数列通项公式和前n项和求解方法全
数列求前N项和方法总结(方法大全
数列求前N项和方法总结(方法大全数列是一组按照一定规律排列的数。
在数列中，常常需要求出数列的前N项和，以便进一步分析和运用。
下面将对常见的数列的前N项和求解方法进行总结。
1.等差数列：等差数列是相邻两项之差相等的数列。
记数列首项为a，公差为d，第n项为an。
a.求前N项和公式：Sn = (a + an) * n / 2b.证明：首先将等差数列分为两部分：第一部分是首项a和末项an，共有n 项，它们的和为 (a + an) * n / 2；第二部分是每一项与对应的倒数项的和，它们的和恰好也是 (a + an) * n / 2、将两部分的和相加即得 Sn = (a + an) * n / 22.等比数列：等比数列是相邻两项之比相等的数列。
记数列首项为a，公比为r，第n项为an。
a.公比不为1的情况：求前N项和公式：Sn=a*(1-r^n)/(1-r)b.公比为1的情况：求前N项和公式：Sn=a*nc.证明：利用等比数列的性质，将等比数列的前N项和与它的下一项相乘，两者相减可得到Sn=a*(1-r^n)/(1-r)。
3.平方数列：平方数列是由平方数组成的数列，例如1,4,9,16,25,...。
a.求前N项和公式：Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6b.证明：利用平方数的性质，可以得到平方数列的前N项和的通项公式为Sn=n*(n+1)*(2n+1)/64.立方数列：立方数列是由立方数组成的数列，例如1,8,27,64,125,...。
a.求前N项和公式：Sn=(n*(n+1)/2)^2b.证明：利用立方数的性质，可以得到立方数列的前N项和的通项公式为Sn=(n*(n+1)/2)^25.斐波那契数列：斐波那契数列是指从0和1开始，后一项等于前两项之和的数列，例如0,1,1,2,3,5,...。
a.求前N项和公式：Sn=F(n+2)-1其中F(n)是斐波那契数列的第n项。
b.证明：通过归纳法可以证明斐波那契数列的前N项和等于第N+2项减去1除了上述常见的数列，还有很多其他的数列以及求前N项和的方法。
求数列通项公式+求数列前 N项和的常用方法
的前n项和Sn 解：
点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显 的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差 数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后 把两个数列的和再求和。 三.用裂项相消法求数列的前n项和
裂项相消法是将数列的一项拆成两项或多项，使 得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列的前 n项和。
例题3：求数列
(n∈N*)的和 解：
点拨：此题先通过求数列的通项找到可以裂项的 规律，再把数列的每一项拆开之后，中间部分的项 相互抵消，再把剩下的项整理成最后的结果即可。
四.用错位相减法求数列的前n项和 错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于
等比数列与等差数列相乘的形式。即若在数列 {an·bn}中，{an}成等差数列，{bn}成等比数列，在 和式的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后 即可以求出前n项和。
例题4：求数列{nan}(n∈N*)的和 解：设 Sn = a + 2a2 + 3a3 + … + nan①
则：aSn = a2 + 2a3 + … + (n-1)an + nan+1② ①-②得：(1-a)Sn = a + a2 + a3 + … + an nan+1③ 若a = 1则：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n =
求数列 前N项和的常用方法 核心提示：求数列的前n项和要借助于通项公式，即先有通项公式， 再在分析数列通项公式的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为 基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列的特点和规律， 找到适合的方法解题。
一.用倒序相加法求数列的前n项和
求通项公式及前n项和的方法
求通项公式的方法一、1()n n a a f n +=+型数列，（其中()f n 不是常值函数) 这种类型使用累加法 例1. 在数列{}n a 中,112,21,.n n n a a a n a +==+-求变式练习：已知{}n a 满足11=a ,)1(11+=-+n n a a n n ,求}{n a 的通项公式 二、)(1n f a a n n ⋅=+型数列，（其中()f n 不是常值函数)这种类型使用累乘法 例2.已知数列{n a }满足n a a nn =+1（n ∈N +），1a =1，求n a . 三、q pa a n n +=+1型数列 待定系数法，构造1n b a p +-是等比数列，公比为p ，首项为11b a p +-。
例3. 在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，有132n n a a -=+，求{}n a 的通项公式。
变式练习：已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈求数列{}n a 的通项公式. 四、()n f pa a n n +=+1型数列（p 为常数），此类数列可变形为()111++++=n n n n n p n f p a p a 例4已知数列{}n a 满足1111,32n n n a a a ++==+,求n a .变式练习：已知{}n a 满足11122,2+++==n n n a a a ，求n a 。
五、“已知n S ，求n a ”型方法是利用111,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，把已知条件转化成递推式。
例：已知数列{}n a ，n S 表示其前n 项和，若满足231n n S a n n +=+-，求数列{}n a 的通项公式。
五、CBa Aa a n n n +=型数列（C B A ,,为非零常数） 这种类型的解法是将式子两边同时取倒数,把数列的倒数看成是一个新数列,便可顺利地转化为1n n a pa q +=+型数列。
数列求通项的七种方法及例题
数列求通项的七种方法及例题数列求通项的7种方法及例题：1. 已知首项和公比法：设数列{an}中，a1为首项，q为公比，则an = a1 × q^(n-1)。
例如：已知数列{an}中，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1622. 已知前n项和法：设数列{an}中，Sn为前n项和，则an = S0 + S1 + S2 +···+ Sn-1 - (S1 + S2 +···+ Sn-1) = S0。
例如：已知数列{an}中，S2=6，S4=20，求a3。
答案：a3 = S2 - (S2 - S1) = 6 - (6 - 2) = 83. 等差数列的通项公式：设数列{an}为等差数列，d为公差，则an = a1 + (n-1)d。
例如：已知数列{an}为等差数列，a1=2，d=4，求a5。
答案：a5 = 2 + (5-1)4 = 184. 等比数列的通项公式：设数列{an}为等比数列，q为公比，则an = a1 ×q^(n-1)。
例如：已知数列{an}为等比数列，a1=2，q=3，求a5。
答案：a5=2×3^4=2×81=1625. 三项和平均数法：设数列{an}中，Sn = a1 + a2 + a3 +···+ an，则an = Sn/n。
例如：已知数列{an}中，S4=20，求a3。
答案：a3 = S4/4 = 20/4 = 56. 泰勒公式法：对于一般的数列，可以使用泰勒公式进行求通项。
例如：已知数列{an}中，a1=2，且当n→∞ 时，an → 0，求a4。
答案：使用泰勒公式，a4 = a1 + (n-1)(a2 - a1)/1! + (n-1)(n-2)(a3 -2a2 + a1)/2! + (n-1)(n-2)(n-3)(a4 - 3a3 + 3a2 - a1)/3! = 2 + 3(2 - 2)/1! + 3(3 - 2)(3 - 4)/2! + 3(3 - 2)(3 - 4)(3 - 5)/3! = 2 + 3(0)/1! + 3(1)(-1)/2! + 3(1)(-1)(-2)/3! = 2 - 3/2 - 3/4 + 3/6 = 2 - 1/87. 斐波那契数列法：斐波那契数列是一种特殊的数列，它的通项公式可以写作 an = an-1 + an-2。
求数列前n项和8种的方法(史上最全)
求数列前n 项和8种的方法一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d ++==+特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+，即前n 项和为中间项乘以项数。
这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =时，1n S na =； （2）()1111nn a q q S q-≠=-，，特别要注意对公比的讨论；3.可转化为等差、等比数列的数列；4.常用公式:（1）1nk k ==∑12123(1)n n n ++++=+；（2）21nk k ==∑222216123(1)(21)n n n n ++++=++；（3）31nk k ==∑33332(1)2123[]n n n +++++=；（4）1(21)n k k =-=∑2n 1)-(2n ...531=++++.例1 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21例2 设123n s n =++++，*n N ∈,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(211++=+n n S n∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝n n 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f .二.倒序相加法:如果一个数列{a n }，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。
求前N项和方法技巧及公式
求前N项和方法技巧及公式前N项和是指将一个数列的前N项相加得到的和。
计算前N项和可以使用不同的方法和技巧，包括数学公式、推导公式和逐项相加等。
一、数学公式法对于一些特定的数列，存在求前N项和的数学公式，可以直接使用这些公式计算前N项和，而无需逐项相加。
1.等差数列的前N项和公式对于等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
前N项和公式如下：Sn = (a1 + an) * N / 2 = N * (a1 + a1 + (N-1)d) / 2 = N *(2a1 + (N-1)d) / 22.等比数列的前N项和公式对于等比数列，其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
前N项和公式如下：Sn=a1*(1-r^N)/(1-r)3.平方数序列的前N项和公式对于平方数序列，其通项公式为an = n^2，其中n为正整数。
前N项和公式如下：Sn=n*(n+1)*(2n+1)/6二、推导公式法对于一些特殊的数列，我们可以通过推导得到求前N项和的公式。
推导过程中可以使用数学归纳法、代数运算等方法。
1.等差数列的前N项和公式的推导设等差数列的首项为a，公差为d，第N项为an，则有：an = a + (N-1)dSn=a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(N-1)d)根据等差数列的性质，可以将Sn分为两部分：Sn=(a+(N-1)d)+(a+(N-2)d)+...+(a+d)+a将两式相加，可得：2Sn=(N*a)+(N*a+(N-1)*d)+...+((N-1)d+a)+(Nd)化简后得到等差数列的前N项和公式。
2.等比数列的前N项和公式的推导设等比数列的首项为a，公比为r，第N项为an，则有：an = a * r^(N-1)Sn=a+a*r+a*r^2+...+a*r^(N-1)Sn*r=a*r+a*r^2+...+a*r^N将两式相减Sn*(1-r)=a*(1-r^N)化简后得到等比数列的前N项和公式。
数列通项公式和前n项和的求法
数列通项公式和前n 项和的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d ∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒，∵0≠d ， ∴d a =1①∵255a S = ∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+② 由①②得：531=a ，53=d ， ∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=二、累加法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例2 已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a解：由条件知：111)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之， 即)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a)111()4131()3121()211(nn --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=所以n a a n 111-=-， 211=a ，nn a n 1231121-=-+=∴三、累乘法(逐商相乘法)：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例4. 已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n na 11+=+，求n a 。
解：由条件知11+=+n na a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累乘之，即1342312-∙⋅⋅⋅⋅⋅⋅∙∙∙n n a a a a a a a a n n 1433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a ，na n 32=∴四、待定系数法：递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
数列通项公式和前n项和求解方法(全)
数列通项公式和前n项和求解方法(全)数列通项公式的求法详解n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 答案：（1）110-=nna （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n（4）1)1(1+⋅-=+n na n n .公式法1：特殊数列例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。
答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1例3. 等差数列{}na 是递减数列，且432a a a⋅⋅=48，432a a a++=12，则数列的通项公式是（ ）(A) 122-=n an(B) 42+=n an(C) 122+-=n an(D)102+-=n a n 答案：(D)例4. 已知等比数列{}na 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}nb 的通项为21+++=n n na a b，求数列{}nb 的通项公式.简析：由题意，321++++=n n n a a b，又{}na 是等比数列，公比为q ∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321，故数列{}nb 是等比数列，易得)1()1(1+=⋅+=-q q q q q bn n n.点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比. 公式法2： 知ns 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s an n n.例5：已知下列两数列}{na 的前n 项和s n 的公式，求}{na 的通项公式.（1）13-+=n n Sn. （2）12-=n sn答案：（1）na =3232+-n n，（2）⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n an点评：先分n=1和2≥n 两种情况，然后验证能否统一.【型如)(1n f a a nn +=+的地退关系递推关系】 简析：已知a a =1,)(1n f a a nn =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. 答案：)(52N n n a n∈+=例 6. 若在数列{}na 中，31=a，nn n a a21+=+，求通项na .答案：na =12+n例7.已知数列}{na 满足31=a，)2()1(11≥-+=-n n n a an n，求此数列的通项公式. 答案：nan12-=【 形如1+n a =f (n)·n a 型】（1）当f(n)为常数，即：qaa nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，na =11-⋅n q a.（2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例8：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式. 例9： 已知数列{}na 中，311=a ，前n 项和n S 与na 的关系是 nn a n n S )12(-= ，试求通项公式na . .答案：.)12(12(1-+=n n a n 思考题1：已知1,111->-+=+a n na an n ,求数列{a n }的通项公式.分析：原式化为 ),1(11+=++nn a n a 若令1+=n na b,则问题进一步转化为nn nb b =+1形式，累积得解.构造1：【形如0(,1≠+=+c d ca an n ,其中aa=1)型】 （1）若c=1时，数列{na }为等差数列; （2）若d=0时，数列{na }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{na }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a,得λ)1(1-+=+c ca an n ,与题设,1d ca an n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c d λ， 所以：)1(11-+=-+-c d a c c d an n,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d an 构成以11-+c d a为首项，以c 为公比的等比数列.例10：已知数}{na 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a求通项na .答案：12-=n na构造2：相邻项的差为特殊数列 例11：在数列{}na 中，11=a，22=a，n n n a a a313212+=++，求na .提示：变为)(31112n n n n a a a a--=-+++.构造3：倒数为特殊数列【形如sra pa a n n n+=--11】例12： 已知数列｛na ｝中11=a且11+=+n n n a a a（N n ∈），，求数列的通项公式. 答案 nb a n n11==例13：设数列}{nc 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n解析：设1)1(-+-+=n nbq d n a c建立方程组，解得. 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{na 为等差数列：则cbn an+=，cnbn s n +=2（b 、ｃ为常数），若数列}{na 为等比数列，则1-=n nAq a，)1,0(≠≠-=q Aq A Aq sn n.例14：（1）数列{na }满足01=a,且)1(2121-=++++-n a a a an n ,求数列{a n }的通项公式. 解析：由题得)1(2121-=++++-n a a a a n n ①2≥n 时，)2(2121-=+++-n a a a n ②由①、②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n an.（2）数列{na }满足11=a,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ,求数列{a n }的通项公式（3）已知数列}{na 中，,2121,211+==+n n a a a求通项na .八、【讨论法-了解】（1）若da an n =++1（d 为常数），则数列{na }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分为奇数项和偶数项来讨论.（2）形如)(1n f a an n =⋅+型①若pa an n =⋅+1(p 为常数)，则数列{na }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a an n，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例15： 数列{na }满足01=a,21=++n n a a,求数列{a n }的通项公式.专题二：数列求和方法详解（六种方法）1、等差数列求和公式：d n n na a a n n 2)1(2)(123-+==+=-2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q qa a q q a q na S n n n[例1] 已知3log 1log23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x xx 32的前n 项和.答案xx x s n n --=1)1([例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nSn Sn f 的最大值. 答案n ＝8时，501)(max =n f方法简介：此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n nx n x x x S ………………………①(1≠x )解析：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积：设nnx n x x x x xS)12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②①－②得 nn nx n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：nn n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--.∴21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+.试一试1：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和.答案： 1224-+-=n nn S方法简介：这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1na a +，然后再除以2得解.[例4] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 .答案S ＝44.5方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组；[例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a aa n ，…答案2)13(11nn a a a s n n -+--=-.试一试 1 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.简析：由于与nkk k a =-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅)110(91999991111111 个个、分别求和.方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）如：（1）)()1(n f n f an-+= ；（2）11++=n n a n =nn -+1；（3）nn n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+；4）111)1(1+-=+=n n n n a n （5）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n .[例6] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,21,,421,311n n 的前n 项和.[例7] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n，又12+⋅=n n na a b，求数列{b n }的前n 项的和.试一试1：已知数列{a n }：)3)(1(8++=n n a n，求前n 项和. 试一试2：1003211321121111+++++++++++ ..方法简介：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+cos179°的值.答案 0[例9] 数列{a n }：nn n a a a a a a-====++12321,2,3,1，求S 2002.（周期数列）[例10] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值; 答案 10。
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数列通项公式的求法详解一、 观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999， (2),17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 答案：（1）110-=nn a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+⋅-=+n na n n . 二、 公式法公式法1：特殊数列例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) =(x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式。
答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）(A) 122-=n a n (B) 42+=n a n(C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 答案：(D)例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<<q ，设数列{}n b 的通项为21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式.简析：由题意，321++++=n n n a a b ，又{}n a 是等比数列，公比为q ∴q a a a a b b n n n n n n =++=+++++21321，故数列{}n b 是等比数列，易得)1()1(1+=⋅+=-q q q q q b nn n .点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比. 公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s a n nn .例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式.（1）13-+=n n S n . （2）12-=n s n答案：（1）n a =3232+-n n ，（2）⎩⎨⎧≥-==)2(12)1(0n n n a n 点评：先分n=1和2≥n 两种情况，然后验证能否统一.三、 累加法 【型如)(1n f a a n n +=+的地退关系递推关系】简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得例5：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项. 答案：)(52N n n a n ∈+=例6. 若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a . 答案：n a =12+n例7.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：na n 12-=四、累积法 【 形如1+n a =f (n)·n a 型】（1）当f(n)为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 例8：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式.例9： 已知数列{}n a 中，311=a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a . . 答案：.)12(12(1-+=n n a n 思考题1：已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通项公式.分析：原式化为 ),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，累积得解.五、构造特殊数列法构造1：【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】 （1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得)0(,1≠-=c cd λ， 所以：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n ,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列.例10：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a . 答案：12-=nn a构造2：相邻项的差为特殊数列例11：在数列{}n a 中，11=a ，22=a ，n n n a a a 313212+=++，求n a .提示：变为)(31112n n n n a a a a --=-+++. 构造3：倒数为特殊数列【形如sra pa a n n n +=--11】例12： 已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式. 答案 n b a n n 11== 六、待定系数法：例13：设数列}{n c 的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c 1=2，c 2=4，c 3=7，c 4=12，求通项公式c n解析：设1)1(-+-+=n n bqd n a c 建立方程组，解得. 点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n 项和公式为某一多项式，一般地，若数列}{n a 为等差数列：则c bn a n +=，cn bn s n +=2（b 、ｃ为常数）， 若数列}{n a 为等比数列，则1-=n n Aq a ，)1,0(≠≠-=q Aq AAq s nn .七、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例14：（1）数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式.解析：由题得 )1(2121-=++++-n a a a a n n ① 2≥n 时， )2(2121-=+++-n a a a n ②由①、②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n a n .（2）数列{n a }满足11=a ,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ,求数列{a n }的通项公式（3）已知数列}{n a 中，,2121,211+==+n n a a a 求通项n a . 八、【讨论法-了解】（1）若d a a n n =++1（d 为常数），则数列{n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分为奇数项和偶数项来讨论.（2）形如)(1n f a a n n =⋅+型①若p a a n n =⋅+1(p 为常数)，则数列{n a }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;②若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1-=⋅-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例15： 数列{n a }满足01=a ,21=++n n a a ,求数列{a n }的通项公式.专题二：数列求和方法详解（六种方法）一、公式法1、等差数列求和公式：d n n na a a n a a n a a n S n n n n 2)1(2)(2)(2)(123121-+==+=+=+=-- 2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 答案xx x s n n --=1)1([例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值. 答案n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法方法简介：此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①(1≠x )解析：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积：设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=…②①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=--.∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+.试一试1：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 答案： 1224-+-=n n n S 三、倒序相加法方法简介：这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +，然后再除以2得解.[例4] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值 . 答案S ＝44.5四、分组法求和方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组；[例5] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 答案 2)13(11n n a a a s n n -+--=-. 试一试1 求11111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和.简析：由于与n kk k a =-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅)110(91999991111111个个、分别求和. 五、裂项法求和方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）如：（1）)()1(n f n f a n -+= ；（2）11++=n n a n =n n -+1；（3）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+；4）111)1(1+-=+=n n n n a n （5）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n .[例6] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,21,,421,311n n 的前n 项和.[例7] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 试一试1：已知数列{a n }：)3)(1(8++=n n a n ，求前n 项和. 试一试2：1003211321121111+++++++++++ ...六、合并法求和 方法简介：针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值. 答案 0 [例9] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.（周期数列）[例10] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值; 答案 10。