等差数列前n项和公式及性质
等差数列前n项和的公式word版本
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【审题指导】根据等差数列前n项和公式解方程.
【规范解答】（1）∵a15=
5 6
+(15-1)d=
3 2
, ∴d=
1 6
.
又Sn=na1+n
n 2
1· d=-5,解得n=15,n=-4（舍）.
（2）由已知，得S8=8a12a88解42得a8a8,=39,
又∵a8=4+(8-1)d=39,∴d=5.
∴a1=-5，d=a
6
5
a=1 3.∴a8=a1+（8-1）d=16.
知识点：等差数列前n项和的性质的应用
(1)项数（下标）的“等和”性质：
Sn= n（ a1an） n（ amanm 1 ）
2
2
(2)项的个数的“奇偶”性质：
等差数列{an}中，公差为d： ①若共有2n项，则S2n=n（an+an+1）； S偶-S奇=nd；S偶∶S奇= an+1∶an；
【变式训练】在等差数列{an}中，已知a6=10，S5=5，求a8. 【解析】方法一：设公差为d,
∵a6=10，S5=5，
∴
5a1a
5d解 1得0 ，
1 10d 5
∴a ad81=a365+, 2d=16.
方法二：设公差为d,
∵S6=S5+a6=15，∴15（6=a
1
2
a
6），即3（a1+10）=15.
问题2
一个堆放铅笔的V形架 的最下面一层放一支铅 笔，往上每一层都比它 下面一层多放一支，最 上面一层放100支.这个 V形架上共放着多少支 铅笔？
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
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等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
等差数列前n项和知识点归纳总结
等差数列前n项和知识点归纳总结等差数列是数学中常见的数列形式，由一系列等差数构成。
其中，等差数是按照一定的公差递增或递减的数，如1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。
在求等差数列前n项和时，我们需要掌握一些重要的知识点。
本文将对等差数列前n项和的计算方法进行归纳总结。
一、等差数列的概念与通项公式：等差数列是指一个数列中相邻两项之间的差值是一个常数。
通常用字母a，d表示等差数列的首项和公差，其通项公式的一般形式为：an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1为首项，d为公差。
二、求等差数列前n项和的方法：1. 公式法：根据等差数列通项公式，我们可以得到第n项的具体表达式，然后将每一项累加起来即可得到前n项和。
这种方法适用于数列项数较多的情况。
2. 列表法：列举等差数列的前n项，然后将各项相加求和，即可得到等差数列前n项和。
这种方法适用于数列项数较少的情况。
三、等差数列前n项和的公式推导：要推导等差数列前n项和的公式，我们可以利用等差数列的通项公式和数列项数的特点进行推导。
考虑一个等差数列的前n项和Sn，其首项为a1，末项为an，公差为d。
根据等差数列的通项公式，我们可以列出如下两个等式：a1 = a1an = a1 + (n-1)d将这两个等式相加得：a1 + an = 2a1 + (n-1)d根据等差数列的性质，可以知道数列中的任意两项和都等于首项和末项的和，且这个和一共出现n次。
因此，将上述等式乘以n/2，得到：n(a1 + an) = n(2a1 + (n-1)d)化简后：2a1n + (n-1)dn = n(a1 + an)移项得：2a1n + dn^2 - dn - an = 0根据求根公式，可以求解出an的表达式为：an = a1 + (n-1)d将其代入上述等式，可以得到等差数列前n项和公式：Sn = n(a1 + an) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(2a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2= n(a1 + a1 + (n-1)d) / 2四、等差数列前n项和的应用：等差数列前n项和的计算公式在数学和物理等领域有广泛的应用。
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用 (3)
等差数列前n项和公式的几个性质和与应用性质1：设等差数列{}n a的前n项和公式和为n S，公差为d，*m∈n.N则①()dm n m S n S m N -=-21②()mnd S S S S nm n m S n m n m n m ++=--+=+性质2：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*..N k n m ∈,若k n m ..成等差数列，则k S n S m S knm,,成等差数列性质3：设等差数列{}n a 的前n 项和公式和为n S ，*....N n m q p ∈,若n m q p +=+，则qp S S n m S S qp n m --=--性质4：设等差数列{}na 的前n 项和公式和为k S①当()*2N k k n ∈=时，()12++=k k k a a k S ②当()*12N k k n ∈-=时，()121212---=k k a k S例1：如果等差数列{}n a 的前4项和是2，前9项和是-6，求其前n 项和公式。
解1：由性质1得：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-d n S nS d S S n 4214492149449 ()()21将9,294-==S S 代入()()2,1得：nn S n 30433072+-=解2：求1a ,d.例2：设n S 是等差数列{}n a 的前n项和，已知331S 和441S 的等比中项为551S ，331S 和441S 的等差中项为1，求等差数列{}na 的通项公式n a 。
解1：由性质1和题意知，()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=+=-=-d d S S S S d d S S 2145214523421342134453434)3()2()1( 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=-=d S dS d S 431541144113543又3453425S S S ⋅=⎪⎭⎫⎝⎛，即⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+d d d 4114114312，∴5120-==d d 或当d=0时，33=S ，∴*,1N n a n ∈= 当512-=d 时，52435124113=⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=S又da S 223313⨯+=，即524512331=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a ，∴41=a故()*,512153251214N n n n a n ∈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=例3：一等差数列前4项和是24，前5项和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
2.2.2等差数列前n项和公式
练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之 和为26,末四项之和为110,且所有项的和为 187，求n.
n=11
提示：a1+a2+a3+a4=26
a1+an=34
an+an-1+an-2+an-3=110
Sn
n(a1 2
an )
34n 2
187,n
11
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0
13a1+13×6d<0
24 d 3 7
(2)
∵
Sn
na1
1 2
n(n
1)d
1
n(12 2d ) n(n 1)d
2
d n2 (12 5d )n
2
2 5 12
∴Sn图象的对称轴为 n
由(1)知 24 7
+ S =100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1
2S = 101 +101+101 + … + 101 + 101 + 101
100101
S=
2
=5050
实例2
如图，表示堆放的钢管共8层，自上而下各 层的钢管数组成等差数列4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11， 求钢管的总数 .
Sn
n(a1 2
an )
Sn
na1
n(n 1) 2
d
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法；
等差数列前n项和的性质
则
S偶-
S奇=
nd 2
.
特别地, 若 m+n=2p, 则 am+an=2ap .
2.等差中项
b=
a+c 2
3.若数列 {an}是等差数列，则 d k 2d
Sk , S2k Sk , S3k S2k , S4k S3k , 也是等差数列
4.若等差数列 {an} 的前 2n-1 项和为 S2n-1, 等差数列 {bn} 的
前 2n-1 项和为 T2n-1,
则
S2n-1 T2n-1
=
an bn
.
三、判断、证明方法
1.定义法; 2.通项公式法; 3.等差中项法.
{an}为等差数列 an kn b
Sn An2 Bn
注: 三个数成等差数列, பைடு நூலகம்设为 a-d, a, a+d(或 a, a+d, a+2d) 四个数成等差数列, 可设为a-3d, a-d, a+d, a+3d.
一、概念与公式
1.定义 若数列 {an} 满足: an+1-an=d(常数), 则称 {an} 为等差数列.
2.通项公式 an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.
3.前n项和公式
Sn=na1+
n(n-1)d 2
=
n(a1+an) 2
.
二、等差数列的性质
1.若 m+n=p+q(m、n、p、qN*), 则 am+an=ap+aq .
四、Sn的最值问题
1.若 a1>0, d<0 时,
满足
an≥0, an+1≤0.
&2.2.2等差数列的前n项和公式
等差数列前n 等差数列前n项和公式
2 S n = n(a1 + an )
an = a1 + (n − 1)d
n(a1 + an ) Sn = 2
n(n − 1) S n = na1 + d 2
1。对于这两个公式分别有四个未知数，如果 已知其中的任何三个可以求另外一个 2。请注意这两个公式的灵活运用
1 练习： 的前n项和为 练习： 已知数列 {an } 的前 项和为Sn = n + n 2 求这个数列的通项公式。 求这个数列的通项公式。这个数列是等 差数列吗？如果是，它的首项与公差分 差数列吗？如果是， 别是什么？ 别是什么？
2
练习:
• 等差数列{an}中,a1<0,S9=S12,则该数列前多 少项和最小? • 在首项为正数的等差数列{an}中,它的前3项 和与前11项和相等,问此数列的前多少项和 最大? • 设等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=12, 且S12>0,S13<0, (1)求公差d的取值范围; (2)该数列前几项的和最大.
an − an −1 = d (n ≥ 2且n ∈ N * ) 1．等差数列的定义 ．等差数列的定义：
2．等差数列的通项公式：(1)an = a1 + (n − 1)d ．等差数列的通项公式： (2)an = am + (n − m)d
a+b 3．等差中项：A = 2 ⇔ a, A, b 成等差数列 ．等差中项：
实际上高斯解决了1+ 2 + 3 + ... + n + ... 等差数列的前 n 项和的问题
1 + 2 + ... + n-1 + n n + n-1 + ... + 2 + 1
等差数列前n项和性质及应用
2)由于a7<0,a6>0,所以S6最大。
a6 a7 0 S12 0 注意： S13 0 a7 0
等差数列绝对值的前n项和
例5、等差数列{ a n }， S n n 32 n ，
2
求{| a n |}的前n项和为 S
'
n
例.设数列{an}的通项公式为an=2n-7, 则|a1|+|a2|+|a3|+……+|a15|= 153 .
复习回顾
等差数列的前n项和公式:
n（a1 an ) 形式1: Sn 2
形式2:
n（n 1) Sn na1 d 2
.将等差数列前n项和公式
看作是一个关于n的函数，这个函数有什么 特点？
n(n 1)d S n na1 2
d d 令 A , B a1 2 2
2
求 n 为何值时， S n 最大？
变式、等差数列{ a n }， S n n 7n ，
2
求 n 为何值时， S n 最小？
3n 21 例 2、 等差数列{ a n }，a n , 求 2 2
n 为何值时， S n 最小？
方法（二） ：不等式组法（已知 a n 的表达式用此法）
a n 0 d<0时，前n项和有最大值，可由 求得n的值 a n 1 0
4 1 例6：已知a n 数列满足a1 =4,a n =4- ，令bn . a n-1 an 2 (1)求证数列b n 是等差数列。
(2)求数列an 的通项公式。
4 2(an 2) 解：（） 1 a n+1 2 2 an an 1 an 1 1 a n+1 2 2(an 2) 2 an 2 1 1 1 1 . bn1 bn . a n+1 2 an 2 2 2
等差数列前N项和及性质
等差数列前N 项和及性质1、等差数列的前n 项和公式： ①22111()(1)1()2222n n n a a n n d S na d n a d n An Bn +-==+=+-=+ （其中A 、B 是常数，所以当0d ≠时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0）当11a s =也符合n ≥2时那么n a 不需要分类2 ①当项数为偶数n 2时，则 ()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11n n n n S S na na n a a ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶 ②当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶（其中a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项）3{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ，且()n n A f n B =，则2121(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--。
4等差数列{}n a 的前n 项和m S n =，前m 项和n S m =，则前m n +项和()m n S m n +=-+ 5若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --，…也成等差数列6m p =则0m p +=例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11,求n 取何值时,Sn 取最大值例2.一个等差数列的前10项的和为100,前100项的和为10,则它的前110项的和为例3一个等差数列的前12项的和为354,其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32:27,则公差为例4.设等差数列{an}的前n 项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9={)1()2(11=≥--=n S n S S n n n a一、选择题1．(2011年杭州质检)等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝1，a3＝3，则S4＝( ) A．12 B．10 C．8 D．62．在等差数列{a n}中，a2＋a5＝19，S5＝40，则a10＝( )A．24 B．27 C．29 D．483．在等差数列{a n}中，S10＝120，则a2＋a9＝( )A．12 B．24 C．36 D．484．已知等差数列{a n}的公差为1，且a1＋a2＋…＋a98＋a99＝99，则a3＋a6＋a9＋…＋a96＋a99＝( ) A．99 B．66 C．33 D．05．若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( ) A．13项 B．12项 C．11项 D．10项6．在项数为2n＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n等于( ) A．9 B．10 C．11 D．127．若一个等差数列首项为0，公差为2，则这个等差数列的前20项之和为( )A．360 B．370 C．380 D．3908．已知a1＝1，a8＝6，则S8等于( )A．25 B．26 C．27 D．289、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为A. 13B. 12C. 11D. 1019、等差数列{}na的前m项的和为30，前2m项的和为100，则它的前3m项的和为( )A. 130B. 170C. 210D. 260二、填空题1．设数列{a n}的首项a1＝－7，且满足a n＋1＝a n＋2(n∈N*)，则a1＋a2＋…＋a17＝________. 2．已知{a n}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝__________. 3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，则{a n}的通项a n＝________.5．在等差数列{a n}中，已知a5＝14，a7＝20，求S5.三、解答题10．已知数列{a n}的前n项和公式为S n＝n2－23n－2(n∈N*)．(1)写出该数列的第3项；(2)判断74是否在该数列中．11设等差数列{a n}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{a n}的通项公式；(2)求{a n}的前n项和S n及使得S n最大的序号n的值．12．已知数列{a n}是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且各项和为286，求项数；(2)S n＝20，S2n＝38，求S3n.。
等差数列的前n项和的性质
A.22 B.26 C.30 D.34
C 由等差数列的前n项和性质知S673,S1346-S673,S2019-S1346 成等差数列,所以由等差中项的性质知 2(S1346-S673)=S673+S2019-S1346,又S673=2,S1346=12, 所以S2019=3(S1346-S673)=30,故选C.
Sn在转折项有最大值
an 0 an1 0
a1 0, d 0 , , ,(0),+, , , Sn在转折项有最小值
an 0
an1
0
等差数列的前n项的最值问题
例1.已知等差数列{an}中,a1=13且S3=S11, 求n取何值时,Sn取最大值.
解法1 由S3=S11得 1.根据Sn二次模型,寻找对称轴
法一 : 基本量思想 转为a1和d 法二 : 整体做差
3. an 是等差数列, Sn是前n项的和,求证: S6, S12 S6, S18 S12也成等差 推广: 若 an 是等差数列, Sn , S2n Sn , S3n S2n也成等差
等差数列an, Sn 100, S2n 500,求S3n
练习题
1.等差数列 an ,a10 30,a20 50,求a40
法一 : 基本量思想 转为a1和d 法二 : a10,a20 , a30, 还成等差
结论 : 若an是等差数列, 则 a10n还是等差 2.等差数列 an ,a1 a2 a3 35,a2 a3 a4 63,求a3 a4 a5
Sn 2n 3 ,求 a9 .
37
Tn 3n 1 b9
50
an S2n1 bn T2n1
an S2n1
bn
T2n1
二、等差数列的前n项的最值问题 Sn最值问题
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2.2 等差数列的前n项和
第一课时等差数列前n项和公式及性质
【选题明细表】
题号
知识点、方法
易中等差数列前n项和公式应用1、3、9 7、8
等差数列前n项和性质的应用2、4
等差数列性质的综合应用5、6
基础达标
1.在等差数列{a n}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于( B )
(A)40 (B)42 (C)43 (D)45
解析:∵a1=2,a2+a3=13,
∴3d=13-4=9,∴d=3,
a4+a5+a6=S6-S3=6×2+×6×5×3-(3×2+×3×2×3)=42.故选B. 2.等差数列{a n}共有2n+1项,其中奇数项之和为319,偶数项之和为290,则其中间项为( B )
(A)28 (B)29 (C)30 (D)31
解析:∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=(n+1)a n+1,
S偶=a2+a4+…+a2n=na n+1,
∴S奇-S偶=a n+1=29.故选B.
3.(2013南阳高二阶段性考试)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若2a8=6+a11,则S9等于( D )
(A)27 (B)36 (C)45 (D)54
解析:∵2a8=a5+a11=6+a11,∴a5=6,
∴S9===9a5=54.故选D.
4.(2012郑州四十七中月考)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若
S3=9,S6=36,则a7+a8+a9等于( B )
(A)63 (B)45 (C)36 (D)27
解析:由S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,
∴2(S6-S3)=S3+(S9-S6),∴a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2×(36-9)-9=45.故选B.
5.(2013广州市铁一中第一学期期中测试)在各项均不为零的等差数列中,若a n+1-+a n-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于( A )
(A)-2 (B)0 (C)1 (D)2
解析:由已知得2a n-=0,
又a n≠0,∴a n=2,
∴S2n-1===2(2n-1),
∴S2n-1-4n=-2.故选A.
6.等差数列{a n}中,已知a14+a15+a17+a18=82,则S31= .
解析:结合已知条件,运用性质可以得出a1+a31=a14+a18=a15+a17=41,所以S31===.
答案:
7.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a5=5a3,则= .
解析:设公差为d,则a1+4d=5(a1+2d),∴a1=-d,
∴==×=×
=-.
答案:-
能力提升
8.(2013海州高级中学高二第一学期期中检测)在等差数列{a n}中,S n 是其前n项和,且a1=2,-=2,则数列﹛﹜的前n项和
是.
解析:设{a n}的公差为d,则S n=2n+d,
∴=2+d,∴(2+d)-(2+d)=2,
解之,得d=2,∴S n=2n+×2=n2+n,
于是===-.
∴数列﹛﹜的前n项和
++…+=+++…+=1-=.
答案:
9.等差数列{a n}的前n项和记为S n,已知a10=30,a20=50.
(1)求通项a n;(2)若S n=242,求n.
解:(1)由a n=a1+(n-1)d,a10=30,a20=50,
得方程组解得
所以a n=2n+10.
(2)由S n=na1+d,S n=242,
得方程12n+×2=242,
即n2+11n-242=0,解得n=11或n=-22(舍去).
所以n=11.。