集合的运算 (二)
集合的基本运算(二)
（3）A ðU A. 例2.已知U=R,Q={有理数}，求 ðU Q. 例3.使用集合A,B的交集、并集、补 集分别表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四 个部分所表示的集合. 结论1
痧( A B) ( U A) ( U B) U
例4.设全集为R, A={x∣ x<5}, B={x∣ x>3}.求：
x x U , 且x A
图示
ðU A
U
3.补集的性质：
（）A ðU A=U（）A ðU A=（）ðU=U 1 2 3
（5）痧 U A A
U
ðU A
（）ðU U= 4
U
4.例题分析
A ð （2） ðU A, 例1.已知U={1,2,3,4,5,6},A={1,2,3},求（1） U A,
2 （4）若U= 1, 3,a 2a 1 a=________ 1 5
，A=｛1，3｝，ðu A =｛5｝， U
ðU ðU （5）已知A=｛0，2，4｝， u A =｛－1，1｝， B =｛－1， ｛1,4｝ 0，2｝，则B=__ ____________
x x < 1或x （6）设全集U=R , ðu A = x 1 x < 3, 则A=___________ 3 U
思考？ (2)中的U改为 x 2 x 6 , 则A=?
x x 1或3 x 4或x 5 则A=____________________________.
ห้องสมุดไป่ตู้
6.小结：
（1）全集： 如果集合U含有我们所要研究的各个集合的全 部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通 常用U表示. (2)补集： ð A = x x U , 且x A U
1.1.3集合的基本运算(二)课件(北师大版必修一)
（1）A={a，b，c,d}，B={c，d },C={a，b};
（2）A={x∣x是实数}，B={x ∣x是无理数}，
C={x ∣x是有理数}；
（3）A={x|1<x<8},B={ x|4<x<8},C={ x|1<x<4}；
知识要 点
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所 涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记 作U. 通常也把给定的集合作为全集. 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素 组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集 合A的补集.
A∩B = x x A且x B
补运算
ð U A = x x U且x A
进行以不等式描述的或以区间形式出现的 集合间的并、交、补运算时，一定要画数轴帮 助分析.
（1）运算顺序：括号、补、交并；
（2）运算性质：
ð ∪(A∪B)＝ ð ∪A∩ ð∪B； ð ∪(A∩B)＝ ð A∪ ð B； ∪ ∪ ð∪A∩A＝Φ， ð A∪A＝U， ð ( ð A)＝A. ∪ ∪ ∪
的简洁和准确.
教学重难点
重点
全集与补集的概念.
难点
理解全集与补集的概念、符号之间的区别与联系.
新课导入
集合之间的基本关系是类比实数之间的关系 得到的，集合之间的交、并集运算同样类比实数 的运算得到。
想一想
实数有加法运算，那么
集合是否也有“减法”呢？
观察
下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B 之间的关系吗？
B={3，4，5，6},求∁ UA, ∁ UB. 解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6}, 所以 ∁ UA={4,5,6} ∁UB={1,2} .
集合的运算律公式(二)
集合的运算律公式(二)集合的运算律公式交换律交换律指的是集合的并、交运算，在交换操作的顺序不影响最终结果。
具体公式如下：•并运算交换律：A ∪ B = B ∪ A•交运算交换律：A ∩ B = B ∩ A例如：设集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {3, 4, 5}。
则根据并运算交换律，有A ∪ B = B ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5}。
根据交运算交换律，有A ∩ B = B ∩ A = {3}。
结合律结合律指的是集合的并、交运算，在结合操作的顺序不影响最终结果。
具体公式如下：•并运算结合律：(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)•交运算结合律：(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)例如：设集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {3, 4, 5}，集合 C = {1, 3, 5}。
则根据并运算结合律，有(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪C) = {1, 2, 3, 4, 5}。
根据交运算结合律，有(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) = {3}。
分配律分配律指的是集合的并、交运算之间的关系。
具体公式如下：•并运算对交运算的分配律：A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)•交运算对并运算的分配律：A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)例如：设集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {3, 4, 5}，集合 C = {1, 3, 5}。
根据并运算对交运算的分配律，有 A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) = {1, 2, 3, 4, 5}。
根据交运算对并运算的分配律，有A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {1, 3}。
吸收律吸收律指的是集合的并、交运算与集合的子集之间的关系。
具体公式如下：•并运算对子集的吸收律：A ⊆ (A ∪ B)•交运算对子集的吸收律：(A ∩ B) ⊆ A例如：设集合 A = {1, 2, 3}，集合 B = {3, 4, 5}。
集合间的基本运算(2)
A
BC
集合C是由所有属于集合A或属于B的元素组成的．
例题分析
例1: 设A 1, 2,3, 4 , B 0, 2, 4, 6，
则A B {0,1, 2,3, 4,6}
例2:设集合A {x | 1 x 2}, B {x |1 x 3}， 求A B. A B {x | 1 x 2} {x |1 x 3} x | 1 x 3 解：
思 考： 观察下列各个集合，你能说出
集合C与集合A、B之间的关系吗？
(1) A 1,3,5, B 2,4,6, C 1,2,3,4,5,6
(2) A x x是有理数 , B x x是无理数 , C x x是实数
集合C是由所有属于集合A或属于B的元素组成的．
集合的基本运算
1.3.2 并 集
复习：
1、集合C的元素既属于集合A，又属于集 合B，那么集合C就是集合A与集合B的交集。
记作： A B 读作：A交B
说明 1: 两个集合求交集，结果还 是一个集合，是由集合A与B的公共 元素组成的集合。
说明 2: 两个集合求交集，结果还是 一个集合，当集合A与B的没有公共 元素时，交集是空集，而不能说 没有交集
并 集
一般地,对于两个给定的集合A、B，由集合A、B的所 有元素所组成的集合叫做A与B的并集（Union set）． 记作：A 即： A
B (读作：“A并B”) B = x x A或x B
Venn图表示： A
A∪B
B
1.1.3 集合的基本运算(2)
研一研·问题探究、课堂更高效
第2课时
例 2 已知集合 S＝{x|1<x≤7}， A＝{x|2≤x<5}， B＝{x|3≤x<7}． 求：(1)(∁SA)∩(∁SB)； (3)(∁SA)∪(∁SB)；
解 如图所示，可得
(2)∁S(A∪B)； (4)∁S(A∩B)．
A∩B＝{x|3≤x<5}，A∪B＝{x|2≤x<7}， ∁SA＝{x|1<x<2，或 5≤x≤7}，
练一练·当堂检测、目标达成落实处
第2课时
1．已知集合 U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁ UA 等于( D ) A．{1,3} C．{3,5,9}
解析
B．{3,7,9} D．{3,9}
在集合 U 中，去掉 1,5,7，剩下的元素构成∁UA.
练一练·当堂检测、目标达成落实处
第2课时
∁SB＝{x|1<x<3}∪{7}．
由此可得：(1)(∁SA)∩(∁SB)＝{x|1<x<2}∪{7}．
研一研·问题探究、课堂更高效
第2课时
(2)∁S(A∪B)＝{x|1<x<2}∪{7}；
(3)(∁SA)∪(∁SB)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7} ＝{x|1<x<3，或 5≤x≤7}；
(4)∁S(A∩B)＝{x|1<x<3}∪{x|5≤x≤7} ＝{x|1<x<3，或 5≤x≤7}．
研一研·问题探究、课堂更高效
第2课时
小结
根据补集定义，借助 Venn 图，可直观地求出补集，
此类问题，当集合元素个数较少时，可借助 Venn 图；当集 合中元素无限个时，可借助数轴，利用数轴分析法求解．
1.1.3集合的基本运算(二)课件(北师大版必修一)
记作ðU A = {x | x U, 且x A}
补集可用Venn图表示为: U
ðUA
A
如果全集U是明确的，那么全集U可以省略不写， 将 ð U A 简记为 ðA,读作“A的补集”．
对于任意的一个集合A都有
（1） A (ð U A) = U； （2） A (ð U A) = ； （3） U
（1）A={a，b，c,d}，B={c，d },C={a，b};
（2）A={x∣x是实数}，B={x ∣x是无理数}，
C={x ∣x是有理数}；
（3）A={x|1<x<8},B={ x|4<x<8},C={ x|1<x<4}；
知识要 点
一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所 涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记 作U. 通常也把给定的集合作为全集. 对于一个集合A,由全集U中不属于A的所有元素 组成的集合称为集合A相对于全集U的补集,简称为集 合A的补集.
A∩B = x x A且x B
补运算
ð U A = x x U且x A
进行以不等式描述的或以区间形式出现的 集合间的并、交、补运算时，一定要画数轴帮 助分析.
（1）运算顺序：括号、补、交并；
（2）运算性质：
ð ∪(A∪B)＝ ð ∪A∩ ð∪B； ð ∪(A∩B)＝ ð A∪ ð B； ∪ ∪ ð∪A∩A＝Φ， ð A∪A＝U， ð ( ð A)＝A. ∪ ∪ ∪
(4) (A∩C)∪B＝{x|－4≤x≤3} 注意：用数轴来处理比较简捷（数形结合思想）
例 设集合A＝{－4，2m－1，m2}， B＝{9，m－5，1－m}，又A∩B＝{9}，求A∪B? 解：(1) 若2m-1＝9，得m＝5，得 A＝{-4,9,25}，B＝{9,0,-4}， 得A∩B＝{-4,9}，不符合题. (2) 若m2＝9，得m＝3或m＝-3，m＝3时， A＝{-4,5,9}，B＝{9,-2,-2} 违反互异性，舍去. 当m＝-3时， A＝{-4,-7,9}，B＝{9,-8,4} 符合题意。此时A∪B＝{-4,-7,9,-8,4} 由(1)(2)可知：m＝-3， A∪B＝{-4,-7,9,-8,4}
1.1.3集合的基本运算(二)课件(北师大版必修一)
3 2 x |－ < x <－ 或0 x 4
3 x |－ < x < 0 或1 x 4
(1)注意全集不是R； (2)用数轴来处理； (3)注意端点值是否可以取到.
注 意
课堂小结
并运算
集合运算 交运算
A∪B x x A或 x B A =
A∩B = x x A且x B
补运算
ð U A = x x U且x A
进行以不等式描述的或以区间形式出现的 集合间的并、交、补运算时，一定要画数轴帮 助分析.
（1）运算顺序：括号、补、交并；
（2）运算性质：
ð ∪(A∪B)＝ ð ∪A∩ ð∪B； ð ∪(A∩B)＝ ð A∪ ð B； ∪ ∪ ð∪A∩A＝Φ， ð A∪A＝U， ð ( ð A)＝A. ∪ ∪ ∪
记作ðU A = {x | x U, 且x A}
补集可用Venn图表示为: U
ðUA
A
如果全集U是明确的，那么全集U可以省略不写， 将 ð U A 简记为 ðA,读作“A的补集”．
对于任意的一个集合A都有
（1） A (ð U A) = U； （2） A (ð U A) = ； （3） U
注 意
例
x < 0. 求：(1) ð ∪C； (2) ð ∪A∪B； (3) ð∪A∪( ð∪B∩C)
B＝{x|0≤x≤3}，C＝ 解：（1） ∪C= ð
, 1 已知U＝ x | －3 < x 4 A = x | － < x < 1 ,
x | －2
3 1 (2) ð ∪A∪B= x |－ < x －或3 < x 4
集合的基本运算(2)
1.1.3《集合的基本运算（2）》导学案【学习目标】1、理解全集与补集的定义，会求给定子集的补集.2、熟练掌握集合的交、并、补综合运算及应用.【重点难点】▲重点：准确利用补集定义求解补集，集合的交、并、补综合运算.▲难点：集合的交、并、补综合运算及应用.【知识链接】1、集合与子集2、集合的交、并运算【学习过程】阅读课本第10页到第11页补集部分的内容，尝试回答以下问题：知识点一 补集问题1、结合全集的定义，你认为全集是固定不变的还是依据具体问题来加以选择的？试举例说明.问题2、全集用什么符号来表示?全集U 中子集A 的补集怎么表示?问题3、结合补集的定义填空(1) U C U =__________； (2)U C ∅=__________； （3）A A C U =__________；(4)A A C U =__________； (5))(A C C U U = __________.问题4、我们是用_______法来表示集合}{9U x x =是小于的正整数的,用_______法来表示集合}{1,2,3,4,5,6,7,8,9U =的.问题5、例9中集合}{U x x =是三角形的元素是什么？三角形可分为哪几类?问题6、你能理解集合U C ()A B 吗？我们是如何来求U C ()A B 的,分几个步骤？知识点二 集合的交、并、补综合运算及应用例1已知集合S={x |1<x ≤7},A={x |2≤x <5},B={x |3≤x <7},求:（1）（A C S ） （B C S ）；（2）)(B A C S ；（3）（A C S ） （B C S ）；（4）)(B A C S .点拨：利用数轴工具规律方法：思考：从本题的结果你可以发现什么规律？例2在开秋季运动会时，某班有28名同学参加比赛，其中有15人参加径赛，有8人参加田赛，有14人参加球类比赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加径赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田赛和球类比赛的有多少人？只参加径赛的同学有多少人？分析：问题1、若参加径赛、田赛、球类比赛的同学组成的集合分别为C B A 、、，则本题的叙述可否转化为数学语言？问题2、你能根据题意画出对应的韦恩图吗？规律方法：例3已知集合A={0624|2=++-a ax x x },B={x |x <0},若∅≠B A ,求a 的取值范围. 分析：问题1、由∅≠B A 方程06242=++-a ax x 的根的分布有那几种情况？问题2、分这些情况一一去讨论比较复杂，难于从正面入手，你能从反面入手解决这个问题吗？规律方法：例4、对于集合B A 、，定义B A - ={B x A x x ∉∈且|},B A ⊕ =)()(A B B A -- ,设M ={1,2,3,4,5,6},N ={4,5,6,7,8,9,10},则N M ⊕=________________.规律方法：【基础达标】A1、设}{S x x =是平行四边形或梯形，}{A x x =是平行四边形，}{B x x =是菱形，}{C x x =是矩形，求B C ，S C B ，S C A .A2、已知全集U={x |-2≤x ≤1},A={x |-2<x <1},B={x |022=-+x x },C={x |-2≤x <1},则( )A 、C ⊆AB 、C A C U ⊆ C 、C B C U =D 、B A C U =B3、设集合}{37A x x =≤<，}{210B x x =<<，求R C ()A B ，R C ()A B ， （R C A ）B ，A （R C B ）.B4、已知集合A ={012|2=++b ax x x }和B ={0|2=+-b ax x x }满足}2{)(=B A C U , A },4{)(=B C U R U =,求实数b a ,的值.C5、已知全集U=B A ={x 100|≤≤∈x N },A )(B C U ={1,3,5,7},求集合B .C6、已知全集U ={1,2,3,4,5}, A ={095|2=+-x x x },q A C U A U 及求,⊆.D7、已知全集为R ，集合P ={R x x x y y ∈++=,14|2},Q ={R x x x y y ∈++-=,32|2}求Q P 和)(Q C P R .D8、已知012=++ax x ，022=-+a x x ，0222=++ax x ，若这三个方程至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围.【小结】分类讨论思想、数形结合思想补集的思想、方程的思想【当堂检测】A1、已知全集}{1,2,3,4,5,6,7U =，}{2,4,5A =，}{1,3,5,7B =，求A （U C B ）， （U C A ） （U C B ）.B2、设全集U 和集合P B A ,,满足A =B C U ,B=P C U 则A 与P 的关系是：（ ）A 、P C A U =B 、P A =C 、P A ≠⊃D 、P A ≠⊂ B3、定义集合B A ,的一种运算A ※B ={x |x =B x A x x x ∈∈+2121,，其中},若A ={1,2,3},B ={1,2},则A ※B 中的所有元素数字之和为（ ）A 、9B 、14C 、18D 、21【课后反思】。
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＝{ 3，4，6 }∪ { 1，6 } ＝{ 1，3，4，6 }．
练习2 已知全集 U ＝ R，A＝｛x | －1＜x＜1｝． 求
UA
；
UA
UA
∩U；
UA
UA
∪U；
A∩
；
A∪
．
A ∪ B = {x | x 是奇数} ∪ {x | x 是偶数} = {x | x 是整数} = Z ．
例3 已知 C = { x | x≥1 }，D = { x | x＜5 }，
求 C ∩ D； C ∪ D．
1
5
x
解： C ∩ D = { x︱1 ≤x＜ 5 } ；
C ∪ D = R．
练习1 已知 A = {x | x 是锐角三角形}，
． ．
UA
练习1
设 U ＝{ 1，2，3，4，5，6 }，
A ＝{ 5，2，1 }，B ＝{ 5，4，3，2 }． 求 解：
UA
；
UB
； A U
B ； UA U
UB
．
U A ＝{ U B ＝{ U A∩
3，4，6 }； 1，6 }；
U B＝{
3，4，6 }∩{ 1，6 }＝{ 6 }；
UA∪ UB
(1，2)
x 3 x＋2 y = 7
4 x＋y = 6
补集的定义
全集U
冬瓜、
黄瓜、 鲫鱼、 茄子
虾、毛豆、猪肉、 芹菜、 土豆
A
冬瓜、虾、毛豆
A 在全集 U 中的补集
补集的定义
1．补集的定义 如果 集合 A 是全集 U 的一个子集 ，由 U 中的所有 不属于 A 的元素构成的集合，叫做 A 在U 中的补集．
例2 (2) 已知 A = {x | x 是奇数}， B = {x | x 是偶数}， Z = {x | x 是整数}，
求 A ∪ Z， B ∪ Z， A ∪ B ．
奇数பைடு நூலகம்
偶数
整
数
解： A ∪ Z = {x | x 是奇数} ∪ {x | x 是整数} = {x | x 是整数} = Z ；
B ∪ Z = {x | x 是偶数} ∪ {x | x 是整数} = {x | x 是整数} = Z ；
记作
UA
读作 A 在 U 中的补集
U
2．用 Venn 图表示出 “
A”
U
A
UA
集合的补集
例1 已知：全集U ＝ { 1，2，3，4，5，6 }， 集合 A＝ { 1，3，5 }， 则
U
A＝
U
{ 2，4，6 }
； ；
A∩
A＝
U
A
例2 已知：全集 U ＝{x | x 是实数 }， Q ＝{x | x 是有理数 }． 则
平 行 四 边 形
菱形
例4 已知 A ={ (x，y) | 4 x＋y = 6 }， B ={ (x，y) | 3 x＋2 y = 7 }． 求 A ∩ B．
y
解：A∩B = {(x，y) | 4 x＋y = 6 }
∩{(x，y) | 3 x＋2 y = 7 } 4 x＋y = 6 = (x，y) = {(1，2)}． 3 x＋2 y = 7 O
集 集合 合 1.1.4 集合的运算（二）
集合 集合
集合的交
交集：给定两个集合 A，B，由既属于 A 又属 于B 的所 有公共元素构成的集合，叫做 A，B 的交集． 记作 A ∩ B ， 读作 “ A 交 B ”． 请用阴影表示出 “ A∩B ”
A
B
B A
A (B)
A
B
例2 (1) 已知 A = {x | x 是奇数}， B = {x | x 是偶数}， Z = {x | x 是整数}， 求 A ∩ Z， B ∩ Z， A ∩ B ．
B = {x | x 是钝角三角形}．
求 A∩B ，A∪B． 锐角三角形
三角形
钝角三角形 直角三角形
斜三角形
解：A∩B = {x | x 是锐角三角形}∩{x | x 是钝角三角形}
= ； A∪B = {x | x 是锐角三角形}∪{x | x 是钝角三角形}
= {x | x 是斜三角形}．
练习2 已知 A = {x | x 是平行四边形}， B = {x | x 是菱形}， 求 A∩B； A∪B． 解：A∩B = {x | x 是平行四边形}∩{x | x 是菱形} = {x | x 是菱形} = B； A∪B = {x | x 是平行四边形}∪{x | x 是菱形} = {x | x 是平行四边形} = A．
给定两个集合 A ，B ，由属于 A 或属 于 B 的
所有元素构成的集合，叫做 A，B 的并集． 记作 A∪B , 读作 “ A 并 B ”． 2．并集的图示 请用阴影表示出 “ A ∪ B ”． A B A B A A(B)
如果 B A ，那么 A ∪ B ＝ A，A ∩ B = B ．
同理，如果A ∩ B = B 那么 B A
奇数 整 数
偶数
解： A∩Z = {x | x 是奇数}∩{x | x 是整数} = {x | x 是奇数} = A； B∩Z = {x | x 是偶数}∩{x | x 是整数} = {x | x 是偶数} = B； A∩B = {x | x 是奇数}∩{x | x 是偶数} = ．
集合的并
1．并集的定义
U
Q ＝ {x | x 是无理数}
．
Q∩
Q∪
Q＝ U
U Q＝
U
；
．
有理数 实
无理数
数
例3 已知全集 U ＝ R，A ＝{ x | x＞5 }，求
UA
．
x 5
解：
U A＝
{ x | x ≤ 5 }．
UA
练习 (1) 已知全集 U ＝ R，A ＝{ x | x＜1 }，求 (2) 已知全集 U ＝ R，A ＝{ x | x≤1 }，求