概率论与数理统计第四版课件
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概率论第四版第一章第一讲
E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。
E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。
随机试验
这些试验具有以下特点： •1、可以在相同的条件下重复进行； •2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先 明确试验的所有可能结果； •3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出 现。
样本空间
将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S。 样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本 点。
确定性现象：在一定条件下必然发生
随机现象：具有统计规律性的现象
第一章 概率论的基本概念
§1 §2 随机试验 样本空间、随机事件
§3
§4
频率与概率
等可能概型（古典概率）
§5
§6
条件概率
独立性
E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。 E2：将一枚硬币抛掷三次,观察正面、反面出现 的情况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。
f n (H)
n=500
f n (H)
nH
2 3 1 5 1 2 4 2 3 3
nH
22 25 21 25 24 21 18 24 27 31
nH
251 249 256 253 251 246 244 258 262 247
f n (H)
0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.4 0.6 0.6
E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。 S1：{H，T} 样本点为H，T
E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情 况。 E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。
概率论与数理统计第四版 (4)
(四) 不相关与相互独立的关系:
a. 若X, Y相互独立, 则X, Y不相关; b. 上面的逆命题一般不真;
反例, 二维r.v.( X , Y )的密度函数是
f
(
x,
y)
1
,
x2 y2 1,
0, 其它,
其Cov(
X
,Y
)
0,
但f ( x, y)
f
X
(
x)
fY
(
y).
c. 当(X, Y)服从二维正态分布时, 逆命题亦成立
(4.1)
又若( X ,Y )为离散型r.v.
其分布律为P X xi ,Y yj pij , i, j 1, 2,3,
则有E(Z ) E g( X ,Y ) g( xi , yj ) pij , (4.2) j1 i1
(假设上述积分、级数分别绝对收敛)
例4. 设随机变量( X ,Y )的概率密度为
则其密度函数为
f
(
x)
e1
x
,
x 0,
0 , x 0.
E(X)
D( X ) E( X 2 ) [ E( X )]2 2
30 正态分布: 设X~N(, 2 ) E(X) ，D(X) 2
§3. 协方差和相关系数
(一) 定义:
二维r.v.( X , Y ) ,若E{[X E( X )][Y E(Y )]}存在,
四. n维正态随机变量:
1. 定义 : 设有n维r.v.( X1, X 2 , , X n ), 记
x1
1
11 12
X
x2
,
2
,
C
21
22
1n
2n
第五章《概率论与数理统计教程》课件
试决定常数 3.
X ,Y
C
使得随机变量 cY 服从分布
2
分布。
相互独立，都与 N ( 0 , 9 ) 有相同分布， X 分别是来自总体
X ,Y
1
, X 2 , , X 9和
Y1 ,Y 2 , ,Y 9
的样本，
Z
9
X
i
i1
6 - 23
Y
i1
9
则Z 服从—— ，自由度为——。
2 i
4.
X1, X 2, X 3, X 4
是来自总体
X ~ N ( , )
2
的样本，则随机变
量 Y
X3 X4
服从——分布，其自由度为———。
2
(X i )
i1
2
5.
设
X 1 , X 2 , , X 10
是来自总体 X
~ N ( ,4 )
2
的样本， ( S 2 P
a ) 0 .1
一. 单个正态总体的统计量的分布
X 1 , X 2 , X n是来自正态总体 ~ N ( , 2 )的样本, X
X , S 分别是样本均值和样本 方差
2
定理1
X
n
1
n
X i ~ N ( ,
n
2
);
i1
定理2 U
1
X
/
~ N ( 0 ,1 );
n
定理3
6 - 18
定理7
当 1
2
2 2
2 2 时, 令 S w
( n1 1) S 1 ( n 2 1) S 2
2
概率论与数理统计第一章(浙大第四版)ppt课件
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9
例：
概率论
一枚硬币抛一次
记录一城市一日中发生交通事故次数
记录一批产品的寿命x
记录某地一昼夜最高温度x，最低温 度y
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10
概率论
S={正面，反面}； S={0,1,2,…}； S={ x|a≤x≤b }
S={(x,y)|T0≤y≤x≤T1}；
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111
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
在这n次试验中发生的频率。
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27
例：
概率论
中国男子国家足球队，“冲出亚洲”
共进行了n次，其中成功了一次，在
这n次试验中“冲出亚洲”这事件发
生的频率为 1 n；
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28
概率论
某人一共听了16次“概率统计”课，其 中有12次迟到，记A={听课迟到}，则
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33
(二) 概率
概率论
定义1：fn ( A) 的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 P( A) 0
2。 P(S ) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
（1）从袋中随机摸一球，记A={ 摸到红 球 }，求P(A)．
（2）从袋中不放回摸两球，记B={恰是一 红一黄}，求P(B)．
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47
概率论
解：(1)
S={1,2, ,8},A={1,2,3}
P
A
3 8
(2)P(B)
C31C51
第一章--随机事件及其概率PPT课件
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结8束
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义
随机事件（简称事件） 随机试验中的某种结果(它在一次试验中可能发生
也可能不发生,而且在大量重复试验中具有某种统计规 律性).
或：随机试验结果的一种描述 或：关于试验结果的一个命题 用大写 A,字 B,C母 ,表.示
随机事件 事件 必然事件 (记作U)
概率论与数理统计
主编：刘韶跃 李以泉 丁碧文 杨湘桃
湘潭大学出版社
概率论与数理统计教程（第四版）
.
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结1束
美国报纸检阅（Parade）的专栏内提出了一个有趣的 概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一 扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊，你可以随意打 开一扇，后面的东西就归你了，你当然想得到一辆汽 车！当你选定一扇门后，比方说选定1号门（但未打 开），主持人知道哪扇门后是汽车，哪扇门后是山羊， 他打开另一扇中有山羊的一个，比方说他打开了3号 门让你看到里边是山羊，并对你说：我现在再给你一 个机会，允许你改变原来的选择，为了得到汽车，你 是坚持1号门还是改选2号门？
个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌
若干局，谁先赢m局就算获胜，全部赌本就归
胜者，但是当其中一个人甲赢了a(a<m)局的
时候，赌博中止，问赌本应当如何分配才算合
理？” 概率论在物理、化学、生物、生态、
天文、地质、医学等学科中，在控制论、信息
论、电子技术、预报、运筹等工程技术中的应
用都非常广泛。
概率论与数理统计教程（第四版）
设随机 A在 n次 事试 件验m 中 次 ,则 发比 生
m称为随机事 A的件 相对频率(简称频率). n
概率论与数理统计浙江大学第四版盛骤概率论部分ppt精选课件
• 性质：
1 P(A)1P(A)
P(A)0不能A； P(A)1不能AS；
A AS P(A)P(A)1 P()0
2 若 A B ， 则 有 P ( B A ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( A )
BA AB P (B )P (A )P (A B )
P ( B ) P ( A ) P ( A B ) P ( B A ) 0P(B)P(A)
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定
明天天气状况
——不确定
买了彩票会中奖 ——不确定
8
•篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性：
3 概 率 的 加 法 公 式 ： P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
A B A ( B A B ) P ( A B ) P ( A ) P ( B A B ) 又 B A B ， 由 2 。 知 P ( B A B ) P ( B ) P ( A B )
✓ A B A B { x |x A 且 x B }
S AB
✓ A 的 逆 事 件 记 为 A , A A A A S , 若 A A B B S , 称 A ,B 互 逆 、 互 斥
S
✓ “和”、“交”关系式
AA
n
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2 An；
• 7.1 参数的点估计 • 7.2 估计量的评选标准 • 7.3 区间估计
1 P(A)1P(A)
P(A)0不能A； P(A)1不能AS；
A AS P(A)P(A)1 P()0
2 若 A B ， 则 有 P ( B A ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( A )
BA AB P (B )P (A )P (A B )
P ( B ) P ( A ) P ( A B ) P ( B A ) 0P(B)P(A)
例：
向上抛出的物体会掉落到地上 ——确定
明天天气状况
——不确定
买了彩票会中奖 ——不确定
8
•篮球比赛是根据运动队在规定的比赛 时间里 得分多 少来决 定胜负 的，因 此，篮 球比赛 的计时 计分系 统是一 种得分 类型的 系统
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性：
3 概 率 的 加 法 公 式 ： P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
A B A ( B A B ) P ( A B ) P ( A ) P ( B A B ) 又 B A B ， 由 2 。 知 P ( B A B ) P ( B ) P ( A B )
✓ A B A B { x |x A 且 x B }
S AB
✓ A 的 逆 事 件 记 为 A , A A A A S , 若 A A B B S , 称 A ,B 互 逆 、 互 斥
S
✓ “和”、“交”关系式
AA
n
n
Ai Ai A1 A2
n
n
An； Ai Ai＝A1A2 An；
• 7.1 参数的点估计 • 7.2 估计量的评选标准 • 7.3 区间估计
概率论与数理统计浙大四版 第一章 第一章3讲
拼成英文单词SCIENCE 的情况数为
224
故该结果出现的概率为：
p4 1 0.00079 7! 1260
这个概率很小，这里算出的概率有如 下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试 验，则我们所关心的事件在1260次试验中 大约出现1次 .
这样小概率的事件在一次抽卡的试验 中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这 是魔术.
(答:案 p 9 6 1393 9160 ) 13
2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率.
(答:案 p363)
需要注意的是：
1、在应用古典概型时必须注意“等可能性” 的条件.
“等可能性”是一种假设，在实际应用 中，我们需要根据实际情况去判断是否可 以认为各基本事件或样本点是等可能的.
k = n时称全排列
P n n p n n (n 1 )n ( 2 ) 2 1 n !
第1次选取 A
B C
第2次选取 B C D
第3次选取
C 例如：n=4, k =3
D B D B
C
P4343224
…… P4432124
D
从n个不同元素取 k个（允许重复）
我们首先引入的计算概率的数学模型， 是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象，通常称为
古典概型
一、古典概型
假定某个试验有有限个可能的结果
e1, e2, …，eN ,
假定从该试验的条件及实施方法上去分 析，我们找不到任何理由认为其中某一结果
例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，
则我们只好认为所有结果在试验中有同等可 能的出现机会，即1/N的出现机会.
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率.
224
故该结果出现的概率为：
p4 1 0.00079 7! 1260
这个概率很小，这里算出的概率有如 下的实际意义：如果多次重复这一抽卡试 验，则我们所关心的事件在1260次试验中 大约出现1次 .
这样小概率的事件在一次抽卡的试验 中就发生了，人们有比较大的把握怀疑这 是魔术.
(答:案 p 9 6 1393 9160 ) 13
2o 骰子问题 掷3颗均匀骰子,求点数之和为4的 概率.
(答:案 p363)
需要注意的是：
1、在应用古典概型时必须注意“等可能性” 的条件.
“等可能性”是一种假设，在实际应用 中，我们需要根据实际情况去判断是否可 以认为各基本事件或样本点是等可能的.
k = n时称全排列
P n n p n n (n 1 )n ( 2 ) 2 1 n !
第1次选取 A
B C
第2次选取 B C D
第3次选取
C 例如：n=4, k =3
D B D B
C
P4343224
…… P4432124
D
从n个不同元素取 k个（允许重复）
我们首先引入的计算概率的数学模型， 是在概率论的发展过程中最早出现的研究 对象，通常称为
古典概型
一、古典概型
假定某个试验有有限个可能的结果
e1, e2, …，eN ,
假定从该试验的条件及实施方法上去分 析，我们找不到任何理由认为其中某一结果
例如ei，比任一其它结果，例如ej,更有优势，
则我们只好认为所有结果在试验中有同等可 能的出现机会，即1/N的出现机会.
2o 生日问题 某班有20个学生都 是同一年出生的,求有10个学生生 日是1月1日,另外10个学生生日是 12月31日的概率.
概率论与数理统计浙大第四版
必然事件——全体样本点组成的事件,记 为S, 每次试验必定发生的事件.
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件
不可能事件——不包含任何样本点的事件, 记为 ,每次试验必定不发生的事件.
事件的关系和运算 文氏图 ( Venn diagram )
A
随机事件的关系和运算 雷同集合的关系和运算
1. 事件的包含
A B —— A 包含于B
事件 A 发生必 导致事件 B 发生
非负性： A , P( A) 0
归一性： P( ) 1
可列可加性：P
i 1
Ai
P ( Ai )
i 1
其中 A1, A2 , 为两两互斥事件，
概率的性质
P() 0
有限可加性: 设 A1,A2,An 两两互斥
P
n i1
Ai
n i1
P(Ai )
P(A)1P(A) P(A)1
解 P(AB) P(A)P(B)P(AB)
P(AB) P(A) P(B) P(AB)
P(A)P(B)10.3 —— 最小值
最小值在 P( A B) 1 时取得
P( A B) P( A) 0.6 —— 最大值
最大值在 P(AB) P(B) 时取得
§1.4 古典概型
概率的 设 随机试验E 具有下列特点： 古典定义 基本事件的个数有限
（2） nB C31C122C150C55
P( A) 25 91
P(B) 6 91
例2 把标有 1,2,3,4 的 4 个球随机地放入 标有1,2,3,4 的 4 个盒子中，每盒放一球， 求有至少有一个盒子的号码与放入的球 的号码一致的概率。
解 n A44 4!
设 Ai 表示 i 号球入 i 号盒， i = 1,2,3,4
§1.1 随机事件
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S2：{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT} S3：{0，1，2，3} S4：{1，2，3，4，5，6 } S5：{0，1,2,3，…} S6：{t|t≥0} S7：{(x,y)|T0 x y T1 }
随机事件
称样本空间 S 的子集叫做随机试验E的随机 事件，简称事件
258
0.516
262
0.524
247
0.494
实验者 德摩根
蒲丰 K﹒皮尔逊 K﹒皮尔逊
n 2048 4040 12000 24000
nH
1061 2048 6019 12012
f n (H)
0.5181 0.5069 0.5016 0.5005
概率
设E是随机试验，S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋予 一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P(·)满 足下列条件：
例2、考虑“抛硬币”这个试验，我们将一枚硬币抛掷5 次、50次、500次，各做10遍。得到数据如表所示
（其中nH表示H发生的频数，fn (H)表示H发生的频率）。
实验序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
n=5
nH
f n (H)
2
0.4
3
0.6
1
0.2
51.01Fra bibliotek0.2
2
0.4
4
0.8
2
0.4
P(A1 A2 A3)
n
n
n
P(Ai ) - P(AiA j)
P(AiA jAk ) (-1)n-1 P(A1A2 An )
i1
1i jn
1i jkn
作业： P25 2、3
频率
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中， 事件A发生的次数 n A称为事件A发生的频数。比值nA/A称为 事件A发生的频率，并记成 fn (A) 。
它具有下述性质: 1 0 f n ( A) 1 ;
2 f n (S) 1;
3 若A1, A2,, Ak 是两两互不相容事件,则
f n ( A1 A2 Ak) f n ( A1) f n ( A2) f n ( Ak)
随机试验
这些试验具有以下特点： •1、可以在相同的条件下重复进行； •2、每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明 确试验的所有可能结果； •3、进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
样本空间
将随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S。
样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本 点。
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
将性质6推广到三个事件的情况：
P(A1 A2 A3) P(A1) P(A2 ) P(A3 ) - P(A1A2 ) - P(A1A3 ) - P(A2A3) P(A1A2A3 )
将性质6推广到n个事件的情况：
对于任意n个事件A1，A2，，An ，得
基本事件 : 由一个样本点组成的单点集； 必然事件 : 样本空间 S 本身； 不可能事件 : 空集。
当且仅当随机事件所包含的一个样本点在试验中 出现时，称这一事件发生。
事件间的关系
1、包含关系
若A B，称事件B包含事件A，也就是说事件A发生必然导致 事件B发生。
AB S
若AB且AB，则称事件A与B相等，记作A＝B。
A B S
基本事件是两两互不相容的。
6、对立事件
若A∪B=S且A∩B＝，则称事件A，B互为逆事件。这指的是 对每次试验而言，事件A，B中必有一个发生且仅有一个发生。
A S
B A
事件的运算
交换律: 结合律: 分配律: 德摩根律:
A B B A, A B B A
A B C A B C A B C A B C
P(A1 A2 An ) P(A1) P(A2 ) P(An )
性质3 设Ａ、B是两个事件，若 A B,则有 P(B A) P(B) P( A) P(B) P( A)
性质4 对于任意事件A，
P( A) 1
性质5 对于任意事件A，
P( A) 1 P( A)
性质6
对任意两个事件A、B，有
1°非负性：对于每一个事件A，有P(A)≥0； 2°规范性：对于必然事件S，有P(S)=1； 3°可列可加性：设 A1，A 2 是两两互不相容的事件，即对于 A i A j , i j, i, j 1,2,，有
P(A1 A2 ) P(A1 ) P(A2 )
性质1 P( ) 0
性质2 若 A1，A2，，An 是两两互不相容的事件，则有
3
0.6
3
0.6
n=50
nH
f n (H)
22
0.44
25
0.50
21
0.42
25
0.50
24
0.48
21
0.42
18
0.36
24
0.48
27
0.54
31
0.62
n=500
nH
f n (H)
251
0.502
249
0.498
256
0.512
253
0.506
251
0.502
246
0.492
244
0.488
A B C A B A C A B C A B A C
A B A B
AB A B
Ai
例1、一个工人生产了四个零件，以 Ai表示事件“他生产 的第i个零件是合格品”，i＝1，2，3，4。试用 Ai表 示下列各事件：
（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）恰有一个零件是不合格品； （4）至少有三个零件是合格品； （5）合格品不多于一个。
概率论与数理统计
第一章 概率论的基本概念
§1 随机试验 §2 样本空间、随机事件 §3 频率与概率 §4 等可能概型（古典概率） §5 条件概率 §6 独立性
第一讲
§1 随机试验 §2 样本空间、随机事件 §3 频率与概率
身边的概率问题
7:00广播中的降水概 率
反恐精英对战中的AK47突击步枪和AWP狙击 步枪的命中率
A
B
S
n个事件A1
，A2
，…，An的积表示为
n Ai
i 1
可列个事件A1 ，A2 ，…，An ，… 的积表示为 Ai
i 1
4、差事件
事件A-B称为事件A与事件B的差事件。当且仅当A发生，B不 发生时，事件A-B发生。
A
B
S
由图可以看出，A-B=A（A∪B）
5、互不相容
若A∩B＝，则称事件A，B是互不相容的，或互斥的。这指 的是事件A，B不能同时发生。
E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。
S1：{H，T} 样本点为H，T
E2：将一枚硬币抛掷三次，观察正面、反面出现的情 况。
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。
2、和事件
事件A∪B={x|x∈A或x∈B}称事件A与事件B的和事件。当且仅 当A，B中至少有一个发生时，事件A∪B发生。
A
B
S
n个事件A1
，A2
，…，An的和表示为
n
i 1
Ai
可列个事件A1
，A2
，…，An
，…
的和表示为
Ai
i 1
3、积事件
事件A∩B={x|x∈A且x∈B}称为事件A与事件B的积事件。当 且仅当A，B同时发生时，事件A∩B发生。A∩B也记作AB。
确定性现象：“上抛石子必然下落”
随机现象：具有统计规律性的现象，例如“降 水概率”和“枪的命中率”
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象的 一门数学学科。
E1：抛一枚硬币，观察正面H（Heads）、反面T （Tails）出现的情况。
E2：将一枚硬币抛掷三次,观察正面、反面出现 的情况。
E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 E4：抛一颗骰子，观察出现的点数。 E5：记录寻呼台一分钟内接到的呼唤次数。 E6：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。