高中数学课件第2章 圆锥曲线与方程 2.2.1

标准方程
焦点在 x 轴上 ax22＋by22＝ 1(a>b>0)
焦点在 y 轴上 ay22＋bx22＝ 1(a>b>0)
图形
焦点坐标 (－c,0)，(c,0)
a，b，c 的 b2＝a2－c2 关系
(0，－c)，(0，c)
1.判断正误：
(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有 a2＝b2＋c2.( )
∴aa4022＋ ＋bb0122＝ ＝11
，⇒ab22＝ ＝41 .
故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
(2)由题意得 c2＝9－4＝5，又已知椭圆的焦点 在 x 轴上，故所求椭圆方程可设为λ＋x25＋yλ2＝1(λ＞0)， 代入点 A 坐标得λ＋9 5＋4λ＝1. 解得 λ＝10 或 λ＝－2(舍)，故所求椭圆的方程为1x52 ＋1y02 ＝1.
依题意有a1－2＋a22－2＋2b2
b322＝1 32＝1
，
解得ba22＝＝155 ，因为 a＞b＞0，所以无解. 所以所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
方法二：设所求椭圆的方程为 mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，
依题意有31m2m＋＋4nn＝ ＝11 ，解得nm＝＝15115
阶
阶
段
段
一
2.2 椭圆
三
2.2.1 椭圆的标准方程
学
阶 段 二
业 分 层 测
评
1.了解椭圆标准方程的推导过程.(难点) 2.会求椭圆的标准方程.(重点) 3.能运用椭圆的标准方程处理一些简单的实际问题.
[基础·初探] 教材整理 椭圆的标准方程 阅读教材 P28～P29 例 1 部分，完成下列问题.
.
所以所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52＝1.
1.确定椭圆方程的“定位”与“定量”.
2.巧设椭圆方程. (1)若椭圆的焦点位置不确定，需要分焦点在 x 轴上和在 y 轴上两种情况讨论， 也可设椭圆的方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B). (2)与椭圆ax22＋by22＝1 有相同焦点的椭圆方程可设为a2x＋2 λ＋b2y＋2 λ＝1.
[再练一题] 1.求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在 y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)； (2)过点 A(3，－2)且与椭圆x92＋y42＝1 有相同焦点.
【解】 (1)由于椭圆的焦点在 y 轴上，∴设它的标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞ 0).
由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，
【自主解答】 (1)方法一：由于椭圆的焦点在 x 轴上，∴设它的标准方程为ax22
＋by22＝1(a＞
b＞0).由题意
得5a22＋b022＝1， a2＝b2＋42，
解得ba22＝＝92，5， 所以椭圆的标准方程
为2x52 ＋y92＝1.
方法二：由于椭圆的焦点在 x 轴上，∴设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0). ∵2a＝ 5＋42＋ 5－42＝10，∴a＝5. 又 c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9.故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1. 方法三：由于椭圆的焦点在 x 轴上，∴设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0). 因为椭圆经过点(5,0)，所以 a＝5，又因为椭圆的焦点为(－4,0)和(4,0)，所以 c ＝4，所以 b2＝a2－c2＝9，故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
[小组合作型] 求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)经过点 A( 3，－2)和点 B(－2 3，1).
【导学பைடு நூலகம்：24830026】 【精彩点拨】 (1)利用椭圆的定义或待定系数法求解；(2)利用待定系数法求 解.
(2)方法一：①当焦点在 x 轴上时，设椭圆的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0).
依题意有－a322a22＋32－＋b22b122＝＝11
，解得ba22＝＝515 .故所求椭圆的标准方程为1x52 ＋y52
＝1.
②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为ay22＋bx22＝1(a＞b＞0).
2.a＝5，c＝3，焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为______.
【解析】 ∵a＝5，c＝3，∴b2＝25－9＝16， 又∵焦点在 y 轴上，∴椭圆的方程为2y52 ＋1x62 ＝1. 【答案】 2y52 ＋1x62 ＝1
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 2：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________ 疑问 3：________________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________________
(2)方程 2x2＋y2＝4 表示的曲线不是椭圆.( )
(3)圆是椭圆的特殊形式.( )
(4)方程ax22＋2ya2 ＝1(a>0)，表示焦点在 x 轴上的椭圆.(
)
【解析】 (1)√.由椭圆方程的推导过程可知 a2＝b2＋c2. (2)×.把方程 2x2＋y2＝4 化为标准形式为x22＋y42＝1，易知其表示的曲线是椭圆. (3)×.由圆和椭圆的定义可知其错误. (4)×.当 a2＞2a，即 a＞2 时，方程ax22＋2ya2 ＝1(a＞0)才表示焦点在 x 轴上的椭圆， 否则不是. 【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×