高中数学：第二章数列 2.1数列

2.1数列(第一课时)

——授课人：杭十四中袁礼峰教学目标：

(一)知识目标：理解数列的基本概念；了解数列与函数之间的关系；理解数列的通项公式，并掌握用数列的通项公式求出数列的各项；掌握根据数列前几项写出它的一个通项公式.

(二)能力目标：培养学生获取有效信息及归纳能力；培养学生应用知识的能力.

(三)情感目标：利用问题的设计激发学生学习数学的兴趣，通过对数学问题的观察、探究和归纳，培养学生的探索和进取精神.

教学重点：

数列的通项公式.

教学难点：

求数列的通项公式.

教学方法：

发现式教学法.

教学主线：

通过大家感兴趣的问题引入数列概念，介绍数列基本概念深入理解数列，让数列和函数挂钩引出数列的图象表示，通过典型例题及练习诠释重点内容数列的通项公式的求取以及突破求通项公式的难点，每组例题及时小结，最后布置回家作业.

教学过程：课前板书2.1数列 1 2 3 4，课前分发纸张

1.数列引入：实例讲慢一点，注意抑扬顿挫，板书4个数列

实例一，请大家一起看我手上这支粉笔，假设它的长度是1，我现在把它当中折断，看我左手的粉笔，长度是多少？再把它当中折断，看我左手的粉笔，长度又是多少？再折，长

度呢？再折，长度？依此类推，每次折断剩下的粉笔长度依次构成一列数：1111

(1),,,,.

24816

L 接下来

实例二，请大家和我一起玩一个折纸游戏，请拿起手上的纸，对折一下，看手上纸的折痕是几条？再对折，共是几条折痕？再对折呢？依此类推，又得到一列数：(2)1,3,7,15,.

L 师：再问大家一句，折8下呢？…折是折不下去的，这就是我们今天要研究的其中一个问题，相信大家课后就会有★答案★了.

好了，请大家看屏幕，图片上的运动员是谁？刘翔，大家都比较关心体育，不知大家对以下一组数据是否了解？

实例三，从1984年至今，我国体育健儿共参加了六届奥运会，获得的金牌数依次排成一列数：(3)15,5,16,16,28,32.

再看运动会上一幕

实例四，在前不久结束的杭十四中校运会上，体育老师为了保证40个班级广播操比赛各班之间能等距离站队，之前做了一个准备工作——在第一行导牌队员站立的横线上用粘胶纸标注站立点，从起点开始，每隔2米标注一个站立点，由近及远各标注点与起点的距离排成怎样的一列数(单位：m)：(4)0,2,4,6,,78.

L

2，4换一下行不行？不行，由近及远，那是有次序的

师：请大家仔细回味上述实例，想想看它们有什么共同特点？

生：它们均是一列数；它们是有一定次序的.

师：很好！象这样按一定次序排成的一列数我们就把它叫做数列.想一想？我们平时会经常听到一些分期付款问题啊，银行存款的利息问题等等，这都是与数列有关的问题，学习数列是很有必要的.下面我们对照已知的数列一起来了解一下数列的基本概念.

2. 数列的基本概念：

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，第3项，…，第n 项，….

我们通常用1a 表示第一项，2a 表示第二项，依此类推，就得到了数列的一般形式123,,,,n a a a a L L ，其中n a 是数列的第n 项.

数列可简记作{}n a .要提醒大家一点这不是集合，只是一个记号，用它来表示数列. 数列分类：根据数列项数的有限和无限，我们可以把数列分为有穷数列和无穷数列. 师：现在我们再回头看这4个数列，想想看？数列{}n a 的第n 项n a 与序号n 之间有一定的关系吗？

生：有，数列(1)可以用式子12

n n a =表示；数列(2)可以用式子21n n a =-表示；数列(4)可以用式子22(40,*)n a n n n N =-≤∈表示.

师：n a 与n 之间的关系都可以用一个公式来表示吗？

生：不可以，(3)不可以.

师：很好！n 不指明范围意指*n N ∈，有穷数列需要指明n M ≤.

师：综上所述，如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.

师：请大家观察这些对应关系，这是我们学过的什么关系？

生：函数关系.

师：很好！数列的通项公式实际上就是一个以n 为自变量、项为函数值的函数关系.

3. 数列和函数之间的关系：

师：从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正

整数集*N （或它的有限子集{1,2,,}n L ）的函数当自变量从

小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也

就是相应函数的解析式.

4.数列的图象表示：

师：函数关系可以用图象来表示，数列是一种特殊

函数的一列函数值，当然也可以用图象来表示.如图，这

就是数列(4)0,2,4,6,,78L 的图象表示.从图上看，它们

是一群孤立的点，它们的坐标依次是(1,0)，(2,2)，(3,4)，

(4,6)，…，(40,78).

要理解数列的概念，大家还应注意以下几点：

①“一定次序”，这些数必须按次序排列起来，这有别于数集中元素的无序性.如在集合中，{}1,2,3同于{}3,2,1，而在数列中，数列1，2，3与数列3，2，1是不相同的两个数列.

②数列中的数(或者说项)可以有相同的，这又有别于集合中元素的互异性.如数列(3). ③{}n a 和n a 是有区别的，{}n a 表示整个数列，而n a 表示该数列的第n 项.

好了，知识点就讲到这儿，接下来我们一起来看几个例题

5.典型例题：

例1. 数列{}n a 的通项公式为()1n n a n =-，请写出它的前５项.

★答案★：1,2,3,4,5---

练习：根据数列的通项公式12(1)(3)n n a n n +=-⋅-，写出它的第7项和第10项. ★答案★：71028,70a a ==-

小结：从这两个习题我们可以看到，当数列的通项公式知道以后，要求其中的任意一项，只要代代数字就可以了，非常的简单，所以我们想要了解一个数列，可能的话，能知道它的通项公式是最关键的.

题组一：写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数.

强化项与序号的关系，分析可到位一点

(1)1,3,5,7,L ； 21n a n =-

(2)1,1,1,1--，…； (1)n

n a =-或1,21,*1,2,*n n k k N a n k k N -=-∈⎧=⎨=∈⎩ 小结：我们现在知道数列的通项公式有时是不唯一的，前面知道不是所有的数列都是有通项公式的.

师：变为1,1,1,1--呢？

生：1(1)n n a +=-.

(3)0,1,0,1,L ； 1(1)2

n

n a +-=师：变为1,0,1,0呢？ 1111(4),,,,12233445

--⨯⨯⨯⨯L . (1)(1)

n n a n n -=+ 练习： (1)写出数列14916,,,,3579L 的一个通项公式；2

21

n n a n =+提示：分母减1 (2)写出数列的1111,,,,261220--L 的一个通项公式. 1

(1)(1)

n n a n n +-=+提示：分母看成两数相乘 题组二：写出下列数列的一个通项公式，使它的前几项分别是下列各数.

(1)9,99,999,9999,L ； 101n n a =-

(2)2,22,222,2222,L . 2(101)9

n n a =- 这类题，有一个规律：9是突破口，1是基础，其它倍上去.