高中数学：第二章 数列 2.4 第2课时

第2课时等比数列的性质

学习目标

1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.

2.熟悉等比数列的有关性质.

3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法.

知识点一 由等比数列衍生的等比数列

思考 等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是 (1){3a n }是等比数列； (2){3＋a n }是等比数列；

(3)⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 是等比数列； (4){a 2n }是等比数列.

★答案★ 由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.

梳理 (1)在等比数列{a n }中按序号从小到大取出若干项：123,,,,,,n k k k k a a a a ……若k 1，k 2，k 3，…，k n ，…成等差数列，那么123,,,,,n k k k k a a a a ……是等比数列.

(2)如果{a n }，{b n }均为等比数列，那么数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

b n a n ，{|a n |}是等比数列.

知识点二 等比数列的性质

思考 在等比数列{a n }中，a 25＝a 1a 9是否成立？a 25＝a 3a 7是否成立？a 2n ＝a n －2a n ＋2(n >2，

n ∈N *)是否成立？

★答案★ ∵a 5＝a 1q 4，a 9＝a 1q 8，∴a 1a 9＝a 21q 8＝(a 1q 4)2＝a 25， ∴a 25＝a 1a 9成立.同理a 25＝a 3a 7成立，a 2n ＝a n －2·

a n ＋2也成立. 梳理 一般地，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝s ＋t ，则有a m ·a n ＝a s ·a t (m ，n ，s ，t ∈N *).

若m ＋n ＝2k ，则a m ·a n ＝a 2k (m ，n ，k ∈N *).

1.a n＝a m q n－m(n，m∈N*)，当m＝1时，就是a n＝a1q n－1.(√)

2.等比数列{a n}中，若公比q<0，则{a n}一定不是单调数列.(√)

3.若{a n}，{b n}都是等比数列，则{a n＋b n}是等比数列.(×)

类型一 等比数列通项公式的推广应用 例1 等比数列{a n }中. (1)a 4＝2，a 7＝8，求a n ；

(2)若{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，求通项公式a n . 考点 等比数列的通项公式

题点 已知数列为等比数列求通项公式 解 (1)∵a 7a 4＝q 7－

4＝82，

即q 3＝4，∴q ＝3

4， ∴a n ＝a 4·q

n －4

＝2·(3

4)

n －4

＝2

254

333

2(2)

2

.n n --⋅=

(2)由a 25＝a 10＝a 5·q 10－

5，且a 5≠0， 得a 5＝q 5，即a 1q 4＝q 5， 又q ≠0，∴a 1＝q .

由2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1得，2a n (1＋q 2)＝5qa n ， ∵a n ≠0，∴2(1＋q 2)＝5q ， 解得q ＝1

2

或q ＝2.

∵a 1＝q ，且{a n }为递增数列，

∴⎩

⎪⎨⎪⎧

a 1＝2，q ＝2. ∴a n ＝2·2n －

1＝2n .

反思与感悟 (1)应用a n ＝a m q n －

m ，可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式，不必再求a 1. (2)等比数列的单调性由a 1，q 共同确定，但只要单调，必有q >0.

跟踪训练1 (1)在等比数列{a n }中，a 3＝4，a 7＝16，则a 5＝________；

(2)设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2·…·a n 的最大值为__________. 考点 等比数列的通项公式

题点 已知数列为等比数列求通项公式 ★答案★ (1)8 (2)64

解析 (1)∵a 7a 3＝q 7－

3＝q 4＝164＝4，

∴q 2＝2.

∴a 5＝a 3q 5－

3＝4·q 2＝4×2＝8. (2)设该等比数列{a n }的公比为q ，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＋a 3＝10，

a 2＋a 4＝5， 即⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＋a 1q 2＝10，a 1q ＋a 1

q 3＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧

a 1＝8，q ＝12，

∴a 1a 2…a n ＝⎝⎛⎭

⎫12(－3)＋(－2)＋…＋(n －4)

211749

(7)[()]222411()(),22

n n n ---== 当n ＝3或4时，1

2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭

⎫n －722－494取得最小值－6， 此时21749

[()]224

1()2

n --取得最大值26，

∴a 1a 2…a n 的最大值为64. 类型二 等比数列的性质 命题角度1 序号的数字特征 例2 已知{a n }为等比数列.

(1)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；

(2)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值. 考点 等比数列的性质 题点 利用项数的规律解题

解 (1)a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 2

5

＝(a 3＋a 5)2＝25，