2.旋转体的表面积(讲课)
空间几何旋转体的表面积与体积
空间几何旋转体的表面积与体积空间几何常常涉及到旋转体的表面积与体积的计算，这在数学中具有重要的理论和应用价值。
本文将介绍旋转体的概念，并探讨如何计算旋转体的表面积与体积。
一、旋转体的概念旋转体是指由平面图形绕某一轴旋转而生成的立体图形。
在数学中，旋转体通常围绕x轴、y轴或z轴旋转。
根据旋转轴的不同，旋转体可以分为横截面旋转体和轴截面旋转体。
横截面旋转体是指当一个平面图形沿与它平行的轴旋转一周，形成的立体图形。
常见的横截面旋转体有圆柱体、圆锥体和球体。
其中圆柱体是由一个矩形或圆形横截面图形沿着与横截面平行的轴旋转一周形成，圆锥体是由一个三角形横截面图形沿着与横截面平行的轴旋转一周形成，而球体是由一个圆形横截面图形沿着与横截面平行的轴旋转一周形成。
轴截面旋转体是指当一个平面图形沿与它的一个边垂直的轴旋转一周，形成的立体图形。
常见的轴截面旋转体有圆盘和球壳。
圆盘是指由一个圆形边界沿着与边界垂直的轴旋转一周形成，球壳是由一个圆形边界沿着与边界垂直的轴旋转一周形成。
二、计算旋转体的表面积计算旋转体的表面积需要根据旋转体的类型进行计算，下面将分别介绍横截面旋转体和轴截面旋转体的表面积计算方法。
1. 横截面旋转体的表面积计算对于圆柱体的表面积计算，可以利用公式S = 2πrh + 2πr²，其中r是圆柱体的底面半径，h是圆柱体的高。
对于圆锥体的表面积计算，可以利用公式S = πrl + πr²，其中r是圆锥体的底面半径，l是圆锥体的斜高。
对于球体的表面积计算，可以利用公式S = 4πr²，其中r是球体的半径。
2. 轴截面旋转体的表面积计算对于圆盘的表面积计算，可以利用公式S = πr²，其中r是圆盘的半径。
对于球壳的表面积计算，可以利用公式S = 2πrh，其中r是球壳的半径，h是球壳的高。
三、计算旋转体的体积计算旋转体的体积同样需要根据旋转体的性质进行计算，下面将分别介绍横截面旋转体和轴截面旋转体的体积计算方法。
8.3.2旋转体的表面积与体积课件高一下学期数学人教A版
内容索引
(3)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆
台的表面积为( C )
A. 81π
l'
lr2 r1 r2
S小扇形 πr2l '
πr12l r2 r1
S大扇形
πr（2 l
' +l）
πr22l r2 r1
S大扇形 -S小扇形 πr1l πr2l
l' 2r1
2 r
r1
2 R
l
r2
S圆台 =S上 +S下 +S扇环 =πr12 πr22 πr1l πr2l =π(r12 r22 r1l r2l)
探究新知
探究1：圆柱、圆锥、圆台有的面是曲面，需要将其展开，大家可 以根据展开图得到它们的表面积公式么？
l
r
2r
圆柱表面积 : 侧面展开面积+上下底面圆面积
S表 = S侧+2S底 =2rl+2r2
探究新知
探究2：圆柱、圆锥、圆台有的面是曲面，需要将其展开，大家 可以根据展开图得到它们的表面积公式么？
第八章立体几何初步
8.3.2圆柱、圆锥、圆 台的表面积和体积
回顾所学的有关公式
圆面积公式： S r2
圆周长公式： C 2 r
扇形弧长公式：l | a | r
扇形面积公式： s 1 rl 1 | a柱,圆锥,圆台的的表面积
与多面体的表面积一样，圆柱、圆锥、圆台的表 面积也是围成它的各个面的面积和.
简单旋转体的表面积和体积关系教学案
简单旋转体的表面积和体积关系教学案一、引言旋转体是数学中的一种非常重要的几何体，在现实生活中也有很多应用。
比如我们日常生活中听到的“圆柱形”、“圆锥形”、“球形”等，这些都属于旋转体。
旋转体的表面积和体积关系是数学中一个基础又实用的概念，而且对于那些想深入研究数学的人来说，这是必学的一部分。
二、旋转体的概念旋转体是由一个基本形状，绕某一条轴线旋转而生成的几何体，比如圆形绕着轴线旋转，就可以生成一个圆柱形；三角形绕着轴线旋转，可以生成一个圆锥形。
旋转体有许多种类，比如圆柱体、圆锥体、球体，甚至我们平时看到的各种像眼镜、奖杯、水瓶等等，都可以看成是由某一基本形状旋转而成的。
三、旋转体的表面积和体积旋转体的表面积和体积是我们最为关心的问题，因为在很多实际问题中，我们需要通过表面积和体积来计算物体的质量、重量、密度等等一系列问题。
1、旋转体的表面积旋转体的表面积就是它的侧面积与底面积的和。
比如一个圆柱体，它的表面积等于其侧面积与两个底面积之和，即：S=2πrh+2πr²其中r为圆柱体的半径，h为圆柱体的高度。
对于其他类型的旋转体，我们也可以采用类似的方法来计算它的表面积。
2、旋转体的体积旋转体的体积就是其所包含的空间体积。
对于圆柱体、圆锥体、球体等等，它们的体积计算公式分别为：圆柱体的体积：V=πr²h圆锥体的体积：V=13πr²h球体的体积：V=43πr³其中r为基本形状的半径，h为由基本形状绕轴线旋转得到的旋转体的高度。
四、旋转体的表面积和体积关系一个简单的旋转体，它的表面积和体积之间并没有什么直接关系。
但是在实际应用中，我们通常会遇到一些需要计算其表面积和体积之比的问题。
比如我们需要制作一个密度为1克/立方厘米的铁球体，在保证铁球体积不变的条件下，如果我们要增加铁球体的质量，我们应该怎样做？答案是，这时我们需要将铁球表面加厚，因为铁球的密度不变，增加表面积就等于增加了总质量。
9.4.5旋转体的表面积
360
nπl l扇＝ 180
r
2
l
求多面体的表面积可以通过求各 个平面多边形的面积和得到,那么 旋转体的表面积该如何求呢?
思考：把圆锥的侧面分别沿着一条母线 展开，分别得到什么图形?展开的图形与原图 有什么关系？
扇形
nπl l扇＝ 180
nπl 1 S圆锥侧＝S扇＝ = l扇l = πrl 360 2
2
R扇＝l
l
r
r O
l
O
圆柱的侧面展开图是矩形
2 r
S 2 r 2 rl 2 r ( r l )
2
例1.一个圆柱形的锅炉，底面半径 r=1m， 高h=2.3m。求锅炉的表面积（保留2位有效数 字）。 注意:表面积=全面积= 侧面积+底面积.
O`
O
解：锅炉的侧面积：
S1=2πrl=4.6πm2,
隆德职中 2017
一、知识回顾
1、棱柱： 侧面积公式： 表面积公式： 2、棱锥： 侧面积公式： 表面积公式：
忆一忆
1.已知圆的半径为r，则圆的面积为
r
r2
2
2.如图③ 扇形的半径为 r， 圆心角 ,
弧长是
S
l ， 则扇形的面积是
r2
也可表示成 —————— ， 1 S lr 2 ——————。弧长是
作业：
s = 4πR
2
154页练习1、2、3
17
开，得到什么图形?
2r
S r rl r (r l )
2
S圆锥侧=πrl
l
r
O
圆锥的侧面展开图是扇形
例2：已知圆锥的底面半径为2，母线长
课件2：11.1.5 旋转体
[解] (1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴． (2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个 圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示． (3)正确． (4)错．应为球面．
规律方法 旋转体的判断问题的解题策略
1．准确掌握圆柱、圆锥、圆台和球的生成过程及其特征性质是解决 此类概念问题的关键． 2．判断简单旋转体结构特征的方法
(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
几何体
侧面展开图
表面积公式
圆柱
S 圆柱＝2πr(r＋l)，r 为 底面半径 ， l 为 侧面母线长
圆锥
S 圆锥＝πr(r＋l)，r 为 底面半径 ， l 为 侧面母线长
圆台
S 圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)，r′为上底面半径， r 为 下底面半径 ，l 为 侧面母线长
念
侧面： 不垂直于轴 的边旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
3.圆台的结构特征
以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，将直角梯形 定义
旋转一周而形成的曲面所围成的几何体
轴： 旋转轴 叫做圆台的轴
图示及
高：在轴上的边(或它的长度)
相关概
底面： 垂直于轴 的边旋转而成的圆面
念
侧面： 不垂直于轴的边 旋转而成的曲面
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
4.轴截面 在旋转体中，通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截面，圆
柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、 等腰三角形 、 等腰梯形 ．
5．旋转体的侧面积与全面积 (1)旋转体侧面的面积称为旋转体的侧面积，侧面积与 底面积 之
和称为旋转体的表面积(或全面积)．
【例 3】 一个圆台的母线长为 12 cm，两底面面积分别为 4π cm2 和 25π cm2，求圆台的高． [思路探究] 作出圆台的轴截面，是一个等腰梯形．
旋转体的表面积(讲课)课件
扇形面积公式
S 1 rl 2
17
小结： 柱体、锥体的表面积
圆柱S 2r(r l)
圆柱、圆锥
棱柱、棱锥
圆锥 S r(r l)
展开图
各面面积之和
所用的数学思想： 空间问题“平面”化
18
1、只要朝着一个方向奋斗，一切都会变得得心应手。20.6.166.16.202010:0010:00:23Jun-2010:00 2、心不清则无以见道，志不确则无以定功。二〇二〇年六月十六日2020年6月16日星期二 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。10:006.16.202010:006.16.202010:0010:00:236.16.202010:006.16.2020 4、与肝胆人共事，无字句处读书。6.16.20206.16.202010:0010:0010:00:2310:00:23 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。Tuesday, June 16, 2020June 20Tuesday, June 16, 20206/16/2020 6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。10时0分10时0分16-Jun-206.16.2020 7、自知之明是最难得的知识。20.6.1620.6.1620.6.16。2020年6月16日星期二二〇二〇年六月十六日 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。10:0010:00:236.16.2020Tuesday, June 16, 2020
解:（1）圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形
的半径为l，扇形的弧长为2πr，
所以
又
SS底侧＝＝12π×r22 πr×l＝πr
l
所以 S全 ＝πrl ＋πr2=π
× 2×4+π ×22=12π
第二章多面体与旋转体球的表面积
高中立体几何教案第二章多面体与旋转体球的表面积教案教学目标1．使学生理解球的表面积公式的推导方法，并能熟记公式内容；2．在引理的论证过程中，进一步要求学生树立转化的思想（把空间问题转化为平面问题）；3．通过寻求如何研究球表面积的方法，培养学生应用无限分割和极限思想的意识，进而在实施推导公式的过程中，对学生进行“以直代曲”的辩证唯物主义思想教育．教学重点和难点本节教材的重点是掌握球的表面积的计算公式，而如何推导球的表面积公式是本节的难点．教学设计过程一、新课引入师：（手持模型）今天，我们要研究的课题就是如何求得球的表面积．下面，请同学们各抒己见．（板书课题）生甲：（脱口而出）可以仿照圆柱、圆锥和圆台的侧面积的求法，设法剪开球面，使其展成平面图形而求得结果．（同学们立即反驳，此办法不可能实现）生甲：（申辩）如果像家里削水果皮那样（想象水果是个球体），球的表面就会被削下来，然后展开，再进行计算．生乙：削下来的球表面是螺旋状连接的，根本无法展平．另外，条形表面也有一定的弯曲度．生甲：那可以把条形表面尽可能地削得窄一点，弯曲度也会随之变小，也就接近平面图形了．生丙：（好像受到了启发）我们要求球的表面积，可以先求半球面的大小．用一组平行于底面圆的平面去截球面，随着平行平面间距离的逐渐减小，原来弯曲的球面就转化为一族圆柱侧面的总和，圆柱侧面积有计算公式，那么再找到这一族圆柱侧面积之间的大小关系，最后求出这所有圆柱侧面积之和，我们要求的球表面积就可以解决了．生丁：我想用一些很小的正方形去贴满球体表面，那么只要求出这些小正方形的面积和，问题也可以解决．……师：同学们的想法都很好．要求球的表面积不再能简单地利用已学过的几何体侧面展开的办法了，因为对球体而言，无论怎样剪开，它还是曲面，不可能成为平面图形．大家可以来仔细分析一下刚才几位同学的解题方案，都有一个共同的想法，这就是我们将要在高二进一步学习的极限思想．若把球表面无限分割，将会得到许多近似于平面图形的图形．问题解决已有些眉目，再让咱们大家集思广议，完善求解方法．（课堂内鸦雀无声）（需引导一下）二、新课师：回忆一下，在平面几何的学习过程中，求圆的周长公式，我们采取了什么办法？生：是用圆内接正多边形的周长来近似地表示它的．师：当边数逐渐增加时，正多边形的周长就越来越接近圆的周长．当边数无限增加时，圆内接正多边形的周长就是圆的周长，这正是“以直代曲”的尝试．我们是否可以对此方法稍加改造，来完成球的表面积计算公式的推导？生丙：我想用球的内接圆柱的侧面积来近似求球表面积，只要用越来越多的平行平面把球分割，那么所得到的许多个内接圆柱的侧面积的全体就越来越接近球的表面积了．师：只能用球的内接圆柱去研究吗？生：圆台也可以．师：下面，我们以圆台为例，证明一个预备定理．目的是求出球内接圆台的侧面积公式．（板书引理）引理球面内接圆台（圆台上、下底面是球的两个平行截面）的高为h，球心到母线的距离为P，那么圆台的侧面积为2πPh．下一步，求半球面的面积．用n-1个平行于半球大圆面的平面将半球分为n个部分，使每一部分的母线都相等，则球心到它们的母线的距离都是p，而它们的高分别为h1，h2，h3，…，hn．如果平行平面无限增加，这些圆台、圆锥的侧面和就无限地接近于半球面，同时p无限地接近于R．当p变为R时，侧面积的和S变为2πR2，我们把这个和作为半球面的面积．例2 口答下面问题，并说明理由．（1）球的半径扩大n倍，它的面积扩大多少倍？（2）球的面积扩大n倍，它的半径扩大多少倍？（3）球大圆的面积扩大n倍，球面积扩大多少倍？（4）球的面积扩大n倍，球的大圆面积扩大多少倍？生：设球半径为R．（1）因球半径扩大n倍，S球面=4π（nR）2=n2×4πR2，即球面积扩大n2倍．四、小结在本节课内，我们讲了（1）球表面积等于它的大圆面积的4倍．（2）“以直代曲”的研究方法．（3）无限分割和逐次逼近的数学方法．五、作业1．课本p．92．6，2．课本p．92．7，3．课本p．92．8，4．两底面半径为r1和r2（r1＜r2）的圆台中有一个内切球，求这个球的表面积．（4πr1r2）5．（思考题）球面上有四个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，求这个球面的面积．（3πa2）（提示：把PA，PB，PC看成正方体内相交于一点的三条棱．因P，A，B，C在球面上，则此正方体内接于球．正方体的对角线恰为球的直径）课堂教学设计说明这堂课的知识量不算很大，主要任务就是完成球表面积公式的推导．作为生活常识，学生们大部分都已经知道了公式的内容．那么采用什么办法去吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，使这堂课上得比较生动活泼呢？这是我在准备教案前首先想到的问题．其次，要想求出球的表面积，还需先证明一个引理．一部分学生在预习中可能会产生这样的疑问：为什么非要找一个球的内接圆台，而不是内接圆柱，内接圆锥？为什么此内接圆台还必须知道球心到母线的距离P，而不是底面圆的半径r？我为了处理好这两个大问题，就设计了一个教学过程的粗线条：先准备让学生自由讨论，（我借机，听取学生的想法，同时找一个没有预习课本，而又出现的是常见错误想法的同学，先汇报思考结果）再讲评总结的方式，一步步地引出学生们自行产生的无限分割和极限思想．由于学生更熟悉圆柱的结构，用圆柱的侧面积去逼近球表面的想法会很自然地产生．我在肯定此想法的基础上，引导学生去用圆台的侧面积逼近球的表面积的想法就容易了．对于球来说，它的基本元素是球半径，球面上任意一点到球心的距离都一样．所以，要找的球表面的相似体也要抓住这一性质．课堂习题的配备，主要想让学生了解到：要求球表面积只要抓住球半径即可．无论所给具体题目的条件如何变化，始终从公式出发，“缺什么，找什么，要什么，求什么”，紧紧围绕能求出球半径的目的而思考．。
古尔丁定理求旋转体表面积
古尔丁定理求旋转体表面积1. 引言在数学中，古尔丁定理是一个基本的定理，可以用于计算旋转体的表面积。
旋转体是指由曲线在某个轴上旋转而成的立体图形，在物理学、工程学以及计算机图形学中都有广泛的应用。
本文将介绍古尔丁定理的原理及推导过程，并通过具体的例子来说明如何使用古尔丁定理计算旋转体的表面积。
2. 古尔丁定理的原理古尔丁定理是基于微积分的概念和公式推导出来的。
定理的内容可以简述为：如果一个曲线在一个坐标轴上旋转一周，那么旋转体的表面积可以通过计算曲线在该轴上的弧长并乘以一个固定的因子来得到。
古尔丁定理的表达式如下：S =2π∫f ba (x )√1+[f′(x )]2 dx其中，S 表示旋转体的表面积，f(x)表示曲线在该轴上的函数表达式，a 和b 表示曲线所在的区间。
3. 古尔丁定理的推导为了推导古尔丁定理，我们需要先了解微元的概念。
微元是指曲线上的一个极小的线段，可以用微分来表示。
设曲线上的一小段长度为ds ，其对应的弧长即为dx 。
根据微元的定义，可以得到以下关系：ds =√1+(dy dx)2 dx 对上式两边取平方可得：ds 2=1+(dy dx)2 dx 2由于旋转体的表面积是由许多微元叠加而成的，我们需要将微元的表面积相加。
根据旋转体的性质，可以知道微元的表面积等于2πrds，其中r 为曲线上某点到旋转轴的距离。
将上述关系代入表面积的计算公式中，可得：dS =2πr √1+(dy dx)2 dx 为了得到整个旋转体的表面积，我们需要将上式积分：S =2π∫r ba √1+(dy dx )2 dx 由于古尔丁定理是基于曲线在坐标轴上的旋转而推导出来的，因此r 可以表示为曲线上的函数f(x)。
将r 替换为f(x)，即可得到古尔丁定理的表达式。
4. 古尔丁定理的应用例子为了更好地理解古尔丁定理的应用，我们以一个具体的例子进行说明。
例子：计算函数f (x )=x 2在区间[0,1]上绕x 轴旋转所得旋转体的表面积。
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空间体侧面展开图
空间体的侧面积 平面图形面积
S侧 2r l 2rl
S侧
1 2
2r
l
rl
矩 S ab
形
三
角 S 1 ah
形
2
1 ．已知圆柱的底面半径为3，母线长为6， 求该圆柱的全面积． 54
2 ．已知圆锥的底面半径为2，母线长为4， 求该圆锥的全面积以及侧面展开图的圆心角． 12
圆柱的表面积
一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和
表面积=侧面积+底面积
棱柱、棱锥的表面积
h'
棱柱、棱锥都是由多个平面图形围成的几何体，它 们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是 计算它的各个侧面面积和底面面积之和．
思考
求多面体的表面积可以通过求各个 平面多边形的面积和得到,那么旋 转体的面积该如何求呢?
Байду номын сангаас
的半径为l，扇形的弧长为2πr，
所以
又
SS底侧＝＝12π×r22 πr×l＝πr
l
所以 S全 ＝πrl ＋πr2=π
× 2×4+π ×22=12π
(2)由弧长公式，有：
l
3600×π/8π=1800
r
球的表面积 例 3：已知过球面上 A、B、C 三点的截面和球心的距离为 球半径的一半，且 AB＝BC＝CA＝2，求球的表面积。（课本130页）
北京奥运会场馆图
“鸟巢(nest)”
38.9亿 30亿
赫尔佐格
德梅隆
相信自己:一定行!!
2.旋转体的表面积
柱体、锥体的表面积 思考:面积是相对于平面图形而言的，体 积是相对于空间几何体而言的.
面积:平面图形所占平面的大小
体积:几何体所占空间的大小
表面积：几何体表面面积的大小
怎样理解棱柱、棱锥的表面积？
解：如图 1，设截面圆心为 O′，连接 O′A，设球半径为
R，
则
O′A＝23×
23×2＝2
3
3 .
在 Rt△O′OA 中，OA2＝O′A2＋O′O2，
∴R2＝2
3
32＋14R2，
∴R＝43.
图1
∴S＝4πR2＝694π.
它已的知展圆开锥图的的底形面状半为径_为_2_c_扇m_，_形_母_。线该长图为形3c的m弧。 长为_4__π__cm，半径为___3___cm，所以圆 锥的侧面积为___6_π__cm2。
r O
l
2r
O
c
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱侧面积 cl ＝2rl
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥侧面积
1 cl 2
rl
圆柱、圆锥、圆台表面积
侧面展开图
侧面积
表面积
S侧 2r l 2rl
S 2r(r l)
S侧
1 2
2r
l
rl
S r(r l)
问题：圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别和矩形、三角 形、梯形的面积有什么相似的地方？
扇形面积公式
S 1 rl 2
小结： 柱体、锥体的表面积
圆柱S 2r(r l)
圆柱、圆锥
棱柱、棱锥
圆锥 S r(r l)
展开图
各面面积之和
所用的数学思想： 空间问题“平面”化
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
r O
l 2r
O
圆柱的侧面展开图是矩形
S圆柱表面积 2r 2 2rl 2r(r l)
圆锥的表面积
2r l
rO
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r2 rl r(r l)
例2、一个圆锥底面的半径为2,母线长为4，
求:(1)该圆锥的全面积．
（2）侧面展开图的圆心角（课本130页）
解:（1）圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形