第三章曲线和曲面gai
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曲线曲面基本理论
值范围，还可以将曲线分为封闭曲线和非封闭曲线。
02
曲面理论
曲面的定义与表示
总结词
曲面是由三维空间中连续变化的点组成的几何体，可以用参数方程或显式方程表 示。
详细描述
曲面是几何学中的基本概念之一，它是由三维空间中连续变化的点组成的几何体 。曲面可以用参数方程或显式方程来表示，其中参数方程通常包含两个参数，而 显式方程则通过一个方程式表示曲面上所有点的坐标。
迹形成的新的保持了曲面的几何属性，如面积、形状等，同时受到曲线
形状和位置的影响。
应用场景
03
在计算机图形学、动画制作等领域中，投影是常用的技术手段，
用于将一个几何对象映射到另一个几何对象上。
曲线与曲面之间的变换关系
变换定义
曲线与曲面之间的变换是指通过一系列的几何变换（如平移、旋 转、缩放等），将一个几何对象转换为另一个几何对象。
感谢您的观看
THANKS
曲线曲面基本理论
目 录
• 曲线理论 • 曲面理论 • 曲线与曲面的关系 • 曲线曲面在几何图形中的应用 • 曲线曲面在物理中的应用
01
曲线理论
曲线的定义与表示
总结词
曲线的定义是指在一个平面或空间中，由一个点按照某种规律沿着确定的方向移动所形成的轨迹。曲线的表示方 法有多种，包括参数方程、直角坐标方程和极坐标方程等。
详细描述
参数方程的一般形式为 x=x(t), y=y(t), 其中 t 是参数。通过参数方程，我们可 以方便地描述曲线的形状和大小，例如曲线的长度、曲率、挠率等。此外，参 数方程还可以方便地表示曲线的旋转和对称性。
曲线的几何性质
要点一
总结词
曲线的几何性质是指曲线本身所具有的特性，包括曲线的 长度、曲率、挠率、渐近线等。这些性质可以通过参数方 程或直角坐标方程等表示方法方便地计算和描述。
02
曲面理论
曲面的定义与表示
总结词
曲面是由三维空间中连续变化的点组成的几何体，可以用参数方程或显式方程表 示。
详细描述
曲面是几何学中的基本概念之一，它是由三维空间中连续变化的点组成的几何体 。曲面可以用参数方程或显式方程来表示，其中参数方程通常包含两个参数，而 显式方程则通过一个方程式表示曲面上所有点的坐标。
迹形成的新的保持了曲面的几何属性，如面积、形状等，同时受到曲线
形状和位置的影响。
应用场景
03
在计算机图形学、动画制作等领域中，投影是常用的技术手段，
用于将一个几何对象映射到另一个几何对象上。
曲线与曲面之间的变换关系
变换定义
曲线与曲面之间的变换是指通过一系列的几何变换（如平移、旋 转、缩放等），将一个几何对象转换为另一个几何对象。
感谢您的观看
THANKS
曲线曲面基本理论
目 录
• 曲线理论 • 曲面理论 • 曲线与曲面的关系 • 曲线曲面在几何图形中的应用 • 曲线曲面在物理中的应用
01
曲线理论
曲线的定义与表示
总结词
曲线的定义是指在一个平面或空间中，由一个点按照某种规律沿着确定的方向移动所形成的轨迹。曲线的表示方 法有多种，包括参数方程、直角坐标方程和极坐标方程等。
详细描述
参数方程的一般形式为 x=x(t), y=y(t), 其中 t 是参数。通过参数方程，我们可 以方便地描述曲线的形状和大小，例如曲线的长度、曲率、挠率等。此外，参 数方程还可以方便地表示曲线的旋转和对称性。
曲线的几何性质
要点一
总结词
曲线的几何性质是指曲线本身所具有的特性，包括曲线的 长度、曲率、挠率、渐近线等。这些性质可以通过参数方 程或直角坐标方程等表示方法方便地计算和描述。
《自由曲线与曲面》课件
课件演示流程及时间安排
开场介绍：5分钟 添加标题
自由曲线与曲面的生成方法： 自由曲线与曲面的优化与改
15分钟
进：10分钟
添加标题
添加标题
提问与互动：5分钟 添加标题
添加标题
自由曲线与曲面的基本概念： 10分钟
添加标题
自由曲线与曲面的应用实例： 10分钟
添加标题 总结与展望：5分钟
课件素材及资源获取方式
结论与展望
课件页码及内容安排
• 封面：标题、作者、日期 • 目录：列出所有章节和页码 • 引言：介绍自由曲线与曲面的背景和重要性 • 第一章：自由曲线与曲面的定义和分类 • 第二章：自由曲线与曲面的性质和特征 • 第三章：自由曲线与曲面的表示方法 • 第四章：自由曲线与曲面的应用实例 • 结论：总结自由曲线与曲面的重要性和应用价值 • 参考文献：列出参考的书籍、论文和网站 • 致谢：感谢指导老师和同学的帮助 • 封底：结束语和版权声明
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自由曲线与曲面PPT课件
大纲
汇报人：
目录
01 02 03 04 05 06
添加目录项标题 课件简介 课件内容 课件结构 课件效果 总结评价
01
添加目录项标题
02
课件简介
课件背景
自由曲线与曲面是数学和计算机图形学中的重要概念 课件旨在帮助学生理解自由曲线与曲面的基本概念、性质和应用 课件内容涵盖了自由曲线与曲面的定义、分类、性质、表示方法、计算方法、应用实例等 课件适合数学、计算机科学、工程学等专业的学生和教师使用
课件目的
讲解自由曲线与曲面的生成 方法
介绍自由曲线与曲面的基本 概念和性质
探讨自由曲线与曲面的应用 领域
提高学生理解和应用自由曲 线与曲面的能力
高等数学中的空间曲线与曲面
参数定义：参数是描述曲面上点位 置的变量，通常用两个参数表示。
参数选择：参数的选择对于曲面的 形状和性质有很大影响，不同的参 数选择会导致不同的曲面形状。
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参数方程：参数方程是描述曲面上 的点与参数值之间关系的方程组， 通常由两个参数方程组成。
参数方程的应用：参数方程在几何、 物理、工程等领域都有广泛应用， 是描述复杂曲面形状的重要工具。
的任意曲线。
参数曲线：通 过参数方程定 义的曲线，参 数可以是时间、 角度或其他量。
极坐标曲线： 通过极坐标方 程定义的曲线， 通常用于描述 圆、椭圆等形
状。
曲率：描述曲线在某一点的弯曲程 度
曲线的方向：通过切线方向和法线 方向确定曲线的方向
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挠率：描述曲线在垂直于给定点的 切线方向上的弯曲程度
曲线的弯曲程度和方向在高等数学 中对于研究空间曲线的性质和几何 特性非常重要
定义：曲线的长度 是曲线上的点与原 点之间的距离之和
性质：曲线的长 度与曲线的形状、 大小和方向有关
计算方法：通过微 积分学中的定积分 来计算曲线的长度
应用：在几何学、 物理学和工程学等 领域有广泛的应用
பைடு நூலகம்
切线的定义：切线是与曲线在某一点的法线垂直的直线
性质：测地线是唯一的，而短程线可能有多个。
应用：在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
与空间曲线的区别：空间曲线上的测地线和短程线是不同的概念。
空间曲线与曲面在几何学中有着广泛的应用，如描述三维空间中的曲线和曲面。 通过空间曲线与曲面的性质，可以推导出许多重要的几何定理和性质。 空间曲线与曲面在几何学中可以用于解决一些实际问题，如计算物体的表面积和体积等。 空间曲线与曲面在几何学中还可以用于研究一些复杂的几何形状，如分形和混沌等。
Bezier曲线与曲面
页码，3/25
（9）积分
3．Bezier曲线的性质
（1）端点性质
a. 曲线端点位置矢量
由Bernstein基函数的端点性质可以推得，当t=0时，P(0) =P0 ；当t=1 时，P(1)=Pn。由此可见，Bezier曲线的起点、终点与相应的 特征多边形的 起点、终点重合。
b. 切矢量
因为
，所以当t=0时，P’(0)=n
且
、
、
线的
和
（图3.1.15打上斜
三角形）；其跨界二阶导矢只与定义该边界的及相邻两排顶
file://C:\360Rec\3.2 Bezier曲线与曲面.htm
2011-1-4
Untitled Document
点有关。 （3）几何不变性。 （4）对称性。 （5）凸包性。
页码，15/25
3．Bezier曲面片的拼接 如图3.1.16所示，设两张m×n次Bezier曲面片
计算Bezier曲线上的点，可用Bezier曲线方程，但使用de Casteljau提
出的递推算法则要简单的多。
如图3.1.10所示，设 、 、 是一条抛物线上顺序三个不 同的点。
过 和 点的两切线交于点 ，在 点的切线交 和 于和 ，
则如下比例成立：
这是所谓抛物线的三切线定理。
file://C:\360பைடு நூலகம்ec\3.2 Bezier曲线与曲面.htm
多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过10 次。所以有时
采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处 保持一定的连
续条件。下面讨论两段Bezier曲线达到不同阶几何连续的条 件。
给定两条Bezier曲线P(t)和Q(t)，相应控制点为Pi(i=0, 1, ..., n)
曲线和曲面教材
曲线的参数连续性与参数的选取及具体的参数化有 关；而几何连续性不依赖于参数的选取，而是反映 出曲线的具体的几何特性。
在曲线曲面造型中，一般只用到C0，Cl，C2和G0， G1，G2连续。
当曲线具有C0连续时，表示曲线在连接点处位置矢 量相同；
当曲线具有Cl连续时，表示前后两个曲线段在连接 点处切矢方向相同，大小相等；
Bezier曲线段连续条件：
设有两Bezier曲线段P(t)和Q(t)，其控制 点分别为P0，P1，P2，P3和Q0，Q1，Q2，Q3。 1） P3=Q0，则P(t)和Q(t)在P3（Q0）处位置 连续。 2） P3=Q0，且P2，P3（Q0），Q1在一条直
线上（P2 、Q1在P3（Q0）两侧），则P(t)和
t [0,1]
其中，t —参变量，
ax，bx …cy，dy —待定系数。
三次样条曲线示例
y
(x0,y0)
o
(x1,y1)
(x2,y2)
(x3,y3)
(x04,y4)
x
2、求待定系数
将参数方程写成矩阵形式：
[x(t) y(t)]=[t3 t2 t 1] 求导数：
ax ay
bx
by
dcxx
c d
3.6曲线和曲面
机械设计中常常碰到有一定曲线和曲 面的零件需要设计和加工，例如设计飞机 机翼、汽车车身、水轮机转子、船体外形 等。它们称为自由曲线（面），不能像规 则曲线或曲面那样，用方程来表示。怎样 在计算机中设计和绘制这些自由曲线（面） 是本章研究的内容。
主要内容
3.6.1 基本概念 3.6.2 三次样条曲线 3.6.3 Bezier曲线 3.6.4 B样条曲线 3.6.5 曲面
n
曲线与曲面
圆锥表面取点
方法一：素线法。 方法一：素线法。 方法二：纬圆法。 方法二：纬圆法。
a' 1'
a"
a 1
球体的投影分析
球体的三个投影为直 径相等并等于球体直 径的圆。但这三个圆 并不是球体上同一个 圆周的投影。
纬圆法
球体表面上取点
PV (c' ) a' b' c" a" b"
c a (b )
圆环的投影分析
有导线导面的直纹曲面
直线形的母线在固定的直线或曲线上滑动，所形 成的曲面叫做有导线的直纹曲面；如果母线在滑动时， 又始终平行于某一个固定的平面或曲面，这样形成的曲 面叫做有导线导面的直纹曲面。 直导线
导平面
曲导线
3.2 曲面立体的投影
由曲面或曲面和平面围合而成的立体称为曲面立体。
圆柱体
圆锥体
球体
第三章 曲线与曲面
3.1 曲线与曲面 3.2曲面立体的投影 曲面立体的投影 3.3平面截割平面体 平面截割平面体 3.4直线与曲面立体相交 直线与曲面立体相交 3.5平面体与曲面体相交 平面体与曲面体相交 3.6两曲面体相交 两曲面体相交
3.1 曲线与曲面
（一）曲线
曲线可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹。 曲线可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹。 可以看成是一个点按一定规律运动而形成的轨迹 平面曲线：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、椭圆、 平面曲线：曲线上各点都是在同一个平面内（如圆、椭圆、双曲 抛物线等）。 线、抛物线等）。
解题步骤： 1、进行线面分 析，判断截交 线的形状和特 点。 2、作特殊位置 点的投影。 3、作一般位置 点的投影。 4、画截交线。 5、整理轮廓。
计算机图形学10_曲线曲面参数表示的基础知识
在拟合生成样条曲线的众多方法中，我们首先选择较 为简单的二次样条曲线即抛物样条曲线的生成方法作为基 本方法，来讨论如何用插值方法生成通过给定离散型值点 的样条曲线。
二次插值样条曲线的数学表达式
由于离散点的要求，我们首先要解决由给定点定义抛 物线问题。设有不在同一直线上的三点：P1, P2, P3，现在 要求通过该给定的三点定义一条抛物线。如图所示。
y ax3 bx 2 cx d
二维三次曲线参数表示：
a1t 3 b1t 2 c1t d1 P (t ) 3 , t [0,1] 2 a2t b2t c2t d 2
最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的 直线段参数方程可表示为： P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一 象限内的单位圆弧的非参数显式表示为：
那么，它的一阶，二阶，K阶（如果存在）导数分别为
参数曲线相关术语
切矢量
曲线上R,Q两点参数分别是t和t+△t.
当Q趋向R,也就是△ t→0
导数
的方向P’(t)就代表了R
点的切线方向
导数
的大小就可以近似表
示△P的长度也可以近似表示这一 段弧长△ S
切矢量
如果选择弧长S作为参数，则
是单位矢量
二阶参数连续性，记作C2，指相邻两 个曲线段在交点处具有相同的一阶和 二阶导数。如图所示。
目录
曲线曲面概述 参数曲线基础 曲线构造方法 二次插值样条曲线 三次样条参数曲线(Hermite，Cardinal样 条曲线) Beizer曲线 B样条曲线
二次插值样条曲线
参数曲线基础
二次插值样条曲线的数学表达式
由于离散点的要求，我们首先要解决由给定点定义抛 物线问题。设有不在同一直线上的三点：P1, P2, P3，现在 要求通过该给定的三点定义一条抛物线。如图所示。
y ax3 bx 2 cx d
二维三次曲线参数表示：
a1t 3 b1t 2 c1t d1 P (t ) 3 , t [0,1] 2 a2t b2t c2t d 2
最简单的参数曲线是直线段，端点为P1、P2的 直线段参数方程可表示为： P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 圆在计算机图形学中应用十分广泛，其在第一 象限内的单位圆弧的非参数显式表示为：
那么，它的一阶，二阶，K阶（如果存在）导数分别为
参数曲线相关术语
切矢量
曲线上R,Q两点参数分别是t和t+△t.
当Q趋向R,也就是△ t→0
导数
的方向P’(t)就代表了R
点的切线方向
导数
的大小就可以近似表
示△P的长度也可以近似表示这一 段弧长△ S
切矢量
如果选择弧长S作为参数，则
是单位矢量
二阶参数连续性，记作C2，指相邻两 个曲线段在交点处具有相同的一阶和 二阶导数。如图所示。
目录
曲线曲面概述 参数曲线基础 曲线构造方法 二次插值样条曲线 三次样条参数曲线(Hermite，Cardinal样 条曲线) Beizer曲线 B样条曲线
二次插值样条曲线
参数曲线基础
03曲面及其方程、二次曲面-47页精品文档
面的方程。
例3 方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0表示
什么图形？
一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）
A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0
表示空间的一张球面。
一些特殊曲面
用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）
17.09.2019
3
高等数学（下）主讲杨益民
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z1
用平面z c去截图形得圆：
z
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
当平面z c上下移动时，得
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
17.09.2019
13
高等数学（下）主讲杨益民
f( x2y2,z)0
5.
xoy平面上的准线方程
C:
f (x,
z
0
y)
0
母线平行于
z
轴的
柱面方程为： f(x, y)0
四、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
17.09.2019
8
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
例3 方程 x 2 y 2 z 2 2 x 2 y 4 z 1 0 0表示
什么图形？
一般地，三元二次方程（不含交叉项且平方项系数相同）
A x 2 A y 2 A z 2 B x C y D z E 0
表示空间的一张球面。
一些特殊曲面
用截痕法讨论几种特殊曲面（特别二次曲面）
17.09.2019
3
高等数学（下）主讲杨益民
例4 方程 z (x 1 )2 (y 2 )2 1 的图形是怎样的？
解 根据题意有 z1
用平面z c去截图形得圆：
z
( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 1 c( c 1 )
当平面z c上下移动时，得
C:
f ( y, z) 0
x
0
绕oz轴旋转得旋转曲面
17.09.2019
13
高等数学（下）主讲杨益民
f( x2y2,z)0
5.
xoy平面上的准线方程
C:
f (x,
z
0
y)
0
母线平行于
z
轴的
柱面方程为： f(x, y)0
四、二次曲面
三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面。
曲 面
直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫 圆锥面，两直线的交点叫圆锥面的顶点，两直线的夹角叫 圆锥面的半顶角。
17.09.2019
8
高等数学（下）主讲杨益民
例7 试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半顶角为α
的圆锥面方程。
z
解: 圆锥面的母线方程为
z y cot
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第五步：判定 可见性
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
三、螺旋楼梯
效果图
中空螺旋楼梯
有中柱螺旋楼梯
�
楼梯的构成： � 楼梯板——由平螺旋面构成 � 踏步（台阶）
� � �
踢面 踏面 侧面
踏面 踢面
楼梯板
踏面 侧面 踢面
楼梯板
地面
踢面高度
楼梯板垂直 厚度
板 梯 楼
度 厚
地面
台阶的侧面 （圆柱面的一部分）
踏面 （水平面，扇形）
踢面 （铅锤面，矩形） 由平螺旋面构成 的楼梯板
1 02 0 03 01 11
1 11 03 01
02 0
02 0
1
03 11 01
12 1 02 0 03 01
2 13 11 21
22 2 121 23 131121 03 01
�
楼梯扶手尺寸：
� �
�
要求：仅绘制V面投影即可。并要加以装饰。
轴 轴 母线 轴 母线 素线
轴 素线
母线
素线
一、直纹回转面
� �
圆柱面 圆锥面
（一） 圆柱面
最后素线
轴线
O
底面 最右素线
母线 （最左素线）
最前素线
圆柱面
O
a'
e'(g')
前后素线 最左侧素线 最右侧素线
c'
g"
a"(c")
e"
左右素线 最后侧素线
最前侧素线
b'
f'(h')
d'
b"(d")
轴线
P
D B C A H
（四）柱状面
�
柱状面是由直母线沿着两根曲导线运 动，并始终平行于导平面P而形成的
P
D B C A H
（五）双曲抛物面
�
�
双曲抛物面，又称翘平面，是由直母线 沿着两条交叉的直导线运动，并始终平 行于一个导平面。 相邻两条素线是交叉直线。
A P C
D c a B b H
02 0
02 0
1
03 11 01
22 2 121
32 3
02 0
23 33 31 131121 03 01
33 (32) 22 12 02 0 1 2 13 03 11 01 23 21 31 (3)
�
�
已知螺旋梯所在内、外两个导圆柱面的直 12个踏步，并 12个踏步 径，沿螺旋楼梯上行一圈有12个踏步 给出楼梯板的垂直厚度。 求作出螺旋楼梯（右旋）的V面投影图。
�
例3-1 已知圆柱的三面投影以及圆柱表面一点K 的V面投影和线段MN的W面投影，请补全点和 线的投影。
k' m"
n"
分析
�
�
首先需要找到包含点和线的纬圆或者素 线。应该注意的是在H面投影中圆柱面 的纬圆都聚集在同一个圆周之上。 然后跟据点线所在位置判定其投影的位 置及其可见性。
K" K
k' m"
平面曲线垂直于投影面
B A C D E
H
�
（二）投影 � 曲线的投影就是其上点的投影的集合
二、常用曲线
�
（一） 圆周的投影
� �
�
平行于投影面——反映实形 垂直于投影面——聚积成直线，长度等于 圆周的直径 倾斜于投影面——椭圆。
V
最大斜度线 平行于投影 面的直径
X
O
H
（二） 圆柱螺旋线
�
�
有规律曲面分类
�
按照母线的形式：
� �
直纹曲面 非直纹曲面
�
按照曲面形成的过程：
�
�
回转面
非回转面
k' 纬圆K 轴线O 纬圆 V面投影
素线 母线
m'
赤道圆M n' 纬圆 V面投影
颈圆N
m （外轮廓H面投影）
n （内轮廓H面投影）
轴
轴 轴
素线 轴
轴
素线 母线 轴
母线 轴 素线
母线
素线 母线
母线
素线
第一步：等分ab（6等分） 得到等分点的投影
a'
1’ 2’ 3’ 4’1 4’ 3’1 5’ 5’1
c'
第二步：根据导平面的H面投 影，得到CD等分点的投影
d'
第三步：连接对应点的投影
2’1 1’1
b'
d
第四步：得到翘平面的包络 线的投影（抛物线），判定 可见性
11
PH a
1 2 3 4
21
31
5 4 3 2 1 0
素线垂直于W面，在 此反映实际长度
二、螺旋楼梯扶手制作
——由平螺旋面构成的立体
4条圆柱螺旋线 两个平螺旋面、两个圆柱面
一个导程
楼梯扶手断面
a0’ d 0’
b0’ c0’
第一步：确定H 面投影 第二步：等分 一个导程 第三步：确定 组成上表面的 两条圆柱螺旋 线的V面投影 第四步：绘制 组成下表面的 两条圆柱螺旋 线的V面投影
f"
O 底面 最右素线
最后侧素线 最左侧素线
a(b)
g(h)
最后素线
最右侧素线
c(d)
母线 （最左素线） 最前素线
圆柱面
最前侧素线
e(f)
O
（二） 圆锥面
轴线 锥顶
素线 母线
底圆
s'
s"
a'
b'(d')
c'
d"
a"(c")
b"
d
a
s
c
b
求取圆柱面或圆锥面上的点、线的投影
�
在回转面上，一定能够找到一个纬圆或者 一条素线包含所求点
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
第四步：绘制 组成下表面的 两条圆柱螺旋 线的V面投影
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
第二个1/4圆周，下 表面和内侧面可见 第一个1/4圆周，上 表面和内侧面可见 第四个1/4圆周，上 表面和外侧面可见 第三个1/4圆周，下 表面和外侧面可见
s'
s'
s'
s
s
s
（a）正圆锥面
（b）椭圆锥面
（c）斜圆锥面
（三）锥状面
�
�
锥状面是由直母线沿着一条直导线和一 条曲导线运动，并始终平行于一个导平 面而形成的曲面 绘制投影时，需画直导线和曲导线的投 影，以及一系列素线的投影。多数情况 下锥状面的导平面平行于投影面，这时 导平面的投影一般省略不画。
第三步确定圆柱螺旋 线上个点的投影 第四步绘制圆柱螺旋 线的投影
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
4 5 6 7 8 9
3
2 1 0 12 11 10
第二节
曲面
一、分类
� �
无规律曲面 有规律曲面
可以看成是由直线或曲线在空间按一定规律运 动形成的。 母线 � 形成曲面的动线称为母线 母线。 定点 � 约束母线运动的点、线或平面称为定点 定点、 导线 导平面 导线和导平面 导平面； 素线 � 母线在曲面上的任意位置称为素线 素线。
a
3 m 2
�
例2 已知圆锥面上一点A的V面投影，求点 A的其他投影
s' s"
a'
s
s'
s"
n'
a'
m'
a"
k' y
s
y a k
二、非直纹回转面
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母线不是直线 常见非直纹回转面
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球面 环面
（一） 球面
（二） 环面
三、非回转直纹面
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柱面 锥面 双曲抛物面
柱面 （一）柱面
41
51
c
5
b
a' c'
51'
a' c'
翘平面的上表面
翘平面的下表面
d' d
b'
d' d
PH
51
c
a
c
a QH
b
a' c'
同样的翘平面对应的另 外一对母线、素线以及 导平面 同组素线不相交，但每 一素线与另一组素线都 相交
c'
d' d
b'
c
a QH
c
b
第三节
平螺旋面
一、平螺旋面
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平螺旋面 平螺旋面是由一条直母线AO，以螺旋 线为曲导线，以回转轴线为直导线，并 始终平行于与轴线垂直的导平面运动所 形成的曲面
n"
y
y K
实线
k'
m'
分界点
b' a'
虚线
b"
n"
m"
n'
a"
点N所在素线 的H面投影
y1 y2
n y y b a
2 1
m
1' k'
2'(4')
3'
4"
1"(3") k"
2"
b' a' n' 1'
m' b" a" n" 2'(4') 3' 4" 1"(3")