数理统计课件

的样本， 是来自正态总体N(µ1 ，σ2)和N(µ2 ，σ2)的样本，且它 们相互独立， 们相互独立，则统计量
设(X1，X2，…，Xn1)和(Y1，Y2，…，Yn2) 分别
X − Y − (µ1 − µ 2) T= ~ t(n1 + n2 − 2) Sw 1 + 1 n1 n2
其中
Sw =
2 (n1 − 1)S1
α
求法： 求法： 直接查t分布 分布表 当 n ≤ 45 时，直接查 分布表 当 n > 45 时， tα ( n ) ≈ zα O
tα(n) x
t分布的双侧α分位点 分布的双侧α
分布的对称性， 由于t分布的对称性，称满足条件
P T > tα 2(n) = α
分布的双侧 分位点， 双侧α 的数tα/2(n)为t分布的双侧α分位点， 其几何意义如右图所示. 其几何意义如右图所示 其求法与上α 其求法与上α分位点的 求法类似。 求法类似。
χα(n) =
2 2
2 χ0.025(8) = 17.53
t分布的上α分位点 分布的上α
对于给定的α (0<α <1)，称满足条件 +∞ P T > tα(n) = f(x)dx t (n)
{
} ∫α
=α
分布的上 分位点， 的数tα(n)为t分布的上α分位点， f(x) 其几何意义见右图。 其几何意义见右图。
Φ( zα ) = 1 −
α
2
α /2
− zα
O
2
α /2
zα
2
2
反查表得 z α = 1 . 9 6
2
= 0.975
x 即：P{|z|>1.96}=0.05
χ 2分布的上α分位点 分布的上α
满足 P{ χ > χ α ( n )} =
2 2
∫χ
+∞
α
2
(n)
f ( x ) dx = α (0 < α < 1)
(1) 样本均值 X与样本方差S 2相互独立； 相互独立；
(2)
(n − 1)S
2
σ
2
=
∑(X − X)
i =1 i
n
2
σ
2
~ χ (n − 1)
2
3. 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体 X～N(µ ，σ 2)的样本，则统计量 的样本， ～
X −µ T= ~ t(n − 1) S n
4.
S
2
1 = n −1
∑ (X
n i =1
i
− X
)
2
样本均方差或标准差
S =
1 n −1
∑ (X
n i =1
i
− X
)
2
样本的K 样本的K阶原点矩
1 n k Ak = ∑ X i n i =1
样本的K 样本的K阶中心矩
1 Bk = ∑ X i − X n i =1
n
(
)
k
统计量的分布称为抽样分布。 统计量的分布称为抽样分布。 抽样分布 由于正态总体是最常见的总体， 由于正态总体是最常见的总体，因此这里 主要讨论正态总体下的抽样分布 正态总体下的抽样分布. 主要讨论正态总体下的抽样分布. 数理统计中常用的分布除正态分布外， 数理统计中常用的分布除正态分布外，还有 三个非常有用的连续型分布， 三个非常有用的连续型分布，即
X1 + X2 + 3µ X3
X + 3µ X 2 X3
2 1
是统计量 不是统计量
X1 +σ X2 + X
2 3
X1 X 2 X3 + σ
几个常用的统计量
的一个样本， 设 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 是总体 X 的一个样本， 样本均值
1 n X = ∑ Xi n i =1
样本方差
量和样本方差； 量和样本方差； 且两个样本相互独立， 且两个样本相互独立，则统计量
S σ ~ F(n1 − 1, n2 − 1) S σ
2 1 2 2 2 1 2 2
概率分布的分位点
对总体X和给定的α (0<α<1)，若存在xα， α 使P{X>xα} =α， 则称xα为X分布的上α分位点。 α 分布的上 分位点。 定义
X
正态总体的常用样本函数的分布 1. 设总体 X ~ N ( µ , σ 2 ) ， ( X 1 , X 2 ,..., X n )是 X 的一
个样本, 个样本, 则
1 n ∑ Xi − µ X − µ n i =1 Z= = ~ N ( 0,1) σ n σ n
2. 设(X1，X2，…，Xn)为来自正态总体 X～N(µ ，σ 2)的样本，则 ～ 的样本，
n1 + n2 − 2
+
2 (n2 − 1)S2 ,
2 2 S1、S2 分别为两总体的样本方差. 分别为两总体的样本方差
2 2 5. 设 n1, S1 为正态总体 N (µ1 , σ 1 ) 的样本容 量和样本方差； 量和样本方差； n , S 2 为正态总体 N (µ , σ 2) 的样本容 2 2 2 2
总体与个体
在数理统计中，把研究对象的全体称为总体或 在数理统计中，把研究对象的全体称为总体或 个体。 母体，而组成总体的每个元素称为个体 母体，而组成总体的每个元素称为个体。
例如：研究一批灯泡的使用寿命时， 例如：研究一批灯泡的使用寿命时，该批灯泡的 全体称为总体，每一个灯泡为一个个体。 全体称为总体，每一个灯泡为一个个体。
F分布
设随机变量 X1 ～χ 2(n1)、 X2 ～χ 2(n2)， 定义5.5 定义 相互独立， 且X1 与X2相互独立，则称随机变量 F = X 1 n 1
X 2 n2
服从第一自由度为n1，第二自由度为n2的F分布， 分布， 记作 F～F(n1，n2). 概率密度函数
性质： 性质：若X～F(n1，n2)，则 1 ～F(n2，n1).
分布表 当 n ≤ 45 时，直接查χ 2分布表 当 n > 45 时，利用公式
1 χ α ( n ) ≈ ( zα + 2
2
2 n − 1) 2
其 中 z α 为 N (0,1) 分 布 的 上 α 分 位 点
例如，当n=21，α=0.05时，可查表得 例如，
χ
2 0.05
(21) = 32.67 即
2 2
双侧α分位点的特例 双侧α分位点的特例
的分布关于 轴对称时 关于y 当X的分布关于y轴对称时， 若存在 xα 2 , 使
P { | x |> x α } = α
2

则称 x
α 2
为X分布的双侧α分位点 分布的双侧 分位点. 双侧α
如图. 如图
α
y
2
α
2
−xα 2 O
xα 2 x
标准正态分布的上 标准正态分布的上α分位点 的上α
O zα
反查表得 z α = 1 .6 4 5
即：P{Z>1.645} =0.05 x
标准正态分布的双侧 分位点 标准正态分布的双侧α分位点 的双侧α
若P{| z |> zα } = α，则称zα为N (0,1)分布的双侧α分位点。
2
Φ( zα ) = 1 −
2
α
2
反查表
zα
2
ϕ(x)
例如，求z0.05/2，
若P{Z > zα } = α，则称zα为N (0,1)分布的上α分位点。
P{Z > zα } = 1 − P{Z ≤ zα } = 1 − Φ ( zα ) = α
Φ ( zα ) = 1 − α
ϕ(x)
反查表
zα
例如， 例如， α=0.05，而 ，
Φ ( zα ) = 1 − α = 0.95
α
样本联合分布
已知总体X的分布函数为F(x),密度函数为f(x)。
则样本X 1 , X 2 L X n的联合分布函数和联合分布 密度分别为：
F ( x1 , x 2 , L , x n ) = f ( x1 , x 2 , L , x n ) =
∏ F (x ) ∏
i =1 i =1 n i
n
f ( xi )
y α o
2
P{X>xα} =α α
xα x
2
∫ xα
α
α
2
+∞
f(x)dx = α y
若存在数 x α 、x 1 − α ，使
2 x1− αo
2
P{X > xα } = P{X < x1−α } =
2 2
2 xα x
2
α
分布的双侧 分位点。 则称 x α、 x 1 − α 为X分布的双侧α分位点。
在应用上，总体指研究对象的某个(或几个 在应用上，总体指研究对象的某个 或几个 数量 指研究对象的某个 或几个)数量 的所有可能取值的全体， 指标 X的所有可能取值的全体，指标 的每一个取值 的所有可能取值的全体 指标X的每一个取值 称为个体 个体。 称为个体。
样本
样本 （两重性） 两重性）
相互独立， 若随机变量 X 1 , X 2 , L , X n 相互独立，且每 与总体X有相同的分布 有相同的分布， 个 X i ( i = 1, 2, L , n ) 与总体 有相同的分布， 为总体X的一个样本， 称 的一个样本 则称 X 1 , X 2 , L , X n 为总体 的一个样本，n称 样本容量， 为样本容量， ( X 1 , X 2 , L , X n ) 所有可能不同取 值的集合称为样本空间 样本空间。 值的集合称为样本空间。 一次具体的抽样中所得到的数值 ( x1 , x 2 , L , x n ) 的一个观察值， 称为样本 ( X 1 , X 2 , L , X n ) 的一个观察值，简称 样本观察值（样本点） 样本观察值（样本点）