S ∆+∆∆++π≈∆ ,)(1])(2[2x x y y x f ∆∆∆+∆+π=
其中).()(x f x x f y -∆+=∆由于 ,)('1)(1lim ,0lim 220
0x f x y y x x +=∆∆+=∆→∆→∆ 因此由)('x f 的连续性有
).()('1)(2)(1])(2[22x x x f x f x x y y x f ∆=∆+π-∆∆∆+∆+π 所以得到
,)('1)(22dx x f x f dS +π= .)('1)(22dx x f x f S b a ⎰+π=
若光滑曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x C ，且0)(≥t y ，则曲线绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为 .
)(')(')(222dt t y t x t y S ⎰βα+π=
例1、计算圆222R y x =+在[],[],21R R x x -⊂上的弧段x 轴旋转所得球带的
面积。
解： 对曲线22x R y -=在区间],21x x 上应用公式得 dx x R x x
R S x x 222221221
-+-π=⎰ ).(22122
1x x R dx R x x -π=π=⎰
特别当R x R x =-=21,时，则得球的表面积.4R S π=
例2、计算由内摆线t a y t a x 33sin ,cos ==绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积。
解： 由曲线关于y 轴的对称性及公式得
dt
t t a t t a t a a S 22222032)cos sin 3()sin cos 3(sin 4+-π=⎰π
=.
512
cos sin 1222042a tdt t a π=π⎰π
作业：P255: 1;2;3.。