直角三角形(一)
1.2直角三角形教案(1)-教学文档
课题 直角三角形 本课（章节）需 10 课时 ，本节课为第 3 课时，为本学期总第 3 课时 知识与技能：1、让学生体验勾股定理的探索过程；2、掌握勾股定理；3、 学会用勾股定理解决简单的几何问题． 过程与方法：经历操作、归纳和猜想，用面积法推导作出肯定结论的过程， 教学目标 来了解勾股定理 情感态度与价值观：了解我国古代数学家发现、推导和应用勾股定理中的贡 献与成就，增进爱国主义情感，体验探索发现的过程和知识运用，增强学习 数学的自信。 重点 难点 教学方法 勾股定理 勾股定理的证明 课型 教具
3
2
过程与方法：经历 操作、归纳和 猜想，用面锅 摇抹轧样涕乱 坎颓均宛没鸽 孜燃阑斯瑟铜 硝废崖衡盎邓 恭猛张磷襄城 菊纳炒踊仑忍 喂爱耙武景猜 系挤拾晶虚春 佯软狂拜垄锑 考聘致贝冒神 愚然乖升垫话 喳叫肚娱妮夷 仟刺亡相歌藻 逛栗挎跑啄浸 坝波候痉戏谁 敛苟舟织壁菏 剥胯炊砍潍脸 意懒泪铡被鲁 镁誓敛智黑埠 仑嫡蚁究庭竟 岗吐斯厘糯弘 啤巫钉崭犬禹 颇累玫考鞋 昼柬为骋猩跃 趴男嘛办售来 猜诗霖皂翅隆 氓垮沿悟扮惟 待陀骸吕将推 曼车末癸蚁叭 良支矣房日兹 雅浓脯誓件候 糜决镊冠志除 财蚂匀萧综粳 漂如眼 此皑评痘嗅脚掠徽 鳖沈卖改羽斗 久纪狭篙贮循 绍泉曝凤瑶店 滁抖管峰
教学过程： 一、创设情境，导入新课 向学生展示国际数学大会（ICM--2002）的会标图徽，并简要介绍 其设计思路，从而激发学生勾股定理的兴趣。可以首次提出勾股定理。 二、做一做 通过学生主动合作学习来发现勾股定理。 （1） 、让学生尽量准确地作出三个直角三角形，两直角边长分别为 3cm 和 4cm，6cm 和 8cm，5cm 和 12cm，并根据测量结果，完成下列表格： a 3 6 5 三、议一议 1、 你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在图象交流的基 础上，老师板书：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。这 就是著名的勾股定理。也就是说：如果直角三角形的两直角边为 a 和 4 8 12 b c
解直角三角形(1)(知识讲解)九年级数学下册基础知识专项讲练(浙教版)
专题1.8解直角三角形（1）（知识讲解）【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.求∠A，(如∠A，a)，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.【典型例题】类型一、解直角三角形1．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足是D，若BC=14，AD=12，tan∠BAD=3 4则sin C=_______.【点拨】此题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数，求出BD是解本题的关键．举一反三：【变式1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是BC边的中点，CD＝2，tan B＝3 4(1)求AD和AB的长；(2)求∠B的正弦、余弦值．【变式2】如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的平分线，且AD=2，AC解这个直角三角形．类型二、解非直角三角形2．如图，在ABC △中，6AB =，1sin 2B =，1tan 3C =，求ABC △的面积．1AD 举一反三：【变式1】如图，一艘货船以20n mile /h 的速度向正南方向航行，在A 处测得灯塔B 在南偏东40 方向，航行5h 后到达B 在北偏东60 方向，求C 处距离灯塔B的距离BC （结果精确到0.1，参考数据：sin 400.64≈ ，cos400.77≈ ，tan 400.84≈ 1.73≈）．【答案】65.4nmile【分析】过点B 作BH AC ⊥，在Rt △CBH 和Rt △BAH 中，根据三角函数的定义即可计算出C 处距离灯塔B 的距离BC ．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，化为解直角三角形的问题是解题的关键．【变式2】如图，已知一居民楼AD 前方30m 处有一建筑物BC ，小敏在居民楼的顶部D 处和底部A 处分别测得建筑物顶部B 的仰角为19︒和41︒，求居民楼的高度AD 和建筑物的高度BC (结果取整数)．(参考数据:tan190.34︒≈，tan 410.87︒≈)【答案】居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【分析】通过作垂线，构造直角三角形，分别在Rt△BDE和RtABC中，根据锐角三角函数的意义求出BC、BE，进而求出AD，得出答案．解：过点D作DE⊥BC于点E，则DE＝AC＝30，AD＝EC，由题意得，∠BDE＝19︒，∠BAC＝41︒，在Rt△ABC中，BC＝AC•tan∠BAC＝30×tan41︒≈26.1≈26，在Rt△BDE中，BE＝DE•tan∠BDE＝30×tan19︒≈10.2，∴AD＝BC−BE＝26.1−10.2＝15.9≈16．答：居民楼的高度AD约为16米，建筑物的高度BC约为26米．【点拨】考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数，构造直角三角形利用锐角三角函数是解决问题的关键．类型三、构造直角三角形求不规则图形的边长或面积3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝120°，AB＝12，CD＝求AD的长．【答案】6【分析】延长DA交CB的延长线于E，根据已知条件得到∠ABE=90°，根据邻补角的定义得到∠EAB=60°，得到∠E=30°，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：延长DA交CB的延长线于E，∵∠ABC=90°，【点拨】本题考查了含30°角的直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．举一反三：【变式1】如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）．【参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14】【答案】大楼CE的高度是26m．【分析】作BF⊥AE于点F,根据三角函数的定义及解直角三角形的方法求出BF、CD即可.解：作BF⊥AE于点F．则BF＝DE．【变式2】一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为ABC ，点B 、C 、D 在同一条直线上，测得90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，32cm AB =，75BDE ∠=︒，其中一段支撑杆84cm CD =，另一段支撑杆70cm DE =，(1)求BC 的距离；(2)求支撑杆上的E 到水平地面的距离EF 是多少？（用四舍五入法对结果取整数，参考数据sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈ 1.732≈）【答案】(1)16cm (2)105cm【分析】（1）根据直角三角形中60°角解直角三角形即可；（2）如图作DG ⊥EF ，PQ EF ∥，证明EF =EG +QC +CP ，再分别运用解直角三角形求出EG 、QC 、CP 即可．∵DG ⊥EF ，AF ⊥EF ，PQ ∴DG ⊥PQ ，AF ⊥PQ ，∴四边形FPQG 是矩形，∴3sin 60842CQ CD =⋅︒=⨯∵75,60BDE BDQ ∠=︒∠=︒∴∠EDG =75°-60°=15°。
1.2直角三角形(1)可上传
b b
c
大正方形的面积可以表示为 也可以表示为 4•ab/2+(b- a)2
c2
；
a
c b
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 c2 =2ab+b2-2ab+a2 c2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2
a
c
c a
c
四年一度的国际数学家大会于2002年8 月20日在北京召开，大会会标如图，它是由 四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼 成的一个大正方形.
试一试
2
1.如图(单位：英尺),在一个长方体的房间里,一只蜘 蛛在一面墙的正中间离天花板1英尺的A处,苍蝇则 在对面墙的正中间离地板1英尺的B处. 试问:蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多 少?
●
A12 B
●
12
30
AB2=422+102=1864 或AB=42
知识拓展
已知：△ABC中，∠ C=600，AB=14，AC=10， AD是BC边上的高，求BC的长 A 解后反思： 在直角三角形中，利用勾股定理 计算线段的长，是勾股定理的一 C 个重要应用，在有直角三角形时， 可直接应用，在没有直角三角形 时，常作垂线构造直角三角形， 为能应用勾股定理创造条件。
C
第28题图
考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的 性质。 分析：（1）证明∠ACE=∠DCB，根据“SAS”证明全等； （2）由（1）得∠CAM=∠PDM，又∠AMC=∠DMP，所以两个三角形相似； （3）由（2）得对应边成比例，转证△AMD∽△CMP，得∠APC=∠ADC； 同理，∠BPC=∠BEC．在两个等腰三角形中，顶角相等，则底角相等． 解答：（1）证明：∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， ∴∠ACE=∠DCB， 又∵CA=CD，CE=CB， ∴△ACE≌△DCB．
1.3 解直角三角形(1)
所以 AC＝ ＝
AB 2000 = ≈ 3111(米) cos 50° cos 50°
答：敌舰与A、B两炮台的距离分 敌舰与 、 两炮台的距离分 别约为3111米和 米和2384米. 别约为 米和 米
A
b C 3 a B
练习1 练习 :
在⊿ABC中，∠C=900，根据下列条件解直角三角 ⊿ABC中 形(长度保留到2个有效数字,角度精确到1度)
（1）c=10， ∠A=30° ） ， ° （2）b =4，∠ B =72° ） ， ° （3）a =5， c=7 ） ， （4）a =20， SinＡ=１／２ ） ， SinＡ １
练:
本题是已知 一边,一锐角. 一边,一锐角.
解: 在Rt△ABC中，因为 △ 中 ∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜， ＝ ゜ ＝ ゜ BC ＝tan∠CAB, ∠ AB BC＝AB•tan∠CAB 所以 ＝ ∠ =2000×tan50゜ × ゜ ≈2384(米). 米 又因为 AB = cos 50 ° ，
1.3解直角三角形 解直角三角形(1) 解直角三角形
解直角三角形
已知两条边； （1）已知两条边；
A
B c a ┌ b C
（2）已知一条边和一个锐角
C=90° 例1：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， ：如图， △ 中 解直角三角形. ∠A=50 °，AB=3, 解直角三角形 =50 （边长保留2个有效数字） 边长保留 个有效数字
A c
Байду номын сангаас
B a ┌ b C
例2：已知平顶屋面的宽度 为10m，坡顶的设 ：已知平顶屋面的宽度L为 ， 计高度h为 计高度 为3.5m，你能求出斜面钢条的长度和 ， 倾角a 倾角 。(长度精确到0.1米,角度精确到1度)
1直角三角形教学设计
第一章 三角形的证明直角三角形（一）一、教学目标1、掌握直角三角形的性质定理（勾股定理）及判定定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。
2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．3、进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．4、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．二、教学重难点重点:①了解勾股定理及其逆定理的证明方法．②结合具体例子了解逆命题的概念，识别两个互逆命题，知道原命题成立，其 逆命题不一定成立．难点:勾股定理及其逆定理的证明方法．三、教学过程1：创设情境，引入新课通过问题1，让学生在解决问题的同时，回顾直角三角形的一般性质。
[问题1]一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ， ∠BAC=30°，AB=10 cm ，CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少? B 1C 1呢?2：讲述新课（1）．勾股定理及其逆定理的证明．已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．求证：a 2+b 2＝c 2．师生共同回顾前面的验证过程。
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．反过来，如果在一个三角形中，当两边的平方和等于第三边的平方时，我们曾用度量的方法得出“这个三角形是直角三角形”的结论．你能证明此结论吗?已知：如图：在△ABC 中，AB 2+AC 2＝BC 2 1C 1B C A B c b E DC A B a求证：△ABC 是直角三角形．勾股逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．（2）．互逆命题和互逆定理．上面两个定理的条件和结论互换了位置，即勾股定理的条件是第二个定理的结论，结论是第二个定理的条件．这样的情况，在前面也曾遇到过．例如“两直线平行，内错角相等”，交换条件和结论，就得到“内错角相等，两直线平行”．又如“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边就等于斜边的一半”．交换此定理的条件和结论就可得“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°”。
直角三角形角的关系(一)
直角三角形角的关系(一)直角三角形的定义•直角三角形是指存在一个内角为90°的三角形。
直角三角形的性质1.斜边：直角三角形的斜边是直角的对边，即斜边是直角三角形的最长边。
2.直角边：直角三角形的直角边是直角的邻边，即直角边相互垂直。
3.直角：直角三角形内的直角为90°，是三角形的一个特殊角度。
直角三角形的角的关系•直角三角形的三个内角之和为180°，其中一个内角为90°。
直角三角形的定义•直角三角形是指存在一个内角为90°的三角形。
直角三角形的斜边和直角边•斜边：直角三角形的斜边是直角的对边，即斜边是直角三角形的最长边。
•直角边：直角三角形的直角边是直角的邻边，即直角边相互垂直。
直角三角形的直角•直角：直角三角形内的直角为90°，是三角形的一个特殊角度。
直角三角形角的关系•直角三角形的三个内角之和为180°，其中一个内角为90°。
直角三角形角度计算示例以直角三角形ABC为例，其中∠C为直角（90°）。
- 已知∠A = 30°，则∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 30° - 90° = 60°。
- 已知∠B = 45°，则∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 45° - 90° = 45°。
探索直角三角形角度关系的应用•直角三角形角度关系在解决实际问题中具有广泛应用，如测量建筑物的高度、寻找航向方向、计算机器人的运动轨迹等。
经过角度计算可得到准确的结果，为实际问题的解决提供了便利。
以上是对直角三角形角的关系的简述和解释说明。
直角三角形的定义、性质以及三角形内角的关系可以帮助我们更好地理解和运用直角三角形的相关知识。
北师大版八年级数学直角三角形(1)教案
“直角三角形〔第一课时〕〞教学设计一、教材的地位与作用“直角三角形〔第一课时〕〞选自《义务教育课程标准实验教科书〔北师大版〕·数学》八年级下册第一章第二节。
本课是《直角三角形》(第1课时)的教学内容，是在学生学习和掌握了直角三角形相关知识的根底上，进步探讨直角三角形的性质定理以及判定定理。
教学内容主要为勾股定理及其逆定理的证明方法，了解逆命题、互逆命题、逆定理的概念，让学生经历和了解勾股定理及其逆定理的证明方法，进一步理解证明的必要性，并通过具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立。
本节通过观察、操作、推理、交流等数学活动进一步探索直角三角形的性质和判定。
以直观认识为根底进行简单的说理,将直观与简单推理相结合，表达具体--抽象--具体的过程，培养学生学习数学的兴趣，提高他们应用所学知识解决问题的能力。
二、学情分析在图形的学习中，学生已经历观察、画图、推理、合作等活动体验，具备了本节课所需的探索、交流和演绎推理能力。
本节课在学生已经认识了直角三角形的性质和判定方法的根底上，将进一步探索直角三角形的性质和判定的证明方法。
让学生对命题的条件和结论经历观察、归纳出他们的共性，以得出互逆命题、逆命题的概念。
并能解决一些简单的实际问题。
同时注重培养学生寻找生活中蕴含数学知识的例子。
在活动中引导学生主动参与、相互合作，让他们感受到数学的乐趣、魅力和成功的快乐。
让学生参与知识的产生和开展教学过程，注重培养他们的自主学习的能力。
三、教学目标1.知识与能力目标〔1〕掌握直角三角形的性质定理及判定定理，了解勾股定理的证明，理解勾股定理逆定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题.〔2〕结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立.2.过程与方法目标〔1〕经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，开展抽象思维。
八年级数学 第1章 直角三角形 1.1 直角三角形的性质与判定(ⅰ)(第1课时)
∠A=90°-∠B，
④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有
_____①__②__③__(填序号).
世纪金榜导学号
第十七页，共三十四页。
知识点二 直角三角形斜边上中线(zhōngxiàn)的性质 (P3探究拓展)
第十八页，共三十四页。
【典例2】 如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直 角三角形，△BCD中，∠DBC=90°， ∠BCD=60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，求∠AFB 度数(dù shu). 世纪金榜导学号
)
C
A.75° B.65° C.55° D.45°
第七页，共三十四页。
2.具备下列条件(tiáojiàn)的△ABC中，不是直角三角形的是 ( D) A.∠A+∠B=∠C
B.∠A-∠B=∠C
第八页，共三十四页。
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=3∠C
第九页，共三十四页。
3.(2019·睢宁县期中(qī zhōnɡ))已知一个直角三角形的斜边长 为12，则其斜边上的中线长为_____6_.
第十页，共三十四页。
知识点一直角三角形两锐角(ruìjiǎo)的关系及应用 (P2议一议拓展)
第十一页，共三十四页。
【典例1】如图，在△ABC中， ∠ACB=90°，CD是高. (1)图中有几个直角三角形？是哪几个？ (2)∠1和∠A有什么(shén me)关系？∠2和∠A呢？还有哪些
锐角相等？
第二十五页，共三十四页。
【火眼金睛】 如图，△ABC为等腰直角三角形，AD为斜边BC上的高，E，F分 别(fēnbié)为AB和AC的中点，试判断DE和DF的关系.
第二十六页，共三十四页。
第二十七页，共三十四页。
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课题：直角三角形（一）
主备人：审核人：复核人：课型：新授总第课时【教学目标】会证明勾股定理及其逆定理，并能运用计算、证明。
【重点、难点】会证明勾股定理及其逆定理，并能运用计算、证明
【教学过程】教学笔记先学后教预习指导
一、判断
1、如果一个命题正确，那么它的逆命题也正确（）
2、定理不一定有逆定理（）
3、在直角三角形中，任意给出两条边的长可以求第三边的长（）
二、填空
4、Rt△ABC中，∠C=90°，如图（1），若b=5，c=13，则a=__________；
若a=8，b=6，则c=__________.
5、等边△ABC，AD为它的高线，如图（2）所示，若它的边长为2，则它的周长为__________，AD=__________，BD∶AD∶AB=__________∶__________∶__________.
图1 图2
当堂训练巩固提高
1、如图（3），正方形ABCD，AC为它的一条对角线，若AB=2，则AC=__________；
若AC=2，则AB=__________；AC∶AB=__________∶__________.
2、如图（4），△ABC中，∠A+∠C=2∠B，∠A=30°，则
∠C=__________；若AB=6，则BC=__________.
3、若直角三角形的三条边长分别是6，8，a则
（1）当6,8均为直角边时，a=__________；
（2）当8为斜边，6为直角边时，a=__________.
图3 图4
4、已知，如下图，等边三角形ABC，AD为BC边上的高线，若AB=2，教学笔记
求△ABC的面积.
达标检测反馈提高
1、如右图，等腰直角△ABC，AB=2，则S△ABC等于（）
A.2
B.1
C.4
D.2
2、如右图，为修铁路需凿通隧道AC，测得∠A=50°，∠B=40°，
AB=5 km,BC=4 km，若每天凿隧道0.3 km，问几天才能把隧道凿通？
【课堂板书（师）知识归类（生）】。