空间几何量的计算.板块二.直线与平面所成的角 普通高中数学复习讲义Word版

【例1】 （07全国2文7）
已知正三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（ ）
A
B
C
D
【难度】4
【解析】 已知三棱锥的侧棱长的底面边长的2倍，设底面边长为1，侧棱长为2，连接顶点
，所以侧棱与底面所成角的余弦值等
，选A ．
【例2】 （07全国2理7）
已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面11ACC A 所成
角的正弦等于（ ）
A
B
C
D
【难度】4 【解析】A
已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长与底面边长相等，取11A C 的中点1D ，连接1BD ，
1AD ，11B AD ∠是1AB 与侧面11ACC A
所成的角，11sin B AD ∠=，选A ． D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
A
典例分析
板块二.直线与平面所成的角
【例3】 （2008福建卷6）
如图，在长方体ABCD 1111A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（ ）
A
B ．
C ．
D ．
D
C
B
A
A 1
D 1
B 1
C 1
【难度】4
【解析】 由已知条件
有1BC =，连结11A C 交11B D 于O ，连BO ，依题得
1111A C B D ⊥，又111BB A C ⊥，则11A C ⊥平面11BB D D ，1C BO ∠就是1BC 与平面11BB D D
所成的角，易知1111
2
OC AC =
=
，故111sin OC C BO BC ∠==，故选D
【例4】 （2009浙江）
在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 （ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
E A 1
C 1
B 1
D
C
B
A
【难度】4【解析】C ；取BC 的中点E ，则AE ⊥面11BB C C ，
∴AE DE ⊥，因此AD 与平面11BB C C 所成角即为ADE ∠， 设AB a =
，则AE ，2
a
DE =
，即有tan ADE ∠= ∴60°ADE ∠=．
【例5】 （06四川卷理13）在三棱锥O ABC -中，三条棱OA 、OB 、OC 两两互相垂直，
且OA ＝OB ＝OC ，M 是AB 边的中点，则OM 与平面ABC 所成的角的大小是 （ 用反三角函数表示）
【难度】6
【解析】在三棱锥O ABC -中，三条棱,,OA OB OC 两两互相垂直，且,OA OB OC M ==是
AB 边的中点，设||OA a =
，则||||||AB BC CA ===，31
6O ABC V a -=，O 点在底面
的射影为底面△ABC 的中心，
||13
O ABC ABC V OD S -=
，
又1||||3DM MC ==，OM 与平面ABC
所成角的正切是tan θ==
另：也可将锥体看作正方体的一角，则可直接求得sin θ=
，θ=
【例6】 （2008全国Ⅰ）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面
ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ ）
A ．1
3
B
．
3
C
D ．
23
【难度】6
【解析】B ；
如图，H
O C 1
B 1
A 1
C
B
A
O 为ABC ∆的中心，过1B 作1B H ^底边ABC ，垂足为H ，则11A O B H =，1AB 与
底面ABC 所成角的正弦值1111
B H AO
AB AB ==，设三棱柱的底面边长为a ，则1AA a =
，
23AO =?，
故1A O =．又A O B O =，故11A A A B AB ==，从
而160A AB ??，1
120ABB ??
，
故
1
120
3
A
a
=?，
故所求的正弦值=．
【例7】 正三棱柱侧面的一条对角线长为2，且与底面成45角，求此三棱柱的体积．
【难度】6
【解析】如图，12AB =，11AB A ∠即为1AB 与底面所成角，为45
C 1
B 1
A 1
C
B
A
∴在11Rt AA B ∆
中，111AA A B ==∴111111111111
sin 2
A B C V S h A B B C A B C AA ∆=⋅=⋅⋅⋅∠⋅
1sin 6022=⋅=
【例8】
（08四川卷15
，且对角线与底面所成角的余
，则该正四棱柱的体积等于________________． 【难度】
6 【解析】答案：2;
1，由勾股定理可知正四棱柱侧棱长为2，因此有正四棱柱体积为2．
D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
A
【例9】 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，
⑴求1BC 与平面11ACC A 所成的角； ⑵求11A B 与平面11A C B 所成的角的余弦值．
A
B
C
D
B 1
C 1
D 1
A 1
【难度】6
【解析】⑴连结BD 与AC 交于O ，
∵1CC ⊥底面ABCD ，且底面为正方形 ∴BD ⊥1CC ，BD ⊥AC ，又1AC
CC C =，
O
A 1
D 1
C 1
B 1D
C B
A
∴BD ⊥平面11ACC A
∴斜线1BC 在平面11ACC A 内的射影为1C O ∴1BC O ∠为1BC 与平面11ACC A 所成的角
在1Rt OBC ∆中，111
sin 2OB OC B BC ∠==，
∴130BC O ∠= ⑵（法一）
A 1
D 1
C 1
B 1
D
C
B
A
11A BC ∆是正三角形，且1111A B B C BB == ∴棱锥111B A BC -是正三棱锥， 则1B 在底面的射影为底面的中心，
过1B 作1B H ⊥面11A BC ，垂足为H ，连1A H ， 11B A H ∠是11A B 与平面11A C B 所成的角．
∵111A B =
，1A B =
11A H A B =
，
故11111cos A H B A H A B ∠== （法二）
连1B C 与1BC 交于点E ，
C 1
B
B 1
A 1
H E
∵11A B ⊥1BC 且1B C ⊥1BC ∴1BC ⊥面11A B E ，又1BC ⊂面11A C B ，
H
E A
B C D
B 1
C 1
D 1
A 1
∴面11A C B ⊥面11A B E ，且面11AC B
面111A B E A E =
∴过1B 作1B H ⊥1A E ，交1A E 于点H ，则由面面垂直性质定理可知1B H ⊥面11A C B
∴11B A H ∠是11A B 与平面11A C B 所成的角． ∵111A B =，
∴1A B =
1A H =
11111cos A H B A H A B ∠==
【例10】 （2008上海）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是BC 的中点．求
直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
E
A
B
C D A 1
B 1
C 1
D 1
【难度】8
【解析】过E 作EF BC ⊥，交BC 于F ，连接DF ．
∵EF ⊥平面ABCD ，∴EDF ∠是直线DE 与平面ABCD 所成的角．
由题意，得11
12
EF CC ==．
∵1
12
CF CB ==，
∴DF
∵EF DF ⊥，
∴tan EF EDF DF ∠=
=
故直线DE 与平面ABCD
所成角的大小是
【例11】 如图，正方体的棱长为1，11B C
BC O =，求：
⑴AO 与11A C 所成角；
⑵AO 与平面ABCD 所成角的正切值；
E
O
A
B
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
【难度】8
【解析】⑴∵11A C ∥AC
∴AO 与11A C 所成角就是OAC ∠
∵AB ⊥平面11B BCC ， 从而有OC ⊥AB ， 又∵OC OB ⊥，∴OC ⊥面AOB ∴OC OA ⊥ 在Rt AOC ∆
中，OC AC =
=∴30OAC ∠= ⑵作OE BC ⊥，平面11B BCC ⊥平面ABCD
∴OE ⊥平面ABCD ，OAE ∠为OA 与平面ABCD 所成角 在Rt OAE ∆
中，1,2OE AE ==
∴tan OE OAE AE ∠=。