(名师整理)最新数学中考专题复习《探究动点的轨迹》考点精讲精练课件

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中考数学复习专题-动点问题ppt

230、积极的人在每一次忧患中都看到一个机会，而消极的人则在每个机会都看到某种忧患。
•
231、出门走好路，出口说好话，出手做好事。
•
232、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计分板上。
•
233、怠惰是贫穷的制造厂。
•
234、莫找借口失败，只找理由成功。（不为失败找理由，要为成功找方法）
•
235、如果我们想要更多的玫瑰花，就必须种植更多的玫瑰树。
为何值时，S最大，并求最大值。
析-
典已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=4cm，BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A
例匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向
向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s），解答下列问题：
分 ⑷当t为何值时，△APQ是
时， PQ∥BC?”类型的题目结论变条件，寻找解题思路；必要时画出
相应的图形。
典已知：如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=4cm，BC=3cm,点P由B出发沿BA方向向点A
例匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向
向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为t（s），解答下列问题：
•
225、积极思考造成积极人生，消极思考造成消极人生。
•
226、人之所以有一张嘴，而有两只耳朵，原因是听的要比说的多一倍。
•
227、别想一下造出大海，必须先由小河川开始。
•
228、有事者，事竟成；破釜沉舟，百二秦关终归楚；苦心人，天不负；卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。
•
229、以诚感人者，人亦诚而应。
•

初中数学微课课件：动点路径探究

A
E
D
问题1：路径是什么？为
思
P1
O
45°
O
45°
什么？如何确定？问题2：最小值如何确定？
P
路
B
45° C
点P在矩形外时
A
D
探
点P在矩形内时
问题3：如果求最大值也是这个
P
寻
情况吗？还有另外情况吗？
O'
DP的最大值是 130+ 3 2 .
B
C
提炼三：构造圆的条件3
条件：定线段、定张角
依据：同弧所对的圆周角相等
路
C
直角
C
探
A
E
B
A
E1B
寻
2
D
提炼二：构造圆的条件2
条件：定直角、定线段
依据：直角所对的弦是直径.
题
直角
C
后
模型：
反
A
E
B
直径
思
二、问题探究
问题生长
变式生长1 如图，边长为2的正方形ABCD的两条对角线交于
点O，把BA与CD同时分别绕点B，C逆时针旋转，此时正方
形ABCD随之变成四边形A′BCD′交于点O′，则旋转60°时，
法
解由Rt△POQ中，斜边中线OC=2，
展
则点C的运动轨迹为圆弧，且圆心角为90°.
90π ×2
示
∴ l=
=π
180
Q C
O
PA
二、问题探究
问题原型
问题二如图，若∠ACB＝∠ADB＝90°，连结AB,CD.
求证：∠1=∠2.
问题1：直角可以想到哪些数学知识？

中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义

2020春中考数学几何动点运动轨迹及最值专题讲义一、动点运动轨迹——直线型（动点轨迹为一条直线，利用“垂线段最短”）Ⅰ．当一个点的坐标以某个字母的代数式表示，若可化为一次函数，则点的轨迹是直线；1．在平面直角坐标系中，点P的坐标为（0，2），点M的坐标为39(1,)44m m−−−(其中m为实数)，当PM 的长最小时，m的值为__________．2．如图，在平面直角坐标系中，A(1，4)，B(3，2)，C(m，－4m＋20)，若OC恰好平分四边形．．．OACB．．．．的面积，求点C的坐标．Ⅱ．当某一动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线；3．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为_________.【变式1】如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E在边AD上，且AE：ED＝1：3．动点P从点A出发，沿AB运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交边BC或CD于点F，设M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M运动路线的长为___________.ABDCEFPMABDCEFPMyxBAO【变式2】如图，在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB ＝2，AP ＝1，E 是AB 上的一个动点，连接PE ，过点P 作PE 的垂线，交BC 于点F ，连接EF ，设EF 的中点为G ，当点E 从点B 运动到点A 时，点G 移动的路径的长是_________.【变式3】在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝6，P 是AD 边的中点，点E 在AB 边上，EP 的延长线交射线CD于F 点，过点P 作PQ ⊥EF ，与射线BC 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在点C 时，试求AE 的长；（2）如图2，点G 为FQ 的中点，连结PG ． ①当AE ＝1时，求PG 的长；②当点E 从点A 运动到点B 时，试直接写出线段PG 扫过的面积．变式3图14．如图，C 、D 是线段AB 上两点，且AC ＝BD ＝16AB ＝1，点P 是线段CD 上一个动点，在AB 同侧分别作等边△P AE 和等边△PBF ，M 为线段EF 的中点。

中考数学动点问题专题讲解(22页)

中考动点专题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想注重对几何图形运动变化能力的考查从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。

选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。

在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。

二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点．函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢下面结合中考试题举例分析. 一、应用勾股定理建立函数解析式.例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2132⋅OP=2.(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴2362121x OH MH -==. 在Rt △MPH 中,.!2222233621419x x x MH PH MP +=-+=+=HM NG PO!AB图1xy∴y =GP=32MP=233631x + (0<x <6). (3)△PGH 是等腰三角形有三种可能情况:①GP=PH 时,x x =+233631,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 2336312=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.③PH=GH 时,2=x .综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.二、应用比例式建立函数解析式例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；}(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立试说明理由.解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°,:又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,∴△ADB ∽△EAC, ∴AC BD CE AB =,∴11x y =, ∴xy 1=. (2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=290α-︒,且函数关系式成立, ∴290α-︒=αβ-, 整理得=-2αβ︒90. 当=-2αβ︒90时,函数解析式xy 1=成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.(1)求证: △ADE ∽△AEP.(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.[(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.AEDCB 图2AC 3(2)￥EC 3(1)根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,54xAD =, ∴OD=x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 58. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x yx 585458=. ∴x y 516= (8250≤<x ). (3)当BF=1时，①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, (∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE.∴5-x 58=4,得85=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-x 58=2,得815=x . 可求得6=y ,即AP=6.综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.三、应用求图形面积的方法建立函数关系式例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.(2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积.解:(1)过点A 作AH ⊥BC,垂足为H.∵∠BAC=90°,AB=AC=22, ∴BC=4,AH=21BC=2. ∴OC=4-x . *∵AH OC S AOC⋅=∆21, ∴4+-=x y (40<<x ).(2)①当⊙O 与⊙A 外切时,在Rt △AOH 中,OA=1+x ,OH=x -2, ∴222)2(2)1(x x -+=+. 解得67=x . 此时,△AOC 的面积y =617674=-. ②当⊙O 与⊙A 内切时,在Rt △AOH 中,OA=1-x ,OH=2-x , ∴222)2(2)1(-+=-x x . 解得27=x . A!BCO 图8HC此时,△AOC 的面积y =21274=-. 综上所述,当⊙O 与⊙A 相切时,△AOC 的面积为617或21.动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

动点轨迹问题ppt课件

一、直接法
例 1 .等腰三角形的顶点 A 的坐标是 (4 ,2 ),底边一个端点 B 的坐标是 (3 ,5 ),求另一个端点 C 的轨迹方程 .
解：设点 C 的坐标为 (x,y) 由题知ACAB
即(x4)2(y2)210
化简得 (x 4 )2 (y 2 )2 1 0 所以端点 C 的轨迹方程是 ( x 4 ) 2 的轨迹方程为 x 2 y 2 4
二、动点转移法
例 2 .已知线段 A B 的端点 B 的坐标为 (4 ,3 ),端点 A 在圆
(x 1 )2 y 2 4 上运动，求线段 A B 的中点 M 的轨迹方程 .
化简得x3 22y3 221 所以点 M 的轨迹方程为 x3 2 2 y3 2 2 1
练习册 71页活学活用 4,5,6
此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！
解：设点 M 的坐标为 ( x ,y ) , 点 A 的坐标为 ( m ,n ) Q点 M 是 AB 的中点
2 x m 4 ,2 y n 3 m 2 x 4 ,n 2 y 3
Q 点 A ( m ,n ) 在圆 (x 1 )2 y 2 4 上 (m1)2n24 (2 x 4 1 )2 (2y 3 )2 4
除去点 (3,5)(5,1)
2.已知点 M 与两个定点 O (0,0),A (3,0)的距离的比为 1, 2
求点 M 的轨迹方程 .
解：设点 M 的坐标为 (x,y) 由题知MA2MO 即(x3)2y22x2+y2 化简得 x2y2 2 x 3 0

中考总复习动点问题精品PPT教学课件

E
(P)
D (Q)
F两点，若△BEF与题
（1）中的△APQ相似，试求a的值.
2020/12/8
(F) C 综上:当a=2或6或12时,
△BEF与△APQ相似 4
3、如图,在矩形ABCD中,AB=20厘米,BC=4厘米,点P从点A开始沿折线A—B—C—D以4厘米/秒的速度移动,点Q从点C开始沿CD以1厘米/秒的速度移动,如果点P和Q分别从点A、C 同时出发,当其中一个点到达D点时,另一点也随之停止运动.设运动时间为t（秒）.
厘米的等边三角形，质点P从点A沿AB—
A
BD作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿
DC—CB—BA作匀速运动.
3a
Q
(P)
（21）如果问质点题（P、1） Q运中 3a
的动的质速点度P、分Q别分是别同4厘时米沿/ B F
原秒路、返5厘回米，/质秒点，请P的说速出度经不过变12，秒质后点△QA的PQ速是度哪 3a F 改一类变三为角a厘形米？/（秒按，角经的过 3大秒小后分，类P）、Q分别到达E、
2020/12/8
1
1、如图，已知正三角形
ABC的高为9厘米，⊙O的
半径为r厘米，当圆心O
A
从点A出发，沿线路AB—
BC—CA运动，回到点A时，
⊙O随着点O的运动而停
止.
B
C
（1）当r=9厘米时，⊙O
在移动过程中与△ABC三
边有几个切点？
当r=9厘米时，⊙O在移动过程
中与△ABC三边有三个切点.
2020/12/8
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第35讲动点问题专题PPT课件

③如答图2-35-10，当4≤x＜6时，CD＝6-x， ∵∠BCE＝90°，∠PDC＝60°，
④当x≥6时，y＝0.
②如答图2-35-5，作DH⊥AB于点H. 在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，
在Rt△BDH中， ∴矩形BDEF的面积为
∴当x=3时，y有最小值为
分层训练
A组
3.（202X衢州）如图2-35-3，正方形ABCD的边长为4,点
E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C移动至终
第35讲动态专题(1) (动点问题)
近五年广东中考情况
2015年 202X年 202X年 202X年 202X年（5分）（4分）（5分）（5分）（0分）
双动点问题
动线问题
的运动中，一些图形位置、数量关系的“变”与“不变”的问题.常用的数学思想是方程思想、数学建模思想、函数思想、转化思想等；常用的数学方法有分类讨论法、数形结合法等.
（3）在直线l移动过程中，l上是否存在一点Q，使以B， C，Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）在Rt△BOC中，OB=3，
设CO=4k，则BC=5k， ∵BC2=CO2+OB2，∴25k2=16k2+9， ∴k=1或-1（不符，舍去）.∴BC=5，OC=4. ∵四边形ABCD是菱形，∴CD=BC=5.∴D（5，4）. （2）①如答图2-35-6，当0≤t≤2时，直线l扫过的图形是四边形OCQP，S=4t.
②如图2-35-2②，当点E在OC的延长线上时， △DCE是等腰三角形，则只有CD=CE， ∠DBC=∠DEC=∠CDE= ∠ACO=15°， ∴∠ABD=∠ADB=75°.∴AB=AD= 综上所述，满足条件的AD的值为2或

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四边形ABCD的周长的最小值为
，此时四边形
ABCD的形状为
。
课后练
2.如习图，：等腰直角△ABC中，斜边AB 的长为2，O为 AB的中
点当，点PP为从A点CA边运上动的到动点点C时，，OQ点MO所P经交过BC的于路点线Q长，为M(为PQ的) 中点，
A. 2
B.1
C.2
D.无法确定
变式：如图，等腰直角△ABC中，斜边AB=2，O为斜边AB上的
数学中考专题考点精讲
探究动点的轨迹
引言：
几何基本事实：“点动成线，线动成面，面动成体”。而“点动成线”应该是几何学发展的基点础动。成线：直线型或
圆弧形
例1：
在平面直角坐标系中，矩形ABCD如图所示，其中B
（4，0）、D（0，3），动点E从点A出发，沿x轴正半轴运
动，以CE为直径画⊙M，当⊙M与直线BD相切时，点E停
可能是曲线（圆或圆弧）；再解决与轨迹有思关想的方问法题：。用运动变化的眼光审题，根据图形的性质，探究隐藏在变化过程中的不变的
量和不变的关系，画出动点的轨迹。（简称
“基变本化原”则中：找多“画不图变，”画或好者图“化动为静”）
课后练
习：
1.在平面直角坐标系中，已知A（1，4），B（4，1），C
（m,0），D（0，n）
点H的轨迹
E
H F
是MHN。 M连N接 8O,M，MO过GO作60OG MN
M
G C
N
MO 8 3 3
O
lMHN
120 8 3 3
180
16 9
3
回顾与反思：
一个动点M满足：（1）对边是定线段，（2）以这个动点为顶点的角的角度是定值 ⇒ 动点M的轨迹是圆弧
课堂小结
解题思路：在解决动点问题时，首先判断动点的运动轨迹，其可能是直线（线段），也
O
B
A
学习了本课后，你有哪些收获和感想？告诉大家好吗？
在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们如何知道什么
-------毕达哥拉斯
止运动y ，求点M的运动路径长。
D
C
M
O(A) E
Bx
y
解D答：
O(A) y D
M1 O(A)
C M2
BE
C M2
BE
如图当∠DBM2=90°时，⊙M2与
BD相切
∵又∠∵A在BRCt△=9C0°BE∴中∠，AMBD2是=∠ECC的BM中2点 ∴CM2=BM2
x ∴∠CBM2=∠BCE ,∠ABD=∠BCE,又
（1）如图E，F 如果1 点D在线段BC上由点B向点C运动A，那么点M
运动的路径BC是线n段EF，且EF∥BC，
=
。
E
F
推广：如果动点D的
M
轨迹是圆，那么动点
M的↓轨迹是什么呢？
B
D
C
圆
例2：在平面直角坐标系中，⊙O与坐标轴分别相交于
点A、B、C、D，P为⊙O上一动点，过点P分别作
PE⊥X轴，PF⊥y轴，垂足分别为E、F，M为EF的中点，
} } M为O⇒P的中点
OM为定值
⇒
M为EF的中点
OP是⇒定值
∴当CM与小⊙O相切时∠MCA取最大值
O为定点 y
∠PP1OA=B 120°或
240°
M1
∴点P的运动时间分别为 8秒或 16秒 C
O
Ax
M2 P2
D
回顾与反思：
一个动点M满足到一个定点O的距离⇔
是定长
动点M的轨迹是圆（或
圆弧）
例3：已知线段MN=8,C是线段MN上一动点,在MN的同侧分别作等边△CMD和等边△CNE (1)如图①,连接DN与EM,两条线段相交于点H,求证:ME=DN, 并求∠DHM的度数;
∴∠△BAADB=D∠∽C△BEBCE
∴AD
AB
BB=CE
∴ 3 B=E
∴A4 E=349+
∴94BE= 25=
x又答∵：M点1MM4 运122=4动的2A85路E=径25长为
8
回顾与反思：
已知定点A和动点D，动点M在线段AD上AM，且1始终满足
=
AD n
那么点M运动的路径和点D运动路径形状是相同的。
∴△MCE △DCN（SAS）
∴ME=DN
≌ （2）∵△MCE △DCN（已证） ∴∠CME=∠CDN 又∵∠MFC=∠DFH ∴△MFC∽△DFH ∴∠DHM=∠MCD=60°
答：∠DHM=60°
(2)当点C由点M移到点N时,点H移动的路径长度为________.
D
根据题意MN=8,∠NHM=120°，则
若点P从点A出发，以每秒15°的速度按逆时针方向逆
y
转一周B ，当∠MCA取最大值时，求点P的运动时间。 P F
分析过程:
C
} M
OE
四边形OEPF为矩形
⇒ A x M为EF的中点
} M为OP的中点
OP是定⇒值
}OM为定值 O为定点
⇒动点M的轨迹是小⊙o
D
解答过程:
} 四边形OEPF为矩⇒形
动点M的轨迹是⊙o
(2)当点C由D 点M移到点N时,点H移动的路径长度为________.
（直接写出结果)
E
H F
M
C
N
D
E
H F
M
C
N
（1）解：∵△CMD和△CNE是
等边三角形
∴CD=CM，
CE=CN，∠DCM=∠ECN=60°
∴∠MCE=∠NCD
{在△MCE和△DCN中 CM=CD
∠MCE=∠DCN
≌ CE=CN
一动点，过点O作OP ⊥AC 交AC于点P，作OQ⊥OP交BC于
点Q，连接PQ，M为PQ的中点，则当点O从点A运动到点B时，
A点M所经O过的路线B长为 A O .
B
P M Q
C
(第2题图)

P M Q
C
(变式题图)
课后练
习：
3.ABC 为圆O的内接三角形，BC=24，∠A=60°，点D为BC
上的一动点，CE垂直直线OD于点E，当点D由B点沿BC运动到点 C时，C 求点E经过的路程长