高三数学每周课时练习6 (1)
高中数学必修二 6 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)(含答案)
6.3 平面向量的基本定理及坐标表示(精练)【题组一 向量基底的选择】1．(2021·全国·高一课时练习)下列说法错误的是( )A ．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示B ．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示C ．平面上向量的基底不唯一D ．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一【答案】B【解析】由共线向量的性质可知选项A 正确；根据平面向量基本定理可知：平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个不共线的向量表示，所以选项B 不正确；根据平面向量基本定理可知中：选项C 、D 都正确，故选：B2．(2021·浙江·宁波咸祥中学高一期中)(多选)下列两个向量，不能作为基底向量的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==B ．12(2,1),(1,2)e e =-=C ．12(1,2),(1,2)e e =--=D ．12(1,1),(1,2)e e ==【答案】AC【解析】A 选项，零向量和任意向量平行，所以12,e e 不能作为基底.B 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.C 选项，12e e =-，所以12,e e 平行，不能作为基底.D 选项，12,e e 不平行，可以作为基底.故选：AC3．(2021·福建省德化第一中学高一月考)(多选)下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．12(0,0),(1,2)e e ==-B ．12(1,2),(5,7)e e =-=C ．12(3,5),(6,10)e e ==D ．1213(2,3),,24e e ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 【答案】BD【解析】A ．由于10e =，因为零向量与任意向量共线，因此12,e e 共线，不能作基底，B ．因为1725-⨯≠⨯，所以两向量不共线，可以作基底，C ．因为212e e =，所以两向量共线，不能作基底，D ．因为312342⎛⎫⨯≠⨯- ⎪⎝⎭，所以两向量不共线，可以作基底， 故选：BD.4．(2021·湖北孝感·高一期中)(多选)在下列各组向量中，不能作为基底的是( )A ．()1e 0,0→=，()2e 1,2→=-B ．()1e 1,2→=-，()2e 5,7→=C ．()1e 3,5→=，()2e 6,10→=D ．()1e 2,3→=-，()2e 3,2→= 【答案】AC【解析】对A ，1e →∥2e →，不能作为基底；对B ，17250-⨯-⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底；对C ，21e 2e →→=，1e →∥2e →，不能作为基底；对D ，22+330⨯⨯≠，1e →与2e →不平行，可以作为基底.故选：AC.5．(2021·全国·高一课时练习)已知1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，且a 与b 是一组基，则实数λ的取值范围是___________. 【答案】11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】因为1e 与2e 不共线，12122,a e e b e e λ=+=+，若a 与b 共线，则a b μ=，即()12122a e e e e μλ=+=+， 所以12λμμ=⎧⎨=⎩，解得122λμ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 因为a 与b 是一组基底，所以若a 与b 不共线，所以实数λ的取值范围是11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：11,,22⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【题组二 向量的基本定理】1．(2021·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高一月考)已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为( )A ．1344AD AB AC =+ B ．3144AD AB AC =+ C ．2133AD AB AC =+ D ．1233AD AB AC =+ 【答案】A【解析】由3BD DC =，可得3()AD AB AC AD -=-，整理可得43AD AB AC =+， 所以1344AD AB AC =+， 故选：A2．(2021·四川·成都外国语学校高一月考(文))我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，若BC a =，BA b =，3BE EF =，则BF =( )A ．1292525a b +B ．16122525a b + C ．4355a b + D ．3455a b + 【答案】B【解析】因为此图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，且BC a =，BA b =，3BE EF =， 所以34BF BC CF BC EA =+=+3()4BC EB BA =++ 33()44BC BF BA =+-+ 93164BC BF BA =-+， 解得16122525BF BC BA =+，即16122525BF a b =+， 故选：B3．(2021·陕西·西安电子科技大学附中高一月考)平面内有三个向量,,OA OB OC ，其中OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，且32,,2OA OB ==23OC =,(R)OC OA OB λμλμ=+∈，则( ) A ．42λμ==，B ．322λμ==，C ．423λμ==， D ．3423λμ==， 【答案】C 【解析】如图所示：过点C 作//CD OB ，交直线OA 于点D ，因为OAOB ，的夹角为120，,OA OC 的夹角为30，所以90OCD =∠，在Rt OCD △中，tan 30232DC OC ===，24sin 30OD ==， 由OC OA OB OD DC λμ=+=+， 可得OD OA λ=，DC OB μ= 所以OD OA λ=，DC OB μ=，所以42λ=，322μ=，所以42,3λμ==. 故选：C.4．(2021·全国·高一课时练习)若1(3,0)e =，2(0,1)e =-，12a e e =-，(1,)b x y =-，且a b =，则实数x ，y 的值分别是( )A ．1x =，4y =B ．2x =，1y =-C ．4x =，1y =D ．1x =-，2y =【答案】C 【解析】由题意，12(3,1)a e e =-=，又a b =13411x x y y -==⎧⎧∴⎨⎨==⎩⎩故选：C5．(2021·江苏南京·高一期末)在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1AB =，2AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=︒设(,)AD AB AC R λμλμ=+∈，则( )A ．20λμ+=B ．20λμ-=C ．2λμ=D ．2μλ= 【答案】B【解析】如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系则B 点的坐标为(1，0)，C 点的坐标为(0，2)∵∠DAB ＝45°，所以设D 点的坐标为(m ， m )(m ≠0)(,)(1,0)(0,2)(,2)AD m m AB AC λμλμλμ==+=+=则λ＝m ，且μ＝12m ， ∴2λμ=，即20λμ-= 故选：B6．(2021·山西临汾·高一期末)在ABC 中，已知AB AC ⊥，2AB =，3AC =，D 是ABC 内一点，且45DAB ∠=，若(),AD AB AC λμλμ=+∈R ，则λμ=( ) A ．32B ．23C ．34D ．43 【答案】A 【解析】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,3C ，由于45DAB ∠=，可设(),D m m ，因为AD AB AC λμ=+，所以()()(),2,00,3m m λμ=+，所以23m λμ==， 因此，32λμ=. 故选：A.7．(2021·安徽宣城·高一期中)如图，在长方形ABCD 中，2AB AD =，点M 在线段BD 上运动，若AM x AB y AC =+，则2x y +=( )A ．1B ．32C ．2D ．43【答案】A 【解析】解：由题可得，设22AB AD ==，因为ABCD 是长方形，所以以点A 为坐标原点，AB 方向为x 轴正方向，AD 方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系，则()2,0B 、()0,1D ，则()()2,0,2,1AB AC ==，()2,1BD =-，因为AM x AB y AC =+，所以()22,AM x y y =+，所以()()()222,222,,0y B A x y y x y M B AM =+==-+++-，因为点M 在BD 上运动，所以有//BM BD ，所以()12222x y y ⨯+-=-，整理得21x y +=，故选：A.8(2021·上海·高一课时练习)已知点G 为△ABC 的重心，过G 作直线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且AM ＝x AB ，AN ＝y AC ，求11x y+的值为________． 【答案】3 【解析】根据条件：11,==AC AN AB AM y x，如图设D 为BC 的中点，则1122AD AB AC =+ 因为G 是ABC ∆的重心，211333AG AD AB AC ==+， 1133AG AM AN x y∴=+， 又M ，G ，N 三点共线，11=133x y ∴+，即113x y+=. 故答案为：3.9．(2021·黑龙江·大庆中学高一月考)如图，经过OAB 的重心G 的直线与,OA OB 分别交于点P ，Q ，设,OP mOA OQ nOB →→→→==，,m n R ∈，则11n m+的值为________．【答案】3【解析】设,OA a OB b →→→→==，由题意知211()()323OG OA OB a b →→→→→=⨯+=+， 11,33PQ OQ OP n b m a PG OG OP m a b →→→→→→→→→→⎛⎫=-=-=-=-+ ⎪⎝⎭， 由P ，G ，Q 三点共线，得存在实数λ使得PQ PG λ→→=， 即1133n b m a m a b λλ→→→→⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭， 从而1,31,3m m n λλ⎧⎛⎫-=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩消去λ，得113n m +=． 故答案为：310．(2021·河北大名·高一期中)已知平面内三个向量()7,5a =，()3,4b =-，()1,2c =．(1)求23a b c -+； (2)求满足a mb nc =-的实数m ，n ；(3)若()()//ka c b c -+，求实数k ．【答案】(2)943,1010m n =-=-；(3)526k =. 【解析】(1)∵()()()()237,523,431,216,3a b c -+=--+=，∴22316a b c -+=+=(2)由a mb nc =-得()()7,53,42m n m n =---，∴3,42 5.7m m n n ⎧⎨-=--=⎩解得9,1043.10m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(3)()71,52ka c k k -=--，()2,6b c +=-．∵()()//ka c b c -+，∴()()6712520k k -+-=，解得526k =． 11．(2021·福建·莆田第七中学高一期中)已知两向量()2,0a =，()3,2b =.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +共线？(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)()()()2,03,223,2ka b k k -=-=--，()()()22,06,48,4a b +=+=.当ka b -与2a b +共线时，()()423280k ---⨯=， 解得12k =-. (2)由已知可得()()()234,09,613,6AB a b =+=+=，()()()2,03,232,2BC a mb m m m m =+=+=+. 因为A ，B ，C 三点共线，所以//AB BC ，所以()266320m m -+=.解得32m =. 12．(2021·安徽宿州·高一期中)已知(1,0)a =-，(2,1)b =--.(1)当k 为何值时，ka b -与2a b +平行.(2)若23AB a b =+，BC a mb =+且A ，B ，C 三点共线，求m 的值.【答案】(1)12k =-；(2)32m =. 【解析】(1)(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=----=-，2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=-+--=--.因为ka b -与2a b +共线，所以2(2)(5)10k ----⨯=，解得12k =-. (2)因为A ，B ，C 三点共线，所以()AB BC R λλ=∈，即23()a b a mb λ+=+，又因为a 与b 不共线，a 与b 可作为平面内所有向量的一组基底，所以23m λλ=⎧⎨=⎩， 解得32m =.【题组三 线性运算的坐标表示】1．(2021·天津红桥·高一学业考试)若向量(1,2),(1,1)a b ==-，则a b +的坐标为( )A ．(2，3)B ．(0，3)C ．(0，1)D ．(3，5)【答案】B【解析】解：因为(1,2),(1,1)a b ==-，所以()()()1,21,10,3a b +=+-=故选：B2．(2021·山东邹城·高一期中)已知向量()1,0a =，()2,4b =，则a b +=( )A B ．5 C ．7 D ．25【答案】B【解析】根据题意，向量()1,0a =，()2,4b =，则()3,4a b +=，故9165a b +=+.故选：B ．3．(2021·全国·高一专题练习)已知向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，若a ，b 共线，则实数x 的值为( )A ．-1B ．2C ．1或-2D ．-1或2【答案】D【解析】因为向量(1,1)a =，()2,2b x x =+，且a ，b 共线，所以22x x =+，解得1x =-或2x =，故选：D4．(2021·全国·高一单元测试)已知(2,1cos )a θ=--，11cos ,4b θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，且//a b ，则锐角θ等于( )A ．45°B ．30°C ．60°D ．30°或60°【答案】A【解析】因为//a b ，所以()()()121cos 1cos 04θθ⎛⎫-⨯---+= ⎪⎝⎭，得211cos 02θ-+=，即21cos 2θ=，因为θ为锐角，所以cos θ=45θ=.故选：A5．(2021·云南省永善县第一中学高一月考)已知点()2,2,1A ，()1,4,3B ，()4,,C x y 三点共线，则x y -=( )A ．0B ．1C ．1-D ．2-【答案】B【解析】因为A ，B ，C 三点共线，所以可设AB AC λ=，因为(1,2,2)AB =-，()2,2,1AC x y =--，所以()()122221x y λλλ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩，解得1223x y λ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩， 所以1x y -=.故选：B.6．(2021·广东·佛山市超盈实验中学高一月考)(多选)已知()1,3a =，()2,1b =-，下列计算正确的是( )A ．()1,4a b +=-B ．()3,2a b -=C ．()1,2b a -=D ．()1,2a b --=【答案】AB【解析】因为()1,3a =，()2,1b =-，所以()1,4a b +=-，故A 正确； ()3,2a b -=，故B 正确；()3,2b a -=--，故C 错误；()1,4a b --=-，故D 错误.故选：AB.7．(2021·湖南·永州市第一中学高一期中)(多选)已知向量()1,2a =-，()1,b m =-，则( )A ．若a 与b 垂直，则1m =-B ．若//a b ，则2m =C ．若1m =，则13a b -=D ．若2m =-，则a 与b 的夹角为60︒ 【答案】BC【解析】A ：a 与b 垂直，则120m --=，可得12m =-，故错误； B ：//a b ，则20m -=，可得2m =，故正确；C ：1m =有()1,1b =-，则(2,3)a b -=-，可得13a b -=，故正确；D ：2m =-时，有()1,2b =--，所以33cos ,5||||5a b a b a b ⋅<>===⨯，即a 与b 的夹角不为60︒，故错误. 故选：BC8．(2021·全国·高一课时练习)(多选)已知(4,2),(,2)AB AC k ==-，若ABC 为直角三角形，则k 可取的值是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 【答案】AD【解析】因为()()4,2,,2AB AC k ==-，所以()4,4BC k =--，当A ∠为直角时，0AB AC ⋅=，所以440k -=，所以1k =，当B 为直角时，0AB BC ⋅=，所以4240k -=，所以6k =，当C ∠为直角时，0AC BC ⋅=，所以2480k k -+=，此时无解，故选：AD.9．(2021·河北·正定中学高一月考)(多选)已知向量(2,1)a =，(3,1)b =-，则( )A ．()a b a +⊥B ．|2|6a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影向量是62(,)55-D ．是向量a 的单位向量 【答案】AD【解析】对于A ，()1,2a b +=-，则()220a b a +⋅=-+=，所以()a b a +⊥，故A 正确；对于B ，()24,3a b +=-，则|2|5a b +=，故B 错误；对于C ，向量a 在向量b 上的投影向量为531cos ,,1022b a b b b a a b b b b ⋅-⎛⎫⋅⋅=⋅==- ⎪⎝⎭， 故C 错误；对于D ，因为向量的模等于1，120-=，所以向量与向量a 共线，故是向量a 的单位向量，故D 正确. 故选：AD. 10．(2021·全国·高一课时练习)已知平面向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且a ∥b ，则3a +2b =_______.【答案】(14，7)【解析】因为向量a =(2，1)，b =(m ，2)，且//a b ，所以1·m-2×2=0，解得m=4.所以b =(4，2).故3a +2b =(6，3)+(8，4)=(14，7).故答案为：(14，7)11．(2021·全国·高一课时练习)已知向量a ＝(m ，3)，b ＝(2，﹣1)，若向量//a b ，则实数m 为____．【答案】6-【解析】∵//a b ，∴﹣m ﹣6＝0，∴6m =-．故答案为：6-.12．(2021·全国·高一课时练习)已知(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，若A ，B ，C 三点共线，则y =___________. 【答案】234- 【解析】解：(2,4)A -，(2,3)B -，(3,)C y ，则()4,7AB =-，()5,3BC y =-，若A ，B ，C 三点共线，则向量AB 与向量BC 共线，则有()4335y --=，解得：234y =-. 故答案为：234-. 13．(2021·全国·高一课时练习)已知向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，若2a b +与a kb -+平行，则k =___________. 【答案】-2【解析】因为向量(2,4)a =-，(1,3)b =-，所以()202a b +=-，，()2,43a kb k k -+=+--， 又因为2a b +与a kb -+平行，所以()220k -+=，解得2k =-，故答案为：-2【题组四 数量积的坐标表示】1．(2021·全国·高一单元测试)已知矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，E 为AB 上的点，且BE ＝2EA ，F 为BC 的中点，则AF DE ⋅＝( )A ．﹣2B ．﹣5C ．﹣6D ．﹣8【答案】B【解析】以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BA 所在直线为y 轴，距离如图所示的直角坐标系， 则()0,0B ，()0,3A ，()4,3D ，()0,2E ，()2,0F ， ()2,3AF =-，()4,1DE =--，则()()()24315AF DE ⋅=⨯-+-⨯-=-．故选：B ．2．(2021·吉林·延边二中高一期中)在ABC 中， AB AC AB AC +=-， 4, 2AB AC =＝，, E F 为线段BC 的三等分点，则AE AF ⋅＝( )A ．109 B ．4 C ．409D ．569 【答案】C【解析】ABC 中，|AB AC +|＝|AB AC -|，∴2AB +2AB ⋅22AC AC AB +=-2AB ⋅2AC AC +， ∴AB ⋅AC =0，∴AB ⊥AC ，建立如图所示的平面直角坐标系，由E ，F 为BC 边的三等分点，则A (0，0)，B (0，4)，C (2，0)，E (23，83)，F (43，43)， ∴AE =(23，83)，AF =(43，43)， ∴AE 2433AF ⋅=⨯+3398440⨯=．故选：C3．(2021·福建省宁化第一中学高一月考)在菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，AC =102BM CB →→→+=，DC DN λ→→=，若29AM AN →→⋅=，则λ=( )A ．18B ．17C ．16D ．15【答案】D 【解析】作出图形，建立如图所示的平面直角坐标系，设(,)N x y ，因为120,1,AC ABC BO =∠=∴= 因为102BM CB →→→+=，所以12BM BC →→=,即M 是BC 的中点，所以1(),(0,1),2A M D C -所以1),(,1)2AM DC DN x y λλ→→→====+，由题知0λ≠.故1511),429,.5N AM AN λλλ→→-∴⋅=+=∴= 故选：D4．(2021·广东·东莞市新世纪英才学校高一月考)(多选)已知向量 (2,1)a =，(cos ,sin )(0)b θθθπ=，则下列命题正确的是( )A ．若a b ⊥，则tan θ=B ．若b 在a 上的投影向量为，则向量a 与b 的夹角为23πC ．存在θ，使得a b a b +=+D ．a b ⋅【答案】BCD【解析】对A ，若a b ⊥，则2cos sin 0a b θθ⋅+==，则tan θ=A 错误；对B ，若b 在a 上的投影向量为，3a =，且||1b =， ,co 3s 6a b a b a a ∴>⋅=-⋅<，则1cos 2a b 〈〉=-，，2π,3a b ∴〈〉=，故B 正确； 对C ，若2()2a b a b a b =+⋅22++，222(||||)||||2||||a b a b a b +=++，若|||||a b a b =+|+，则||||cos ||||a b a b a b a b ⋅⋅〈〉=，=，即cos ,1a b 〈〉=，故0a,b <>=︒，|||||a b a b =+|+，故C 正确；对D ，2cos sin a b θθ⋅+==)θϕ+，因为0πθ≤≤，π02ϕ<<，则当π2θϕ+=时，a b ⋅故D 正确.故选：BCD.5．(2021·上海·高一课时练习)已知点A (-1，1)､B (1，2)､C (-2，-1)､D (3，4)，则向量AB 在CD 方向上的投影为___________.【解析】()()2,1,5,5AB CD ==，所以向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CDCD ⋅==.6(2021·上海·高一课时练习)设a =(2，x )，b =(-4，5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是___________.【答案】85x <且 【解析】∵θ为钝角，∴0a b ⋅<且两向量不共线，即850a b x ⋅=-+<，解得85x <， 当//a b 时，1040x +=，解得52x =-， 又因,a b 不共线，所以52x ≠-， 所以x 的取值范围是85x <且52x ≠-.故答案为：85x <且52x ≠-.7．(2021·北京·大峪中学高一期中)如图，在矩形ABCD 中，2AB =，BC E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若1AB AF ⋅=，则AE AF ⋅的值是___________.【答案】2【解析】如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则(0,0)A ，(2,0)B ，(C ，2,2E ⎛ ⎝⎭，(F x ；∴(2,0)AB =，(,AF x =，AE ⎛= ⎝⎭； ∴1212AB AF x x ⋅==⇒=， ∴21112AE AF x ⋅=+=+=.故答案为：2.8．(2021·河北张家口·高一期末)在ABC 中，1AC =，2BC =，60ACB ∠=︒，点P 是线段BC 上一动点，则PA PC ⋅的最小值是______.【答案】116- 【解析】在ABC 中，由余弦定理得AB =ABC 是直角三角形，以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点P 坐标为(,)a b ，B ，(0,1)C ，(,)PA a b =--，(,1)PC a b =--，直线BC 对应一次函数为1y =，所以1b =，)a b =-，222222(1))]473PA PC a b b a b b b b b b b ⋅=--=-+=--+=-+，[0,1]b ∈，对称轴7[0,1]8b =∈，当78b =时， PA PC ⋅取得最小值116-. 故答案为：116- 9．(2021·山西·平遥县第二中学校高一月考)向量()1,3a =-，()4,2b =-且a b λ+与a 垂直，则λ=___________.【答案】1-【解析】由题意，向量()1,3a =-，()4,2b =-，可得10,10a a b =⋅=，因为a b λ+与a 垂直，可得2()10100a b a a a b λλλ+⋅=+⋅=⨯+=，解得1λ=-.故答案为：1-.10．(2021·上海·高一课时练习)已知a ＝(1，2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角． 【答案】(1)λ＝－12；(2)1(,)2-∞-；(3)(,)122-∪(2，＋∞)． 【解析】设a 与b 的夹角为θ，则a b ⋅＝(1，2)·(1，λ)＝1＋2λ．(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos 0θ=，所以0a b ⋅=，所以1＋2λ＝0，所以λ＝－12．(2)因为a 与b 的夹角为钝角，所以cos 0θ<且cos 1θ≠-，所以0a b ⋅<且a 与b 不反向．由0a b ⋅<得1＋2λ<0，故λ<－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向．所以λ的取值范围为1(,)2-∞-．(3)因为a 与b 的夹角为锐角，所以cos 0θ>，且cos 1θ≠，所以a b ⋅>0且a 与b 不同向． 由a b ⋅>0，得λ>－12，由a 与b 同向得λ＝2．所以λ的取值范围为(,)122-∪(2，＋∞)． 11．(2021·江西·九江一中高一期中)在ABC 中，底边BC 上的中线2AD =，若动点P 满足()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈．(1)求()PB PC AP +⋅的最大值；(2)若=AB AC =PB PC ⋅的范围．【答案】(1)2；(2)[1,3]-．【解析】∵()22sin cos BP BA BD R θθθ=⋅+⋅∈，22sin cos 1θθ+= ∴A 、P 、D 三点共线又∵[]22sin ,cos 0,1θθ∈，∴P 在线段AD 上.∵D 为BC 中点，设PD x =，则2AP x =-，[]0,2x ∈，∴()PB PC AP +⋅=2PD AP ⋅=()22x x -=224x x -+=()2212x --+， ∴()PB PC AP +⋅的最大值为2(2)如图，以D 为原点，BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立坐标系，∵=AB AC =，2AD =，∴()()1,0,1,0B C -，设()0,P y 02y ，则()()1,,1,PB y PC y =--=-∴PB PC ⋅=21y -+，∵02y ≤≤，∴[]1,3PB PC ⋅∈-12．(2021·江苏省丹阳高级中学高一月考)已知()1,1a =--，()0,1b =.在①()()//ta b a tb ++；②()()ta b a tb +⊥+；③ta b a tb +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.(1)若________，求实数t 的值；(2)若向量(),c x y =，且()1c ya x b =-+-，求c .【答案】(1)选①：1t =±，选②：t =1t =±；【解析】因为()()1,1,0,1a b =--=，所以()()()1,10,1,1ta b t t t +=--+=--，()()()1,10,11,1a tb t t +=--+=--，选①：(1)因为()()//ta b a tb ++，所以()()11t t t --=--；即21t =，解得1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选②：(1)因为()()ta b a tb +⊥+，所以()()110t t t +--=；即2310t t -+=，解得：t = (2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+= 选③：(1)因为ta b a tb +=+，=即21t =，解得：1t =±；(2)()()()()()10,1,,1,c ya x y y b x y x y x y +=-+-=-=-+=，所以1x y y x y =⎧⎨=-+⎩，可得11x y =⎧⎨=⎩，所以()1,1c =，所以2211c =+=13．(2021·河南·高一期末)已知向量()2,1a =.(1)若向量()11b =-,，且ma b -与2a b -垂直，求实数m 的值； (2)若向量()2,c λ=-，且c 与a 的夹角为钝角，求2c a -的取值范围.【答案】(1)57-；(2)(3)5,⎡⎣+∞.【解析】(1)因为()21,1ma b m m -=+-，()24,1a b -=-，结合ma b -与2a b -垂直，得到()()42110m m +--=，解得57m =-，所以实数m 的值为57-. (2)因为c 与a 的夹角为钝角，所以()2240a c λλ⋅=⨯-+=-<，4λ<. 又当1λ=-时，//c a ，所以4λ<且1λ≠-. 因为()26,2c a λ-=--，所以()226c a -=-由于当4λ<且1λ≠-时，[)223636,45()(45,)λ-+∈+∞.所以2c a -的取值范围为(3)5,⎡⎣+∞.【题组五 向量与三角函数的综合运用】1．(2021·全国·高三专题练习)已知向量ππ2sin ,sin 44a x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭，πsin ,sin 4b x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)若0m =，试研究函数()π3π,84f x a b x ⎛⎫⎡⎤=⋅∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭在区间上的单调性；(2)若tan 2x =，且//a b ，试求m 的值．【答案】(1)π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增，3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减；(2) 2m =.【解析】(1)当0m =时，()()2πsin sin sin cos sin sin cos 4f x x x x x x x x x ⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭1cos 2sin 2π122242x x x -⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭，由π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得π5π20,44x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．当ππ20,42x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即π3π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递增；当ππ5π2,424x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，即3π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 单调递减．(2)由//a b πππsin sin sin sin 444x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．由tan 2x =，可得πsin 04x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭(若πsin 04x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则ππ4x k =-(k Z ∈)，此时tan 1x =-，与条件矛盾)．πsin sin 4x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即()sin cos sin m x x x -=，两边同除以cos x ，可得()tan 1tan 2m x x -==，∴2m =．2．(2021·江苏·金陵中学高一期中)设向量(3cos ,sin ),(sin ,3cos ),(cos ,3sin )a b c ααββββ===-． (1)若a 与b c -垂直，求tan()αβ+的值； (2)求||b c -的最小值．【答案】(1)tan()1αβ+=；.【解析】(1)因为a 与b c -垂直，所以()0a b c ⋅-=，即0a b a c ⋅-⋅=， 所以()()3cos sin cos sin 3cos cos sin sin 0αββααββα+--=， 所以()()3sin 3cos 0βααβ+-+=，所以tan()1αβ+=； (2)因为()sin cos ,3cos 3sin b c ββββ-=-+ ()()()2222||sin cos 3cos 3sin b c b cββββ-=-=-++1016sin cos 108sin 2βββ=+=+， 所以当222k k Z πβπ=-+∈，，即4k k Z πβπ=-+∈，时2||b c -取最小值2，所以||b c -.3．(2021·江苏铜山·高一期中)已知向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=，函数()f a b θ=⋅， (1)当0m =时，求函数π6f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)若不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.求实数m 的范围.【答案】(1)1+；(2)(,-∞ 【解析】(1)因为向量(2sin ,sin cos )a θθθ+=，(cos ,2)m b θ-=， ()()()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b m m θθθθθθθθ=⋅=+-+=+-+，当0m =时， ()()()2sin cos 2sin cos sin 22sin cos f a b θθθθθθθθ=⋅=++=++，ππππ1sin 2sin cos 2163662f ⎛⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭； (2)不等式4()23sin cos f m θθθ+>-+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立， 即()()4sin 22sin cos 230sin cos m m θθθθθ+-++-+>+对所有π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，可得21sin 2t θ=+，所以2sin 21t θ=-，因为π02 ,θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π444,θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()πsin 14,θ⎤+∈⎥⎣⎦，所以π4t θ⎛⎫⎡=+∈ ⎪⎣⎝⎭所以()2412230t m t m t -+-+-+>对于t ⎡∈⎣恒成立， 即()24222t t m t t+++>+对于t ⎡∈⎣恒成立， 因为20t +>，所以24222t t t m t +++<+对于t ⎡∈⎣恒成立， 令()24222t t t g t t +++=+，t ⎡∈⎣，只需()min m g t <， 因为()()2422222222t t t t t t t t t t t ++++++==+≥++当且仅当2t t=即t ()g t取得最小值所以m <所以实数m的范围为(,-∞.4．(2021·江苏宜兴·高一期中)已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，且()a b a ⋅-＝2． (1)求向量a 与b 的夹角；(2)若33ta b -=，求实数t 的值． 【答案】(1)3π；(2)32． 【解析】(1)由a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(6cos β，6sin β)，得24cos 2a =，36cos 6b ==，又()2a b a ⋅-=，∴22a b a ⋅-=，则2226a b ⋅=+=， 设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝61262a b a b⋅==⨯， 又θ∈[0，π]，∴3πθ=；(2)由33ta b -=，得2()27ta b -=， 即222227t a ta b b -⋅+=， ∴4t 2﹣12t +36＝27， ∴4t 2﹣12t +9＝0，解得t ＝32． 5．(2021·河北安平中学高一期末)在①255a b -=，②8()5+⋅=a b b ，③a b ⊥，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， ，若02πα<<，02πβ-<<，且5sin 13β=-，求sin α． 【答案】答案见解析.【解析】因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以||||1a b ==， 选择方案①：因为255a b -=，所以24()5-=a b ，即22425+-⋅=b a b a ， 所以35a b ⋅=，因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<.所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案②： 因为8()5+⋅=a b b ，所以285⋅+=a b b ，所以35a b ⋅=， 因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=， 所以3cos cos sin sin 5αβαβ⋅=+=a b ，即3cos()5αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以4sin()5αβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以4123533sin sin[()]sin()cos cos()sin =51351365ααββαββαββ⎛⎫=-+=-+-=⨯+⨯- ⎪⎝⎭．选择方案③：因为(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，且a b ⊥， 所以cos cos sin sin 0αβαβ⋅=+=a b ，即cos()0αβ-=， 因为02πα<<，02πβ-<<，所以0αβπ<-<，所以2παβ-=，因为02πβ-<<，5sin 13β=-，所以12cos 13β==，所以12sin sin cos 213παββ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭．6．(2021·重庆复旦中学高一期中)在ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且tan 21tan A cB b+=. (1)求角A ；(2)若()0,1m =-，()2cos ,2cos 2Cn B =，试求m n +的取值范围.【答案】(1)3π；(2)54⎫⎪⎪⎝⎭. 【解析】(1)tan 2sin cos 2sin 11tan sin cos sin A c A B CB b B A B+=⇒+=， 即sin cos sin cos 2sin sin cos sin B A A B CB A B +=，()sin 2sin sin cos sin A BC B A B +∴=，1cos 2A ∴=.0πA <<，3A π∴=. (2)()2cos ,2cos1cos ,cos 2C m n B B C ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭， 2222221cos cos cos cos 1sin 2326m n B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3A π=，23π∴+=B C ， 20,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，从而72666B πππ-<-<，∴当sin 216B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即3B π=时，m n +取得最小值，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，时，m n +取得最大值54，故2524m n ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭.。
新人教版2高三数学零诊复习学后练习6
高三数学零诊复习学后练习6知识要点1、一般数列{ a n }的通项公式：记S n = a 1 + a 2 + …+ a n ,则恒有⎩⎨⎧-=1n S S S a ()()N n n n ∈≥=,212、等差数列{ a n }：(1)定义：1n n a a d +-=（常数）(2)通项公式：a n = a 1 + ( n – 1 ) d ，推广：a n = a m + ( n – m ) d ( m , n ∈N ) （3）前n 项和公式：S n = n a 1 +21n ( n – 1 ) d = 2)(1n a a n + （4）等差数列的主要性质：① 若m + n = 2 p ，则 a m + a n = 2 a p （等差中项）( m , n ∈N )；② 若m + n = p + q ，则 a m + a n = a p + a q ( m , n , p , q ∈N ) ； ③21(21)n n S n a -=-二、能力培养1、已知数列{a n }的前n 项和S n ，求通项．⑴ S n ＝3n －2； ⑵ S n ＝n 2＋3n ＋1变式训练1、已知数列{a n }的前n 项的和S n 满足关系式lg(S n －1)＝n ，(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为 ．2、根据下面数列{a n }的首项和递推关系，探求其通项公式．⑴ a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1 (n ≥2); ⑵ a 1＝1，a n ＝113--+n n a (n ≥2)⑶ a 1＝1，a n ＝11--n a nn (n ≥2)变式训练2、已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝22+n n a a (n ∈N *)，求该数列的通项公式． 3、在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60；(2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28；(3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．变式训练3、在等差数列{a n }中，a 5＝3，a 6＝－2，则a 4＋a 5＋…＋a 10＝ ．4、已知数列{a n }满足a 1＝2a ，a n ＝2a －12-n a a （n ≥2）．其中a 是不为0的常数，令b n ＝a a n -1． (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．5、在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 9＝S 17，问此数列前几项的和最大？（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明；（2）若11+=n n n a a C ，求数列{}n C 的前n 项和三、巩固练习1、在等差数列{a n }中，a 3＝9，a 9＝3，则a 12＝( )。
丹徒高级中学高三1～9班数学周末练习(6)含答案
丹徒高级中学高三1～9班数学周末练习（6）班级__________姓名____________学号__________一、填空题1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,5A =，则U C A = {}1,3,6,7 .2．已知向量(cos35,sin35),(cos65,sin65)a b =︒︒=︒︒，则向量a 与b 的夹角为 30︒ ．3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则10a = 32 ． 4．经过点)1,2(-，且与直线0132=--y x 垂直的直线方程是 3240x y +-= 5．函数x x x y sin cos -=，(0,2)x π∈单调递增区间是 (,2)ππ ．6．设,x y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则的最小值是 2 ．7．已知函数2sin coscos 22()2sin 2cos 12x x x f x x x =+-，则()8f π=8．已知曲线3()f x x =上点1)P(1，，则在点P 的切线方程为 320x y --= ． 9．已知圆C 方程为224x y +=直线l 过点P(1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB|＝23，则直线l 的方程是_________3x －4y ＋5＝0或x ＝1___________ .10．设a >0，b >0,4a ＋b ＝ab ，则在以(a ，b )为圆心，a ＋b 为半径的圆中，面积最小的圆的标准方程是______(x －3)2＋(y －6)2＝81_____ .二、解答题11、（本小题满分14分）ABC ∆中，3AC =，三个内角,,AB C 成等差数列．（1）若cos 3C =，求AB ；（2）求BA BC ⋅ 的最大值．解：(1)∵ ,,A B C 成等差数列，∴ 2B A C =+，又A B C π++=，∴ 3B π=， ·············································································· 2分又cos C =，∴sin C =， ·········································································· 4分 由正弦定理得：sin sin AB BCC A=，所以sin 2sin BC AB C A =⨯==； ······························································· 7分 （2）设角,,A B C 的对边为,,a b c ，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，即2223a c ac =+-， ································································································· 9分 又222a c ac +≥，当且仅当a c =时取到等号，所以229a c ac ac =+-≥ ·························································································· 11分所以1922BA BC ac ⋅=≤ ，所以BA BC ⋅ 的最大值是92． ··················································································· 14分12、在数列{}n a 中，前n 项和为n S .已知123,22a a == 且012311=++--+n n n S S S (*n N ∈, 且n 2≥).（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a n ⋅的前n 项和n T . 解：（1）221(*)n n a n N -=+∈（2）由n n a ⋅=n n n +⋅-22得 T n =)321(22322212101n n n ++++⨯+⨯+⨯+⨯--令 A n =2112232221--⨯+⨯+⨯+⨯n n则2 A n =122122)1(232212--⨯+⨯-+⨯+⨯+⨯n n n n∴A n =12322)2222(021--⨯++++-+-n n n =12221)21(221--⨯+----n n n =12)1(23-⋅++n n ∴T n =)321(22322212101n n n ++++⨯+⨯+⨯+⨯--=12)1(23-++n n +)1(21+n n*13、（本小题满分16分）如图：已知,A B 是圆224x y +=与x 轴的交点，P 为直线:4l x =上的动点，,PA PB 与圆224x y +=的另一个交点分别为,M N .（1） 若P 点坐标为(4,6)，求直线MN 的方程；（2） 求证:直线MN 过定点.解（1）直线P A 方程为2y x =+ , 由2224y x x y =+⎧⎨+=⎩解得(0,2)M ,………2分 直线PB 的方程36y x =- ,由22364y x x y =-⎧⎨+=⎩解得86(,)55N -,………4分 所以MN 的方程22y x =-+………6分(2)法一：设(4,)p t ,则直线P A 的方程为(2)6t y x =+,直线PB 的方程为(2)2ty x =-224(2)6x y t y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩得22272224(,)3636t t M t t -++，同理222288(,)44t t N t t --++………10分 直线MN 的斜率222222224883647222812364t tt t t k t t t t t --++==----++……………12分 直线MN 的方程为22228288()1244t t ty x t t t -=---++,化简得：22881212t t y x t t=---……………14分 所以直线MN 过定点(1,0)…………………16分 注：其他解法酌情对应给出相应的分数. 法二：设01122(4,),(,),(,)P y M x y N x y ，003326BP AP y y k k ==⋅=，即1212322y yx x =+-, 两边平方得：221222129(4)4(2)(2)x x x x --=+-，整理得12129(2)222x x x x -+=+- 即121225()80x x x x -++=……（1）,设MN 的方程为()y k x m =-，代入2240x y +-=中得22222(1)240k x k mx k m +-+-=，得22212122224,11k m k m x x x x k k -+==++代入(1)式得 222228108011k m k m k k--+=++，即22(54)0k m m -+=.当0k ≠，1m =，或4m =（舍） 当0k =时，直线MN 即为直线AB ，所以直线MN 过定点(1,0).三、附加题B ．选修4—2 矩阵与变换已知矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41b a A ，若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α1＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13，5的一个特征向量为α2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡11．求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解：由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α1＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13可得，⎥⎦⎤⎢⎣⎡41b a⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-13， 即33=-b a ； 3分由矩阵A 属于特征值5的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡41b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡11＝5⎥⎦⎤⎢⎣⎡11， 即5=+b a ， 6分解得⎩⎨⎧==32b a 即A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡4312， 7分 A 的逆矩阵是⎥⎥⎥⎦⎤-⎢⎢⎢⎣⎡-52535154 10分C ．选修4—4 参数方程与极坐标在极坐标系() (02π)ρθθ<≤,中，求曲线2sin ρθ=与cos 1ρθ=的交点Q 的极坐标．解：以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系则曲线2sin ρθ=可化为：()x y +-=2211曲线cos 1ρθ=化为x=1, ………………6分由()x yx⎧+-=⎨=⎩22111可得交点坐标（1，1），所以交点Q的极坐标是)π4………………10分。
高三数学指数练习题
高三数学指数练习题1. 指数的基础计算a) 计算：2^5 × 2^3b) 计算：3^4 ÷ 3^2c) 计算：(4^2)^32. 指数的乘法法则a) 计算：(2^3) × (2^4) × (2^2)b) 计算：(5^2) × (5^3)c) 计算：(10^3) × (10^(-2))3. 指数的除法法则a) 计算：(3^6) ÷ (3^4)b) 计算：(4^5) ÷ (4^2)c) 计算：(6^(-3)) ÷ (6^(-5))4. 指数的幂乘法则a) 计算：(2^3)^4b) 计算：(3^2)^5c) 计算：(5^(-2))^(-3)5. 指数函数方程a) 求解方程：2^(x+2) = 8b) 求解方程：5^(2x) = 125c) 求解方程：3^(3x-1) = 96. 科学计数法a) 将6,750,000以科学计数法表示b) 将0.0000375以科学计数法表示c) 将5.2 × 10^(-4)与2.6 × 10^2相乘，并以科学计数法表示答案7. 算术平方根与指数运算a) 计算：√(4^4)b) 计算：√(6^3)c) 将2^4 + 2^3化简为幂指数形式8. 指数运算的应用a) 用指数运算表示2的平方b) 用指数运算表示1/4的平方c) 根据指数运算的性质，比较3^5和5^3的大小9. 指数函数的图像与性质a) 描绘y = 2^x的图像b) 描绘y = 1/3^x的图像c) 描述指数函数的增减性和奇偶性10. 实际问题中的指数应用a) 某城市种植的植物数量每年以10%的速度递增，如果初始时有1000棵，则经过5年将有多少棵？b) 某药物的剂量每4小时减少一半，如果初始剂量是100毫克，则经过8小时后剩余多少毫克？c) 某货币每年贬值5%，如果初始价值为5000元，则经过10年后价值约为多少元？这是一个高三数学指数练习题的题目清单，通过解答这些问题，你可以巩固和提高自己在指数运算方面的理解和运用能力。
高三英语数学词汇练习题30题
高三英语数学词汇练习题30题1.The shape of a basketball is a ___.A.circleB.sphereC.cubeD.cylinder答案：B。
A 选项“circle”是圆形；B 选项“sphere”是球体；C 选项“cube”是立方体；D 选项“cylinder”是圆柱体。
篮球的形状是球体。
2.A book has the shape of a ___.A.rectangleB.squareC.triangleD.pentagon答案：A。
A 选项“rectangle”是长方形；B 选项“square”是正方形；C 选项“triangle”是三角形；D 选项“pentagon”是五边形。
书的形状通常是长方形。
3.The base of a pyramid is usually a ___.A.circleB.squareC.triangleD.hexagon答案：B。
A 选项“circle”是圆形；B 选项“square”是正方形；C 选项“triangle”是三角形；D 选项“hexagon”是六边形。
金字塔的底面通常是正方形。
4.A coin has the shape of a ___.A.circleB.sphereC.cubeD.cylinder答案：A。
A 选项“circle”是圆形；B 选项“sphere”是球体；C 选项“cube”是立方体；D 选项“cylinder”是圆柱体。
硬币的形状是圆形。
5.The shape of a traffic sign is often a ___.A.circleB.triangleC.rectangleD.pentagon答案：B。
A 选项“circle”是圆形；B 选项“triangle”是三角形；C 选项“rectangle”是长方形；D 选项“pentagon”是五边形。
交通标志的形状通常是三角形。
6.A box has the shape of a ___.A.circleB.sphereC.cubeD.cylinder答案：C。
上海市高三数学复习 函数的性质(1)专题练习
函数的性质一一、 填空题1. 函数245y x mx =-+在[2,)+∞上是增函数，则(1)f -的取值范围是2. 若函数12()21x x m f x ++=-是奇函数，则m = 3. 函数211x y x -=-的递减区间是 . 4. 已知()y f x =是奇函数，若()()2g x f x =+且(1)1g =，则(1)g -= .5. 已知函数53()8f x x px qx =++-满足(2)10f -=，则(2)f = .6. 已知定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增，则满足1(21)()3f x f -<的x 的取值范围是 .7. 若函数2()|2|f x x a x =+-在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 .8. 若函数()log (2)a f x ax =-在[0,1]上单调递减，则实数a 的取值范围是 .9. 设()f x ，()g x 是定义在R 上的函数，()()()h x f x g x =+，则“(),()f x g x 均为偶函数”是“()h x 是偶函数”的 条件.10. 设()f x 是R 上的奇函数，()g x 是R 上的偶函数，若函数()()f x g x +的值域为[1,4]-，则()()f x g x -的值域为 .11. 已知奇函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +为偶函数，且(1)2f =，则(4)(5)f f +的值为 .12. 已知()f x 在R 上是单调函数，且满足对任意x R ∈，(()2)3x f f x -=，则(3)f = .二、选择题13. 以下函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）.A y =.B 2(1)y x =- .C 2x y -= .D 0.5(1)y log x =+14. 设函数(),()f x g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）.A ()()f x g x 是偶函数 .B ()|()|f x g x 是奇函数.C |()|()f x g x 是奇函数 .D |()()|f x g x 是奇函数15. 定义在区间R 上的奇函数()f x 为增函数，偶函数()g x 在区间[0,)+∞的图像与()f x 的图像重合，设0a b >>，给出下列不等式，其中成立的是（ ）①()()()()f b f a g a g b -->-- ②()()()()f b f a g a g b --<--③()()()()f a f b g b g a -->-- ④()()()()f a f b g b g a --<--.A ①与④ .B ②与③ .C ①与③ .D ②与④16. 定义在实数集R 上的函数()y f x =的反函数1()y f x -=，若函数()y f x =-的反函数是1()y f x -=-，则()y f x =-是（ ）.A 奇函数，不是偶函数 .B 是偶函数，不是奇函数.C 既是奇函数，又是偶函数 .D 既不是奇函数，也不是偶函数二、 解答题17. 已知实数0a >，且函数2()2x x a f x a-=+为奇函数. （1） 求正实数2()2x x a f x a-=+的取值范围； （2） 判断函数()f x 的单调性，并用函数的单调性定义证明18. 已知函数2()a f x x x=+(0,x ≠常数)a R ∈ （1） 讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2） 若函数()f x 在[2,)x ∈+∞上为增函数，求a 的取值范围.19. 设函数(),0)f x a R a =∈≠且 （1） 分别判断当1a =及2a =-时函数的奇偶性；（2） 在,0a R a ∈≠且的条件下，将（1）中的结论加以推广，使命题（1）成为推广后命题的特例，并对推广的结论加以证明.20. 已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <（1） 判断()f x 的奇偶性，并说明理由；（2） 判断()f x 的单调性，并说明理由.21. 已知函数()(0)a f x x a x=+>在上递减，在)+∞上递增. （1） 如果函数2(0)by x x x=+>的值域为[6,)+∞，求b 的值； （2） 研究函数22(0)c y x c x =+>在定义域内的单调性，并说明理由； （3） 对函数a y x x =+和22(0)a y x a x=+>作出推广，使得它们都是你说推广的函数的特例，并研究推广后的函数的单调性（只需写出结论，不必证明），并求出函数2211()()()(n n F x x x n x x=+++是正整数)在区间1[,2]2上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）参考答案1.(,25]-∞2.23.(,1)-∞，(1,)+∞4. 35.26-6.12(,)337.(4,0]-8.(1,2)9.充分非必要10. [1,4]-(4,1]-11. 212. 913.A14.B15.C16.A17.答案：（1）1a =（2）略18.答案：（1）0a =时，偶函数；0a ≠时，非奇非偶.（2）16a ≤19.答案：（1）1a =，非奇非偶；2a =-，奇函数（2）0a >，非奇非偶；0a <，奇函数20.答案：（1）奇函数（2）单调递减21.答案：（1）2log 9b =（2）该函数在[)+∞上是递增的；在(,-∞上递减（3）当n 是奇数是，函数n n a y x x =+在(0,上是减函数，在)+∞上是增函数；在(,-∞-上是增函数，在[上是减函数；当n 是偶数时，函数n n a y x x =+在[上是减函数，在)+∞上是增函数；在(,-∞-上是减函数，在[上是增函数； ()F x 最大值为99()()24n n +，最小值为12n +。
高考数学每日一练(3)-人教版高三全册数学试题
高三数学每日一练（29）——奇偶性（2）1．下列函数中既是奇函数又存在极值的是( )A ．3x y = B ．)ln(x y -= C ．xxe y = D ．xx y 2+= 2．已知函数)(x f 为奇函数，且当0>x 时，xx x f 1)(2+=，则=-)1(f （ ） A ．－2 B ．0 C ．1 D ．23．(2014·某某理，3)已知f (x )、g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A ．－3B ．－1C ．1D ．34．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若g (1)＝2，则f (2014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2 5．已知函数()1log 1a mxf x x -=-是奇函数()01a a <≠且 （1）求m 的值（2）判断()f x 在区间()1,+∞上的单调性并加以证明（3）当1,a >(x ∈时，()f x 的值域是()1,+∞，求a 的值高三数学每日一练（30）——奇偶性（3）1．(2014·某某某某灵宝实验高中月考)f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( )A ．0B ．3C ．－1D ．－22．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于 ( )A ．4B ．3C ．2D ．13．如果奇函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是5，那么)(x f 在]3,7[--上是( )A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最小值是5-D ．减函数且最大值是5- 4．已知函数()sin 3f x x x π=+-, 则12340292015201520152015f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为.5．已知函数()21ax f x bx c+=+是奇函数，,,a b c 为常数（1） 某某数c 的值；（2） 若,a b Z ∈，且()()12,23f f =<，求()f x 的解析式；（3） 对于（2）中的()f x ，若()2f x m x ≥-对()0,x ∈+∞恒成立，某某数m 的取值X 围.高三数学每日一练（31）——奇偶性（4）1．下列函数中，与函数,0,1,0x x e x y x e ⎧≥⎪=⎨⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎩的奇偶性相同，且在(),0-∞上单调性也相同的是( )A ．1y x=-B ．22y x =+C ．33y x =- D ．1log ey x =2．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则( )A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<-3．（2015某某市3月质检）已知函数(1)f x -是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上是增函数，则函数()f x 的图象可能是（ ）4．(2014·华师附中检测)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数5．已知函数y ＝f (x )的定义域为R .且对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )．且当x >0时，f (x )<0恒成立，f (3)＝－3.（1）证明：函数y ＝f (x )是R 上的减函数； （2）证明：函数y ＝f (x )是奇函数；（3）试求函数y ＝f (x )在[m ，n ](m ，n N ∈＋)上的值域．高三数学每日一练（32）——奇偶性（5）1．(2014·某某某某专题练习)若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3) 2．(2014·某某和平区期末)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝f (x －2)在[0,2]上单调递减，设a ＝f (0)，b ＝f (2)，c ＝f (－1)，则( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <b <a3．(2014·某某统一检测)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，若f (lg x )＜0，则x 的取值X 围是( )A ．(0,1)B ．(1,10)C ．(1，＋∞) D．(10，＋∞)4．(2014·某某某某一中调研)若f (x )＝3x ＋sin x ，则满足不等式f (2m －1)＋f (3－m )>0的m 的取值X 围为________．5．已知定义在(1,1)-上的函数2()1ax b f x x +=+为奇函数，且12()25f =． （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性，并解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<．高三数学每日一练（33）——奇偶性（6）1．如果函数xx f )21()(=（-+∞<<∞x ），那么函数)(x f 是 ( )A. 奇函数，且在)0,(-∞上是增函数B. 偶函数，且在)0,(-∞上是减函数C. 奇函数，且在),0(+∞上是增函数D. 偶函数，且在),0(+∞上是减函数 2．偶函数)(x f 在区间],0[a （0>a ）上是单调函数，且0)()0(<⋅a f f ，则方程0)(=x f 在区间],[a a -内根的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．03．定义两种运算：m n ⊕=，a b a b ⊗=-，则函数2()(2)2xf x x ⊕=⊗-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数4．已知R 上的不间断函数()g x 满足：（1）当0x >时，'()0g x >恒成立；（2）对任意的x R ∈都有()()g x g x =-。
上海市松江区2024-2025学年高三上学期期中数学练习卷(无答案)
2024学年第一学期高三年级数学学科期中练习卷时间：120分钟；满分：150分一、填空题（本大题共12题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.已知集合，，则___________.2.已知复数满足（是虚数单位），则___________.3.不等式的解集为_________.4.已知幂函数的图象过点，则___________.5.已知，则曲线在点处切线的倾斜角是___________.6.已知函数，则函数的最小正周期是_________.7.已知曲线是焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是________.8.若圆锥的轴截面是边长为2的正三角形.则圆锥的侧面积是_________.9.的展开式中含项的系数为___________.10.若函数的值域为，则实数的取值范围是_________.11.已知是抛物线的焦点，是抛物线上一动点，是曲线上一动点，则的最小值为___________.12.已知数列（是正整数）的递推公式为若存在正整数，使得，则的最大值是_________.二.选择题（本大题共4题，13，14题每题4分，15，16题每题5分，满分18分）13.如果，那么下列不等式中正确的是（ ）A.C.D.14.已知两条直线，，“”是“直线与直线的夹角为”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件{}1,3,5,7A ={}3,5,6B =A B = z13z i =-i 2z i -=2512x x +<-()y f x =1,82⎛⎫⎪⎝⎭()2f -=()2f x x x =+()y f x =()()0,0f ()2sin2f x x x =+()f x 22121x y m m +=++x m 81x ⎛ ⎝x ()23121xx f x x mx ⎧≤=⎨-+>⎩(],3-∞m F 2:4C y x =P C Q 2282160x y x y +--+=PF PQ +{}n a n ()11342,1.n n a a n a -⎧=+≥⎨=⎩n ()()212n n n t a +≥+t 0a b <<a b ><22a b <11a b<1:10l mx y +-=210l y -+=m =1l 2l 6015.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则下列说法错误的是（ ）A.与垂直B.与平面垂直C.与平行D.与平面平行16.在中，，，.为所在平面内的动点，且，若，则给出下面四个结论：①的最小值为；②的最小值为-6；③的最大值为；④的最大值为8.其中，正确结论的个数是（ ）A.4B.3C.2D.1三、解答题（本大题共5题，第17~19题每题14分，20题16分，21题18分，满分78分）17.（本题14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.如图所示的几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥底面圆的半径为1，圆锥的高，三棱锥的底面是以圆锥的底面圆的直径为斜边的等腰直角三角形，且与圆锥底面在同一个平面上.（1）求直线和平面所成角的大小；（2）求该几何体的体积.18.（本题14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分.1111ABCD A B C D -M N 1BC 1CD MN 1CC MN 11ACC A MN DC MN 1BDA ABC △3AC =4BC =90C ∠= P ABC △2PC =CP CA CB λμ=+ λμ+45-PA PB ⋅ λμ+34PA PB ⋅ O 2PO =P ABC -ABC AB PC ABC已知向量，.设.（1）求函数的最小正周期；（2）在中，角、、所对的边分别为、、.若，，三角形的面积为的长.19.（本题14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，作出的重要决策部署.国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿.为了响应国家号召，某地区计划2024年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长，另外，每年新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米.（1）到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积（以2024年为累计的第一年）将首次不少于475万平方米?（2）到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于?20.（本题18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分在平面直角坐标系中，若椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点.（1）求的周长；（2）在轴上任取一点，直线与直线相交于点，求的最小值：（3）设点在椭圆上，记与的面积分别是，，若，求点的坐标.21.（本题18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分记，分别为函数，的导函数.若存在，满足),cos a x x = sin ,cos 2b x x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()f x a b =⋅ ()y f x =ABC △A B C a b c ()1f A =4b =ABC a 8%85%xOy 22:143x y E +=1F 2F A E 212AF F F ⊥1AF E B 12AF F △x P AP 4x =Q OP QP ⋅ M E OAB △MAB △1S 2S 213S S =M ()y f x ='()y g x ='()y f x =()y g x =0x ∈R且，则称为函数与的一个“S 点”.（1）证明：函数与不存在“S 点”；（2）若函数与存在“点”，求实数的值；（3）已知，.若存在实数，使函数与在区间内存在“点”，求实数的取值范围.()()00f x g x =()()00f x g x =''0x ()y f x =()y g x =y x =222y x x =+-21y ax =-ln y x =S a ()2f x x a =-+()e xb g x x =0a >()y f x =()y g x =()2,+∞S b。
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秀水中学高2013届数学小练习（六）
一、选择题：本大题共7小题，每小题6分， 1．函数(
)f x =
的定义域为（ ）
A ．
1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．
()1,22,3⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭ C ．1,23⎡⎫
⎪
⎢⎣⎭
D ．()2,+∞
2．若集合{}
{}2
9,310A x x B y y =<=+>，则集合{}M x x A B =∈N ∈ 子集的个数为
（ ） A ．2 B ．4
C ．8
D ．16
3．命题“若α=
4
π
，则tan α=1”的逆否命题是（ ）
A.若α≠
4
π
，则tan α≠1 B. 若α=
4
π
，则tan α≠1
C. 若tan α≠1，则α≠4
π
D. 若tan α≠1，则α=4
π
4．若函数()
()(
)2300x x y f x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()f
x 的解析式为（ ）
A ．()23f x x =-+
B ．()32f x x =-+
C ．()23f x x =+
D ．()32f x x =+ 5
．函数y =
）
A ．1
B
C
D ．2
6．函数()2
2x
f x x =-的零点的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7．函数()1x
e
f x x
=
+的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题：本大题共3小题，每小题6分。
8．定义在R 上的函数()x f 是增函数，则满足()()23f x f x <-的取值范围是 . 9．66log 4log 324⨯=
10．若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪
≥⎨⎪≤≤⎩
表示的平面区域的面积为5，则a 的值为
三、解答题（本大题共2小题，共40分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 11．在A B C ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c
已知,sin(
)sin(
)44
4
A b C c
B a π
π
π
=
+-+=
(1) 求证：2
B C π
-=
(2)
若a =求△ABC 的面积.
12． 已知函数()()2112
x
x
a f x a R ⨯-=
∈+
（I ）若()f x 为奇函数，求a 的值；
（II ）当5a =时，函数()f x 的图像是否存在对称中心，若存在，求其对称中心；若不
存在，请说明理由。