第四章 多项式环及循环码

二、多项式剩余类环(P103)
• 有关多项式的几个概念 • 多项式的加法和乘法 • 多项式剩余类环的定义
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有关多项式的几个概念
• 多项式 f(x)=fnxn+ fn-1xn-1+…+ f1x+f0
其中 f i F p i=0,1,…n，该多项式称为域Fp上的多项式
• 多项式次数 degf(x) 系数不为零的x的最高次数称为多项式f(x)的次数 • 首一多项式 最高次数的系数为1的多项式
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证明：假设 vx 是循环码中的码多项式，我们可得到
vx ax g x bx
b x v x a x g x 由于 ax g x 和 vx 都是码多项式，因此b(x)必为码多项式。
若 bx 0 ，则b(x)必为次数小于g(x)的非零码多项式，与g(x) 为次数最低码多项式相矛盾，因此b(x)=0。 因此，码多项式必为g(x)的倍式。
• 循环特性：对任意许用码字C，则L(C)也是许用码字
• 循环码： 一个 (n,k )线性码C，如果每个码字的循环移位 仍是一个码字,称该码为循环码。
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循环码的描述
• 问题：如何构造和描述一个循环码？满足什么样 条件的循环码可以有较好的距离特性？
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多项式的引入
• 如果将码字描述成n阶多项式的形式，A(x)= an-1xn1+a xn-2 +a xn-3+ … +a x2+a ,x+a ，则循环算法 n-2 n-3 2 1 0 就可以描述为L(A(x))=xA(x) mod (xn-1) • 便于描述：对任何一个多项式D(x)，有D(x)A(x) mod (xn-1)为许用码字，这里并没有限定D(x)的幂 次，但可以肯定的一点是不同的D(x)A(x) mod (xn1)是有限的，其个数由A(x)决定，这也决定了码 集的冗余度和纠错能力，什么样的A(x)可以得到 什么样的冗余度？哪些A(x)是等价的？


上式表明，如果将g(x)循环左移一位，可以得到一个次数
低于r的非零码多项式 g1 g 2 x x r 1
这与之前假设g(x)是次数最低的非零码多项式相矛盾。 因此，必有 g0 1
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由定理4.2可知，次数最低的非零码多项式具有如下形式
g x 1 g1 x g 2 x x
第四章 多项式环及循环码
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一种特殊的线性分组码
• 循环算子L：对n重码字A=(an-1, an-2, an-3, … , a2, a1, a0)，有 B = L(A) = (bn-1, bn-2, bn-3, … , b2, b1, b0) = (an-2, an-3, … , a2, a1, a0, an-1)
是一个次数比r更低的码多项式。
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二、循环码的代数性质
定理4.1 循环码C中次数最低的非零码多项式是唯一的。 证明：若 g x g x 0
则 g x g x 0 是一个次数比r更低的非零码多项式。
这与假设相矛盾，因此必有
g x g x 0
若对所有i, fi=gi, 则f(x)=g(x) 多项式加法
f i Fp g i Fp
f(x)+g(x)=(fn + gn)xn+ (fn-1 + gn-1)xn-1+…+ (f1 + g1)x+(f0 + g0) 多项式乘法
结论：按上述定义的加法和乘法运算，Fp[x]构成一个具有单位 元、无零因子的可换环
即
g x g x
因此，g(x)是唯一的。
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二、循环码的代数性质
定理4.2 令 gx g0 g1x xr 为循环码C中最低次数的非零
码多项式，则常数项g0一定等于1。 证明：假设 g 0 0
则
g x g1 x g 2 x 2 x r x g1 g 2 x x r 1
2
r
xgx, x 2 g x,, x nr 1 g x ，它们 的次数分别为 r 1 r 2,, n 1 ，且是g(x)的循环移 ,
考虑多项式 位。 因此，由循环码的定义，它们一定是循环码的码多项式，且它们
的线性组合也一定是一个码多项式，即
vx 0 g x 1 xgx nr 1 x nr 1 g x
定义1：设CH是一个[n.k]线性分组码，C1是其中的一个
码字，若C1的左(右)循环移位得到的n维向量也是CH中
的一个码字，则称CH是循环码。 定义2：设 Vn,k Vn 是n维空间的一个k维子空间， 若对任一 恒有
v1 a n2 , a n1 , , a0 , a n1 Vn,k
a0 g x a1xgx anr 1x g x vx 是码多项式 g x, xgx, x nr 1 g x 的线性 由于
nr 1
vx a0 a1x anr 1x

nr 1
gx
组合，因此它一定是一个码多项式。
因此有
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定理4-4(p147) (n,k)循环码中，有且仅有一个次数为n-k的码多项式
g x 1 g1x g2 x 2 xr
每一个码多项式是g(x)的倍式，且每个次数不大于n-1且为g(x)的倍式 的多项式必为一码多项式。 由于码多项式 vx 是g(x)及其倍式的线性组合，即
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第一节 多项式与多项式环
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要求掌握的内容
• 多项式剩余类环 • 循环群
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一、复习几个概念
• • • • 同余、剩余类 群 环 域
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同余和剩余类(p23)
同余：若整数a和b被同一正整数m除时，有相同的 余数，则称a、b关于模m同余，记为
a b(mod m)
剩余类(Residue)：给定正整数m，可将全体整数按 余数相同进行分类，可获得m个剩余类，分别用
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两个结论
• 多项式环Fp[x]的一切理想均是主理想
• 多项式剩余类环Fp[x]/f(x)中的每一个理想 都是主理想。
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第2节 循环码的描述
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要求掌握的内容
• • • • • 定义 循环码的代数性质 循环码的生成多项式和校验多项式 循环码的生成矩阵和校验矩阵 循环码的系统码形式
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一、循环码定义
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多项式剩余类环
• 定义：以一个Fp上的多项式f(x)=fnxn+ fn-1xn-1+…+ f1x+f0 为模的剩余类全体构成一个多项式剩余类环 Fp上的所有次数小于n-1的多项式构成n次多项式的剩余类 全体
剩余类之间的加法和乘法运算规则
ax bx ax bx
ax bx ax bx
a a 1 a 1 a e
则称G构成一个群。若加法，恒等元用0表示， 若为乘法，恒等元称为单位元
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环(Ring)的定义(p30)
• 非空集合R中，若定义了两种代数运算加和 乘，且满足： 1) 集合R在加法运算下构成阿贝尔群 2) 乘法有封闭性 3) 乘法结合律成立，且加和乘之间有分配 律
vx a0 a1x ak 1x

k 1
gx
其中 a0 , a1 ,, ak 1 是待编码的信息比特，v(x)是对应的码多 项式。
因此，可利用g x 乘以消息多项式 ax 来完成编码，即一个[n,k] 循环码的码字可由非零最小次数多项式完全确定，称该多项式 为循环码的生成多项式。 生成多项式的次数等于码中校验位的个数，即等于n-k.
是一个码多项式，其中
i 0 or 1
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定理4-3 设 g x 1 g1 x g2 x 2 x r 是(n,k)循环码的最低次数
非零码多项式，次数小于或等于n-1的多项式为码多项式，当且仅
当它是g(x)的倍式。
证明：令 vx 是次数小于等于n-1的二进制多项式，且为g(x) 的倍式。
为循环码中次数最低的一个非零多项式。假设该多项式不唯 一，即存在另一个次数为r的多项式
gx g0 g1 x x r
由于循环码是线性码，因此
g x gx g0 g0 g1 g1 x gr 1 gr 1 x r 1
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Examples
1、GF(2)上的多项式 f(x)=x2+1的剩余类全体为：
0,1, x, x 1
2、GF(2)上的多项式 f(x)=x2+x+1的剩余类全体为：
0,1, x, x 1
对所定义的加法和乘法运算，前者构成剩余类环，后者构成域
结论：若n次首一多项式f(x)在域Fp上既约，则f(x)的剩余ห้องสมุดไป่ตู้环构成 一个有pn个元素的有限域
vx a0 g x a1xgx anr 1x
nr 1
g x
可知vx 共有q nr 个元素，构成维数为n-r的线性空间，而[n,k] 循环码中共有 q k 个码字。因此有
k nr
即
r nk
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注： 由上述定理， (n,k)循环码的每一个码多项式可表示为
vn i x n 1 vn i 1 x x n 1 vn 1 x i 1 x n 1
i n
v x qx x 1





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二、循环码的代数性质
定理4.1 循环码C中次数最低的非零码多项式是唯一的。 证明：令
g x g0 g1 x x r
v i x xi vx mod x n 1


xi vx v0 xi v1 xi 1 vn1 x ni 1 vn i vn i 1 x vn 1 x i 1 v0 x i vn i 1 x n 1