弧、弦、圆心角的关系

一、圆的旋转不变性
1、一个圆绕着它的圆心旋转180 °，你会发现什么？ 发现：和原来的图形完全重合。即圆是中心对称图形， 圆心是它的对称中心。 2、一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，你会发现什么？
发现：旋转之后的图形与原来的图形完全重合。
这是圆特有的一个性质，叫做圆的旋转 不变性。
二： 圆心角的概念
（2）如果 AB CD ，那么____________ ， AB=CD AOB COD _____________ ． （3）如果∠AOB=∠COD，那么 AB=CD ． _____________ AB CD ，_________
A E
B
O
·
F
D
C
如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
∴ AB与A ' B ' 重合，AB与A′B′重合．
A
AB A ' B '
AB A ' B '.
弧、弦与圆心角的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦也相等． 前提条件 在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角 相等， 所对的弦________ 相等 ； _____
同圆或等圆中， 两个圆心角、两 条弧、两条弦、 两条弦心距中 有一组量相等， 它们所对应的其 余各组量也相 等．
问题： 1、找出图中所出现的角（一般是小于180°的角） 2、观察这些角之间有什么共同点 ∠AOB 、 ∠COD、 ∠BOC、 ∠AOD 角：
B A
共同点：顶点都在圆心
圆心角：把顶点在圆心的角叫做 圆心角.
O C D
三、狐、弦、圆心角的关系 探 究
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A’OB’ 的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
（4）如果AB=CD，OE⊥AB于E，OF⊥CD 于F，OE与OF相等吗？为什么？
A E B
OE OF ,
O 证明： OE AB, OF CD 1 1 AE AB, CF CD 2 2 C 又 AB＝CD AE＝CF 又 OA＝OC Rt AOE Rt COF
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角
相等 ，所对的弧_________ 相等 ． ______ 思考：在同圆或等圆中，如果弦心距相等，那么与弦心距 相关的弦有什么关系？
例1：如图，在⊙O中， 1 45,求∠2的度 AC=BD， 数。
解： ∵ AC=BD （已知）
∴ AC-BC=BD-BC （等式的性质） ∴ AB=CD （在同圆中，相等的弧所 对的圆心角相等） ∴ ∠1=∠2=45°
例2 如图, 在⊙O中， AB＝AC ，∠ACB=60°，
求证∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
证明：
∵
AB=AC
O B
∴ AB=AC． 又∠ACB=60°， ∴ AB=BC=CA. ∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
·
C
练习
1、 如图，AB、CD是⊙O的两条弦．
AB CD ， （1）如果AB=CD，那么___________ AOB COD ． _________________
A′
B B′ B′
A′
B
O
·
A
O
·
A
A′
根据旋转的性质，将圆
B
B′
O
·
A′
B
A
心角∠AOB绕圆心O旋转到 ∠A′OB′的位置时， ∠AOB＝ ∠A′OB′，射线 OA与OA′重合， OB与OB′重合．而同圆的半径 相等，OA=OA′，OB=OB′， ∴点 A与 A′重合，B与B′重 合．
B′
· O
·
F
D
OE OF .
பைடு நூலகம்、（1）判断下列说法是否正确：
A、相等的圆心角所对的弧相等。（
×）
B 1 A
B、相等的弧所对的弦相等。（ × ） C、相等的弦所对的弧相等。（ （2）如图，⊙O中，AB=CD，
×）
C D 2 O
1 50

o 2 ____ 50 .