04—05第二学期高数A期末A卷及答案

2004—2005学年第二学期《高等数学A 》期末试题（A 卷）
一 选择题（4×7分）
1．设22),(y xy x y x f -+=的驻点为)0,0(,则)0,0(f 是),(y x f 的 （ ）
(A)极大值; (B) 极小值; (C) 非极值; (D) 不能确定. 2．微分方程1''+=-x e y y 的一个特解应有形式（ ）．
(A) b ae x
+ （B ）bx axe x
+ （C ）b ae x
+x （D ）b axe x
+ 3．函数z y x xy z y x u 62332222--++++=在原点沿OA ={1,2,1}方向的方向导数
等于（ ） (A) 27-
; (B) 21; (C) 6
6
; (D) 667- 4. 两个圆柱体,222R y x ≤+ 222R z x ≤+公共部分的体积V 为（ ）
(A) ⎰
⎰
--2
202
20
2x R R
dy x R dx ; (B) ⎰
⎰--2
20220
8x R R
dy x R dx ;
(C)
⎰
⎰
-----2
22
22
2
x R x R R
R
dy x R dx : (D) ⎰
⎰-----2
22
2224x R x R R R
dy x R dx
5 设幂级数(0n
n n
n n n x b
a b a ∑∞
=+-0<a<b), 则所给级数的收敛半径R 等于( ) (A) b; (B)
a 1; (C) b
1
; (D) R 的值与a 、b 无关. 6 下列级数中发散的是（ ）
(A) ∑∞
=12
3
n n n ; (B)
n
n n n ∑∞
=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+112; (C) ∑∞
=--1
1
1)
1(n n n
; (D)
∑∞
=++1
)2(1
n n n n . 7 设AEB 是由A()0,1-沿上半圆21x y -=经过点E(0,1)到点B(1,0),则曲线积分
⎰
==AEB
dy y x I 22（ ）
（A ） 0; (B) ⎰
AE
dy y x 222; (C)
⎰
EB
dy y x 22; (D) ⎰BE
dy y x 222.
二 填空题（74⨯分） 1已知
∑∞
=-1
)2(n n u 收敛，则=∞
→n
n n u u )
sin(lim
π_______. 2 幂级数
∑∞
=+1
21
4
n n n x n 的收敛区间为________________.
3 设积分区域D 是由直线1=y 、2=x 及x y = 所围成的闭区域，则
⎰⎰D
xyd σ
= ．
4 设∑是平面3,2,1,0,0,0======z y x z y x 所围成的立体的表面外侧，则
⎰⎰∑
-+++++dxdy z dzdx z y dydz z y x )3()3()2( = ．
5 设函数),(y x z z =由方程0arctan =+-y y xz 所确定，则_______
2=∂∂∂y
x z
. 6 L 为三顶点分别为 (0,0),(3,0) 和(3,2)的三角形正向边界，则
⎰=-+++-L
dy x y dx y x ___________
)635()42(. 7 微分方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为______________.
三（本题满分10分）、求曲面2
22
2
y x z +=上平行于平面01422=+-+x y z 的切平面方
程，并求切点处的法线方程．
四（本题满分8分）计算三重积分
dxdydz y x
⎰⎰⎰Ω
+)(22
，
其中Ω是由柱面2
22R y x =+ 与平面)0(>=a a z 及0=z 围成的区域．
五（本题满分8分）、将函数)0(12)(π≤≤+=x x x f 展开成余弦级数。

六（本题满分8分）求
,⎰⎰∑
++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑为半球面222y x R z --=
的
下侧
七（本题满分8分）求级数∑∞
=++11
41
4n n n x 的和函数.
八（本题满分4分）设)(x f 是],[b a 上的正值连续函数，试证
.)()
()
(2a b dxdy y f x f D
-≥⎰⎰
其中D 为.,b y a b x a ≤≤≤≤
2004—2005学年第二学期《高等数学A 》期末试题（A 卷）
参考答案
一 选择题（4×7分）
1．D 2. A 3.D 4 B 5 D 6 D 7 A 二 填空题（4×7分）
1. 0
2. ()21,21(-
3. 83
4. 30; 5 )
1(2
22y x y +- 6 12; 7 x
e x x 22)2(21+- 三（本题满分10分）
解：设切点为),,(0000z y x M ，则曲面2
22
2
y x z +=在0M 的法向量为
)1,,4(001-=y x n
………(2分)
又平面01422=+-+x y z 的法向量为)1,1,2(2-=n
．………(4分)
于是21//n n ，由此得1,2100-==y x ，所以121220200=+=y x z ，即曲面2
222
y x z +=上
点⎪⎭
⎫
⎝⎛-1,1,210M 处的切平面平行于平面01422=+-+x y z ，………(6分) 且所求的切平面方程为0)1()1(212=--+-⎪⎭
⎫
⎝
⎛
-
z y x ，即012=---z y x ．……(8分) 曲面222
2
y x z +
=上点⎪⎭
⎫
⎝⎛-1,1,210M 处的法线方程为1
111221
--=-+=-
z y x ．……(10分)四（本题满分8分）、 解：
⎰⎰
⎰⎰⎰⎰=
+Ω
a
R
dz dr r d dxdydz y x
20
3
2
2
)(π
θ………… (4分)
=
2
4
aR π……………………(8分)
五（本题满分8分）、 解：⎰
+==
π
ππ
0),1(2)(2
dx x f a ………(2分)
n a =
⎰
+π
π0
cos )12(2
nxdx x
当n=2k 时，0=n a 当n=(2k )1- 时，π
2
8
n a n -= …………………… 4分 因此，
)3c o s (c o s 8
)( ++-
=x x x f π
（)0π≤≤x …… 8分
六（本题满分8分）
解 设1∑：222R y x ≤+的上侧 …… 1分
⎰⎰∑
++
z d x d y y d z d x x d y d z =⎰⎰∑+∑++1
zdxdy ydzdx xdydz …… 3分 =3
2R π- …… 8分
七（本题满分8分）
41)()
(lim x x u x u n n n =+∞
→ 因此，收敛域为（)1,1- …… 3分 1
)(4
4
14+=='∑∞
=x x x
x s n n
…… 5分 x x x x x s -+-+=
arctan 2
111ln 41)( )11(<<-x ……8分 八（本题满分4分） 证 由于
⎰⎰
D
y f x f )()(=⎰⎰D x f y f )
()
( …… 4分 ⎰⎰
D
y f x f )()(=2
1
dxdy x f y f y f x f D
])
()
()()([
+⎰⎰ …… 6分 2
)(a b dxdy D
-=≥
⎰⎰ …… 8分。