高数--全微分

P ′( x + ∆x , y + ∆y ) ∈ P 的某个邻域
∆ z = A ∆ x + B ∆ y + o( ρ )
总成立, 总成立
当 ∆y = 0 时，上式仍成立，此时 ρ =| ∆x |, 上式仍成立，
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) = A ⋅ ∆x + o(| ∆x |),
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ∂z lim =A= , ∆x → 0 ∂x ∆x
同理可得
∂z B= . ∂y
一元函数在某点的导数存在 多元函数的各偏导数存在
微分存在． 微分存在． 全微分存在． 全微分存在．
xy x2 y2 + 例如， 例如， f ( x , y ) = 0
一、全微分的定义
由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ≈ f x ( x , y )∆x
f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y ) ≈ f y ( x , y )∆y
二元函数 对 x 和对 y 的偏增量
二元函数 对 x 和对 y 的偏微分
通常我们把二元函数的全微分等于它的两个 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加 原理． 原理． 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数
∂u ∂u ∂u du = dx + dy + dz . ∂x ∂y ∂z
叠加原理也适用于二元以上函数的情况． 叠加原理也适用于二元以上函数的情况．
全微分的定义
如果函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的全增量 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 可以表示为 ∆z = A∆x + B∆y + o( ρ ) ，其中 A, B 不依赖于
2 2
∆x , ∆y 而仅与 x, y 有关， ρ = ( ∆x ) + ( ∆y ) ， 有关， 可微分， 则称函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分， A∆x + B∆y 称为函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的 全微分， 全微分，记为dz ，即 dz = A∆x + B∆y .
∆z ≈ dz = f x ( x , y ) ∆x + f y ( x , y ) ∆y.
也可写成
f ( x + ∆x , y + ∆y ) ≈ f ( x , y ) + f x ( x , y ) ∆x + f y ( x , y ) ∆ y.
例5
解
的近似值. 计算(1.04) 2.02 的近似值
x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 = 0
.
在点( 0,0)处有
f x (0,0) = f y (0,0) = 0
∆x ⋅ ∆ y , ∆z − [ f x (0,0) ⋅ ∆x + f y (0,0) ⋅ ∆y ]= 2 2 ( ∆ x ) + ( ∆y )
如果考虑点 P ′( ∆ x , ∆ y ) 沿着直线 y = x 趋近于( 0 ,0 ) ，
多元函数连续、可导、 多元函数连续、可导、可微的关系 函数连续 函数可导
函数可微 偏导数连续
全微分在近似计算中的应用
当二元函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的两 连续， 个偏导数 f x ( x , y ), f y ( x , y ) 连续，且 ∆x , ∆y 都较小时， 都较小时，有近似等式
dx =
解
π
4
时的全微分. ，dy = π 时的全微分
∂z = − y sin( x − 2 y ), ∂x ∂z = cos( x − 2 y ) + 2 y sin( x − 2 y ), ∂y dz ( π , π )
4
2 ∂z ∂z dx + dy = π( 4 − 7 π). = 8 ∂x ( π , π ) ∂y ( π , π )
∂z ( x , y ) 可微分 ， 则该函数在点 ( x , y ) 的偏导数 、 可微分， ∂x ∂z 必存在， 必存在 ， 且函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x , y ) 的全微分 ∂y
∂z ∂z dz = ∆x + ∆y ． ∂x ∂y
为
证 如果函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 可微分 可微分,
ρ →0
∆x → 0 ∆y → 0
lim f ( x + ∆x , y + ∆y ) = lim[ f ( x , y ) + ∆z ]
ρ →0
= f ( x, y)
处连续. 故函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续
二、可微的条件
必要条件） ） 如果函数 定理 1 （ 必要条件 ） 如果函数 z = f ( x , y ) 在点
设函数 f ( x , y ) = x y . 取 x = 1, y = 2, ∆x = 0.04, ∆y = 0.02.
f (1, 2) = 1,
∵
f x ( x , y ) = yx y −1 ,
f x (1, 2) = 2,
f y ( x , y ) = x y ln x ,
f y (1, 2) = 0,
全增量的概念
如果函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 的某邻域内 有定义， 有定义，并设 P ′( x + ∆x , y + ∆y )为这邻域内的 任意一点， 任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y ) 为函数在点 P 对应于自变量增量∆x , ∆y 的全增 量，记为∆z ， 即 ∆z = f ( x + ∆x , y + ∆y ) − f ( x , y )
4 4
y 的全微分. 例 3 计算函数u = x + sin + e yz 的全微分 2
解
∂u = 1, ∂x
y ∂u 1 yz = cos + ze , 2 ∂y 2
∂u = ye yz , ∂z
所求全微分
1 y du = dx + ( cos + ze yz )dy + ye yz dz . 2 2
由公式得 (1.04) 2.02 ≈ 1 + 2 × 0.04 + 0 × 0.02 = 1.08.
内各点处处可微分， 函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分. 内可微分
可微分, 如果函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分 则 函数在该点连续. 函数在该点连续
事实上 ∆z = A∆x + B∆y + o( ρ ), lim ∆z = 0,
则
∆x ⋅ ∆y 2 2 ( ∆ x ) + ( ∆y ) =
ρ
1 ∆x ⋅ ∆x = , 2 2 ( ∆x ) + ( ∆x ) 2
说明它不能随着 ρ → 0 而趋于 0, 当 ρ → 0 时，
∆z − [ f x (0,0) ⋅ ∆x + f y (0,0) ⋅ ∆y ] ≠ o( ρ ),
处不可微. 函数在点( 0,0) 处不可微
说明： 说明：多元函数Байду номын сангаас各偏导数存在并不能保证全 微分存在， 微分存在，
∂ z ∂z 连续， 导数 、 在点( x , y ) 连续，则该函数在点( x , y ) ∂x ∂y
可微分． 可微分．
定理２ 充分条件） 如果函数 定理２（充分条件） 如果函数 z = f ( x , y ) 的偏 ）
∂z ∂z 习惯上， 习惯上，记全微分为 dz = dx + dy . ∂x ∂y
处的全微分. 例 1 计算函数 z = e xy 在点( 2,1) 处的全微分
解
∂z xy = ye , ∂x
∂z xy = xe , ∂y
∂z ∂z 2 2 =e , = 2e , ∂x ( 2 ,1 ) ∂y ( 2 ,1 )
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
π 例 2 求函数 z = y cos( x − 2 y ) ，当 x = ， y = π ， 4