高中数学第二章数列2.5等比数列前n和同步检测(含解析)新人教A版必修5

2.5等比数列前n 和一、选择题1．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于( )A.218 B ．218- C. 178 D ．178-答案：A解析：解答：设公比为q ，首项1a ，因为a 5＝－2，a 8＝16，所以4171=-2,16,a q a q ⎧⎪⎨=⎪⎩解得q ＝－2，a 1＝－18.所以S 6＝()6112118a q q -=-.选A.分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 2．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－2 答案：A解析：解答：设首项1a ，因为S 5＝()5111a q q--，所以()()()511-2=441-2a --，解得a 1＝4，故选A.分析：根据等比数列的等比数列的前n 项和公式，代入即可． 3．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－15，则实数t 的值为( )． A ．4 B ．5C. 45D.15答案：B解析：解答：设公比为q ，首项1a ，当n=1时，a 1＝S 1＝15t －15，a 2＝S 2－S 1＝45t ， a 3＝S 3－S 2＝4t ，∴由{a n }是等比数列知2411555t t ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·4t ，显然t ≠0，所以t ＝5.故选B.分析：根据等比中项的性质m +n =2p ，则a m a n =a p a p ，，代入即可． 4.已知等比数列｛a n ｝的公比q=31，且a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100等于( ) A.100B.90C.60D.40答案：B解析：解答：设公比为q ，首项1a ，因为a 1+a 3+a 5+…+a 99=60，则a 2 +a 4+…+a 100=q （a 1+a 3+a 5+…+a 99）=160302⨯=, a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100=90,故选B.分析：根据数列的连续的奇数项与偶数项的关系，即可解此题．5．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31 D ．29答案：B解析：解答：设数列{a n }的公比为q ，首项1a ，则a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1⇒a 4＝2，a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54⇒q ＝12，故a 1＝43a q ＝16，S 5＝()511311a q q-=-.故选：C分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 6、若a ，4，3a 为等差数列的连续三项，则a 0+a 1+a 2+…+a 9的值为（ ） A 、2047 B 、1062 C 、1023 D 、531答案：B解析：解答：解：由于a+3a=4a=2×4，解得a=2， 故a 0+a 1+a 2+…+a 9=20+21+22+…+29=()()101011121023112a q q--==--．故选C ． 故选：C分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 7、等比数列{a n }的前n 项之和为S n ，公比为q ，若S 3=16且112819a q =-，则S 6=（） A 、14 B 、18 C 、102D 、144答案：A解析：解答：因为S 3=16，112819a q =-则()311161a q q-=-，将()112819a q =-代入()311161a q q-=-，化简得3918q -=，解得,1643a =12q =-， 所以6664113214112S ⎛⎫⎛⎫⨯-- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫-- ⎪⎝⎭,故选A分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 8.已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1na }的前5项和为( )A.158或5 B. 3116或5 C. 3116D.158答案：A解析：解答：若q ＝1，则由9S 3＝S 6得9×3a 1＝6a 1，则a 1＝0，不满足题意，故q ≠1. 由9S 3＝S 6得()()361111911a q a q qq--⨯=--，解得q ＝2.故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭所以数列{1na }是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为5511123111612s ⎛⎫⎛⎫⨯- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-.故选C. 分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 9、已知{a n }是等比数列，2512,,4a a ==则1223341n n a a a a a a a a +++++=……（ ） A.16（n --41） B. 16（n --21） C.332（n --41） D. 332（n --21） 答案：C解析：解答：由33255212,,24a a a a q q ====，解得12q =，数列{}1n n a a +仍是等比数列：其首项是128,a a =公比为14， 所以1223341n n a a a a a a a a +++++=……()181432141314n n -⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--．.故选C.分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 10、在等比数列{a n }中，前7项和S 7=16，又a 12+a 22+…+a 72=128，则a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5﹣a 6+a 7=（ ） A 、8B 、132C 、6D 、72答案：A解析：解答：∵S 7=()711161a q q-=-，∴a 12+a 22+…+a 72=()2141211a q q--=()()77111111a q a q qq--⋅--=128，即()71181a q q-=-则a 1﹣a 2+a 3﹣a 4+a 5﹣a 6+a 7=（a 1﹣a 2）+（a 3﹣a 4）+（a 5﹣a 6）+a 7 =a 1（1﹣q ）+a 1q 2（1﹣q ）+a 1q 4（1﹣q ）+a 1q 6=()()612111a q q q ---+a 1q 6=()71181+a q q+=；故选A分析：把已知的前7项和S 7=16利用等比数列的求和公式化简，由数列{a n 2}是首项为a 1，公比为q 2的等比数列，故利用等比数列的求和公式化简a 12+a 22+…+a 72=128，变形后把第一个等式的化简结果代入求出()7111+a q q+的值，最后把所求式子先利用等比数列的通项公式化简，把前六项两两结合后，发现前三项为等比数列，故用等比数列的求和公式化简，与最后一项合并后，将求出()7111+a q q+的值代入即可求出值．11、设s n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0则52S S =（ ）A 、﹣11B 、﹣8C 、5D 、11答案：A解析：解答：设公比为q ，由8a 2+a 5=0，得8a 2+a 2q 3=0，解得q=﹣2，所以5521111S q S q-==--．故选A ． 分析：根据等比数列的通项公式求出首项和公比，根代入等比数列的前n 项和公式即可． 12、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若633,S S =则96SS =（ ） A 、2 B 、73 C 、83D 、3答案：B解析：解答：设公比为q ，则63633111S q q S q-==+-=3所以q 3=2， 所以93962611271123S q S q --===--．故选B ． 分析：首先由等比数列的前n 项和公式列方程，并解得q 3，然后再次利用等比数列的前n 项和公式则求得答案．13、在等比数列{a n }（n ∈N *）中，若1411,8a a ==，则该数列的前10项和为（ ） A 、8122-B 、9122-C 、10122-D 、11122-答案：B解析：解答：设公比为q ，由314411111,,,882a a a a q ====则所以q=，所以10109111221212s ⎛⎫- ⎪⎝⎭==--．故选B ．分析：先由等比数列的通项公式求出公比q ，再根据等比数列的前n 项和公式求前10项和即可．14、在等比数列{a n }中，a 1=2，前n 项和为s n ，若数列{a n +1}也是等比数列，则s n 等于（ ） A 、2n+1﹣2B 、3n 2C 、2nD 、3n ﹣1答案：C解析：解答：因数列{a n }为等比，则a n =2qn ﹣1，因数列{a n +1}也是等比数列，则（a n+1+1）2=（a n +1）（a n+2+1） ∴a n+12+2a n+1=a n a n+2+a n +a n+2∴a n +a n+2=2a n+1∴a n （1+q 2﹣2q ）=0 ∴q=1,即a n =2，所以s n =2n ，故选C ．分析：根据数列{a n }为等比可设出a n 的通项公式，因数列{a n +1}也是等比数列，进而根据等比性质求得公比q ，进而根据等比数列的求和公式求出s n ．15．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21， 则m ＝( )A ．3 B.4 C ．5 D.6 答案：C解析：解答：由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32， 故公比q ＝+1m m a a ＝－2，又S m ＝11m a a q q--＝－11，故a 1＝－1，又a m ＝a 1·q m －1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.故选C ．分析：先由等比数列的通项公式求出公比q ，再根据等比数列的前n 项和公式，反求出m 即可． 二、填空题16．已知等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝10，前4项和为40.求数列{a n }的通项公式： 答案：a n ＝3n －1解析：解答：解：设等比数列{a n }的公比为q ，a 1＋a 3＝10，前4项和为40，则211231111+10,40,a a q a a q a q a q ⎧=⎪⎨+++=⎪⎩解得11,3,a q =⎧⎨=⎩∴a n ＝a 1q n －1＝3n －1. ∴等比数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.分析：先根据等比数列的前n 项和公式，再由等比数列的通项公式求出公比q ，求出a n 即可． 17．等比数列的公比为2，前4项之和等于10，则前8项之和等于________． 答案：170解析：解答：S 8－S 4＝q 4·S 4＝24·10＝160，S 8＝170.答案：170 分析：先根据等比数列的前n 项和“片段和”的性质，即可求出s 8即可18．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，a 2＋a 3＝12，则该数列的前4项和为__________． 答案：30解析：解答：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝2，a 2＋a 3＝12，则a 1q ＋a 1q 2＝12，解得q＝2，故S 4＝421212⨯--＝30.答案：30分析：先由等比数列的通项公式求出公比q ，再根据等比数列的前n 项和公式即可 19、已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是 ． 答案：(][),13,-∞-+∞解析：解答：∵等比数列()n a 中21a = ∴312321111S a a a a q q q q⎛⎫=++=++=++ ⎪⎝⎭ ∴当公比0q >时，31113S q q =++≥+=； 当公比0q <时，31111S q q ⎛⎫=---≤-=- ⎪⎝⎭ ∴(][)3,13,S ∈-∞-+∞ 故答案(][),13,-∞-+∞；分析：先由等比数列的通项公式求出公比q ，再根据等比数列的前n 项和公式即可20、等差数列{a n }前n 项和S n ，a 1=2，S 10=110，若()*12=log nn a b n N ∈，则数列{b n }的前n 项和为 ． 答案： 11134n ⎛⎫-⎪⎝⎭解析：解答：∵等差数列{a n }中，a 1=2，S 10=110，∴1091021102d ⨯⨯+=， 解得d=2，∴a n =2+（n ﹣1）×2=2n，∵()*12=log n n a b n N ∈，21111,,2444n nn b b q ⎛⎫⎛⎫∴==∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭公比 ∴数列{b n }的前n 项和11144114n n T ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-=11134n ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 故答案为：11134n ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 分析： 本题考查等差数列和等比数列的通项公式，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．21．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ；答案：依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.又q ≠0，从而q ＝－12(2)若a 1－a 3＝3，求S n . 答案：由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4. 从而S n ＝11281=1--13212n n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ 解析： 分析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．22.已知等比数列{a n }满足38312,,8a a ==记其前n 项和为.n S （1）求数列{a n }的通项公式a n ；答案：设等比数列{a n }的公比为q ，因为38312,,8a a ==则2117112,148,32,8a q a q a q ⎧=⎪==⎨=⎪⎩解得，所以1111482n n n a a q --⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭（2）若93,n s n =求答案：93n s =，()1148112196111212n n nna q s q ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦===-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 由196193,52n n s n ⎡⎤⎛⎫=-==⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦解得解析： 分析： 本题考查等比数列的通项公式，求前n 项和，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．23．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13 成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；答案：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为S 3＝a 4＋6，所以3a 1＋322d⨯＝a 1＋3d ＋6. 所以a 1＝3.因为a 1，a 4，a 13成等比数列， 所以a 1(a 1＋12d )＝(a 1＋3d )2， 即3(3＋12d )＝(3＋3d )2. 解得d ＝2. 所以a n ＝2n ＋1(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和． 答案：由题意b n ＝22n ＋1＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝22n ＋1，21+112122n n n n c c +++=＝4(n ∈N *)，所以数列{c n }为以8为首项，4为公比的等比数列． 所以T n ＝81414n --（）＋n ＝232-83n +＋n .解析：分析：本题考查等差数列和等比数列的通项公式，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．24. 已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （1）求{}n a 的通项公式；答案：设等差数列{}n a 的公差为d.因为432a a -=，所以2d =. 又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =（2）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 答案：设等比数列{}n b 的公比为q .因为238b a ==，3716b a ==，所以2q =，14b =.所以61642128b -=⨯=.由12822n =+，得63n =.所以6b 与数列{}n a 的第63项相等解析：分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数.25、已知数列},{n a 定义倒均数是*,11121N n na a a V nn ∈+++= （1）若数列}{n a 的倒均数是21+=n V n ，求数列的通项公式n a 答案：21+=n V n ， 2111121+=+++∴n n a a a n当2≥n 时2)1()1(1112121-+-=+++-n n a a a n 即2111221nn a a a n +=++++ n a n=∴1，11111===∴a n n a n 时*)(111N n na a n ∈=∴=∴ （2）若等比数列,,211}{n n V q b 其倒数为公比为的首项为=-问是否存在正整数m ，使得当16,-<≥n V m n 时恒成立，若存在，求出m 的最小值；若不存在，说明理由. 答案：∵2111=-=q b }1{nb ∴是首项为－1，公比为2的等比数列 nn n b b b V n n n n 2121)21(111121-=---=+++=∴ 不等式162116-<--<n V nn 即n n 1612>-∴令1)1(162)1(1162)(1-+-=+--=+n n f n n f n n则162)()1(-=-+n n f n f11 当)()1(4n f n f n ≤+≤时即0)1()2()3()4()5(<<<<=f f f f f当 <<<>+≥)7()6()5()()1(5f f f n f n f n 时又033)6(<-=f 015)7(>=f故当7≥n 时有0)(>n f即1612>-n 恒成立，因此存在正整数m ，使得*)(N n m n ∈≥时16-<n V 恒成立且m 的最小值为7.解析：分析：本题考查数列的通项公式，等比数列前n 和的综合应用，解题时要认真审题，注意对数性质的灵活运用．。