2021届全国天一大联考新高考模拟试卷(一)数学(理)试题

2021届全国天一大联考新高考模拟试卷（一）

理科数学

★祝考试顺利★

注意事项：

1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。 9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一?选择题(共12小题，每小题5分，共60分)

1.2{|6510}M x x x =-+=，{|1}P x ax ==，若P M ?，则a 的取值集合为( ) A. {}2 B. {}3

C. {}2,3

D. {}0,2,3

【答案】D 【解析】 【分析】

求出11,32M ??=????，由{|1}P x ax ==，P M ?，可得P ?=，13P ??=????或12P ??=????

，由此能求出a 取

值集合．

【详解】2

11{|6510},32M x x x ??=-+==????，

{|1}P x ax ==，P M ?，

P ?∴=，13P ??=????或12P ??

=????

，

0a ∴=或3a =或2a =．

a ∴的取值集合为{}0,2,3．

故选D ．

【点睛】本题主要考查集合子集的定义，以及集合空集的定义，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题． 2.若复数()122ai

a R i

+∈-的实部和虚部相等，则实数a 的值为( ) A. 1

B. 1-

C. 1

6

D. 16

-

【答案】C 【解析】 【分析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件即可求出实数a 的值．

【详解】∵复数

()()()()

12212221422255ai i ai a a

i i i i +++-+==+--+的实部和虚部相等， ∴

221455a a -+=，解得a 16

=． 故选C ．

【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题． 3.已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】 【分析】

根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立， 当αβ⊥时，l β⊥不一定成立， 即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，

故选：B．

【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.

4.在区间上随机取两个数,x y，记1p为事件“

1

2

x y

+≥”的概率，2p为事件“12x y-≤”的概率，3p为

事件“

1

2

xy≤”的概率，则

（）

A. 123

p p p

<< B.

231

p p p

<<

C. 312

p p p

<< D.

321

p p p

<<

【答案】B

【解析】

【详解】因为,[0,1]

x y∈，对事件“

1

2

x y

+≥”，如图（1）阴影部分，

对事件“

1

2

x y

-≤”，如图（2）阴影部分，

对为事件“

1

2

xy≤”，如图（3）阴影部分，

由图知，阴影部分的面积从下到大依次是，正方形的面积为，

根据几何概型公式可得

231

p p p

<<．

（1）（2）（3）

考点：几何概型．

5.已知数列{}n a的首项为1，第2项为3，前n项和为n S，当整数1

n>时，()

111

2

n n n

S S S S

+-

+=+恒成

立，则15S 等于 A. 210 B. 211

C. 224

D. 225

【答案】D 【解析】 【分析】

结合题目条件，计算公差，证明该数列为等差数列，计算通项，结合等差数列前n 项和公式，计算结果，即可．

【详解】结合()1112n n n S S S S +-+=+可知，11122n n n S S S a +-+-=，得到

1122n n a a a +-==，所以()12121n a n n =+?-=-，所以1529a =

所以()()1151515291152252

2

a a S ++?=

==，故选D ．

【点睛】本道题考查了等差数列的通项计算方法，考查了等差数列前n 项和计算方法，难度中等． 6.函数()1cos f x x x x ??

=-

???

（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A. B. C.

D.

【答案】D 【解析】

因为1

1()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x

-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则

11

()()cos ()0f ππππππ

=-=--<，故选D.

考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.

7.已知椭圆C ：22

143

x y +=的左右顶点分别为A 、B ，

F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上有一个动点P ，P 不同于A 、B 两点，直线P A 与椭圆C 交于点Q ，则PB

QF k k 的取值范围是（ ）

A. 33044????-∞-? ? ??

???

，， B. ()3004?

?-∞-? ???

，

， C. ()()101-∞-，，

D. ()()001-∞?，，

【答案】D 【解析】 【分析】

椭圆焦点在x 轴上，由P 在圆224x y +=，则PA PB ⊥，有11,PB PB PA QF QF PA k k k k k k =-=-?，

设

(2cos )Q θθ，求出22

3(1cos )4cos 2cos 2

QF PA

k k θθθ-?=+-，令cos (1,1)t θ=∈-，224223(1)PB QF k t t k t +-=--，分离常数，求解得出结论.

【详解】椭圆C ：22

143

x y +=的左右顶点分别为(2,0),(2,0)A B -，

右焦点(1,0)F ，点P 圆2

2

4x y +=上且不同于,A B ，

11

,1,,PB PB PA PB PA QF QF PA

k PA PB k k k k k k k ∴⊥?=-∴=-

=-?，

设(2cos )Q θθ，

22

3(1cos )

2cos 22cos 14cos 2cos 2

QF PA

k k θθθθθθθ-?=?=+-+- 令cos (1,1)t θ=∈-，

222242222(1)1421

3(1)31331PB QF k t t t t k t t t +--++=-=?=+?--- 11

11,210,

12

t t t -<<-<-<<--，

(,1)PB

QF

k k ∈-∞且不等于0. 故选:D.

【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、三角函数求值、函数的性质、换元方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题.

8.已知实数,x y 满足1122x y

????< ? ?????

，则下列关系式中恒成立的是( ) A. tan tan x y >

B. (

)(

)

2

2

ln 2ln 1x y +>+ C.

11x y

> D. 33x y >

【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意，由指数函数的性质分析可得x ＞y ，据此结合函数的单调性分析选项，综合即可得答案． 【详解】根据题意，实数x ，y 满足（

12）x <（1

2

）y ，则x >y ，依次分析选项：对于A ，y=tanx 在其定义域上不是单调函数，故tanx >tany 不一定成立，不符合题意；对于B ，若0>x>y ，则x 2+2>y 2+2不成立，故ln （x 2+2）>ln （y 2+2）不一定成立，不符合题意；对于C ，当x >y>0时，1x <1

y

，不符合题意；对于D ，函数y=x 3在R 上为增函数，若x >y ，必有x 3>y 3，符合题意． 故选D ．

【点睛】本题考查函数的单调性的应用，关键是掌握并利用常见函数的单调性．

9.若函数()(cos )x f x e x a =-在区间,22ππ??

- ???

上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）

A. ()+∞

B. (1,)+∞

C. [1,)+∞

D. )+∞

【答案】D 【解析】 【分析】

求得()(cos sin )x

f x e x x a =--'，把函数的单调性，转化为cos sin 0x x a --≤在区间(,)22

x ππ

∈-

上恒

成立，即cos sin ,(,)22

a x x x ππ

≥-∈-

恒成立，利用三角函数的性质，即可求解，得到答案.

【详解】由题意，可得()(cos sin )x

f x e x x a =--'，

若()f x 在区间(,)22ππ

-

上单调递减，则cos sin 0x x a --≤在区间(,)22

ππ

-上恒成立， 即cos sin ,(,)22

a x x x ππ

≥-∈-恒成立，

令()cos sin sin(),(,)422

h x x x x x πππ

=-=-∈-，

则

3(,

)4

44x π

ππ

-∈-

，故sin()4x π-的最大值为1，此时42x ππ-=，即4

π

x =-，

所以()h x ，所以a ≥

D.

【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调及其应用，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中转化为转化为cos sin ,(,)22

a x x x ππ

≥-∈-

恒成立，再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关

键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

10.已知双曲线()22

2

2:10,0x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别12F F 、，以线段12F F 为直径的圆与双曲线C 在第一象限交于点P ，且2PO PF =,则双曲线的离心率为( )

A.

1

B.

C.

D. 2

【答案】A 【解析】 【分析】

由题意知，1290F PF ∠=?，三角形2POF 为等边三角形，从而可以得到122PF PF c a -=-=，即可求出离心率．

【详解】由题意知，1290F PF ∠=?，212PO OF OF PF c ====，三角形2POF 为等边三角形，

则

1PF =，2PF c =，则122PF PF c a -=-=，解得1c a ==，

1，答案为A. 【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，属于基础题．

11.已知直线3402

x y ππ+-

=经过函数()()sin 0,2f x x πω?ω??

?=+>< ???图象相邻的最高点和最低点，则

将()f x 的图象沿x 轴向左平移8

π

个单位后得到解析式为（ ）

A. cos 2y x =

B. cos2x y =-

C. 3sin 28

y x π??=+ ??

?

D. sin 28y x π??

=-

??

?

【答案】A 【解析】 【分析】

由直线斜率求出周期，从而得ω，直线与x 轴的交点是函数()f x 的零点，由此可求得?，最后由图象变换可得结论．

【详解】直线3402x y ππ+-=的斜率为4k π=-，∴24

2

T π=

，T π=，22πωπ

==， 直线3402x y ππ+-=与x 轴交点为3(,0)8

π

，根据对称性，此点是()f x 的零点． ∴33()sin(2)088f ππ?=?

+=，又2π?<，∴4

π?=，∴()sin(2)4f x x π

=+． ∴将()f x 的图象沿x 轴向左平移8

π

个单位后得到解析式为sin[2()]cos 284y x x ππ=++=．

故选：A ．

【点睛】本题考查正弦型三角函数的

图象与性质，考查三角函数图象变换，解题时注意正弦函数的“五点法”，求三角函数的解析式、性质常常与这五点联系起来．

12.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异．”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.已知曲线2

:C y x =，直线l 为曲线C 在点(1,1)处的切线.如图所示，阴影部分为曲线C 、直线l 以及x 轴所围成的平面图形，记该平面图形绕y 轴旋转一周所得的几何体为T .给出以下四个几何体：

① ② ③ ④

图①是底面直径和高均为1的圆锥；

图②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体； 图③是底面边长和高均为1的正四棱锥；

图④是将上底面直径为2，下底面直径为1，高为1的圆台挖掉一个底面直径为2，高为1的倒置圆锥得到的几何体.

根据祖暅原理，以上四个几何体中与T 的体积相等的是（ ） A. ① B. ②

C. ③

D. ④

【答案】A 【解析】 【分析】

将题目中的切线写出来，然后表示出水平截面的面积，因为是阴影部分旋转得到，所以水平界面面积为环形面积，整理后，与其他四个几何体进行比较，找到等高处的水平截面的面积相等的，即为所求. 【详解】

几何体T 是由阴影旋转得到，所以横截面为环形，

且等高的时候，抛物线对应的点的横坐标为1x ，切线对应的横坐标为2x

()()2,2f x x f x x '==，()12k f '∴==

切线为()121y x -=-，即21y x =-，2

121

,2

y x y x +∴==

横截面面积22

21s x x ππ=-()22

11=42y y y ππ??+-??-=?? ???????

图①中的圆锥高为1，底面半径为

1

2

，可以看成由直线21y x =+绕y 轴旋转得到 横截面的面积为2

2

12y s x ππ-??== ?

??

.

所以几何体T 和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等，所以二者体积相等， 故选A 项.

【点睛】本题考查对题目条件的理解和转化，在读懂题目的基础上，表示相应的截面面积，然后进行比较.

属于难题.

二?填空题(共4小题，每小题5分，共20分)

13.2

6

1

()(21)x x x

-+的展开式中4x 项的系数为__________． 【答案】-132 【解析】

分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.

详解：()621x +的展开式为：()

66616622r

r

r r r

r T C x C x ---+==，

当62r -=，4r =时，64464

2416260T C x

x --+==， 当65r -=，1r =时，611615

4162192T C x x --+==，

据此可得：展开式中4x 项的系数为60192132-=-.

点睛：(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．

14.在锐角ABC ?中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且A 、B 、C

成等差数列，b =则ABC

?面积的取值范围是__________．

【答案】 【解析】

分析：由A 、B 、C 成等差数列可得3

B π

=

，然后根据正弦定理可得2sin a A =，

2sin c C =，在此基础上求得ABC ?的面积后再根据三角变换可得ABC S ?

=

)6A π-+

再根据锐角三角形求得

6

2

A π

π

<<

，于是可得面积的取值范围．

详解：∵ABC ?中A 、B 、C 成等差数列， ∴3

B π

=

．

由正弦定理得2

sin sin sin sin

3

a c

b A C B π

====，

∴2sin ,2sin a A c C ==，

∴132sin 3sin sin 3sin sin()23

ABC S ac B ac A C A A π?=

===-

23133331cos 23sin (

cos sin )sin cos sin sin 22222422

A

A A A A A A A -=+=+=+?

33333

sin 2cos 2sin(2)444264

A A A π=

++=-+

， ∵ABC ?为锐角三角形，

∴022032A A πππ

?<

，解得62A ππ<<．

∴526

6

6

A π

π

π

<-

<

， ∴

1sin(2)126

A π

<-≤， ∴

33333

sin(2)22644

A π<-+≤

， 故ABC ?面积的取值范围是333

(

,]． 点睛：（1）解决三角形中的范围问题的常用方法：①利用余弦定理并结合基本不等式求解；②结合正弦定理将问题转化为形如sin()y A x ω?=+的形式后根据三角函数的有关知识求解．

（2）解答本题时容易出现的错误时忽视“锐角ABC ?”这一条件，从而扩大了角A 的范围． 15.如图所示，已知直线AB 的方程为

1x y

a b

+=，⊙C ，⊙D 是相外切的等圆.且分别与坐标轴及线段AB 相切，||AB c =，则两圆半径r =__________（用常数,,a b c 表示）．

【答案】

()

2()

c a b c a b +-+ 【解析】

【详解】分析：由题得△CDM ∽△BAO ，得2b x r a y r r

b a c

----==，再利用等式的性质得到两圆半径r . 详解：

如图所示，作CM ⊥DM,CE ⊥AB,由△CDM ∽△BAO,得

2,.CM DM CD b x r a y r r

OB OA AB b a c ----==∴== (2)2()

,.2()

a b x y r a b c r c a b c r a b a b c a b +-+++-+-∴

==∴=+++

故答案为

()

()

2c a b c a b +-+

点睛：（1）本题主要考查直线和圆的位置关系，考查几何选讲，意在考查学生对这些知识的掌握能力和计算能力. (2)解答本题的关键是得到

2b x r a y r r

b a c

----==的化简，这里利用到了合比的性质，(2)2.a b x y r a b c r

a b a b c

+-+++-==++

16.已知两平行平面αβ、间的距离为3A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，若异面直线AB 与CD 所成角为60°，则四面体ABCD 的体积为__________． 【答案】6 【解析】

设平面ABC 与平面β交线为CE ，取CE AB = ,则0

//,4,60AB CE CE ECD =∠=

011

2343sin 60 6.32

A BCD A CDE V V --==????=

三?解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写需给出文字说明，证明过程或演算步骤.)

17.在ABC ?中，边a b c 、、所对的角分别为、、A B C ，sin sin sin 23

sin a A b B c C C a B +-=

（1）求角C 的大小；

（2）若ABC ?的中线CD 的长为1，求ABC ?的面积的最大值 【答案】（1）3

C π

∠=（2）面积的最大值为

3

3

【解析】 【分析】

（1）由已知及正弦定理可得：22223

a b c ab +-=

C ，由余弦定理，同角三角函数基本关系式可求tan C 的值，结合范围C ∈（0，π），可得C 的值．

（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）＝4+c 2，由三角形余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣ab ，消去c 2，结合基本不等式可求ab 4

3

≤

，利用三角形面积公式即可计算得解． 【详解】（1）∵由已知及正弦定理可得：22223

a b c ab +-=

C ， ∴由余弦定理可得：2223

2a b c cosC sinC ab +-==，

即3tanC =

∴由C ∈（0，π），可得3

C π

=

．

（2）由三角形中线长定理得：2（a 2+b 2）＝22+c 2＝4+c 2， 由三角形余弦定理得：c 2＝a 2+b 2﹣ab ， 消去c 2得：2

2

4

423

ab a b ab ab -=+≥≤

，（当且仅当a ＝b 时，等号成立）， 即11433

22323

ABC

S

absinC =

≤??=

． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形中线长定理的综合应用，三角形中线长定理主要表述三角形三边和中线长度关系，定理内容为：三角形一条中线两侧所对边平方和等于底边的一半平方与该边中线平方和的2倍，属于中档题．

18.如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面BCD ，DC BC ⊥,3AB =

，2BC =，1AC =.

(1)求证：AB AD ⊥；

(2)设E 是BD 的中点，若直线CE 与平面ACD 的夹角为30?， 求四面体ABCD 外接球的表面积. 【答案】（1）见解析；（2）12π. 【解析】 试题分析：

(1)利用线面垂直的判断定理结合题意

(2)利用题意首先求得外接球的半径，然后利用球的表面积公式计算表面积即可. 试题解析：

(1)由平面ABC ⊥平面BCD ，DC BC ⊥，得DC ⊥平面ABC ，

AB CD ∴⊥

又由3AB =2BC =，1AC =，得222BC AB AC =+，所以AB AC ⊥

故AB ⊥平面ADC ，所以AB AD ⊥

（2）取AD 的中点F ，连接EF ，则EF BA //, 因为AB ⊥平面ADC EF ∴⊥平面ADC 连接FC ,则30ECF ?∠=，

23CE EF AB ∴===又90BAD BCD ?∠=∠=，所以四面体ABCD 的外接球的半径3R CE == 故四面体ABCD 的外接球的表面积=2

43

12π

π=（向量解法酌情给分）.

19.已知过抛物线()2

:20E x py p =>焦点F 且倾斜角的60直线l 与抛物线E 交于点,M N OMN ?的面积为4．

（I ）求抛物线E 的方程；

（II ）设P 是直线2y =-上的一个动点，过P 作抛物线E 的切线，切点分别为,A B 直线AB 与直线,OP y 轴的交点分别为,Q R 点,C D 是以R 为圆心RQ 为半径的圆上任意两点，求CPD ∠最大时点P 的坐标．

【答案】（I ）2

4x y =；（II ）()

22,2±-．

【解析】 试题分析：

（I ）抛物线焦点为(

,0)2

p

F ，写出直线l 方程，与抛物线方程联立，消元后可得1212,x x x x +，其中1122(,),(,)M x y N x y ，可再求出原点O 到直线l 的距离d ，由1

2

S MN d =求得p ，也可由

121

2

S x x OF =-求得p ；

（II ）首先设出点坐标，设()22

1212,2,,,,44x x P t A x B x ????

- ? ????

?，利用导数几何意义得出两切线方程，代入

P 点坐标，从而得直线AB 方程为240tx y -+=，从而可得,R Q 坐标，得QR 的长，而要使CPD ∠最大，

则,PC PD 与圆R 相切，这样可求得sin 2

CPD

∠，最后由基本不等式可得最大值．也可用正切函数求最大值． 试题解析： （I ）依题意，0,

2p F ?? ?

??，所以直线l

的方程为2

p

y =+；

由2{

22p

y x py

=+=

得220x p --=，

(

)

2

22212124160,,p p x x x x p ?=+=>+==-

所以)1212127,8y y x x p p MN y y p p +=++==++=，

O 到MN 的距离

21

,442

OMN p d S MN d p ?=

====， 2p ∴=，抛物线方程为24x y =

（II ）设()22

1212,2,,,,44x x P t A x B x ????- ? ??

???，由2

4x y =得2,'42x x y y ==，

则切线PA 方程为()211142x x y x x -=-即2111

1242

x x x y x x y =-=-，

同理，切线PB 方程为2

22

x y x y =

-， 把P 代入可得11

22

22

{22x

t y x t y -=--=-故直线AB 的方程为21x t y -=-即240tx y -+=

()0,2R ∴由240{2

tx y y x

t

-+=-=得2

244

{84

Q Q t

x t y t -=+=+，

r RQ ∴==

=

=，

当,PC PD 与圆R 相切时角CPD ∠最大，

此时1sin 23CPD r PR ∠===≤

，等号当t =± ∴

当()

2P ±-时，所求的角CPD ∠最大．

综上，当CPD ∠最大时点P

的坐标为()

2±-

点睛：在解析几何中由于OMN ?的边MN 过定点F ，因此其面积可表示为121

2

S OF x x =

-，因此可易求p ，同样在解解析几何问题时如善于发现平面几何的性质可以帮助解题，第（II ）小题中如能发现

OP AB ⊥则知OP 是圆R 的切线，因此CPD ∠取最大值时，,PC PD 中一条与PO 重合，另一条也是圆

的切线，从而易得解． 另解：（I ）依题意，0,

2p F ?

? ?

??，所以直线l

的方程为2

p

y =+；

由2{

22p

y x py

=+=

得220x p --=，

(

)

2

22212124160,,p p x x x x p ?=+=>+==-

124x x p -==，

2121

422

OMN S OF x x p p ?=

-==?=，抛物线方程为24x y =． （II ）设()22

1212,2,,,,44x x P t A x B x ????- ? ?????

，由2

4x y =得2,'42x x y y ==， 则切线PA 方程为()211142x x y x x -=-即2111

1242

x x x y x x y =-=-，

同理，切线PB 方程为2

22

x y x y =

-， 把P 代入可得11

22

22

{22

x

t y x t y -=--=-故直线AB 的方程为21x t y -=-即240tx y -+=

()

0,2

R

∴由

240

{2

tx y

y x

t

-+=

-

=

得

2

2

4

4

{

8

4

Q

Q

t

x

t

y

t

-

=

+

=

+

，

()()

()

2

2

22

222

2

2

168

22

44

4

Q Q

t

t

r RQ x y

t t

t

??

∴==+-=+-=

?

+

??+

+

，

注意到OP AB

⊥

2

2

8

4

t

PQ

t

+

∴=

+

，

2

2

22

tan

2822

RQ t

CPD t

PQ t t

∠

∴==≤=

+

当且仅当28

t+即22

t=±时等号成立．

20.2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市(简称创文)”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：①调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；②采用百分制评分，[)

60,80内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；③市民对公交站点布局的满意率不低于60%即可进行验收；④用样本的频率代替概率．

()1求被调查者满意或非常满意该项目的频率；

()2若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率；

()3已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占1

3

，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记ξ为群众督查员中老年人的人数，求随机

变量ξ的分布列及其数学期望E ξ． 【答案】（1）0.78；（2）12125；（3）2

3

. 【解析】

试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是

()1

0.0160.004100.25

+?==

，根据独立重复试验n 次发生k 次的概率公式可得结果；（3）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，

根据期望公式可得结果.

试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中， 评分在[]

60,100的频率为：

()0.0280.030.0160.004100.78+++?=；

（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是

()1

0.0160.004100.25+?==

， 用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人， 该人非常满意该项目的概率为

15

， 现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：

2

23141255125

P C ??=??=

???；

（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占1

3

， 又从被调查者中按年龄分层抽取9人， ∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人， 随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，

()02362915

036C C P C ξ?===

()11362

9181

1362C C P C ξ?==== ()20362

931

23612

C C P C ξ?====

ξ的分布列为：

ξ的数学期望E ξ 15112012362123

=?

+?+?=. 21.设函数()ln x

f x ae x x =-，其中R a ∈，e 是自然对数的底数. （Ⅰ）若()f x 是0,上的增函数，求a 的取值范围；

（Ⅱ）若22

e

a ≥

，证明：()0f x >. 【答案】（Ⅰ）1,e ??

+∞????

;（Ⅱ）见解析.

【解析】

试题分析：（I ）由于函数单调递增，故导函数恒为非负数，分离常数后利用导数求得a 的最小值，由此得

到a 的取值范围；（II ）将原不等式()0f x >，转化为e ln 0x a x x ->，令()e

ln x

a F x x x

=-，求出()F x 的

导数，对x 分成01,1x x ≤两类，讨论函数的最小值，由此证得()0F x >，由此证得()0f x >. 试题解析：

（Ⅰ）()()e 1ln x

f x a x '=-+，()f x 是()0,+∞上的增函数等价于()0f x '≥恒成立.

令()0f x '≥，得1ln e x x a +≥，令()1ln e

x

x

g x +=（0x >）.以下只需求()g x 的最大值. 求导得()1e 1ln x

g x x x -??=-'- ???

， 令()11ln h x x x =

--，()211

0h x x x

'=--<，()h x 是()0,+∞上的减函数， 又()10h =，故1是()h x 的唯一零点，

当()0,1x ∈，()0h x >，()0g x '>，()g x 递增；当()1,x ∈+∞，()0h x <，()0g x '<，()g x 递减； 故当1x =时，()g x 取得极大值且为最大值()1

1e

g =

，