安徽大学2013-2014电气学院复变函考试卷B

安徽大学2013-2014电气学院《 复变函数 》考试(B 卷)
一、选择题
1、集合}211{<-<=z z D ，则D 是（ ）。

A 、无界区域
B 、多连域
C 、单连域
D 、闭域 2、复数项级数
∑∞
=+0
n n n
ib a
收敛的充要条件是（ ）。

A 、
∑∞
=0n n
a
收敛 B 、
∑∞
=0n n
b
收敛
C 、
∑∞
=0
n n
a
和
∑∞
=0
n n
b
均收敛 D 、
∑∞=0
n n
a
＋
∑∞
=0
n n
b
收敛
3、设函数iv u z f w +==)(在区域D 内解析，下列等式中正确的是（ ）。

A 、x v
i x u z f ∂∂-∂∂=')( B 、x v i y v z f ∂∂-∂∂=')( C 、y v
i y u z f ∂∂+∂∂=
')( D 、y
u i x u z f ∂∂-∂∂=')( 4、设C ：2
3
2=-i z ，则
=+⎰C iz
dz z e 12（ ）。

A 、1
-e π B 、e 1
-π
C 、e π
D 、ei π
5、设)(z f 在闭路C 上及其内部解析，0z 在C 的内部，则有（ ）。

A 、⎰⎰-'=-C C dz z z z f dz z z z f 20020)(1)()()(
B 、⎰⎰-'=-
C C dz z z z f dz z z z f 020)
()()( C 、⎰⎰-=-C C dz z z z f dz z z z f 00201!2)()()( D 、⎰⎰-=-C C dz z z z f dz z z z f 0020)()()(
6、幂级数
∑∞
=+0
)1(n n
n z i 的收敛半径是（ ） A 、2 B 、2
1
C 、2
D 、
2
1
7、设幂级数
∑∞
=0
n n n z c 在点2=z 收敛，而在i z 2=发散，则其收敛半径R =（ ）。

A 、2 B 、∞+ B 、3 D 、0 8、设3
)1(1
)(-+=
z z z z f ，则（ A ）。

A 、1=z 是)(z f 的三级极点
B 、0]1)([Res =，
z f C 、1=z 是)(z f 的本性奇点 D 、以上全不是
9、若1
)(2-=z e z f z
，则=]1)([Res ，z f （ ）。

A 、
21 B 、2
e C 、0 D 、
e
2
10、0=z 是函数
z
1sin 1
的（ ）。

A 、非孤立奇点 B 、可去奇点 C 、极点 D 、本性奇点
二、填空题
1、已知方程)35)(1()3(1i i y i x ++=-++，则=x
，
=y 。

2、一个复数乘以i 2，它的模的改变为 ， 辐角的改变为 。

3、函数y x i xy z f 2
2
)(+=在 处可导， 在 解析。

4、设z i
e i
=，则=z Re 。

5、函数i
z e
z f 5)(=的基本周期是 。

6、设函数)(z f 在单连通域B 内处处解析，且在单连通域B 内处处0)(≠z f ，C 为B 内任何一条简单闭曲线，则有
⎰
'C
dz z f z f )
()
(＝ 。

7、幂级数∑∞
=-+
)1()31(n n n z i 在 绝对收敛，在 发
散。

8、设0=z 为函数321
1z
z +的m 级极点，则m = 。

三、计算题
1、求出常数m 、n 、l ，使函数)()(2
3
2
3
y lx x i y nx my z f +++=解析。

2、求积分⎰-C z
dz z z e 2
)1(，其中C 为任意不经过点0与1的简单闭光滑曲线。

3、已知函数3
422
15
)2()1()(++=z z z z f ，计算：
（1）函数)(z f 有哪些孤立奇点（包括∞）？各属于哪一种类型？如果是极点，指
出它们的级数。

（2）求函数)(z f 在孤立奇点∞=z
处的留数。

（3）计算积分dz z z z C ⎰++3
42215
)
2()1(，其中C 为正向圆周3=z 。

4、已知函数)
2)(1(1
)(--=
z z z f ，在下列圆环域内展开成洛朗级数：
（1）110<-<z ；（2）+∞<-<21z
5、映射1)1()(-+=z z z f ，将z 平面曲线C ：1=z 变成w 平面上的什么曲线？并写出曲线方程。

四、证明题
有人说：设z w Ln =是对数函数，因为x z =是实常数，所以x x z ln Ln Ln ==。

（1）判断以上说法的对错。

（2）证明你的判断。

《
复变函数
》样卷B 参考答案
一、选择题
1、B ；
2、C ；
3、D ；
4、A ；
5、B ；
6、D ；
7、A ；
8、A ；
9、B ；10、A 。

二、填空题
1、1=x ，11=y
2、扩大为原来的2倍，增加2
π 3、0，在复平面上处处不解析 4、)22
(
ππ
k +-， ，，，210±±=k
5、π10
6、0
7、211<-z ，2
11〉-z 8、3 三、计算题
1、nxy x u 2=∂∂，223nx my y u +=∂∂，2
23ly x x
v +=∂∂，lxy y v 2=∂∂ 由
y v x u ∂∂=∂∂，x u y
u
∂∂-=∂∂ 解得1=m ，3-==l n 2、当0，1均不在C 内时，由柯西－古萨基本定理得，原式＝0。

当0在C 内，1不在C 内时，由柯西积分公式得，原式＝i z e i
z z
ππ2)1(20
3
=-=。

当1在C 内，0不在C 内时，由高阶导数公式得
原式＝i e z e i dz z z e z z C z
ππ-="
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⨯-=--=⎰1
3
122)
1(
当0，1均在C 内时，由复合闭路定理得，原式＝i e π)2(-。

3、（1）i z ±=，二级极点
）（4
2s i n 42c o s 24
ππππ+++=k i k z k （3210，，，=k ），三级极点
将被积函数在∞=z 的去心邻域+∞<<<z R 2内展开成洛朗级数
+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=⎪
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=384423
42
22142111112111111)(z z z z z z z z z z z f
从而，∞=z 为可去奇点。

（2）[]1),(Re ,111-=-=∞=--c z f s c
（3）被积函数孤立奇点均在C 内，且结构复杂。

根据留数定理及函数在扩充复平面中所有孤立奇点处留数代数和为零，有，原式＝[]∞-),(Re 2z f s i π， []1),(Re ,111-=-=∞=--c z f s c ，从而原式＝i π2。

4、（1） 当110<-<z 时
∑∑∞
=-∞=--=---=---⋅-=--=0
1
0)1()1(11)1(1111)2)(1(1)(n n n n z z z z z z z z f （2） 当+∞<-<21z 时
2
111)
2(1
)2(1121)2)(1(1)(2
-+⋅-=-+⋅-=--=
z z z z z z z f ∑∞
=---=
2
)2(1
)1()2(1n n
n
z z
5、1
111)(-=⇒+
==ωωz z z f 把C 的曲线方程1=z 代入上式，整理得11=-ω。

映射1)1()(-+=z z z f ，将z 平面曲线C ：1=z 变成w 平面上的圆周，曲线方程为
11=-ω。

四、证明题
（1）此说法不对。

（2）证：)2(arg ln Ln πk z i z z w ++== 若x z
=
i k x k i x x w ππ2ln )20(arg ln Ln +=++== 可见，x x ln Ln ≠
证毕。