统计思想方法在求解整数列问题中的应用
整数裂项方法总结
整数裂项方法总结1. 引言整数裂项方法是一种数学技巧，用于处理包含整数的问题。
它的基本思想是将一个整数拆分成多个整数的和，从而简化问题的求解过程。
本文将对整数裂项方法进行总结和介绍。
2. 整数裂项方法的基本原理整数裂项方法的基本原理是将一个整数拆分成多个整数的和，通过对这些整数进行运算得到所需的结果。
裂项的数量和裂项的大小取决于具体的问题和求解目标。
3. 整数裂项方法的应用场景整数裂项方法可以应用于各种数学问题中，尤其是在组合数学、离散数学和计算机科学领域。
以下是一些常见的应用场景：a) 分解问题整数裂项方法可以用于将一个整数分解成多个整数的和，以满足某种条件。
例如，可以将一个整数分解成若干个质数的和，以满足给定的条件。
b) 组合问题整数裂项方法可以用于求解组合问题。
例如，在从一组数字中选取若干个数字，使其和等于给定的目标值的问题中，可以使用整数裂项方法。
c) 递归问题整数裂项方法可以用于递归问题的求解。
递归问题通常需要将一个问题分解成多个子问题，并对子问题进行求解。
整数裂项方法可以将一个整数拆分成多个整数的和，以便递归求解。
4. 整数裂项方法的实现步骤整数裂项方法的实现可以分为以下几个步骤：a) 确定裂项的个数根据具体的问题和求解目标，确定裂项的个数。
裂项的个数决定了问题的解的形式和求解过程的复杂度。
b) 确定裂项的大小确定裂项的大小，即裂项的取值范围。
裂项的大小决定了问题的解的空间和解的个数。
c) 列出裂项的所有可能组合根据裂项的个数和大小，列出裂项的所有可能组合。
这可以通过遍历所有可能的裂项组合来实现，也可以使用动态规划等方法来优化求解过程。
d) 进行裂项运算对裂项进行运算，得到所需的结果。
裂项的运算可以是简单的加法运算，也可以是复杂的乘法、除法等运算。
5. 实例分析为了更好地理解整数裂项方法，我们以一个实例进行分析。
假设有一个整数N，我们的目标是将N分解成k个小于等于M的整数的和，并求解满足条件的分解方式的个数。
2024年辽宁省盘锦市兴隆台区盘锦市第一完全中学一模数学模拟试题(解析版)
2023——2024学年度第三学期九年级第一次质量检测数学试卷考试时间120分钟 试卷满分120分亲爱的同学们：当你打开试卷的同时，你的思维将会接受一番挑战，希望你沉着冷静，仔细思考，相信自己，勇敢接受考验，争取考出自己的最佳水平！一、选择题（每题3分，共30分）1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据主视图是三角形，结合选项即可求解．【详解】解：∵主视图是直角三角形，故A ，C ，D 选项不合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了根据三视图还原几何体，主视图是在物体正面从前向后观察物体得到的图形；俯视图是站在物体的正面从上向下观察物体得到的图形；左视图是在物体正面从左向右观察到的图形，掌握三视图的定义是解题关键．2. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：，故选：B．为.723.910⨯82.3910⨯92.3910⨯90.23910⨯10n a ⨯110a ≤<n n 8239000000 2.3910=⨯【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值．3. 若某三角形的三边长分别为3，4，m ，则m 的值可以是（ ）A. 1B. 5C. 7D. 9【答案】B【解析】【分析】根据三角形的三边关系求解即可．【详解】解：由题意，得，即，故的值可选5，故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解答的关键．4. 计算）A. 1B. C. 5 D. 0【答案】D【解析】【分析】本题考查了实数的混合运算，先化简零次幂、绝对值，算术平方根，再运算加减，即可作答．【详解】解：故选：D5. 某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据概率公式可直接进行求解．10n a ⨯110a ≤<n n a n 4343m -<<+17m <<m (012+--1-(012++--123=+-0=18161412【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为；故选C ．【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．6. 某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A ，B ，C 三种图书，A 种每本30元，B 种每本25元，C 种每本20元，其中A 种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（ ）A. 5种B. 6种C. 7种D. 8种【答案】B【解析】【分析】设采购A 种图书x 本，B 种图书y 本，C 种图书z 本，根据采购三种图书需500元列出方程，再依据x 的数量分两种情况讨论求解即可．【详解】解：设采购A 种图书x 本，B 种图书y 本，C 种图书z 本，其中且均为整数，根据题意得，，整理得，，①当时，，∴∵且均为整数，∴当时，，∴；当时，，∴；当时，，∴；②当时，，∴∵且均为整数，∴当时，，∴；1456,0,0,x y z ≤≤>>,,x y z 302520500x y z ++=654100x y z ++=5x =6554100y z ⨯++=704,5z y -=0,0,y z >>,y z 70410z -=2y =15z =70430z -=6y =10z =70450z -=10y =5z =6x =6654100y z ⨯++=644,5z y -=0,0,y z >>,y z 64420z -=4y =11z =当时，，∴；当时，，∴；综上，此次共有6种采购方案，故选：B ．【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，正确理解题意、进行分类讨论是解答本题的关键．7. 下列命题正确的是( )A. 正方形的对角线相等且互相平分B. 对角互补的四边形是平行四边形C. 矩形的对角线互相垂直D. 一组邻边相等的四边形是菱形【答案】A【解析】【分析】根据正方形、平行四边形、矩形、菱形的各自性质和构成条件进行判断即可．【详解】A 、正方形的对角线相等且互相垂直平分，描述正确；B 、对角互补的四边形不一定是平行四边形，只是内接于圆，描述错误；C 、矩形的对角线不一定垂直，但相等，描述错误；D 、一组邻边相等的平行四边形才构成菱形，描述错误．故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定，解题的关键是熟悉掌握各类特殊四边形的判定和性质．8. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，“马”所在位置是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了点的坐标，熟练掌握平面内点的坐标平移规律进行求解即可得出答案．应用平面内点的平移规律进行计算即可得出答案．64440z -=8y =6z =64460z -=12y =1z =()2,1--()1,1()1,2()2,1()2,2【详解】解：根据平面内点的平移规律可得，把“帅”向右平移两个单位，向上平移3个单位得到“兵”的位置，，即棋子“马”所在的点的坐标为．故选：B ．9. 综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点C ，使得四边形为平行四边形．图1~图3是其作图过程．（1）作的垂直平分线交于点O ； （2）连接，在的延长线上截取； （3）连接，，则四边形即为所求．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD 为平行四边形的条件是（ ）A. 两组对边分别平行B. 两组对边分别相等C. 对角线互相平分D. 一组对边平行且相等【答案】C【解析】【分析】根据作图步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断．【详解】解：根据图1，得出的中点，图2，得出，可知使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形，判定四边形ABCD 为平行四边形的条件是：对角线互相平分，故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判断，解题的关键是掌握基本的作图方法及平行四边形的判定定理．10. 如图，在中，，，．动点从点出发，以的速度沿射线匀速运动，到点停止运动，同时动点从点的速度沿射线匀速运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．在的右侧以为边作菱形，点在射线．设点的运动时间为，菱形与的重叠部分的面积为，则能大致反映(23,13)∴-+-+(1,2)ABD △ABCD BD BD AO AO OC AO =DC BC ABCD BD O OC AO =ABCD Rt ABC △90ACB ∠=︒30A ∠=︒3cm AB =P A 1cm/s AB B Q A AC P Q PQ PQ PQMN N AB P ()s x PQMN ABC ()2cm y y与之间函数关系的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先证明菱形是边长为x ，一个角为的菱形，找到临界点，分情况讨论，即可求解．【详解】解：作于点D ，作于点E ，由题意得，，∴，∴，∴是线段的垂直平分线，∴，∴，，∴，，x PQMN 60︒PD AC ⊥⊥QE AB AP x=AQ=cos30AD AP x =⋅︒=12AD DQ AQ ==PD AQ 30PQA A ∠=∠=︒60QPE ∠=︒PQ AP x ==12QE AQ x ==PQ PN MN QM x ====当点M 运动到直线上时，此时，是等边三角形，∴，；当点Q 、N 运动到与点重合时，∴，；当点P 运动到与点重合时，∴，；∴当时，，当时，如图，作于点G ，交于点R ，则，，，∴，当时，如图，作于点I ，BC BMN 113AP PN BN AB ====1x =C B 、1322AP PN AB ===32x =B 3AP AB ==3x =01x <≤2y x x x ==312x <≤FG AB ⊥QM 32BN FN FB x ===-33FM MS FS x ===-)33FR x =-())22133332y x x x x x =-⋅--=332x <<HI AB ⊥则，，∴，综上，与之间函数关系的图象分为三段，当时，是开口向上的一段抛物线，当时，是开口向下的一段抛物线，当时，是开口向上的一段抛物线，只有选项A 符合题意，故选：A ．【点睛】本题主要考查了动点问题的函数的图象，二次函数的图形的性质，等边三角形的性质，菱形的性质，三角形的面积公式，利用分类讨论的思想方法解答和熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．二、填空题（每题3分，共15分）11. 计算：（a+1）2﹣a 2=_____．【答案】2a+1【解析】【详解】【分析】原式利用完全平方公式展开，然后合并同类项即可得到结果．【详解】（a+1）2﹣a 2=a 2+2a+1﹣a 2=2a+1，故答案为2a+1.【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式以及合并同类项的法则是解题的关键.12. 将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为_______cm ．3BP PH HB x ===-)3HI x =-())21332y x x x x =⋅--=y x 01x <≤312x <≤332x <≤30︒60α∠=︒B C 1cm,3cm AB【答案】【解析】【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：∵直尺的两边平行，∴，又，∴是等边三角形，∵点，表示刻度分别为，∴，∴∴线段的长为,故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．13. 垃圾分类（Refuse sorting ），是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的影响，并根据不同处置方式的要求，分成属性不同的若干种类．某市试点区域的垃圾收集情况如扇形统计图所示，已知可回收垃圾共收集60 吨，且全市人口约为试点区域人口的10倍，那么估计全市可收集的干垃圾总量为________．的260ACB ∠=︒ABC 60ACB α∠=∠=︒60A ∠=︒ABC B C 1cm,3cm 2cm BC =2cmAB BC ==AB 2cm 260ACB ∠=︒【答案】1500吨【解析】【分析】由题意易得试点区域的垃圾收集总量为300吨，然后问题可求解．【详解】解：由扇形统计图可得试点区域的垃圾收集总量为（吨），∴全市可收集的干垃圾总量为（吨）；故答案为1500吨．【点睛】本题主要考查扇形统计图，熟练掌握扇形统计图是解题的关键．14. 某款“不倒翁”（如图）的主视图是图，分别与所在圆相切于点A ，B ，若该圆半径是，则主视图的面积为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，先找到圆心，然后根据，分别与所在圆相切于点A ，B ．可以得到的度数，然后即可得到优弧对应的圆心角，再根据主视图的面积为计算即可．【详解】解：设圆心为O ，过O 作，，和相交于点，连接，如图，()60150129300÷---=％％％30050101500⨯⨯=％12,PA PB AMB10cm,60P ∠=︒2cm 2003π⎛⎫+⎪⎝⎭O PA PB AMB60P ∠=︒AOB ∠AMB PAO PBO AMB S S S ++扇形△△AO PA ⊥BO AB ⊥AO BO O OP∵，分别与所在圆相切于点A ，B ．∴，∵，∴，，∴优弧对应的圆心角为，，∵该圆半径是，∴，∴主视图的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，求扇形面积，牢记扇形面积公式是解题的关键．15. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于两点，以为边作等边三角形，若反比例函数的图象过点，则的值为_____________．【答案】【解析】【分析】过点A 作轴交x 轴于点D ，过点C 作轴于点E ，连接，首先联立PA PB AMB90OAP OBP ∠=∠=︒60P ∠=︒120AOB ∠=︒60AOP BOP ∠=∠=︒AMB 360120240︒-︒=︒30APO BPO ∠=∠=︒10cm PB PA ===PAO PBO AMBS S S ++扇形△△21240102102360π⨯=⨯⨯⨯+2200cm 3π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2003π⎛⎫ ⎪⎝⎭2y x =2y x=A B 、AB ABC k y x=C k 6-AD x ⊥CE x ⊥OC 22y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩求出，，然后利用勾股定理求出证明出，利用相似三角形的性质得到，最后将代入求解即可．【详解】如图所示，过点A 作轴交x 轴于点D ，过点C 作轴于点E，连接，∵一次函数与反比例函数的图象相交于两点，∴联立，即，∴解得，∴，，∴，，∴，∴∵是等边三角形，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，()1,2A ()1,2B --AO BO ==OC ==OCE AOD V V ∽CE =OE =(-k y x=AD x ⊥CE x ⊥OC 2y x =2y x=A B 、22y x y x =⎧⎪⎨=⎪⎩22x x =1x =±()1,2A ()1,2B --1OD =2AD =OA ==AO BO ==ABC CO AB ⊥1302ACO BCO ACB ∠=∠=∠=︒2AC OA ==OC ===90AOC ∠︒90AOD COE ∠+∠=︒90ADO ∠=︒90AOD OAD ∠+∠=︒∴，又∵，∴，∴，∴解得，，∴点C 的坐标为，∴将代入得，．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．三、解答题（共8题，共75分）16. 若关于的一元一次不等式组，至少有2个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，求所有满足条件的整数的值之和是多少？【答案】4【解析】【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．先解不等式组，确定a 的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a 的值，相加即可得到答案．【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式的解集为，∵不等式组至少有2个整数解，OAD COE ∠=∠90CEO ODA ∠=∠=︒OCE AOD V V ∽OC CE OE AO OD AD ==12CE OE ==CE =OE =(-(-k y x=6k =-=-6-x +34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩y 14222a y y-+=--a 6a ≤12a y -=+34222x x a ⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩①②5x ≤1+2a x ≥1+52a x ≤≤∴，解得：；∵关于y的分式方程有非负整数解，∴，解得：，即且，解得：且，∴a 的取值范围是，且，∴a 可以取：1，3，∴，故答案为：4．17. 在4×4的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）．（1）在图1中先画出一个以格点P 为顶点的等腰三角形，再画出该三角形向右平移2个单位后的．（2）将图2中的格点绕点C 按顺时针方向旋转，画出经旋转后的．【答案】（1）画图见解析（2）画图见解析【解析】【分析】（1）先画等腰三角形，，再确定平移后的对应点，再顺次连接即可；（2）确定A ，B 旋转后的对应点，而C 的对应点是其本身，再顺次连接即可．【小问1详解】解：如图，，即为所求作的三角形；1+42a ≤6a ≤14222a y y-+=--()1422a y --=-12a y -=102a -≥122a -≠1a ≥5a ≠16a ≤≤5a ≠134+=PAB P A B ''' ABC 90︒A B C ''△PAB PA PB =PAB P A B '''【小问2详解】如图，即为所求作的三角形，【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，作等腰三角形，熟练的利用网格特点以及平移旋转的性质进行作图是解本题的关键．18. 某洗车公司安装了，两款自动洗车设备，工作人员从消费者对，两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级，不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息．抽取的对款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据：83，85，85，87，87，89；抽取的对款设备的评分数据：68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100．抽取的对，款设备的评分统计表设备平均数中位数众数“非常满意”所占百分比889645%888740%A B C ''△A B A B x 70x <7080x ≤<8090x ≤<90x ≥A B A B A m B n根据以上信息，解答下列问题：（1）填空：_______，_______，_______；（2）5月份，有600名消费者对款自动洗车设备进行评分，估计其中对款自动洗车设备“比较满意”的人数；（3）根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由（写出一条理由即可）．【答案】（1）15，88，98（2）90（3）款，理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）【解析】【分析】（1）先根据“满意”的人数除以总人数求得“满意”所占百分比，进而求得，再根据中位数和众数的定义求得，；（2）利用样本估计总体即可；（3）根据平均数、中位数、众数及“非常满意”所占百分比即可得出结论．【小问1详解】解：抽取的对款设备的评分数据中“满意”的有6份，“满意”所占百分比为：，“比较满意”所占百分比为：，，抽取的对款设备的评分数据中的中位数是第10份和第11份数据的平均数，“不满意”和“满意”的评分有（份），第10份和第11份数据为“满意”，评分分别为87，89，，抽取的对款设备的评分数据中出现次数最多的是98，，故答案为：15，88，98；【小问2详解】解：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为：（人），答：600名消费者对款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人．【小问3详解】解：款自动洗车设备更受欢迎，=a m =n =A A A A B a m n A ∴6100%30%20⨯=∴130%45%10%15%---=15a ∴=A ()2010%15%5⨯+=∴∴8789882m +== B 98n ∴=A 60015%90⨯=A A理由：评分数据中款的中位数比款的中位数高（答案不唯一）．【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数，众数，样本估计总体，从统计图表中获取信息时，认真观察、分析，理解各个数据之间的关系是解题的关键．19. 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？最大利润是多少？【答案】定价为350元时，宾馆利润最大，为10890元【解析】【分析】宾馆所得利润（每个房间的定价支出费用）相对于180元增加了几个，利用公式法得到相应的房价和最大利润即可．【详解】解：设每个房间的定价为，利润，当时，元．答：当定价为350元时，宾馆利润最大，为10890元．【点睛】本题考查二次函数的应用；得到可住满房间数是解决本题的难点．20. 如图，平行四边形的对角线相交于点，点在对角线上，且，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形．（2）若的面积等于2，求的面积．【答案】（1）见解析（2）1【解析】【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分可得，，结合可得，即可证明四边形是平行四边形；（2）根据等底等高的三角形面积相等可得，再根据平行四边形的性质可得A B =-(50⨯-10)x 2180(20)(50)7013601010x x y x x -=-⨯-=-+-3502b x a=-=24108904ac b y a-==最大ABCD ,AC BD O ,E F BD BE EF FD ==,AE EC ,CF FA AECF ABE CFO △OA OC =OB OD =BE FD =OE OF =AECF 2AEF ABE S S ==V V．【小问1详解】证明：四边形是平行四边形，，，，，，又，四边形是平行四边形．【小问2详解】解：，，，四边形是平行四边形，．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．21. 因疫情防控需婴，一辆货车先从甲地出发运送防疫物资到乙地，稍后一辆轿车从甲地急送防疫专家到乙地．已知甲、乙两地的路程是，货车行驶时的速度是．两车离甲地的路程与时间的函数图象如图．（1）求出a 的值；（2）求轿车离甲地的路程与时间的函数表达式；（3）问轿车比货车早多少时间到达乙地？11121222CFO CEF AEF S S S ===⨯=V V V ABCD ∴OA OC =OB OD = BE FD =∴OB BE OD FD -=-∴OE OF = OA OC =∴AECF 2ABE S = BE EF =∴2AEF ABE S S ==V V AECF ∴11121222CFO CEF AEF S S S ===⨯=V V V 330km 60km /h (km)s (h)t (km)s (h)t【答案】（1）1.5 （2）s =100t -150（3）1.2h【解析】【分析】（1）根据货车行驶的路程和速度求出a 的值；（2）将（a ，0）和（3，150）代入s =kt +b 中，待定系数法解出k 和b 的值即可；（3）求出汽车和货车到达乙地的时间，作差即可求得答案．【小问1详解】由图中可知，货车a 小时走了90km ，∴a =；【小问2详解】设轿车离甲地的路程与时间的函数表达式为s =kt +b ，将（1.5，0）和（3，150）代入得，，解得，，∴轿车离甲地的路程与时间的函数表达式为s =100t -150；【小问3详解】将s =330代入s =100t -150，解得t =4.8，两车相遇后，货车还需继续行驶：(h)，到达乙地一共：3+3=6（h ），6-4.8=1.2(h)，∴轿车比货车早1.2h 时间到达乙地．【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用待定系数法求函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系，从图中准确获取信息是解题的关键．22. 根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度9060 1.5÷=(km)s (h)t 1.503150k b k b +=⎧⎨+=⎩100150k b =⎧⎨=-⎩(km)s (h)t ()330150603-÷=某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在，，三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．背景素材经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．问题解决分析规划选择两个观测位置：点_________和点_________任务1获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度．任务3换算高度楼房实际宽度为米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1．【答案】规划一：[任务 1]选择点和点；，，，测得图上；[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；规划二：[任务 1]选择点和点．[任务 2]；[任务 3]发射塔的实际高度为米；MN A B C MN DE 12mm A B 1tan 18∠=1tan 24∠=1tan 33∠=4mm AB =18mm 43.2A C 18mm 43.2【解析】【分析】规划一：[任务 1]选择点和点,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上[任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，设．根据，，得出，．由，解得，根据，得出，即可求解；[任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得， 规划二：[任务 1]选择点和点．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上；[任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．根据，，得出，．根据，得出，然后根据，得出，进而即可求解．[任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，即可求解．【详解】解：有以下两种规划，任选一种作答即可．规划一：[任务 1]选择点和点．，，，测得图上．[任务 2]如图1，过点作于点，过点作于点，则，设．∵，，A B 4mmAB =A AF MN ⊥F B BG MN ⊥G ()mm MF x =1tan 4x MAF AF ∠==41tan 3x MBG BG +∠==4AF x =312BG x =+AF BG =12x =1tan 488FN FAN ∠==6mm FN =5mm DE =h 51812h =43.2h =A C 12mm AC =A AF MN ⊥F C CG MN ⊥MN G 12mm FG AC ==()mm MF x =1tan 4x MAF AF ∠==121tan 2x MCG CG +∠==4AF x =224CG x =+AF CG =12x =1tan 488FN FAN ∠==6mm FN =5mm DE =h 51812h =43.2h =A B 1tan 18∠=1tan 24∠=1tan 33∠=4mm AB =A AF MN ⊥F B BG MN ⊥G 4mm FG AB ==()mm MF x =1tan 4x MAF AF ∠==41tan 3x MBG BG +∠==∵，∴解得，∴．∵，∴，∴．[任务3 ]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得，∴发射塔的实际高度为米．规划二：[任务 1]选择点和点．，，，测得图上．[任务 2]如图2，过点作于点，过点作，交的延长线于点，则，设．∵，，∴，．∵，∴，解得，AF BG =4312x x =+12x =448mm AF BG x ===1tan 488FN FAN ∠==6mm FN =12618mm MN MF FN =+=+=5mm DE =h 51812h=43.2h =43.2A C 1tan 18∠=1tan 24∠=1tan 42∠=12mm AC =A AF MN ⊥F C CG MN ⊥MN G 12mm FG AC ==()mm MF x =1tan 4x MAF AF ∠==121tan 2x MCG CG +∠==4AF x =224CG x =+AF CG =4224x x =+12x =∵，∴，∴．[任务 3]测得图上，设发射塔的实际高度为米．由题意，得，解得．∴发射塔的实际高度为米．【点睛】本题考查了解直角三角形应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键．23. 如图，在中，直径垂直弦于点，连接，作于点，交线段于点（不与点重合），连接．（1）若，求的长．（2）求证：．（3）若，猜想的度数，并证明你的结论．【答案】（1）1 （2）见解析（3），证明见解析【解析】【分析】（1）由垂径定理可得，结合可得，根据圆周角定理可得，进而可得，通过证明可得；（2）证明，根据对应边成比例可得，再根据，，可证；（3）设，，可证，，通过证明，进而可得，即，则．的1tan 488FN FAN ∠==6mm FN =12618mm MN MF FN =+=+=5mm DE =h 51812h=43.2h =43.2O AB CD E ,,AC AD BC CF AD ⊥F OB G ,O B OF 1BE =GE 2BC BG BO =⋅FO FG =CAD ∠45CAD ∠=︒90AED ∠=︒CF AD ⊥DAE FCD ∠=∠DAE BCD ∠=∠BCD FCD ∠=∠BCE GCE ≌1GE BE ==ACB △CEB ∽2BC BA BE =⋅2AB BO =12BE BG =2BC BG BO =⋅DAE CAE α∠=∠=FOG FGO β∠=∠=90αβ=︒-903OCF α∠=︒-SAS COF AOF ≌OCF OAF ∠=∠903αα︒-=245CAD α∠==︒【小问1详解】解：直径垂直弦，，，，，，由圆周角定理得，，和中，，，；【小问2详解】证明：是的直径，，在和中，，，，，由（1）知，，又，；【小问3详解】解：，证明如下：在 AB CD ∴90AED ∠=︒∴90DAE D ∠+∠=︒ CF AD ⊥∴90FCD D ∠+∠=︒∴DAE FCD ∠=∠DAE BCD ∠=∠∴BCD FCD ∠=∠BCE GCE BCE GCE CE CEBEC GEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BCE GCE≌()ASA ∴1GE BE == AB O ∴90ACB ∠=︒ACB △CEB 90ACB CEB ABC CBE ∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩∴ACB △CEB ∽∴BC BA BE BC=∴2BC BA BE =⋅GE BE =∴12BE BG = 2AB BO =∴2122BC BA BE BO BG BG BO =⋅=⋅=⋅45CAD ∠=︒如图，连接，，，直径垂直弦，，，又，，，设，，则，，，又，，，，，，，，，在和中，OC FO FG =∴FOG FGO ∠=∠ AB CD ∴CE DE =90AED AEC ∠=∠=︒ AE AE =∴ACE △ADE ≌()SAS ∴DAE CAE ∠=∠DAE CAE α∠=∠=FOG FGO β∠=∠=FCD BCD DAE α∠=∠=∠= OA OC =∴OCA OAC α∠=∠= 90ACB ∠=︒∴903OCF ACB OCA FCD BCD α∠=∠-∠-∠-∠=︒- CGE OGF β∠=∠=GCE α∠=90CGE GCE ∠+∠=︒∴90βα+=︒∴90αβ=︒- 2COG OAC OCA ααα∠=∠+∠=+=∴()2290180COF COG GOF αββββ∠=∠+∠=+=︒-+=︒-∴COF AOF ∠=∠COF AOF CO AO COF AOFOF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，即，，．【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等，难度较大，解题的关键是综合应用上述知识点，特别是第3问，需要大胆猜想，再逐步论证．∴()SAS COF AOF ≌∴OCF OAF ∠=∠903αα︒-=∴22.5α=︒∴245CAD α∠==︒。
2024届河北省承德市3月高三年级第五次调研考试数学试题
2024届河北省承德市3月高三年级第五次调研考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．247-B ．1731-C ．247 D ．17312．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=（ ）A ．18-B ．-C ．18D ．3．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤⎥⎝⎦D ．9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭4．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2474S S =，则公比q 的值为（ ）A ．1B ．1或12C ．2D ．2±5．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：如图的算法框图中输入的i a 为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m ，n 的值，则m n -=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．126．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1512,90a S ==，则等差数列{}n a 公差d =（ ） A ．2B ．32C ．3D ．47．已知m ，n 是两条不重合的直线，α是一个平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m α，//n α，则//m n B ．若//m α，n ⊂α，则//m n C ．若m n ⊥，m α⊥，则//n α D ．若m α⊥，//n α，则m n ⊥8．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．9．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．2210．已知函数()()sin 06f x A x a a A ωπ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在区间70,3ωπ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有三个零点1x ，2x ，3x ，且123x x x <<，若123523x x x π++=，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．23πC ．πD ．43π 11．在边长为3ABCD 中，60BAD ∠=︒，沿对角线BD 折成二面角A BD C --为120︒的四面体ABCD （如图），则此四面体的外接球表面积为（ ）A．28πB．7πC．14πD．21π12．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( )A．60种B．70种C．75种D．150种二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
离散数学组合分析初步
常见的组合恒等式
杨辉三角恒等式
杨辉三角是组合数学中的经典工具，其恒等式表示了组合 数之间的关系，如C(n,k) = C(n, n-k)等。
帕斯卡恒等式
帕斯卡恒等式是组合恒等式中的另一个重要公式，它描述 了阶乘与组合数之间的关系，如n! = n*(n-1)!。
欧拉恒等式
欧拉恒等式是组合恒等式中的又一经典公式，它描述了二 项式系数与阶乘之间的关系，如C(n,k) = n! / (k!(n-k)!) 。
离散数学组合分析初步
目
CONTENCT
录
• 组合数学概述 • 组合计数原理 • 组合恒等式 • 组合排列问题 • 组合问题求解方法 • 组合数学的应用实例
01
组合数学概述
组合数学的定义
02
01
03
组合数学是一门研究离散结构和组合关系的数学学科 。
它主要关注计数、排列和组合问题，以及与之相关的 结构和性质。
归纳法
归纳法是一种通过观察和总结规律来求解问题的方法。在组合问题中，归 纳法通常用于求解具有规律性或模式的问题。
归纳法的关键在于找到问题的规律性或模式，并利用这些规律或模式来推 导出问题的解。
归纳法的优点是思路简单，易于操作。但是，对于一些没有明显规律或模 式的问题，归纳法可能无法适用。
反证法
反证法是一种通过假设与已知条件矛盾 的结论来推导出问题解的方法。在组合 问题中，反证法通常用于证明某些组合 恒等式或不等式。
组合数学在计算机科学、统计学、运筹学和其他领域 都有广泛的应用。
组合数学的应用领域
80%
计算机科学
组合数学在计算机科学中用于设 计和分析算法，特别是在数据结 构和算法方面。
100%
计数原理-备战高考数学(理)一轮复习考点
计数原理【命题趋势】两个基本计数原理是高考必考内容，有时会单独考查，有时会出现在解答题的过程之中，我们必须掌握.（1）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.（2）会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.排列组合是高考中的必考内容，必须掌握.有时会是单独一道小题，有时会是在概率统计解答题中涉及，分值至少5分.（1）理解排列、组合的概念.（2）能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.（3）能解决简单的实际问题.二项式定理和排列组合在高考中一般交替考查，二者必出其一，二项式定理好拿分，熟练掌握即可.（1）能用计数原理证明二项式定理.（2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.【重要考向】考向一分类加法、乘法计数原理考向二两个计数原理的综合应用考向三排列与组合的综合应用考向四二项展开式通项的应用考向一分类加法、乘法计数原理（1）分类加法计数原理的特点：①根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准．②完成这件事的任何一种方法必须属于某一类．（2）使用分类加法计数原理遵循的原则：有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则．（3）应用分类加法计数原理要注意的问题：①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些办法，怎样才算是完成这件事．②完成这件事的n类方法是相互独立的，无论哪种方案中的哪种方法都可以单独完成这件事，而不需要再用到其他的方法．③确立恰当的分类标准，准确地对“这件事”进行分类，要求每一种方法必属于某一类方案，不同类方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须既不重复也不遗漏． （4）应用分步乘法计数原理要注意的问题：①明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题目中所给的某一步骤的某种方法是不能完成这件事的，也就是说必须要经过几步才能完成这件事．②完成这件事需要分成若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步骤，这件事都不可能完成．③根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，各步骤之间既不能重复也不能遗漏． （5）两个计数原理的区别与联系定义：若数列 {a n } 满足所有的项均由 ﹣1,1 构成且其中-1有m 个，1有p 个 (m +p ≥3) ，则称 {a n } 为“ (m,p) ﹣数列”．（1）a i ,a j ,a k (i <j <k) 为“ (3,4) ﹣数列” {a n } 中的任意三项，则使得 a i a j a k ＝1 的取法有多少种？ （2）a i ,a j ,a k (i <j <k) 为“ (m,p) ﹣数列” {a n } 中的任意三项，则存在多少正整数 (m,p) 对使得 1≤m ≤p ≤100, 且 a i a j a k =1 的概率为 12 .【答案】 （1）解：三个数乘积为1有两种情况：“ ﹣1,﹣1,1 ”,“ 1,1,1 ”,其中“ ﹣1,﹣1,1 ”共有： C 32C 41＝12 种, “ 1,1,1 ”共有： C 43=4 种,利用分类计数原理得：a i ,a j ,a k (i <j <k) 为“ (3,4) ﹣数列” {a n } 中的任意三项, 则使得 a i a j a k ＝1 的取法有： 12+4＝16 种．（2）解：与(1)同理,“ ﹣1,﹣1,1 ”共有 C m 2C p 1种, “ 1,1,1 ”共有 C P 3 种,而在“ (m,p) ﹣数列”中任取三项共有 C m+p3种, 根据古典概型有：C m 2C p 1+C p 3C m+p3=12 ,再根据组合数的计算公式能得到： (p ﹣m)(p 2﹣3p ﹣2mp +m 2﹣3m ﹣2)＝0 , ①p ＝m 时,应满足 {1≤m ≤p ≤100m +p ≥3p =m ,∴(m,p)=(k,k),k ∈{2,3,4,…,100} ,共 99 个,②p 2﹣3p ﹣2mp +m 2﹣3m ﹣2＝0 时,应满足 {1<m ≤p <100m +p ≥3p 2−3p −2mp +m 2−3m −2=0 , 视 m 为常数,可解得 p ＝(2m+3)±√24m+12,∵m ≥1, ∴√2m +1≥5 , 根据 p ≥m 可知, p ＝(2m+3)+√24m+12,∵m ≥1 , ∴√2m +1≥5 , 根据 p ≥m 可知, p ＝(2m+3)+√24m+12,（否则 p ≤m ﹣1 ）,下设 k ＝√2m +1 ,则由于 p 为正整数知 k 必为正整数, ∵1≤m ≤100 , ∴5≤k ≤49 ,化简上式关系式可以知道： m ＝k 2−124=(k−1)(k+1)24,∴k ﹣1,k +1 均为偶数,∴设k＝2t+1,(t∈N∗),则2≤t≤24,∴m＝k2−124=t(t+1)6,由于t,t+1中必存在偶数,∴只需t,t+1中存在数为3的倍数即可,∴t＝2,3,5,6,8,9,11,…,23,24,∴k＝5,11,13,…,47,49．检验：p＝(2m+3)+√24m+12=(k−1)(k+1)24≤48+5024＝100,符合题意,∴共有16个,综上所述：共有115个数对(m,p)符合题意．【考点】古典概型及其概率计算公式，分类加法计数原理，组合及组合数公式【解析】(1)易得使得a i a j a k＝1的情况只有“ ﹣1,﹣1,1”,“ 1,1,1”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.(2)易得“ ﹣1,﹣1,1”共有C m2C p1种,“ 1,1,1”共有C P3种.再根据古典概型的方法可知C m2C p1+C p3C m+p3=12,利用组合数的计算公式可得(p﹣m)(p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m﹣2)＝0,当p=m时根据题意有(m,p)=(k,k),k∈{2,3,4,…,100},共99个；当p2﹣3p﹣2mp+m2﹣3m﹣2＝0时求得p＝(2m+3)±√24m+12,再根据1≤m≤p≤100,换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1、2、3、4、5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m元（m为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励100×2= 200元）.（1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；（2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X的概率分布与期望E(X).【答案】（1）解：因为总的基本事件个数n1=A53=60，摸到三位数是奇数的事件数n2=A31A42=36，所以P1=3660=35；所以摸到三位数是奇数的概率35.（2）解：获奖金额 X 的可能取值为50、100、200、300、400、500， P(X =50)=35 ， P(X =100)=1×3×260=110， P(X =200)=1×3×160=120，P(X =300)=1×3×260=110 ， P(X =400)=1×3×160=120 ， P(X =500)=1×3×260=110 ，获奖金额 X 的概率分布为均值 E(X)=50×35+100×110+200×120+300×110+400×120+500×110=150 元. 所以期望是150元.【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差，分步乘法计数原理【解析】（1）首先利用排列求出摸三次的总的基本事件个数： n 1=A 53=60 ；然后利用分步计数原理求出个位的排法、十位百位的排法求出三位数是奇数的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）获奖金额X 的可能取值为50、100、200、300、400、500，求出各个随机变量的分布列，利用均值公式即可求解考向二 两个计数原理的综合应用（1）利用两个原理解决涂色问题解决着色问题主要有两种思路：一是按位置考虑，关键是处理好相交线端点的颜色问题；二是按使用颜色的种数考虑，关键是正确判断颜色的种数．解决此类应用题，一般优先完成彼此相邻的三部分或两部分，再分类完成其余部分．要切实做到合理分类，正确分步，才能正确地解决问题． （2）利用两个原理解决集合问题解决集合问题时，常以有特殊要求的集合为标准进行分类，常用的结论有123,,,,{}n a a a a 的子集有2n 个，真子集有21n个．对有 n(n ≥4) 个元素的总体 {1,2,3,⋅⋅⋅,n} 进行抽样，先将总体分成两个子总体 {1,2,3,⋅⋅⋅,m} 和 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} （ m 是给定的正整数，且 2≤m ≤n −2 ），再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本.用 P ij 表示元素 i 和 j 同时出现在样本中的概率. （1）求 P 1n 的表达式（用m ，n 表示）； （2）求所有 P ij (1≤i <j ≤n) 的和.【答案】 （1）解：由题意，从m 和 m −m 个式子中随机抽取2个，分别有 C m 2 和 C n−m2 个基本事件， 所以 P 1n 的表达式为 P 1n =m−1C m2⋅n−m−1C n−m2=4m(n−m) .（2）解：当 i,j 都在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中时，可得 P ij =1C m2 ，而从 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中选两个数的不同方法数为 C m 2 ，则 P ij 的和为1；当 i,j 同时在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时，同理可得 P ij 的和为1； 当 i 在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中， j 在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时， P ij =4m(n−m) ，而从 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中选取一个数，从 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中选一个数的不同方法数为 m(n −m) ， 则 P ij 的和为4，所以所有 P ij 的和为 1+1+4=6 .【考点】相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式，计数原理的应用，组合及组合数公式【解析】（1）根据组合数的公式，以及古典概型的概率计算公式和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；（2）当 i,j 都在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中时求得 P ij 的和为1，当 i,j 同时在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时，求得 P ij 的和为1，当 i 在 {1,2,⋅⋅⋅,m} 中， j 在 {m +1,m +2,⋅⋅⋅,n} 中时得到 P ij 的和为4，即可求解.6男4女站成一排，求满足下列条件的排法各有多少种？（用式子表达） （1）男甲必排在首位； （2）男甲、男乙必排在正中间； （3）男甲不在首位，男乙不在末位； （4）男甲、男乙必排在一起； （5）4名女生排在一起； （6）任何两个女生都不得相邻； （7）男生甲、乙、丙顺序一定．【答案】 解：（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，故有A 99种， （2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，故有A 22A 77种，（3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故有A 1010﹣2A 99+A 88种，（4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A 22A 88种，（5）4名女生排在一起，利用捆绑法，把4名女生捆绑在一起看作一个复合元素和另外全排，故有A 44A 77种，（6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，故有A 66A 74种， （7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，A 1010A 33=A 107种【考点】计数原理的应用【解析】（1）男甲必排在首位，则其他人任意排，问题得以解决． （2）男甲、男乙必排在正中间，则其他人任意排，问题得以解决， （3）男甲不在首位，男乙不在末位，利用间接法，故问题得以解决， （4）男甲、男乙必排在一起，利用捆绑法，问题得以解决， （5）4名女生排在一起，利用捆绑法，问题得以解决， （6）任何两个女生都不得相邻，利用插空法，问题得以解决， （7）男生甲、乙、丙顺序一定，利用定序法，问题得以解决．考向三 排列与组合的综合应用先选后排法是解答排列、组合应用问题的根本方法，利用先选后排法解答问题只需要用三步即可完成. 第一步：选元素，即选出符合条件的元素;第二步：进行排列，即把选出的元素按要求进行排列;第三步：计算总数，即根据分步乘法计数原理、分类加法计数原理计算方法总数.7名学生，按照不同的要求站成一排，求下列不同的排队方案有多少种． （1）甲、乙两人必须站两端； （2）甲、乙两人必须相邻．【答案】 （1）甲、乙为特殊元素，先将他们排在两头位置，有 A 22 种站法，其余5人全排列，有 A 55种站法．故共 A 22⋅A 55 有＝240种不同站法．（2）(捆绑法)：把甲、乙两人看成一个元素，首先与其余5人相当于六个元素进行全排列，然后甲、乙两人再进行排列，所以共 A 66⋅A 22 有＝1440种站法．【考点】排列、组合的实际应用，排列、组合及简单计数问题 【解析】（1）运用捆绑法直接求解即可； （2）运用特殊元素分析法直接求解即可.一个笼子里关着10只猫，其中有7只白猫，3只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻.如果 10 只猫都钻出了笼子，以X 表示7只白猫被3只黑猫所隔成的段数．例如，在出笼顺序为“□■□□□□■□□■”中，则 X =3 ． （1）求三只黑猫挨在一起出笼的概率； （2）求X 的分布列和数学期望.【答案】 （1）解：设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件A ，将三只黑猫捆绑在一起，与其它7只白猫形成 8 个元素， 所以， P(A)=A 33A 88A 1010=115，因此，三只黑猫挨在一起出笼的概率为 115 ；（2）解：由题意可知，随机变量X 的取值为1、2、3、4， 其中 X =1 时，7只白猫相邻，则 P(X =1)=A 77A 44A 1010=130 ，P(X =2)=(A 32C 21C 21C 61+6A 33+A 32C 61)A 77A 1010=310 ，P(X =3)=(A 31C 21A 62+A 32A 62)A 77A 1010=12 ；P(X =4)=A 63A 77A 1010=16， 所以，随机变量 X 的分布列如下表所示：因此， E(X)=1×130+2×310+3×12+4×16=145.【考点】古典概型及其概率计算公式，离散型随机变量的期望与方差，排列及排列数公式，排列、组合的实际应用【解析】（1）利用捆绑法计算三只黑猫挨在一起出笼的情况种数，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量X 的可能取值有1、2、3、4，利用排列组合思想求出随机变量X 在不同取值下的概率，可得出随机变量X 的分布列，利用数学期望公式可求得随机变量X 的数学期望.考向四 二项展开式通项的应用求二项展开式的特定项问题,实质是考查通项的特点,一般需要建立方程求k ,再将k 的值代回通项求解,注意k 的取值范围（0,1,2,,k n ）.（1）第m 项：：此时k +1=m ,直接代入通项.（2）常数项：即这项中不含“变元”,令通项中“变元”的幂指数为0建立方程. （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.已知 f(n)=a 1+a 2C n 1+⋯+arC n r−1+⋯a n+1C n n(n ∈N ∗).（1）若 a n =n −1 ，求 f(n) ；（2）若 a n =3n−1 ，求 f(20) 除以5的余数【答案】 （1）因为 f(n)=0C n 0+1⋅C n 1+2C n 2+3⋅C n 3⋯+nC n n . 所以 f(n)=nC n n +(n −1)C n n−1+(n −2)C n n−2+⋯+1⋅C n 1+0⋅C n0 2f(n)=nC n 0+nC n 1+nC n 2+⋯+nC n n =n(C n 0+C n 1+C n 2+⋯+C n n)=n ⋅2n ，∴f(n)=n ⋅2n−1（2）因为 f(n)=30C n 0+31C n 1+32C n 2+⋯+3n C n n =(1+3)n =4n .f(20)=420=(5−1)20=C 200520−C 201519+C 202518−⋯+C 201852−C 201951+C 202050 除以5余数为1，所以 f(20) 除以5的余数为1. 【考点】二项式系数的性质，二项式定理的应用【解析】（1） 因为f(n)=a 1+a 2C n 1+⋯+arC n r−1+⋯a n+1C n n(n ∈N ∗)，再结合a n =n −1 ， 得出f(n)=0C n 0+1⋅C n 1+2C n 2+3⋅C n 3⋯+nC n n ，再利用倒序求和法，所以 f(n)=nC n n +(n −1)C n n−1+(n −2)C n n−2+⋯+1⋅C n 1+0⋅C n 0 ， 再利用两式求和法结合二项式的系数的性质，得出 f(n) 。
江苏省百校大联考2024学年高三下学期第三次月考试数学试题
江苏省百校大联考2024学年高三下学期第三次月考试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()xf x a =（0a >，且1a ≠）在区间[],2m m 上的值域为[],2m m ，则a =（ ）A ．2B ．14C ．116或2 D ．14或4 2．已知平面向量()4,2a →=，(),3b x →=，//a b →→，则实数x 的值等于（ ） A ．6B ．1C ．32D ．32-3．已知各项都为正的等差数列{}n a 中，23415a a a ++=，若12a +，34a +，616a +成等比数列，则10a =（ ） A ．19B ．20C ．21D ．224．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2550S =，则1115a a +=（ ） A ．4B ．8C ．16D ．25．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．6．设x ，y 满足约束条件34100640280x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．107．以下四个命题：①两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近1；②在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断拟合效果，2R 越小，模型的拟合效果越好； ③若数据123,,,,n x x x x 的方差为1，则1232+1,2+1,2+1,,2+1n x x x x 的方差为4；④已知一组具有线性相关关系的数据()()()11221010,,,,,,x y x y x y ，其线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，则“()00,x y 满足线性回归方程ˆˆˆybx a =+”是“1210010x x x x +++= ，1210010y y y y ++=”的充要条件；其中真命题的个数为( )A ．4B ．3C ．2D ．18．已知函数()(0x f x m m m =->，且1)m ≠的图象经过第一、二、四象限，则|(2)|a f =，384b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，|(0)|c f =的大小关系为( ) A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c <<D ．b a c <<9．如图是国家统计局公布的年入境游客（单位：万人次）的变化情况，则下列结论错误的是（ ）A ．2014年我国入境游客万人次最少B ．后4年我国入境游客万人次呈逐渐增加趋势C ．这6年我国入境游客万人次的中位数大于13340万人次D ．前3年我国入境游客万人次数据的方差小于后3年我国入境游客万人次数据的方差10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C 的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=AB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x = B ．6y x = C ．(32=±y x D ．)31=±y x11．已知集合{}1A x x =<，{}1xB x e =<，则（ ） A ．{}1A B x x ⋂=< B ．{}A B x x e ⋃=< C ．{}1A B x x ⋃=<D ．{}01A B x x ⋂=<<12．如图，四面体ABCD 中，面ABD 和面BCD 都是等腰直角三角形，2AB =，2BAD CBD π∠=∠=，且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
十大数学算法
十大数学算法数学算法是应用数学的重要组成部分，它们是解决数学问题的有效工具。
在计算机科学中，数学算法被广泛应用于图像处理、数据分析、机器学习等领域。
下面将介绍十大经典数学算法，它们涵盖了数值计算、图论、概率统计等多个数学领域的核心算法。
一、牛顿法牛顿法是一种用于求解方程的迭代数值方法。
它通过不断逼近函数的根，实现方程的求解。
牛顿法的核心思想是利用函数的局部线性近似来逼近根的位置，通过迭代求解函数的根。
牛顿法在优化问题中有广泛应用，如求解最优化问题和非线性方程组。
二、高斯消元法高斯消元法是一种用于求解线性方程组的经典方法。
通过不断进行行变换，将线性方程组转化为上三角矩阵，进而直接求解出线性方程组的解。
高斯消元法在线性代数和计算机图形学中有广泛的应用。
三、快速傅里叶变换快速傅里叶变换（FFT）是一种高效的离散傅里叶变换计算方法。
它通过分治法将离散傅里叶变换的计算复杂度降低到O(n log n)的时间复杂度。
FFT在信号处理、图像处理等领域有广泛应用。
四、Prim算法Prim算法是一种用于求解最小生成树的贪心算法。
通过不断选取与当前最小生成树连接的最小权重边，逐步构建最小生成树。
Prim算法在图论和网络优化中有重要应用。
五、Dijkstra算法Dijkstra算法是一种用于求解单源最短路径问题的贪心算法。
通过使用优先队列来存储节点，不断选择当前最短路径长度的节点，逐步求解最短路径。
Dijkstra算法在路由器和网络优化中有广泛应用。
六、最小二乘法最小二乘法是一种用于求解参数估计问题的优化方法。
通过最小化观测值与估计值之间的差异平方和，得到参数的最优估计。
最小二乘法在回归分析和数据拟合中广泛应用。
七、蒙特卡洛方法蒙特卡洛方法是一种通过随机抽样和统计模拟，来解决复杂问题的数值方法。
它通过随机抽样来估计问题的概率或者数值解，适用于各种复杂的概率和统计计算问题。
八、梯度下降法梯度下降法是一种常用的优化算法，主要用于求解无约束最优化问题。
2021-2022学年天津外国语大学附属滨海外国语学校七年级(下)期末数学试题及答案解析
2021-2022学年天津外国语大学附属滨海外国语学校七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 49的算术平方根是( )A. 7B. ±7C. −7D. √72. 点(3,−2)所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列调查中，调查方式选择合理的是( )A. 为了了解某一品牌家具的甲醛含量，选择全面调查B. 为了了解神舟飞船的设备零件的质量情况，选择抽样调查C. 为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查D. 为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查4. 估计√23大小在( )A. 2与3之间B. 3与4之间C. 4与5之间D. 5与6之间5. 下列图形中，线段AD的长表示点A到直线BC距离的是( )A. B.C. D.6. 下列不等式变形正确的是( )A. 若a>b，则a+c<b+cB. 若a>b，则a−c<b−cC. 若a>b，则ac2+1>bc2+1D. 若a>b，则ac>bc7. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为2，点A坐标为(−2,1)，沿某一方向平移后点A1的坐标为(4,2)，则点C1的坐标为( )A. (2,3)B. (2,4)C. (3,4)D. (3,3)8. 如果方程x +2y =−4，2x −y =7有公共解，则公共解是( )A. {x =−2y =−3B. {x =2y =−3C. {x =2y =3D. {x =−2y =3 9. 如图，已知l//AB ，AC 为∠DAB 的角平分线，下列结论错误的是( )A. ∠1=∠4B. ∠1=∠3C. ∠2=∠3D. ∠1=∠510. 甲乙两地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时，若设船在静水中的速度为x 千米/时，水流速度为y 千米/时，则下列方程组中正确的是( )A. {18(x +y)=36024(x −y)=360B. {18(x +y)=36024(x +y)=360C. {18(x −y)=36024(x −y)=360D. {18(x −y)=36024(x +y)=36011. 已知关于x ，y 的二元一次方程组{2ax +by =3ax −by =1的解为{x =1y =1，则a 的值是( )A. −2B. 2C. 43D. 412. 已知4<m ≤5，则关于x 的不等式组{x −m <04−2x ≤0的整数解的个数共有( ) A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）13. 计算：√−273的结果等于______．14. 1−√3的相反数是______．15. 如图，直线AB//CD ，BC 平分∠ABD ，∠1=65°，求∠2的度数______．16. 如果关于x 的不等式3x −a ≤−1的解集如图所示，则a 的值是 ．17. 若{x =a y =b 是方程2x +y =0的一个解，则6a +3b −2=______．18. 若不等式组{x−13<x−22x <4m 无解，则m 的取值范围为______． 三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19. 解方程组：{x +y =43x −2y =7．四、解答题（本大题共6小题，共48.0分。