高中数学 2.2.1 分数指数幂课时训练 苏教版必修1
高中数学第2章函数2.2.1分数指数幂第1课时函数的单调性课件苏教版必修1
知识点一 单调增函数与单调减函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意 两个值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)(f(x1)＞f(x2))，那么就说y＝f(x) 在区间I上是单调增(减)函数，I称为y＝f(x)的单调增(减)区间.
知识点二 单调性与单调区间
解析答案
12345
4.函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围 是__m_＞__3___. 解析 因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)， 所以2m>－m＋9，即m>3.
解析答案
1 5.函数y＝x|x－1|的单调递增区间是_(_－__∞__，_2_]_，__[_1_，__＋__∞__) .
fa－fb 解析 由 a－b >0 知，当 a>b 时，f(a)>f(b)；
当a<b时，f(a)<f(b)，所以函数f(x)是R上的增函数.
解析答案
2.函数y＝x2－6x的减区间是_(_－__∞__，__3_] __. 解析 y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故减区间为(－∞，3].
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答案
(2)若函数f(x)在定义域内的两个区间D1，D2上都是减函数，那么f(x)的 减区间能写成D1∪D2吗？ 答 单调区间不能取并集，如 y＝1x在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞) 上也递减，但不能说 y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上递减.
答案
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题型探究
重点突破
题型一 求函数的单调区间 例1 画出函数y＝－x2＋2|x|＋1的图象并写出函数的单调区间.
解析
－1≤a≤1， 由题意得－1≤2－3a≤1，
苏教版数学高一苏教版必修1同步练习分数指数幂
2.2 指数函数2．2.1 分数指数幂1．若a ＝2，b ＝3，c ＝－2，则(a c )b ＝__________.2．根式a a 的分数指数幂形式为__________． 3.4(－25)2＝__________.4．(1)求下列各式的值：①2723；②(614)12；③(49)－32.(2)解方程：①x －3＝18；②x ＝914.课堂巩固1．下列命题中，正确命题的个数是__________． ①n a n ＝a ②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1 ③3x 4＋y 3＝x 43＋y ④3－5＝6(－5)22．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的序号是__________． ①－x ＝(－x)12(x ≠0) ②x x ＝x 34 ③x －13＝－3x ④3x·4x ＝x 112⑤(x y )－34＝4(y x )3(xy ≠0) ⑥6y 2＝y 13(y<0)3．2－(2k ＋1)－2－(2k －1)＋2－2k 的化简结果是__________．4．(1)设α，β是方程2x 2＋3x ＋1＝0的两个根，则(14)α＋β＝__________.(2)若10x ＝3,10y ＝4，则10x －12y ＝__________.5．求下列各式的值：(1)(0.027)23＋(12527)13－(279)0.5；(2)(13)12＋3·(3－2)－1－(11764)14－(333)34－(13)－1.6．已知a 12＋a －12＝4，求a ＋a －1的值．7．化简下列各式：(1)5x －23y 12(－14x －1y 12)(－56x 13y －16)； (2)m ＋m －1＋2m －12＋m 12.1．[(－2)2]－12的值是__________． 2．化简(36a 9)4·(63a 9)4的结果是__________．3．以下各式，化简正确的个数是__________．①a 25a －13a －115＝1； ②(a 6b －9)－23＝a －4b 6； ③(－x 14y －13)(x －12y 23)(－x 14y 23)＝y ；④－15a 12b 13c －3425a －12b 13c 54＝－35ac. 4．化简3(a －b)3＋(a －2b)2的结果是__________．5．下列结论中，正确的序号是__________．①当a<0时，(a 2)32＝a 3 ②n a n ＝|a|(n>1且n ∈N *)③函数y ＝(x －2)12－(3x －7)0的定义域是(2，＋∞) ④若100a ＝5,10b ＝2，则2a ＋b ＝16．(1)若a ＝(2＋3)－1，b ＝(2－3)－1，则(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2的值是__________．(2)若x ＞0，y ＞0，且x(x ＋y)＝3y(x ＋5y)，则2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y的值是__________． 7.已知a ＝2 0091n －2 009－1n 2(n ∈N *)，则(a 2＋1＋a)n 的值是__________． 8．若S ＝(1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)，那么S 等于__________． 9．先化简，再求值： (1)a 2·5a 310a 7·a，其中a ＝8－53； (2)a 3x ＋a －3xa x ＋a－x ，其中a 2x ＝5.10．(易错题)计算：(1)(235)0＋2－2·(214)－12－(0.01)0.5； (2)(279)0.5＋0.1－2＋(21027)－23－3π0＋3748； (3)(0.008 1)－14－[3×(78)0]－1×[81－0.25＋(338)－13]－12－10×0.02713.11．已知x 12＋x －12＝3，求x 32＋x －32＋2x 2＋x －2＋3的值．12．化简下列各式：(1)x －2＋y －2x －23＋y －23－x －2－y －2x －23－y －23； (2)a 43－8a 13b a 23＋23ab ＋4b 23÷(1－23b a )×3a.答案2．2 指数函数2．2.1 分数指数幂课前预习1.164 (a c )b ＝a bc ＝23×(－2)＝2－6＝126＝164. 2．a 32 a a ＝a·a 12＝a1＋12＝a 32. 3．5 4(－25)2＝4252＝454＝5.4．解：(1)①2723＝(33)23＝33×23＝32＝9.②(614)12＝(254)12＝[(52)2]12＝(52)2×12＝52. ③(49)－32＝(23)2×(－32)＝(23)－3＝(32)3＝278. (2)①∵x －3＝18＝2－3，∴x ＝2. ②∵x ＝914，∴(x)2＝(914)2＝912. ∴x ＝(32)12＝3. 课堂巩固1．1 ∵n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，当n 为奇数时，|a|，当n 为偶数时， ∴①不正确；∵a ∈R ，且a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34≠0，②正确； ∵x 4＋y 3为多项式，∴③不正确；④中左边为负，右边为正显然不正确．∴只有②正确．2．②⑤ ①－x ＝－x 12，∴①错；②x x ＝(x x)12＝(x·x 12)12＝(x 32)12＝x 34， ∴②对；③x －13＝1x 13＝13x ，∴③错；④3x·4x ＝x 13·x 14＝x 13＋14＝x 712，∴④错；⑤(x y )－34＝(y x )34＝4(y x )3，∴⑤对；⑥6y 2＝|y|13＝－y 13(y<0)， ∴⑥错．∴②⑤正确．3．－2－(2k ＋1) ∵2－(2k ＋1)－2－(2k －1)＋2－2k ＝2－2k ·2－1－2－2k ·21＋2－2k ＝(12－2＋1)·2－2k ＝－12·2－2k ＝－2－(2k ＋1)． 4．(1)8 (2)32 (1)由根与系数的关系，得α＋β＝－32， ∴(14)α＋β＝(14)－32＝(2－2)－32＝23＝8. (2)∵10x ＝3,10y ＝4，∴10x －12y ＝10x ÷1012y ＝10x ÷(10y )12＝3÷412＝32. 5．解：(1)原式＝(0.33)23＋(12527)13－(259)12＝9100＋53－53＝9100. (2)原式＝3－12＋33－2－(8164)14－(3－23)34－31 ＝33＋3(3＋2)－[4(34)4]14－3－12－3 ＝33＋3＋6－2·34－33－3 ＝6－342. 6．解：∵a 12＋a －12＝4.∴两边平方，得a ＋a －1＋2＝16.∴a ＋a －1＝14.7．解：(1)原式＝245×5×x －23＋1－13×y 12－12＋16＝24x 0y 16＝24y 16； (2)原式＝(m 12)2＋2m 12·m －12＋(m －12)2m －12＋m 12＝(m 12＋m －12)2m 12＋m －12＝m 12＋m －12. 课后检测 1.22 原式＝2－12＝12＝22. 2．a 4 原式＝(3a 96)4·(6a 93)4＝(a 32×13)4·(a3×16)4＝(a 12)4·(a 12)4＝a 2·a 2＝a 4. 3．3 由分数指数幂的运算法则知①②③正确；对④，∵左边＝－35a 12＋12b 13－13c －34－54＝－35a 1b 0c －2＝－35ac －2≠右边，∴④错误． 4．b 或2a －3b 原式＝a －b ＋|a －2b|＝⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋2b －a ，a ＜2b a －b ＋a －2b ，a ≥2b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ b ，a ＜2b ，2a －3b ，a ≥2b. 5．④ ①中，当a ＜0时，(a 2)32＝[(a 2)12]3＝(|a|)3＝(－a)3＝－a 3，∴①不正确；当a ＜0，n 为奇数时，n a n ＝a ，∴②不正确；③中，有⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，3x －7≠0，即x ≥2且x ≠73，故定义域为[2，73)∪(73，＋∞)， ∴③不正确；④中，∵100a ＝5,10b ＝2，∴102a ＝5,10b ＝2,102a ×10b ＝10.∴2a ＋b ＝1.∴④正确．6．(1)23 (2)3 (1)a ＝12＋3＝2－3，b ＝12－3＝2＋3， ∴(a ＋1)－2＋(b ＋1)－2＝(3－3)－2＋(3＋3)－2＝1(3－3)2＋1(3＋3)2＝(3＋3)2＋(3－3)2(3－3)2·(3＋3)2＝32＋2·3·3＋3＋32－2·3·3＋3[(3－3)(3＋3)]2 ＝2×9＋6(9－3)2＝2436＝23. (2)由已知条件，可得(x)2－2xy －15(y)2＝0，∴x ＋3y ＝0或x －5y ＝0.∵x ＞0，y ＞0，∴x ＝5y ，x ＝25y.∴原式＝50y ＋225y 2＋3y 25y －25y 2＋y ＝50y ＋10y ＋3y 25y －5y ＋y ＝63y 21y＝3. 7．2 009 ∵a ＝2 0091n －2 009－1n 2， ∴a 2＋1＝1＋2 0092n ＋2 009－2n －24＝(2 0091n )2＋2＋(2 009－1n )24 ＝(2 0091n ＋2 009－1n 2)2. ∴a 2＋1＋a＝2 0091n ＋2 009－1n 2＋2 0091n －2 009－1n 2 ＝2 0091n. ∴(a 2＋1＋a)n ＝(2 0091n)n ＝2 009. 8.12(1－2－132)－1 原式＝(1－2－132)(1＋2－132)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132＝(1－2－116)(1＋2－116)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132 ＝(1－2－18)(1＋2－18)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132＝(1－2－14)(1＋2－14)(1＋2－12)1－2－132＝(1－2－12)(1＋2－12)1－2－132＝1－2－11－2－132＝12(1－2－132)－1. 9．解：(1)原式＝a2＋35－710－12＝a 75＝(8－53)75＝8－73＝(23)－73＝2－7＝1128.(2)原式＝(a x )3＋(a －x )3a x ＋a－x ＝(a x ＋a －x )(a 2x －a x ·a －x ＋a －2x )a x ＋a －x＝a 2x －1＋a －2x ＝5－1＋15＝415. 10.解：(1)原式＝1＋14·(49)12－(1100)12＝1＋14×23－(110)2×12＝1＋16－110＝1115. (2)原式＝(259)12＋(110)－2＋(6427)－23－3×1＋3748＝53＋100＋(43)－2－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100. (3)原式＝[(0.3)4]－14－3－1×[(34)－14＋(278)－13]－12－10×[(0.3)3]13＝0.3－1－13[3－1＋(32)－1]－12－10×0.3 ＝103－13(13＋23)－12－3＝103－13－3＝0. 点评：一般地，进行指数幂的运算时，常化负指数为正指数，化小数为分数，若含根式，则化根式为分数指数幂，这样便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，也是简化运算的常用技巧．若不按此规律，则会使运算变得烦琐，甚至会导致计算错误．在计算过程中一定要熟记分数指数幂的意义及运算性质和公式成立的条件，认真细致、一丝不苟，并边做边检查，否则会“一步出错，全盘皆输”．11．解：∵x 12＋x －12＝3，∴(x 12＋x －12)2＝9. ∴x ＋x －1＝7.∴原式＝(x 12)3＋(x －12)3＋2x 2＋x －2＋3＝(x 12＋x －12)(x －1＋x －1)＋2(x ＋x －1)2－2＋3＝3×(7－1)＋272－2＋3＝25. 12．解：(1)原式＝(x －23)3＋(y －23)3x －23＋y －23－(x －23)3－(y －23)3x －23－y －23＝(x －23)2－x －23·y －23＋(y －23)2－(x －23)2－x －23·y －23－(y －23)2＝－2(xy)－23. (2)原式＝a 13[(a 13)3－(2b 13)3]a 23＋2a 13b 13＋(2b 13)2÷(1－2b 13a 13)×a 13＝a 13(a 13－2b 13)[a 23＋2a 13b 13＋(2b 13)2]a 23＋2a 13b 13＋(2b 13)2÷a 13－2b 13a 13×a 13＝a 13(a 13－2b 13)·11×a 13a 13－2b 13×a 13＝a 13·a 13·a 13＝a.。
苏教版高中数学必修一：2.2-1分数指数幂1教案
观察上述结果，你能得到什么结论？
（2）用分数指数幂表示下列根式:
（1） =（2） =（3） =（4） =（5） =
函数的本质是对应，但并非所有的对应都是函数，一个必须是建立在两个非空数集间的对应，二是对应只能是单值对应．
判断两个函数是否为同一函数，一看对应法则，二看定义域．
课外作业
教学小 结
备课时间
2016年10月10日
编写吕世金
上课时间
第周周月日
班级节次
课题
分数指数幂(1)
总课时数
第节
教学目标
1．理解n次方根及根式的概念；
2．掌握n次根式的性质,并能运用它进行化简，求值；
3．提高观察、抽象的能力．
教学重难点
对n次方根及根式的概念的理解；运用n次根式的性质,进行根式化简，会进行根式与分数指数幂的互化。
教学参考
教材、教参
授课方法
自学、观察、归纳、概括
教学辅助手段
多媒体
专用教室
教学过程设计
教
学
二次备课
【复习引入】：
初中我们学过：如果 ，那么 称为 的； 如果 ，那么 称为 的；
类似地，如果 ，那么 称为 的；（其中 ）
【建构数学】：
1、 次实数方根的定义：
【合作探究】：
2、n次实数方根的性质
类比平方根、立方根，得到以下结论：
（1）当 为奇数时，正数的 次方根是一个，负数的 次方根是一个。
这时， 的 次实数方根只有一个，记为
（2）当 为偶数时，正数的 次实数方根有，它们互为，记为
（3）0的 次实数方根是
用类比的方法引入n次实数方根的定义。
思考：要使满足
这样的x有几个？
高中数学分数指数幂同步练习1 苏教版 必修1
高中数学分数指数幂同步练习1 苏教版 必修1一．选择题1.下列各式中，正确的是（ ） A ．21)(a a -=-B ．331a a -=-C ．)0(3162<=b b b D ．)0,()()(4343≠=-b a ab b a2．在ab 8,16,31,543中，属于最简根式的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．下列等式中，一定成立的是（ ） A ．a a a =⋅3143 B ．05454=⋅-bb C ．23132c c c =÷ D ．2631)(x x =4．数3334445555,4,3---===c b a 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c <<5．数816141)51(,)31(,)21(---===c b a 的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．a b c << 二．填空题6. 化简 4222)9124(b ab a +-= . 7．在下面括号内填上适当的数使等式成立（m,n,p 均为正整数） ()()()3)3(]3[)811(555===--- 8计算.=⨯-⨯----21583)81()4(])21[(9.将 322- 化成不含根号的式子为 . 10．比较63123,11,5的大小，用”<”连接起来: 三．解答题11.求值:(1)432981⨯ (2)63125.132⨯⨯（3）32032)51()75.0()21()833(----+---（4）432213)21()22()254()1.0(----⨯-÷12．化简：（1）=⋅-⋅-------1201323254)4()2()(y x y x y x（2）=⋅⋅-----23522126121)4()()(ba b a b a13.计算:（1）=÷⋅----3438583213124434181)27()16()3(z y x y x z y x(2) =⋅÷--------3123526233)5()9()3(c ab c b ba c14.先化简,再求值: (1)232baab ba ,其中2006,256==b a(2) 2231212121])()([------a b a b a ,其中83121,2==-b a 。
22.苏教版·高中数学必修Ⅰ教案_§2.2.1 分数指数幂(1)
2.2.1 分数指数幂▲ 课程学习目标1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．(1) 理解n 次方根，n 次根式的概念及其性质，能根据性质进行相应的根式计算． (2) 能认识到分数指数是指数概念由整数向有理数的一次推广，了解它是根式的一种新的写法，能正确进行根式与分数指数幂的互化．(3) 能利用有理指数运算性质简化根式运算．2．通过指数范围的扩大，使学生能理解运算的本质，认识到知识之间的联系和转化，认识到符号化思想的重要性，在抽象的符号或字母的运算中提高运算能力．3．通过对根式与分数指数幂的关系的认识，使学生能学会透过表面去认清事物的本质．[重点难点]1、目标重点：分数指数幂的意义，根式与分数指数幂之间的相互转化，有理指数幂的运算性质．2、目标难点：根式的概念，根式与分数指数幂之间的相互转化，了解无理数指数幂．[学法关键]学习时可以考虑以下几点：①熟悉正整数幂各部分的名称及运算的本质，与熟悉的运算相联系，树立起转化的观点．②根据方根的意义及根式的定义,记忆重要公式: n x a =⇔x＝ ,, ,0, 0.n n a n a a ⎪⎨⎪⎪=⎩为奇数,为偶数为正数,不存在为偶数为负数,．③在n 次方根的定义中并没有将n 次方根符号化原因是结论的多样性，需要先研究规律，再把它符号化．将对n 次方根的认识逐层递进，直至找出运算上的规律．一、引入一张报纸折叠50次以后,有多厚呢?同学们你们想过吗?我们近似看作是5020.01⨯毫米吧, 这是多高呢?11,258,999.07千米报纸叠了一次变成了两层,二次变成了4层,三次变成了8层,……x 次变成了2x层,则层数y 与次数x 间的函数关系式为2xy =,这就是我们要研究的一个新的函数,指数函数.上例中我们只提到了x 取正整数,若取0或负数也有意义,取无理数呢?1：整数指数幂（1）正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，即...n n a a a a =个（2）正整数指数幂的运算法则：(0,)m n m nm n m n a a a a a a a m n +-=÷=≠> ①②()()m n mnn n n a a ab a b == ③④()(0)nn n a a b b b=≠⑤ 其中m 、n 都是正整数，且法则②中限定m ＞n （为什么？）. （3）整数指数幂为了取消m ＞n 的限制，我们定义了零指数幂和负整数指数幂：0*11,(,0)n n a a n N a a-==∈≠ 这样，上面的5条运算定律就可以归纳为3条（①、③、④），同时，将指数的范围扩大到了整数．为保证法则②、⑤对任意整数都成立，我们规定0,0a b ≠≠2:根式如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根 ,如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根 一般地，如果a x n =，其中n >1，且n ∈N *, 那么x 叫做a 的n 次实数方根．注: ①当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．此时，a 的n 次方根只有一个,记为x =②当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．它们可以合并成±n a （a >0）的形式．式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n ．对于根式记号n a ,要深刻理解以下几点： ①n ∈N,且n ＞1．②当n 为大于1的奇数时，n a 对任意a ∈R 都有意义，它表示a 在实数范围内惟一的一个n 次方根，（n a ）n ＝a ． ③若一个数x 的n 次方等于a (nx a =)，那么x 怎么用a 来表示呢？仅x ＝n a 这个回答是不完整的．应该是这样的：n x a =⇔x＝ ,, ,0, 0.n n a n a a ⎪⎨⎪⎪=⎩为奇数,为偶数为正数,不存在为偶数为负数,例1.(课本P46例1)说明:化简时要注意根号内外的指数及被开方数的奇偶数问题!练习:(课时训练P33例1) 求下列各式的值:=2+-=8(2(2-+--- =-83: 分数指数幂我们规定正数的正分数指数幂的意义是：0,,*,1)m na a m n N n =>∈>，于是在条件0,,*,1a m n N n >∈>下，根式都可以写成分数指数幂的形式.正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定：0,,*,1)m naa m n N n -=>∈>，0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂没有意义.关于分数指数幂要注意以下几点：①分数指数幂m na 不可理解为mn个a 相乘，它是根式的一种新的写法. ②引入分数指数幂的概念后，指数概念由整数指数幂扩充为有理指数幂．4:分数指数幂的运算性质(1)有理数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样：,(),()r s r s r s rs n n n a a a a a ab a b +=== ，其中0,0,,a b r s Q >>∈根式运算可将根式化为分数指数幂，利用分数指数幂的运算性质进行计算．注意：当指数从整数指数推广到了有理指数后，m na =增加了限制条件“0a >”或“0,0ab >>”，做题中要注意这一限制，否则可能会出现错误..(2) 无理指数幂：当a ＞0, p 是一个无理数时，规定p a 表示一个确定的实数，而且有理指数幂的运算性质对于无理指数幂也适用．这样，指数概念扩充到了整个实数范围．分析:指数幂运算要先化简底数,再将指数相乘!分析:分数指数幂运算时,要先将各指数暴露出来,同底数相乘的指数相加,外面有幂的,指数相乘!练习: (课时训练P33例2)1.计算:(1) --+(2)1101347(0.0081)[3()]100.0278---⨯-⨯.解析:(1)原式=11211333347333263(33)-⨯-⨯⨯-⨯+⨯1213333633-=-⨯+12133323330-=-⨯⨯+=;(2) 原式=114133433[()](31)10[()]1010---⨯-⨯1313()1010310-=--⨯ =1013033--=.2. (课时训练P33练习4)若0a <,化简113366()()||a a a 可得 .解析: 113366()()||||1||||a aa a a a a =-+=-.3.(课时训练P33练习2)对任意实数x , 下列各式中恒成立的是( )A. 211332()x x = B. 211332()x x = C. 311535()x x = D. 131355()x x --=分析: A 错 21113322())||x x ==B 错 22113332()x x == (0x ≥) D 错 131355()x x --= (0x ≠)(课本P47练习1) 答案:.2. (1)23a ;(2) 322x y ;(3) 32m . 3.(1)125 ;(2)8125;(3)6 . 4.(1)38a ;(2)32x y -;(3)423x y .分数指数幂的化简例5.下列各式中正确的是（ ） A ．n n a ＝a （n ∈N*） B ．（n a ）n ＝a （n ∈N*）C ．npm p a ＝n m a （n ，m ，p ∈N*） D ．nma －＝mna1（m ，n ∈N*，a ＞0）分析：我们知道，如果x n ＝a ，则称x 是a 的n 次方根．若a ＝0时，则x ＝0，即n 0＝0，若a ≠0时，当n 为正奇数时，x ＝n a ，其符号与x 的符号一致；当n 为正偶数时，则a 一定大于零，x ＝士n a ，即正数的偶次方根有两个，它们互为相反数．解析：A 、C 中的根指数与被开方式的指数能否约分，取决于实数a 的符号． 如：44)2(－≠－2和4543)2(⨯⨯－≠53)2(－，应该先将被开放式底数－2化成2，然后再进行化简．故A ，C 不一定成立． 对于分数指数幂nm a 不能理解为有nm个a 相乘，我们规定nma ＝n m a （a ＞0，m ，n ∈N*）．应该注意，nm a－的分数指数mn-的分子和分母与根式的根指数n 和被开方式的指数m 之间的对应关系，不可颠倒．故D 不成立．因此选B ．练习:1.用分数指数幂的形式表示下列各式：23(0)a a a >式中115222222;a a a aa +=⋅== 2211333333;a a a aa +=⋅==1131322224()().a a a a ⋅==小结:在进行根式的运算前或运算后，必须把原式或者结果化成最简根式，根式的运算法则为：①根式的加减法是把各根式化成最简根式，再合并同类根式． ②根式的乘除法是把各根式化成同次根式，再应用性质：n nnnn nb aba ab b a ==⋅,(b≠0)进行． ③根式的乘方是应用(n m m n a a =)(进行运算． ④根式的开方是应用n m m n a a ⋅=进行．⑤ 对于根式的乘除法、乘方和开方可以先化为分数指数幂后再用有理指数幂的运算性质进行运算.例7.若222x x -+= , 求88x x -+之值.分析：对有条件(222x x -+=)的代数式求值,一般有两种方法:一是将条件具体化,因为122x x-=, 相当于条件中给出了2x的值; 二是利用某些关系式,找出所求代数式与已知关系式间的关系.解析: 方法一 ∵222x x -+= , ∴1222x x +=, 2(2)122x x +=⋅ , 即2(2)2210x x -⋅+= , 2(21)0x -= , 21x = , 即0x = .∴882x x-+= .方法二 ∵33333388(2)(2)22(2)(2)x x x x x x x x ----+=+=+=+2222(22)[(2)22(2)](22)[(2)1(2)]x x x x x x x x x x -----=+-⋅+=+-+第 11 页 共 11 页 2(22)[(22)3]x x x x --=++- , 又222x x -+= ,∴882x x -+= . 反思 领悟: 整体思想是一种重要的数学思想,利用整体思想去观察发现问题,可以起到简化运算和简缩思维的效果.。
苏教版数学高一《分数指数幂》 精品学案 苏教
10．设m>0,n>0, ，化简A= 。
思考题：设 的值.
4．指数运算法则：
①②③
思考3：用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（式中字母都是正数）:
（1） （2） （3） （4）
三、典例欣赏：
例1．已知 的值.
变题1：已知 的值.
变题2：已知 ，求下列各式的值：（1） ；（2） ；（3） .
例2．比较 的大小.
例3. 求代数式 有意义的x的取值范围.
变题1：求使下列等式成立的x的取值范围：
§2.2.1分数指数幂
【学习目标】：
了解根式的概念；理解分数指数幂的概念；了解正整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂，并能正确地进行各种指数运算。
【教学过程】：
一、复习回顾：
（1）整数指数幂：①②③
（2）整数指数幂的运算性质：①②③
二、新课讲授：
1、根式：
（1）n次实数方根：
（2）n次实数方根的性质：
5.计算 =
6.求下列各式的值（其中各式字母均为正数）：
(1) =;（2） =__________; （3） =________
（4） =_______;(5) =;(6) =.
7.计算下列各式（其中各式字母均为正数）：
（） （2）
（3） （4）
（5） ；（6）
8. 已知 ；
9. 已知 =3，求（1） ；(2) ；(3) 的值。
（3）根式：，其中叫根指数，叫做被开方数。
性质： ，
思考1：求下列各式的值：
（1） （2） （3） （4） （a>b）
2、分数指数幂的意义：正数 的正分数指数幂 （
正数 的负分数指数幂 （
高中数学苏教版高一必修一学案 分数指数幂
3．1指数函数3．1.1分数指数幂学习目标 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义(重、难点)；2.会进行根式与分数指数幂的互化(重点)；3.掌握根式的运算性质和有理指数幂的运算性质(重点)．预习教材P59－61，完成下面问题：知识点一n次方根，n次根式一般地，有：(1)n次实数方根定义一般地，如果一个实数x满足x n＝a(n＞1，n∈N*)，那么称x为a的n次实数方根性质及表示n是奇数正数的n次实数方根是一个正数a的n次实数方根用符号na表示负数的n次实数方根是一个负数n是偶数正数的n次实数方根有两个，它们互为相反数正数a的正的n次实数方根用符号na表示，正数a的负的n次实数方根用符号－na表示，正的n次实数方根与负的n次实数方根可以合并成±na(a＞0)的形式负数没有偶次实数方根0的n次实数方根是0，记作n0＝0式子na叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数．【预习评价】思考若x2＝3，这样的x有________个；它们叫做3的________，表示为________．提示这样的x有2个，它们都称为3的平方根，记作±3.知识点二根式的性质一般地，有：(1)n0＝0(n∈N*，且n＞1)；(2)(na)n＝a(n∈N*，且n＞1)；(3)na n＝a(n为大于1的奇数)；(4)na n＝|a|＝⎩⎨⎧a(a≥0)－a(a＜0)(n为大于1的偶数)．【预习评价】思考我们已经知道，若x2＝3，则x＝±3，那么(3)2＝________，32＝________，(－3)2＝________.提示把x＝3代入方程x2＝3，有(3)2＝3；32＝9，9代表9的正的平方根即3.(－3)2＝9＝3.知识点三分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝na m(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝(a＞0，m，n∈N*, 且n＞1)．(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．【预习评价】用分数指数幂表示下列各式(式中a＞0)，(1)a 3＝________；(2)13a 5＝________.解析 (1)a 3＝(2)13a 5＝答案知识点四 有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 【预习评价】思考 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质对于有理数指数幂是否还适用？提示 由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数指数幂是有意义的，运算性质也适用．题型一 根式的意义【例1】 求使等式(a －3)(a 2－9)＝(3－a )a ＋3成立的实数a 的取值范围． 解(a －3)(a 2－9)＝(a －3)2(a ＋3)＝|a －3|a ＋3， 要使|a －3|a ＋3＝(3－a )a ＋3， 需⎩⎪⎨⎪⎧a －3≤0，a ＋3≥0，解得a ∈[－3,3]．规律方法 对于na ，当n 为偶数时，要注意两点：(1)只有a ≥0才有意义；(2)只要n a 有意义，na 必不为负．【训练1】 若a 2－2a ＋1＝a －1，求a 的取值范围． 解 ∵a 2－2a ＋1＝|a －1|＝a －1，∴a －1≥0，∴a ≥1.即a 的取值范围为[1，＋∞)． 题型二 根式的运算 【例2】 求下列各式的值．(1)3(－2)3；(2)4(－3)2；(3)8(3－π)8； (4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3)． 解 (1)3(－2)3＝－2.(2)4(－3)2＝432＝ 3. (3)8(3－π)8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|，当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4. 因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.规律方法 (1)解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值．(2)开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件进行分类讨论．【训练2】化简下列各式．(1)5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(a－b)4.解(1)5(－2)5＝－2.(2)4(－10)4＝|－10|＝10.(3)4(a－b)4＝|a－b|＝⎩⎪⎨⎪⎧a－b(a≥b)，b－a(a＜b).题型三根式与分数指数幂的互化【例3】将下列根式化成分数指数幂形式．(1)3a·4a；(2) a a a；(3)3a2·a3；(4)(3a)2·ab3.解(1)3a·4a＝(2)原式＝(3)原式＝(4)原式＝规律方法在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：，其中字母a要使式子有意义．【训练3】用分数指数幂表示下列各式：(1) 3a·6－a(a＜0)；(2) 3ab2(ab)3(a，b＞0)；(3)(b＜0)；(4)13x(5x2)2(x≠0)．解(1)原式＝＝(a＜0)．题型四分数指数幂的运算【例4】(1)计算：(2)化简：解(1)原式＝－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝＝＝a0＝1.规律方法指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的，无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质．【训练4】计算或化简：(1)－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)解 (1)原式＝＝－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.互动 探究题型五 给值求值问题【探究1】 已知a ＞0，b ＞0，且a b ＝b a ，b ＝9a ，求a 的值． 解 方法一 ∵a ＞0，b ＞0，又a b ＝b a ，方法二 因为a b ＝b a ，b ＝9a ， 所以a 9a ＝(9a )a ，即(a 9)a ＝(9a )a ， 所以a 9＝9a ，a 8＝9，a ＝43. 【探究2】 已知＝3，求下列各式的值．(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)解 (1)将a 12＋a －12＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.(2)对(1)中的式子平方， 得a 2＋a －2＋2＝49， 即a 2＋a －2＝47.(3)＝a ＋a －1＋1＝8.【探究3】 已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a ＞b ＞0，求a －ba ＋b的值．解 ∵a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝6，ab ＝4，∵a ＞b ＞0，∴a ＞b . ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2 ab a ＋b ＋2 ab ＝6－2 46＋2 4＝210＝15， ∴a －b a ＋b＝15＝55.规律方法 给值求值问题，即带有附加条件的求值问题，一般不求出单个式子或未知数的值，而是利用整体思想，将所求的式子转化为已知的式子．课堂达标1.(a －b )2＋5(a －b )5的值是________．解析 当a －b ≥0时，原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. 答案 0或2(a －b )2．化简(1－2x )2(2x >1)的结果是________． 解析 ∵2x >1，∴1－2x <0. ∴(1－2x )2＝|1－2x |＝2x －1.答案 2x －13．化简－x 3x 的结果是________． 答案 －－x4．已知10m ＝2,10n ＝3，则103m －n ＝________. 解析 103m －n＝103m 10n ＝(10m )310n ＝233＝83.答案 835．将下列根式化成分数指数幂的形式． (1) (a ＞0)； (2)13x (5x 2)2(x ＞0)；(3)(b ＞0)．解 (1)原式＝(2)原式＝(3)原式＝课堂小结1．掌握两个公式：(1)(n a )n ＝a (n ∈N *)；(2)n 为奇数且n ∈N *，na n ＝a ，n 为偶数且n ∈N *，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).2．根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算．在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.。
[中学联盟]江苏省宿迁中学高中数学必修一苏教版：2.2-1分数指数幂
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1. n次实数方根的定义是什么？
一 般 地 ,如 果一个实 数 x 满 足 xn a
(n 1, n N ), 那么称 x为a的n次实数方根
2. 类比立方根、平方根的性质，你能得到:当n为奇数 时,n次实数方根具有哪些性质？记为什么？ 当 n为偶 数呢？ 当为奇数时，
1 2
2
1
a
3 2
2
3
a4
.
例3.化简下列各式a 0,b 0
23
5
1.a 3a 4 a6
2 .
1
a3
3
a4
12
3
2 1
.4a 3 b 3
பைடு நூலகம்
2 3
1
a3
1
b3
4. a2 2 a2 a2 a2
例4.求使下列式子有意义的x的集合.
1
.
3
2
x
3 4
2.
x
1
1 3
例5.解下列方程
正数的n次实数方根是一个正数，负数的n次实数方 根是一个负数。这时，a的n次实数方根只有一个，
记为：x n a
例如 : 33 27 3 3 27 ; 23 8 2 3 8 ;
x3 6 x 3 6.
当n为偶数时，
正数的n次实数方根有两个，它们是互为相反数， 这时，正数a的正的n次实数方根用符号 n a 表示， 负的n次实数方根用符号 n a 表示，它们可以合起
根式
例1: 求下列各式的值:
1
2
5;
2
3 2
3
;
3 4 2 4 ;
4 3 2 .
解 1 5 2 5 .
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2.2 指数函数2．2.1 分数指数幂在初中我们已经知道：若x2＝a，则x叫做a的平方根，同理，若x3＝a，则x叫做a 的立方根．根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为±2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如－8的立方根为－2；零的平方根、立方根均为零，那么类比平方根、立方根的概念，n次方根的概念是什么呢？基础巩固1．下列各式中，对x∈R，n∈N*恒成立的是( )A.nx n＝x B.n|x|n＝xC．(nx)n＝x D.2nx2n＝|x|解析：nx n＝⎩⎪⎨⎪⎧x，n为奇数|x|，n为偶数.答案：D2．设a ＝424，b ＝312，c ＝6，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b <c <aC ．b >c >aD ．a <b <c解析：将根指数化为相同，再比较被开方数． 答案：D3．式子3＋5＋3－5的化简结果为( )A ．1B ．10C ．100 D.10解析：3＋5＋3－5＝6＋252＋6－252＝ 5＋122＋5－122＝10. 答案：D 4.614－3338＋40.0625－(3＋π)0的值是( ) A ．0 B.12 C ．1 D.32解析：原式＝52－32＋0.5－1＝12.答案：B5．已知x 2＋x －2＝22且x >1，则x 2－x －2的值为( )A ．2或－2B ．－2C ．2 D. 6解析：(x 2＋x －2)2＝(22)2，即x 4＋x －4＋2＝8，即x 4＋x －4＝6，而(x 2－x －2)2＝x 4＋x －4－2＝4，又∵x >1，∴x 2>x －2，故x 2－x －2＝2. 解析：C6．计算： 2＋2 5－52＋1 5－1 ＝________.解析：5－5＝－5(5－1)，2＋2＝2(2＋1)． 答案：－107．若4a 2－4a ＋1＝3 1－2a 3，则a 的取值范围是________．解析：∵ 2a －1 2＝|2a －1|＝1－2a ， ∴2a －1≤0，即a ≤12.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，128.5＋26＋5－26＝________.解析：原式＝3＋2＋3－2＝2 3. 答案：239．化简：（12x－14x＋1）（x12＋14x＋1）（x －12x＋1）＝________.解析：原式＝[(12x＋1)2－(14x)2](x －12x＋1)＝(x ＋1＋12x)(x －12x＋1)＝(x ＋1)2－(12x)2＝x 2＋x ＋1.答案：x 2＋x ＋1 10.⎝⎛⎭⎪⎫36a 94·⎝ ⎛⎭⎪⎫63a 94的结果是________．解析：[()1396a]4·[()1663a]4＝142⨯a·142⨯a＝a 2＋2＝a 4.答案：a 411．用分数指数幂表示4a 3a a ＝________.解析：原式＝⨯⨯[()a]aa 111342＝.a38答案：a3812．若m ＝(2＋3)－1，n ＝(2－3)－1，则(m ＋1)－2＋(n ＋1)－2＝________.解析：∵m ＝2－3，n ＝2＋3，∴原式＝13－3 2＋1 3＋3 2＝112－63＋112＋63＝1116＝16()2＋3＋2－3＝46＝23.答案：2313．（132-a b-34）·（－a 12b－13）6÷（－3a 23b-14）＝________.解析：原式＝－2－3+-31233a31- -2+44b＝853223-a b . 答案：853223-a b14．计算： 33yx·3x2y(x >0)．解析：原式＝1-133()yx 12123)-(x y＝511+26323-⨯x1132-y＝152663.3-yx能力提升15.8 2＋1 22＋1 24＋1 28＋1 ＋1＝________.解析：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(28－1)(28＋1)＋1 ＝216－1＋1＝216. ∴原式＝22＝4.答案：416．化简：a 3b 23ab 2a 14b 12 43b a(a ，b >0)的结果是________．解析：原式＝1123223⎡⎤⎢⎥⎣⎦a b (ab )÷112 33⎛⎫ ⎪⎝⎭-ab b a ＝112133232⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ab÷7233⎛⎫ ⎪⎝⎭a b＝5233-a×4733-b＝a b.答案：a b17．x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则4x 2－4x ＋1＋2x 2－4x ＋4＝________.解析：原式＝|2x －1|＋2|x －2| ＝2x －1＋2(2－x )＝2x －1＋4－2x ＝3. 答案：318．已知a ＝-11n n220132013(n ∈N *)，求(a 2＋1＋a )n的值．解析：∵a ＝220132013--11nn，∴a 2＋1＝2420132013-+-22nn＋1＝2211n n2420132013-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝2420132013-⎛⎫ ⎪⎝⎭+11n n ＝2220132013-⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭11nn.∴a 2＋1＋a ＝220132013-+11nn＋220132013--11nn.∴(a 2＋1＋a )n＝2013.19．已知a 2x＝2＋1，求a 3x ＋a －3xa x ＋a －x的值．解析：原式＝()()21x-x x -2x x -xa+a a -+a +a a＝a 2x ＋a－2x－1＝2＋1＋12＋1－1＝2＋2－1＝22－1.20．设x ＝3a ＋a 2＋b 3＋3a －a 2＋b 3，求x 3＋3bx －2a 的值．解析：设u ＝3a ＋a 2＋b 3，v ＝3a －a 2＋b 3，则x ＝u ＋v ，u 3＋v 3＝2a ，uv ＝3a 2－ a 2＋b 3 ＝－b .x 3＝(u ＋v )3＝u 3＋u 3＋3uv (u ＋v )＝2a －3bx ，∴x 3＋3bx －2a ＝0.21．化简：-2-222--33-+y x yx －-2-222--33--yxyx .解析：原式＝3322332233-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- - -+y x +yx －3322332233⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- - ----y x yx＝223⎛⎫ ⎪⎝⎭-x －2233--yx ＋22 3-⎛⎫ ⎪⎝⎭y －2222223333⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦- - - -++y y x x＝43- x－23- (xy)＋43- y－43- x－2- 3(xy)－43- y＝－22 3-(xy)＝－23xy xy.22．化简：2133+1-+a 1a a＋1311++a a－13--13a 1aa.解析：原式看上去比较复杂，不易发现项与项之间、分子与分母之间的关系，如令b ＝13a，式子就变得简单些了．令b ＝13a，即a ＝b 3，原式＝b 3－1b 2＋b ＋1＋b 3＋1b ＋1－b 3－bb －1＝()()211+12b-b +b+b b+＋()()1112b+b -b+b-－()()111b b+b-b-＝b －1＋b 2－b ＋1－b 2－b＝－b ＝－13a.。