2021年高三仿真模拟数学理科试卷1 含答案
2021年高考数学模拟试卷一(理科)附答案解析
2021年高考数学模拟试卷（全国卷1）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|3−x>1}，B={x|3−3x>0}，则()A. A∩B={x|x>1}B. A∪B={x|x>2}C. A∪B=RD. A∩(∁R B)={x|1≤x<2}2.设(−1+2i)x=y−1−6i，x，y∈R，则|x−yi|=()A. 6B. 5C. 4D. 33.函数f(x)=ln|x||x|的图象是()A. B.C. D.4.某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，则下列说法正确的是()A. 该次课外知识测试及格率为90%B. 该次课外知识测试得满分的同学有30名C. 该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数D. 若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名5.已知向量a⃗=(−1,2)，b⃗ =(2,−3)，则a⃗−2b⃗ 在a⃗+b⃗ 方向上的投影为()A. 13√22B. −13√22C. 13√8989D. −13√89896.如图，在正三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=1，AA1=√3，点D是侧棱BB1的中点，则直线C1D与平面ABC所成角的余弦值为()A. √32B. 2√55C. √77D. 2√777.已知函数f(x)=cos(2x+φ)(−π≤φ≤π)的图象向右平移π12个单位长度后，与函数g(x)=sin2x的图象重合，则f(x)的单调递减区间为()A. [kπ+π3,kπ+5π6](k∈Z) B. [kπ−π6,kπ+π3](k∈Z)C. [kπ+π6,kπ+2π3](k∈Z) D. [kπ−π3,kπ+π6](k∈Z)8.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中的半圆的直径为2，则该几何体的表面积为()A. 3π+2B. 4π+2C. 3π+3D. 4π+39.意大利数学家斐波那契于1202年在他撰写的《算盘全书》中提出一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…….这个数列称为斐波那契数列，该数列与自然界的许多现象有密切关系，在科学研究中有着广泛的应用.该数列{a n}满足a1=a2= 1，a n+2=a n+a n+1(n∈N+)，则该数列的前1000项中，为奇数的项共有()A. 333项B. 334项C. 666项D. 667项10.已知抛物线C：y2=4x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，则直线OA，OB(O为坐标原点)的斜率之积为()A. −8B. −4C. −2D. −111.已知数列{a n}满足a2n−a2n−1=3n−1，a2n+1+a2n=3n+5(n∈N+)，则数列{a n}的前40项和S40=()A. 321+1972B. 320+1972C. 910+98D. 920+9812. 已知定义域为(0,+∞)的函数f(x)满足f′(x)+f(x)x=1x 2，且f(e)=2e ，e 为自然对数的底数，若关于x 的不等式f(x)x−x −ax +2≤0恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [1,+∞)B. [2,+∞)C. [e+2e,+∞) D. [−e 3+2e 2+2e,+∞)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x +y ≥1x ≤1y ≤1，则z =3x −y 的最小值为______ ．14. 小张计划从5个沿海城市和4个内陆城市中随机选择2个去旅游，则他至少选择1个沿海城市的概率是______ ． 15. 已知双曲线C ：x 2−y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在其右支上，△F 1PF 2的内切圆为⊙I ，F 2M ⊥PI ，垂足为点M ，O 为坐标原点，则|OM|= ______ ．16. 定义在R 上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=0，当x ≥0时，f(x)=x 2.若不等式14f(ax 2)+f(3−x)≥0对任意x ∈R 恒成立，则实数a 的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且bcosA =c −√32a ．(1)求角B ；(2)若△ABC 的面积为2√3，BC 边上的高AH =1，求b ，c ．18. 某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，已知每名男射手每次的命中率为23，女射手每次的命中率为13． (1)当每人射击2次时，求该射击小组共射中目标4次的概率；(2)当每人射击1次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女射手失去射击资格.一个小组共射中目标3次得100分，射中目标2次得60分，射中目标1次得10分，没有射中目标得−50分.用随机变量X 表示这个射击小组的总得分，求X 的分布列及数学期望．19. 点E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，BC 的中点，点M 在边AB 上，且AB =3AM ，沿图1中的虚线DE ，EF ，FD 将△ADE ，△BEF ，△CDF 折起使A ，B ，C 三点重合，重合后的点记为点P ，如图2． (1)证明：PF ⊥DM ．(2)求二面角P −DM −F 的余弦值．20. 已知动点P 到点(−√6,0)的距离与到直线x =−4√63的距离之比为√32．(1)求动点P 的轨迹C 的标准方程．(2)过点A(−4,0)的直线l 交C 于M ，N 两点，已知点B(−2,−1)，直线BM ，BN 分别交x 轴于点E ，F.试问在x 轴上是否存在一点G ，使得BE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ln(x+3)−x．(1)求函数f(x)的最大值．(2)若关于x的方程ae x+ln ax+3=3(a>0)有两个不等实数根x1，x2，证明：e x1+e x2>2a．22.在极坐标系中，点A(1,π6)，B(1,π2)，曲线C：ρ=2sin(θ+π3).以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系．(1)在直角坐标系中，求点A，B的直角坐标及曲线C的参数方程；(2)设点P为曲线C上的动点，求|PA|2+|PB|2的取值范围．23.(1)已知a+b+c=1，证明：(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2≥49．3(2)若对任意实数x，不等式|x−a|+|2x+1|≥3恒成立，求实数a的取值范围．2答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合A={x|3−x>1}={x|x<2}，B={x|3−3x>0}={x|x<1}，∴A∩B={x|x<1}，A∪B={x|x<2}，∁R B={x|x≥1}，∴A∩(∁R B)={x|1≤x<2}．故选：D．求出集合A，B，进而求出A∩B，A∪B，∁R B，A∩(∁R B)，由此能求出结果．本题考查集合的运算，考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵(−1+2i)x=y−1−6i，x，y∈R，∴−x+2xi=y−1−6i，∴{−x=y−12x=−6，解得x=−3，y=4，∴|x−yi|=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5．故选：B．推导出−x+2xi=y−1−6i，利用复数相等的定义列出方程组，求出x=−3，y= 4，由此能求出|x−yi|．本题考查向量的模的求法，考查向量相等、向量的模等基础知识，考查运算求解能力等核心思想，是基础题．3.【答案】A是偶函数，排除B，C选项．【解析】解：函数f(x)=ln|x||x|当0<x<1时，y=ln|x|<0，<0．∴y=ln|x||x|故选：A．根据奇偶性，在利用代入特殊点即可选出答案．本题考查了函数图象变换，是基础题．4.【答案】C【解析】解：由测试成绩百分比分布图知：对于A，该次课外知识测试及格率为1−8%=92%，故A错误；对于B，该次课外知识测试得满分的同学有：200×(1−8%−32%−48%)=24名，故B错误；对于C，该次测试成绩的中位数为80分，该次测试成绩的平均数为：40×8%+60×32%+80×48%+100×(1−8%−32%−48%)=71.6(分)，∴该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数，故C正确；对于D，该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有：3000×(1−8%−32%)=1800(名)，故D错误．故选：C．利用测试成绩百分比分布图直接求解．本题考查命题真假的判断，考查扇形分布图的性质等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等核心思想，是基础题．5.【答案】B【解析】解：∵a⃗−2b⃗ =(−5,8)，a⃗+b⃗ =(1,−1)，∴(a⃗−2b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ )=−5−8=−13，|a⃗+b⃗ |=√2，∴a⃗−2b⃗ 在a⃗+b⃗ 方向上的投影为：(a⃗ −2b⃗)⋅(a⃗ +b⃗)|a⃗ +b⃗|=√2=−13√22．故选：B．根据条件可求出向量a⃗−2b⃗ 和a⃗+b⃗ 的坐标，然后即可求出(a⃗−2b⃗ )⋅(a⃗+b⃗ )和|a⃗+b⃗ |的值，根据投影的计算公式即可求出a⃗−2b⃗ 在a⃗+b⃗ 方向上的投影．本题考查了向量加法、减法、数乘和数量积的运算，投影的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：因为平面ABC//平面A1B1C1，所以直线C1D与平面ABC所成的角，即是直线C1D与平面A1B1C1所成的角，因为BB1⊥平面平面A1B1C1，所以∠DCB即是直线C1D与平面A1B1C1所成的角，设其大小为θ，则tanθ=B1DB1C1=√321=√32，所以cosθ=1√1+tan2θ=2√77．故选：D．根据直线与两平行平面的成角相等，求出正切值再求余弦值判断．本题考查了正三棱柱性质，考查了直线与平面成角问题，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=cos(2x+φ)(−π≤φ≤π)的图象向右平移π12个单位长度后，可得y=cos(2x−π6+φ)的图象，所得图象与函数g(x)=sin2x的图象重合，∴−π6+φ=−π2，∴φ=−π3，f(x)=cos(2x−π3).令2kπ≤2x−π3≤2kπ+π，求得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，可得f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z，故选：C．由题意利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体由一个半径为1的14的球和一个底面半径为1，高为1的半圆柱组成．故该几何体的表面积为：S 表=14⋅4⋅π⋅12+2×12⋅π⋅12+π⋅1⋅1+2×1=3π+2．故选：A．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出组合体的表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式，球的表面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：该数列第3，6，9，…项为偶数，以3为周期，1000=3×333+1，所以前1000项中，为偶数的项共有333项，则为奇数的项共有1000−333=667项．故选：D．该数列第3，6，9，…项为偶数，以3为周期，可求出为偶数的项数，从而可求得为奇数的项的项数．本题考查了数列递推式，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则k OA=y1x1,k OB=y2x2，所以k OA⋅k OB=y1y2x1x2，设直线AB的方程为：x=my+2，并代入抛物线方程消去x可得：y2−4my−8=0，所以y1y2=−8，则x1x2=(y1y2)216=4，所以k OA⋅k OB=y1y2x1x2=−84=−2，故选：C．设出点A，B的坐标，由此即可求出直线OA，OB的斜率之积，再由已知设出直线AB 的方程，并与抛物线方程联立，利用韦达定理以及斜率之积的关系式即可求解．本题考查了直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．11.【答案】A【解析】解：数列{a n}满足a2n−a2n−1=3n−1，a2n+1+a2n=3n+5(n∈N+)，∴a2n+1+a2n−1=6，a 2n+2+a 2n −(a 2n+1+a 2n−1)=a 2n+2−a 2n+1+a 2n −a 2n−1=3n+1−1+3n −1=4×3n −2，∴a 2n+2+a 2n =4×3n +4，∴(a 1+a 3)+⋯…+(a 37+a 39)=6×10=60．(a 2+a 4)+⋯…+(a 38+a 40)=4×(3+33+⋯…+319)+4×10=4×3(1−910)1−9+40=321−32+40．则数列{a n }的前40项和S 40=60+321−32+40=321+1972．故选：A ．数列{a n }满足a 2n −a 2n−1=3n −1，a 2n+1+a 2n =3n +5(n ∈N +)，可得a 2n+1+a 2n−1=6，又可得a 2n+2+a 2n =4×3n +4，通过分组求和及其利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】B【解析】解：令F(x)=xf(x)，则F′(x)=f(x)+xf′(x)， 而f′(x)+f(x)x=1x 2，故F ′(x)=1x ，故F (x)=lnx +c ，由F(e)=ef(e)=2=lne +c =2，解得：c =1， 故F (x)=lnx +1，故f(x)=lnx+1x，若关于x 的不等式f(x)x−x −a x +2≤0恒成立，则a ≥lnx+1x−x 2+2x 在x ∈(0,+∞)恒成立， 令g(x)=lnx+1x −x 2+2x ，x ∈(0,+∞)， 则g′(x)=−lnx x 2−2(x −1)，x ∈(0,1)时，lnx <0，x −1<0，故g′(x)>0，g(x)在(0,1)递增， x ∈(1,+∞)时，lnx >0，x −1>0，g′(x)<0，g(x)在(1,+∞)递减， 故g(x)max =g(1)=2，故a ≥2，即a 的取值范围是[2,+∞)， 故选：B ．令F(x)=xf(x)，根据题意得到f(x)=lnx+1x，问题转化为a ≥lnx+1x−x 2+2x 在x ∈(0,+∞)恒成立，令g(x)=lnx+1x−x2+2x，x∈(0,+∞)，根据函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，是中档题．13.【答案】−1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，直线x+y=1与y轴交于A(0,1)，化z=3x−y为y=3x−z，由图可知，y=3x−z过点(0,1)时，直线在y轴上的截距最大，z取得最小值−1．故答案为：−1．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．14.【答案】56【解析】解：小张计划从5个沿海城市和4个内陆城市中随机选择2个去旅游，基本事件总数n=C92=36，他至少选择1个沿海城市包含的基本事件个数m=C51C41+C52=30，则他至少选择1个沿海城市的概率P=mn =3036=56．故答案为：56．基本事件总数n=C92=36，他至少选择1个沿海城市包含的基本事件个数m=C51C41+ C52=30，由此能求出他至少选择1个沿海城市的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等核心素养，是基础题．15.【答案】a【解析】解：设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，由切线长定理可得||F1K|=|F1Q|，|F2K|=|F2L|，|PF1|−|PF2|=2a=|F1Q|−|F2L|=|F1K|−|F2K|，又|F1K|+|F2K|=2c，解得|F2K|=c−a，则K(a,0)，即I的横坐标为a，即I在直线x=a上，延长F2M交PF1于N，可得PM为NF2的垂直平分线，可得|PN|=|PF2|，且M为NF2的中点，可得|OM|=12|NF1|，而|PF1|−|PF2|=|NF1|=2a，可得|OM|=a，故答案为：a．设内切圆I与边PF1的切点为Q，与边PF2的切点为L，与x轴的切点为K，运用圆的切线长定理和双曲线的定义可得|F2K|=c−a，延长F2M交PF1于N，运用等腰三角形的三线合一以及中位线定理，双曲线的定义，求解OM即可．本题考查双曲线的定义和性质，以及圆的切线长定理的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．16.【答案】16【解析】解：因为定义在R上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=0，即f(x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，又当x≥0时，f(x)=x2，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，由f(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以f(x)在(−∞,0)上单调递增，又14f(ax2)+f(3−x)≥0，即f(12ax2)≥f(x−3)，所以12ax2≥x−3对任意x∈R恒成立，当x=0时，不等式成立；当x ≠0时，不等式等价于a ≥(2x−6x 2)max ， 令g(x)=2x−6x 2，g′(x)=2x 2−2x(2x−6)x 4=2x(6−x)x 4，令g′(x)>0，可得0<x <6，令g′(x)<0，可得x <0或x >6， 所以g(x)在(0,6)上单调递增，在(−∞,0)，(6,+∞)上单调递减， 当x ∈(−∞,0)时，g(x)<0， 所以g(x)max =g(6)=16， 所以a ≥16，所以a 的最小值为16． 故答案为：16．判断函数f(x)的奇偶性与单调性，将不等式转化为12ax 2≥x −3对任意x ∈R 恒成立，当x =0时，不等式成立，当x ≠0时，分离参数可得a ≥(2x−6x 2)max ，令g(x)=2x−6x 2，利用导数求出g(x)的最大值，即可得解．本题主要考查不等式恒成立问题，考查函数奇偶性与单调性的综合，以及导数的应用，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)因为bcosA =c −√32a ， 所以由正弦定理可得sinBcosA =sinC −√32sinA =sin(A +B)−√32sinA =sinAcosB +cosAsinB −√32sinA ， 可得sinAcosB =√32sinA ，因为sinA ≠0，可得cosB =√32，所以由B ∈(0,π)，可得B =π6．(2)因为△ABC 的面积为2√3，BC 边上的高AH =1，在Rt △ABH 中，可得c =AH sinB =1sin π6=2，BH =√c 2−AH 2=√22−12=√3，所以2√3=12acsinB =12×(√3+HC)×2×12，解得HC =3√3，可得a =BH +HC =4√3，在△ABC 中，由余弦定理可得b =√a 2+c 2−2accosB =√(4√3)2+22−2×4√3×2×√32=2√7．【解析】(1)由正弦定理，两角和的正弦公式化简已知等式，结合sinA ≠0，可得cos B 的值，结合B ∈(0,π)，可得B 的值．(2)在Rt △ABH 中，由已知利用三角函数的定义可求c ，利用勾股定理可求BH 的值，进而根据三角形的面积公式可求HC 的值，从而可得a ，在△ABC 中，由余弦定理即可求得b 的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦公式化，勾股定理，三角形的面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：(1)某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，每名男射手每次的命中率为23，女射手每次的命中率为13． 当每人射击2次时，该射击小组共射中目标4次的概率为：P =C 44(23)4C 20(23)2+C 43(23)3(13)C 21(13)(23)+C 42(23)2(13)2C 22(13)2=827．(2)随机变量X 表示这个射击小组的总得分，则X 的可能取值为−50，10，60，100， P(X =−50)=13×13=19，P(X =10)=C 21(23)(13)(23)=827，P(X =60)=C 21(23)(13)(13)+(23)2(23)=1227，P(X =100)=(23)2(13)=427，∴X 的分布列为：数学期望E(X)=−50×19+10×827+60×1227+100×427=3509．【解析】(1)利用n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式能求出当每人射击2次时，该射击小组共射中目标4次的概率．(2)随机变量X 表示这个射击小组的总得分，则X 的可能取值为−50，10，60，100，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是中档题．19.【答案】(1)证明：由题意知PE 、PF 、PD 两两垂直， 所以PF ⊥平面PED ，又因为DM ⊂平面PED ， 所以PF ⊥DM ．(2)解：由(1)可建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设正方形边长为6，则各点坐标如下：D(0,0，6)，E(0,3，0)，F(3,0，0)，M(0,2，0)，P(0,0，0)， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,6)，MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,−2,0)， 设平面DMF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， {MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−2y +6z =0MF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =3x −2y =0，令y =3，m⃗⃗⃗ =(2,3，1)， 平面PMD 的法向量为n⃗ =(1,0，0)， 设二面角P −DM −F 的大小为θ，由图可知θ为锐角， 所以cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=2√14⋅1=√147． 故二面角P −DM −F 的余弦值√147．【解析】(1)证明直线垂直另一直线所在平面即可；(2)用向量数量积计算二面角的余弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了二面角的计算问题，属于中档题．20.【答案】解：(1)设P(x,y)，由题意可得√(x +√6)2+y 2=|x +4√63|⋅√32，两边平方得x 2+2√6x +6+y 2=34(x 2+8√63x +323)，整理得14x 2+y 2=2，即x 28+y 22=1．(2)①当直线l 与x 轴不重合时，设直线l 的方程为x =my −4，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，联立{x =my −4x 2+4y 2=8，得(n 2+4)y 2−8ny +8=0， 所以△=64n 2−32(n 2+4)=32(n 2−4)>0，解得n <−2或n >2， y 1+y 2=8n n 2+4，y 1y 2=8n 2+4，所以直线BM 的方程为y +1=y 1+1x 1+2(x +2)，令y =0得x =(n−2)y 1−4y 1+1，即E((n−2)y 1−4y 1+1,0)，同理可得F 坐标((n−2)y 2−4y 2+1,0)，设存在满足题意的点G(t,0)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 1−4y 1+1+2,1)=(ny 1−2y 1+1,1)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 2−4y 2+1+2,1)=(ny 2−2y 2+1,1)， GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 1−4y 1+1−t,0)=((n−t−2)y 1−t−4y 1+1,0)，GF⃗⃗⃗⃗⃗ =((n−2)y 2−4y 2+1−t,0)=((n−t−2)y 2−t−4y 2+1,0)，所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(ny 1−2)[(n−t−2)y 2−t−4](y 1+1)(y 2+1)+(ny 2−2)[(n−t−2)y 1−t−4](y 1+1)(y 2+1)=0， 所以(ny 1−2)[(n −t −2)y 2−t −4]+(ny 2−2)[(n −t −2)y 1−t −4]=0， 所以(2n 2−2nt −4n)y 1y 2−(nt +6n −2t −4)(y 1+y 2)+4t +16=0， 所以(2n 2−2nt −4n)8n 2+4−(nt +6n −2t −4)(8nn 2+4)+4t +16=0， 整理得−4n 2−n 2t +4t +16=0，即−n 2(t +4)+4(t +4)=0，得(4−n 2)(t +4)=0， 因为n <−2或n >2， 所以4−n 2≠0， 所以t =−4，②当直线l 与x 轴重合时，M ，N 为C 的左右两个顶点， 设M(−2√2,0)，N(2√2,0)， 则E 与M 重合，F 与N 重合， 所以E(−2√2,0)，F(2√2,0)， 取t =−4，则G(−4,0)，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2√2,1)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+2√2,1)，GE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4−2√2,0)，GF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4+3√2,0)， 所以BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2√2)(4+2√2)+(2+3√2)(4−2√2)=0，满足题意， 综上存在满足题意的定点G(−4,0)．【解析】(1)设P(x,y)，由题意可得√(x +√6)2+y 2=|x +4√63|⋅√32，化简即可得出答案．(2)分两种情况：①当直线l 与x 轴不重合时，②当直线l 与x 轴重合时，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GF ⃗⃗⃗⃗⃗ +GE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)f(x)=ln(x +3)−x ，定义域是(−3,+∞)，f′(x)=1x+3−1=−x−2x+3，令f′(x)=0，解得：x =−2，令f′(x)>0，解得：−3<x <−2，令f′(x)<0，解得：x >−2， 故f(x)在(−3,−2)递增，在(−2,+∞)递减， 则f(x)的最大值是f(−2)=2；(2)证明：方程ae x +ln ax+3=3(a >0)可化为e x+lna +x +lna =x +3+ln(x +3)=e ln(x+3)+ln(x +3)，设g(x)=e x +x ，在(−∞,+∞)上单调递增， 又g(x +lna)=g(ln(x +3))，所以有x +lna =ln(x +3)，即方程ln(x +3)−x =lna 有两个实数根x 1，x 2， 由(1)知f(x)=ln(x +3)−x ≤2，则有lna <2， 所以a 的取值范围为(0,e 2)，因为方程f(x)=lna 有两个实数根x 1，x 2， 所以{ln(x 1+3)=x 1+lnaln(x 2+3)=x 2+lna ，则(x 1+3)−(x 2+3)ln(x1+3)−ln(x 2+3)=1，要证明e x 1+e x 2>2a ，即ae x 1+ae x 2>2，所以ae x 1+ae x 2=e x 1+lna +e x 2+lna =e ln(x 1+3)+e ln(x 2+3)=x 1+x 2+6， 需要证明x 1+3+x 2+3>2，需要证明x 1+3+x 2+3>2(x 1+3)−2(x 2+3)ln(x 1+3)−ln(x 2+3)，不妨设−3<x 1<x 2，令t =x 1+3x 2+3，则0<t <1，即要证lnt <2(t−1)t+1(0<t <1)， 设ℎ(t)=lnt −2(t−1)t+1(0<t <1)，则ℎ′(t)=(t−1)2t(t+1)2>0，所以ℎ(t)在(0,1)上的单调递增， 所以ℎ(t)<ℎ(1)=0， 即lnt <2(t−1)t+1成立，故原式成立．【解析】(1)f(x)的定义域是(−3,+∞)，求导得f′(x)=−x−2x+3，分析f′(x)的正负，f(x)单调性，即可得出答案．(2)方程ae x +ln ax+3=3(a >0)可化为e x+lna +x +lna =x +3+ln(x +3)=e ln(x+3)+ln(x +3)，设g(x)=e x +x ，分析单调性，进而可得方程ln(x +3)−x =lna 有两个实数根x 1，x 2，由(1)知f(x)=ln(x +3)−x ≤2，则有lna <2，解得a 的取值范围，由方程f(x)=lna 有两个实数根x 1，x 2，得{ln(x 1+3)=x 1+lnaln(x 2+3)=x 2+lna ，进而可得(x 1+3)−(x 2+3)ln(x1+3)−ln(x 2+3)=1，要证明e x 1+e x 2>2a ，即证明x 1+3+x 2+3>2(x 1+3)−2(x 2+3)ln(x 1+3)−ln(x 2+3)，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，函数的零点，解题中注意转化能力的应用，属于中档题． 22.【答案】解：(1)点A(1,π6)，B(1,π2)根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2，转换为直角纵坐标为A(√32,12)，B(0.1)．曲线C ：ρ=2sin(θ+π3)，整理得ρ2=ρsinθ+√3ρcosθ，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2转换为直角坐标方程为(x −√32)2+(y −12)2=1，转换为参数方程为{x =√32+cosαy =12+sinα(α为参数)．(2)把曲线C 的直角坐标方程转换为参数方程为{x =√32+cosαy =12+sinα(α为参数)，设点P(√32+cosα,12+sinα)，所以|PA|2+|PB|2的=3+√3cosα−sinα=3+2cos(α+π6)， 由于cos(α+π6)∈[−1,1]， 故3+2cos(α+π6)∈[1,5]．故|PA|2+|PB|2的取值范围为[1,5]．【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；(2)利用两点间的距离公式和三角函数的关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的变换，余弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．23.【答案】解：(1)由柯西不等式可得，(12+12+12)[(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2]≥(a+2+b+2+c+2)2=72=49，即为(a+2)2+(b+2)2+(c+2)2≥493(当且仅当a=b=c=13取得等号)；(2)对任意实数x，不等式|x−a|+|2x+1|≥32恒成立，即为32≤(|x−a|+|2x+1|)min，由|x−a|+|2x+1|=|x−a|+|x+12|+|x+12|≥|x−a−x−12|+|−12+12|=|a+1 2|(当且仅当x=−12时取得等号)，所以|x−a|+|2x+1|的最小值为|a+12|，则|a+12|≥32，解得a≥1或a≤−2．则实数a的取值范围是(−∞,−2]∪[1,+∞)．【解析】(1)运用柯西不等式即可得证；(2)由题意可得32≤(|x−a|+|2x+1|)min，由绝对值不等式的性质和绝对值的意义，可得最小值，结合绝对值不等式的解法，可得所求范围．本题考查不等式的证明和不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
2021年高三高考模拟考试数学(理)试题含答案
2021年高三高考模拟考试数学（理）试题含答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知复数满足为虚数单位），则复数A． B． C． D．2、已知全集为R，集合，则A． B．C．或 D．或3、已知表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．常用条件 D．既不充分也不必要条件按4、已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则A． B． C． D．5、某学校随机抽查了本校20个同学，调查她们平均每天在课外从事体育锻炼的时间（分钟），根据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为八组，分别是，作出的频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是6、二项式的展开式中，所有系那个的二项式系数和与所有项的系数和分别记为，则A． B． C． D．7、不等式组表示的点集为M，不等式组表示的点集记为N，在M中任取一点P，则的概率为A． B． C． D．8、已知双曲线与抛物线有一个共同的交点F，两曲线的一个交点为P，若，则点F到双曲线的渐近线的距离为A． B． C． D．39、在中，E为AC上一点，，P是BE上任一点，若，则的最小值为A．9 B．10 C．11 D．1210、对一定义域为D的函数和常数，若对任意正实数，使得恒成立，则称函数为“敛函数”，现给出如下函数：①②③④其中为“敛1函数”的有A．①② B．③④ C．②③④ D．①②③第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。
.11、执行如图所示的程序可图，当输入时，则输出的的值等于12、函数的定义域是，则函数的定义域是13、已知函数的图象关于直线对称，则的值为14、一个底面为正三角形的值三棱柱的正视图和俯视图（单位：cm）如图所示，则它的外接球的表面积为15、给出下列四个命题：①已知命题；命题，则命题“”为真命题②函数在定义域内有且仅有一个零点；③已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于1的点的个数为2；④用数学归纳法证明：()()()12213(21)()n n n n n n n N *+++=⋅⋅⋅⋅-∈的过程中，由到时，左边需增添的一个因式是。
2021年高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题 含答案
所以，，，分布列如下
0
1
2
期望……5分
（3）关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，关注栏目1的人数多，所以应该充实栏目1的内容.
……2分
19.（1）因为，面底面，面面，所以面，所以，因为平面面，所以，，所以面，过点做的平行线为轴，分别为轴建立空间直角坐标系，，所以，由得，所以……5分
1．复数（为虚数单位）的共轭复数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．集合 ，则的子集个数为（）
（A）1个（B）（C）4个（D）8个
3．有下列四个说法：
命题“”的否定是“”；
“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；
命题“已知，若或，则”的逆命题为真命题；
在区间上随机取一个数，则事件“”发生的概率为；
得，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以
……6分
（2） ，
所以 ，
，
所以……6分
18.（1）因为样本容量60，关注栏目1与关注栏目2的人数比为2:1，在关注栏目1中的家长与学生人数比为5:3，所以，列联表如图
栏目1
栏目2
合计
家长
25
5
30
学生
15
15
30
合计
40
20
60
，所以能有99%的把握认为认为“更关注栏目1或栏目2与群体身份有关系”。……5分
（A）（B）
（C）（D）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
2021年高三高考模拟考试理科数学试卷(1) 含答案
2021年高三高考模拟考试理科数学试卷（1）含答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知（，是虚数单位），则（）A． B． C． D．或2、已知向量，，若，则（）A． B． C． D．3、已知等比数列的各项均为正数，且公比，若、、成等差数列，则公比（）A．或 B． C．或 D．4、设，，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5、抛物线的焦点到直线的距离是（）A．B．C．D．6、若是奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（）A．B．C．D．7、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8、由正整点坐标（横坐标和纵坐标都是正整数）表示的一组平面向量（，，，，，），按照一定的顺序排成如图所示的三角形向量序列图表．规则是：对于，第行共有个向量，若第行第个向量为，则，例如，，，，，依次类推，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．）（一）必做题（9～13题）9、．10、不等式的解集是．11、某人次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为，，，，．已知这组数据的平均值为，方差为，则的值为．12、展开，合并同类项后，含项的系数是．13、已知实数，满足条件20320x yx yxy-+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数（，）的最大值为，则的最大值是．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14、（坐标系与参数方程选做题）极坐标方程分别为与的两个圆的圆心距为．15、（几何证明选讲选做题）如图，从圆外一点作圆的割线、．是圆的直径，若，，，则．三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、（本小题满分12分）已知函数（，，）的部分图象如图所示．求函数的解析式；若，，求．17、（本小题满分12分）某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．求直方图中的值；如果上学路上所需时间不少于分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校名新生中有多少名学生可以申请住宿；现有名上学路上时间小于分钟的新生，其中人上学路上时间小于分钟．从这人中任选人，设这人中上学路上时间小于分钟人数为，求的分布列和数学期望．18、（本小题满分14分）如图，直角梯形中，，，，，，过作，垂足为．、分别是、的中点．现将沿折起，使二面角的平面角为．求证：平面平面；求直线与平面所成角的正弦值．19、（本小题满分14分）设等比数列的前项和为，已知（）．求数列的通项公式；在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求证：（）．20、（本小题满分14分）如图所示，已知、、是长轴长为的椭圆上的三点，点是长轴的一个端点，过椭圆的中心，，．求椭圆的方程；在椭圆上是否存在点，使得？若存在，有几个（不必求出点的坐标），若不存在，请说明理由；过椭圆上异于其顶点的任一点，作的两条切线，切点分别为、，若直线在轴、轴上的截距分别为、，证明：为定值．21、（本小题满分14分）已知函数，其中且．讨论的单调性；若不等式恒成立，求实数的取值范围；若方程存在两个异号实根，，求证：．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）（一）必做题（9～13题）9、 10、 11、 12、 13、（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题，两题都做记第一题的得分）14、 15、三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16、解：由图象知的最小正周期，故 ……3分将点代入的解析式得，又，∴，故函数的解析式为……………6分 2sin 2()2sin 2cos 1262662f θπθπππθθ⎛⎫⎡⎤⎛⎫+=++=+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭……8分1cos 0sin 22πθθθ⎛⎫∴=∈= ⎪⎝⎭又，所以 …………10分cos cos cos sin sin 444πππθθθ⎛⎫∴-=+= ⎪⎝⎭分 17、解：由直方图可得：200.0125200.0065200.0032201x ⨯+⨯+⨯+⨯⨯= 所以.……………………………2分新生上学所需时间不少于60分钟的频率为：……………4分因为所以名新生中有名学生可以申请住宿………………6分的可能取值为0，1，2. …………………………………7分，，……10分11分………………………………12分18、证明：DEAE ，CEAE ，AE 平面……3分AE 平面平面平面……5分（方法一）以E 为原点，EA 、EC 分别为轴，建立空间直角坐标系……6分 DEAE ，CEAE是二面角的平面角，即=……7分，，，A （2，0，0），B （2，1，0），C （0，1，0），E （0，0，0），D （0，，1） ……9分、分别是、的中点F ，G ……10分=，=……11分由知是平面的法向量……12分设直线与平面所成角，则故求直线与平面所成角的正弦值为……14分（列式1分，计算1分）（方法二）作，与相交于，连接……6分由知AE 平面所以平面，是直线与平面所成角……7分是的中点，是的中位线，，……8分因为DEAE ，CEAE所以是二面角的平面角，即=…9分在中，由余弦定理得，FEH EH EF EH EF FH ∠⨯⨯⨯-+=cos 2222（或）……11分（列式1分，计算1分）平面所以在中，……13分所以直线与平面所成角的正弦值为……14分19、解：设等比数列的首项为，公比为，………………1分，（）………………2分=即()………3分当,得，即，解得：……………4分………5分即.………6分证明：，则，………8分………9分设① 则②………10分①-②得：2+=+=………12分………13分………14分20、解：依题意知：椭圆的长半轴长，则A (2，0)，设椭圆E 的方程为-----------------------2分由椭圆的对称性知|OC |＝|OB | 又∵，|BC |＝2|AC |∴AC ⊥BC ，|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形，∴点C 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(－1，－1) ，---------------------4分将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E 的方程为----------------------------------------------5分解：设在椭圆E 上存在点Q ，使得，设，则()()()2222220000001126222|QB||QA|x y x y x y .-=+++---=+-= 即，--------①-------------------------------------------------7分又∵点Q 在椭圆E 上，∴，-----------------②由①式得代入②式并整理得：，-----③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q 存在，且有两个---------9分 证明：设点，由M 、N 是的切点知，,∴O 、M 、P 、N 四点在同一圆上，-------------------------------------10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为---11分即-----④即点M 、N 满足方程④，又点M 、N 都在上，∴M 、N 坐标也满足方程----------⑤⑤-④得直线MN 的方程为----12分令得，令得--------13分∴，又点P 在椭圆E 上，∴，即=定值.-----------------------------------14分21、解：的定义域为.其导数…………………………………………………2分精品文档实用文档 ①当时,,函数在上是增函数;②当时,在区间上,;在区间(0,+∞)上,．所以,在是增函数,在(0,+∞)是减函数. ……………………………4分解：当时, 则取适当的数能使，比如取， 能使11()1()2()011f e a e a ae e e a a a a-=--=->-=->, 所以不合题意…6分 当时，令,则问题化为求恒成立时的取值范围.由于在区间上,;在区间上,. …………8分的最小值为,所以只需即,,……………………………10分证明：由于存在两个异号根，不妨设，因为,所以………………………………………………………………………………11分 构造函数:()2'22112()20111ax g x a x x x a a a =-+=<-+- 所以函数在区间上为减函数. ,则,于是,又,,由在上为减函数可知.即……………………………………………14分29298 7272 牲C20730 50FA 僺29745 7431 琱34125 854D 蕍35996 8C9C 貜 )38952 9828 頨•/26173 663D 昽N32424 7EA8 纨8。
2021年高三数学第一次模拟试卷(理科)
2021年高三数学第一次模拟试卷（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共50分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）＝P（A）·P（B）．柱体（棱柱、圆柱）的体积公式．其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，n（ C ）A．B．C．D．解：．2．设函数f（x）＝2－x，函数g（x）的图象与f（x）的图象关于直线y＝x对称，函数h（x）的图象由g（x）的图象向右平移1个单位得到，则h（x）为（ A ）A．－log2（x－1）B．－log2（x＋1）ABCDE C．log2（－x－1）D．log2（－x＋1）3．已知E是正方形ABCD的边AB的中点，将△ADE和△BCE分别沿DE、EC向上折起，使A、B两点重合于P，则二面角D－PE－C的大小是（ C ）A．B．C．60°D．90°4．已知F1、F2为椭圆的两个焦点，过F1作倾斜角为的弦AB（ B ）A．B．C．D．－15．设a、b、c是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，且lgsin A、lgsin B、lgsin C成等差数列，那么直线与直线的位置关系是( D )A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．重合6．在△ABC中，若a＝7，b＝8，，则最大角的余弦值为（ B ）A．B．C．D．－7．设随机变量ξ的分布列为P（ξ＝i）＝，i＝1，2，…，n，则常数k的值为（C ）A．1 B．C．D．8．在的展开式中，含x4项的系数为（ A ）A．－40 B．32 C．36 D．409．已知向量，，若正数k和t使与，垂直，则k的最小值是（ D ）A．0 B．1 C．－2 D．2解：，，，化简得，∴≥2．10．已知方程（a＞0）的两根为，，且，均在区间（－，）内，则的值为（B）A．B．－2 C．D．－2或解：由=(4a)2－4(3a+1)>0得a>1或a<－(舍去)tanα、tanβ是方程的两根tanα+tanβ=－4a<0, tanαtanβ=3a+1>0又α、β∈(－,) α、β∈(－,0), α+β∈(－,0)tan(α+β)=== =tan=-2或tan=(舍去)第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．若n是奇数，则＋＝______－2______．12．已知a、b为不垂直的异面直线，是一个平面，则a、b在上的射影有可能是①两条平行直线②两条互相垂直的直线③同一条直线④一条直线及其外一点在上面结论中，正确结论的编号是①②④．（写出所有正确结论的编号）13．函数的值域为_________（0，］____________．解：设，∴t的最小值为8．∴y的最大值为．14．已知圆与抛物线（p＞0）的准线相切，则p＝________．解：圆的方程化为：，∴切线为x＝－1或x＝－3．∴p＝2或6．15．从1，2，3，……，100这100个数中，任取两个数，使其和能被4 整除的取法（不计顺序）有______1225______种（用数字作答）．解：将这100 个数分成4组：①被4整除的A＝｛4，8，12……｝，②被4除余1的B＝｛5，9，13……｝，被4除余2的C＝｛6，10，14……｝，被4除余3的D＝｛7，11，15……｝．从A里取2个符合，从B、D各取一个符合，从C里取2个符合．∴共有＝1225．16．已知A＝｛x｜x2－2x－3＞0｝，B＝｛x｜x2＋ax＋b≤0｝，若A∪B＝R，A∩B＝（3，4］，则ab＝______12______．解：由A＝（－∞，－1）∪（3，＋∞），A∪B＝R，A∩B＝（3，4］，∴B＝［－1，4］，即－1，4是方程x2＋ax＋b＝0的两个根．∴a＝－3，b＝－4．三、解答题：本大题共6小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）射击比赛中每人射4次，每次一发．规定全部不中得0分，只中一发得15分，中两发得30分，中三发得55分，中四发得100分．某人每次射击的命中率为，求他得分的数学期望．解：设ξ为此人命中目标的次数，则ξ服从二项分布．设η为此人的分数，则η为与ξ相关的随机变量，η的可能取值为0，15，30，55，100．∴P（η＝0）＝P（ξ＝0）＝；………………………………2分P（η＝15）＝P（ξ＝1）＝；……………………………4分P（η＝30）＝P（ξ＝2）＝；…………………………6分P（η＝55）＝P（ξ＝3）＝；……………………………8分P（η＝100）＝P（ξ＝4）＝；………………………………10分∴E η＝1824321601530551008181818181⨯+⨯+⨯+⨯+⨯＝≈51.85．…… 12分18．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝1，点C 到AB 1的距离为CE ＝，D 为AB 的中点． （Ⅰ）求证：AB 1⊥平面CED ；（Ⅱ）求异面直线AB 1与CD 之间的距离；（Ⅲ）求二面角B 1—AC —B 的平面角． 解：（Ⅰ）∵D 是AB 中点，△ABC 为等腰直角三角形，∠ABC ＝90°，∴CD ⊥AB 又AA 1⊥平面ABC ，∴CD ⊥AA 1 ．∴CD ⊥平面A 1B 1BA ．∴CD ⊥AB 1，又CE ⊥AB 1．∴AB 1⊥平面CDE ． ……………………………………………………… 4分 （Ⅱ）由CD ⊥平面A 1B 1BA ， ∴CD ⊥DE ．∵AB 1⊥平面CDE ， ∴DE ⊥AB 1 ．∴DE 是异面直线AB 1与CD 的公垂线段． …………………………… 6分 ∵CE ＝，AC ＝1， ∴CD ＝．∴． ……………………………………… 8分 （Ⅲ）连结B 1C ，易证B 1C ⊥AC ，又BC ⊥AC ，∴∠B 1CB 是二面角B 1—AC —B 的平面角． …………………………… 10分 在Rt △CEA 中，CE ＝，BC ＝AC ＝1， ∴∠B 1AC ＝60°． ∴， ∴． ∴ ．∴． ………………………………………………… 12分 19．（本小题满分12分） 函数的最小值为（a ∈R ）． （Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ）若，求a 及此时的最大值． 解：（Ⅰ）＝，设＝，∈［－1，1］…2分A BC A 1 B 1 C 1E D①当＜－1，即a ＜－2时， ； ②当－1≤≤1，即－2≤a ≤2时， ； ③当＞1，即a ＞2时， ．综上可得：21,2()21,22214,2a ag a a a a a <-⎧⎪⎪=----≤≤⎨⎪->⎪⎩ ． ………………………… 8分 （Ⅱ）当a ＜－2时，；当a ＞2时，，得，矛盾； 当－2≤a ≤2时，，则a ＝－3（舍）或a ＝－1． … 10分 ∴当a ＝－1时，2211()2cos 2cos 12(cos )22f x x x x =++=++． 当cos x ＝1时，有最大值为5． …………………………………………… 12分 20．（本小题满分12分）已知函数在区间（－2，1）内当x ＝－1时取得极小值，x ＝时取得极大值． （Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）求函数在x ＝－2时的对应点的切线方程； （Ⅲ）求函数在［－2，1］上的最大值与最小值． 解：（Ⅰ）； ……………………………………… 2分∵当x ＝－1时取得极小值，x ＝时取得极大值； ∴－1，是方程的两个根．∴． …………………………………………………… 4分 ∴． ………………………………………… 5分（Ⅱ）当x ＝－2时，，即点（－2，2）在曲线上， ………… 7分又切线的斜率为 ， ………………………………… 9分 ∴切线方程为． ……………………………………… 10分 （Ⅲ）∵32221(2)2,(1),(),(1)23272f f f f -=-=-==， ∴在［－2，1］上的最大值为2，最小值为－． ………… 12分21．（本小题满分14分）已知双曲线C 1的中心在原点，实轴在x 轴上．实轴长与虚轴长的积是2，且一焦点到其相应准线的距离为． （Ⅰ）求双曲线C 1的方程； （Ⅱ）求以双曲线C 1的实轴与虚轴分别为短轴和长轴的椭圆C 2的方程； （Ⅲ）求证：当与直线平行的直线m 被椭圆C 2截取的弦最长时，该直线m 被双曲线C 1截取的弦最短，并求该最短弦长． 解：（Ⅰ） ，设F （c ，0），准线， ，……………………………………………………………2分 ∴ ，即 ．……………………………………………4分 （Ⅱ）． ………………………………………………………6分（Ⅲ）将直线与椭圆方程联立得0125142222=-++⇒⎩⎨⎧=++=m mx x y x m x y ， 则，弦长5102]2016[252]544254[22221≤+-=--=m m m T ． 当且仅当m ＝0时取等号．……………………………………………………9分将直线与双曲线方程联立得0123142222=---⇒⎩⎨⎧=-+=m mx x y x mx y ， 则．弦长362]1216[92]34494[22222≥+=++=m m m T ， 当且仅当m ＝0时取等号 ．………………………………………………12分综上当m ＝0时直线被椭圆C 2截取的弦最长同时，该直线被双曲线C 1截取的弦最短，最短弦长为． ……………………………………………………………14分 22．（本小题满分14分）已知点B 1（1，y 1），B 2（2，y 2），…，B n （n ，y n ），…（n ∈N *）顺次为直线y ＝＋上的点，点A 1（x 1，0），A 2（x 2，0），…，A n （x n ，0）顺次为x 轴上的点，其中x 1＝a （0＜a ＜1）．对于任意n ∈N *，点A n 、B n 、A n +1构成以B n 为顶点的等腰三角形．（Ⅰ）求数列｛y n ｝的通项公式，并证明它为等差数列； （Ⅱ）求证：x n +2－x n 是常数，并求数列｛x n ｝的通项公式；（Ⅲ）上述等腰△A n B n A n +1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时a 的值；若不可能，请说明理由．解：（Ⅰ）y n＝n+，y n+1－y n＝，∴数列｛y n｝是等差数列，…………………………………………………………4分（Ⅱ）由题意得，＝n，∴x n＋x n+1＝2n，①x n+1＋x n+2＝2（n＋1），②①、②相减，得x n+2－x n＝2，∴x1，x3，x5，…，x2n－1，…成等差数列；x2，x4，x6，…，x2n，…成等差数列，…………………………………………8分∴x2n－1＝x1＋2（n－1）＝2n＋a－2，x2n＝x2＋（n－1）·2＝（2－a）＋（n－1）·2＝2n－a，∴x n＝……………………………………………………10分（Ⅲ）当n为奇数时，A n（n＋a－1，0），A n+1（n＋1－a，0）所以｜A n A n+1｜＝2（1－a）；当n为偶数时，A n（n－a，0），A n+1（n＋a，0），所以｜A n A n－1｜＝2a，作B n C n⊥x轴于C n ，则｜B n C n｜＝n＋．要使等腰三角形A n B n A n+1为直角三角形，必须且只须｜A n A n+1｜＝2｜B n C n｜．…12分所以，当n为奇数时，有2（1－a）＝2（n＋），即12a＝11－3n，当n＝1时，a＝；当n＝3时，a＝；当n≥5时，方程12a＝11－3n无解．当n为偶数时，12a＝3n＋1，同理可求得a＝．综上，当a＝，或a＝或a＝时，存在直角三角形．………………………14分36656 8F30 輰H! \?*20305 4F51 佑H23515 5BDB 寛22537 5809 堉38889 97E9 韩28873 70C9 烉34508 86CC 蛌。
2021届高考理科数学模拟卷(全国Ⅰ卷)(有答案)
2021届高考理科数学模拟卷一、选择题 1.设复数2i1iz =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知0m >，设集合{}2{||},230M x x m N x x x =<=-<∣∣，且{1}M N x x n ⋃=-<<∣，则 m n +=( )A.12B.1C.2D.523.在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。
若2,sin cos a b B B ==+=则角A 的大小为( )。
A.π3或2π3 B.π6 C.π6或5π6 D.5π64.已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点 P 在C 上,122PF PF =,则12cos F PF ∠等于( )A.14 B.35C.34D.45 5.根据下表中的数据可以得到线性回归直线方程0.70.35y x =+,则实数,m n 应满足( )6.已知函数()f x 是偶函数,当0x >时,()ln 1f x x x =+,则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为( ) A.y x =-B.2y x =-+C.y x =D.2y x =+7.25()()y x x y x++的展开式中33x y 的系数为( )A. 5B. 10C. 15D. 208.若πtan 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πtan 6α⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A. B. 9.若将函数2sin 2y x =的图像向左平移π12个单位长度,则平移后图象的对称轴为( )A. ππ26k x =-(Z)k ∈B. ππ26k x =+(Z)k ∈C. ππ212k x =-(Z)k ∈D. ππ212k x =+(Z)k ∈10.已知四棱锥P ABCD -的体积是,底面ABCD 是正方形,PAB 是等边三角形,平面PAB ⊥平面ABCD ,则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为( )A. D.11.设双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与圆2210x y +=相交于A B C D ，，，四点，若四边形ABCD 的面积为12，则双曲线的离心率是( )D ．12.函数π()cos lnπxf x x x-=+的图象大致为( ) A. B.C. D.二、填空题13.已知0,0x y >>,且41x y +=,则14x x y++的最小值为_____________. 14.已知向量()()()1,2,2,2,1,λ==-=a b c .若()2+c a b ,则λ=_________________.15.已知12,F F 分别是双曲线22233(0)x y a a -=>的左、右焦点，P 是抛物线28y ax =与双曲线的一个交点.若1212PF PF +=，则抛物线的准线方程为_________. 16.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 。
2021年高三高考模拟数学(理)试题(1) Word版含答案
2021年高三高考模拟数学（理）试题（1） Word版含答案一、选择题：（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在四个选项中，只有一项是符合要求的）1．若复数z满足z1＋i＝2i，则z对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知a，b，c，d为实数，且c＞d，则“a＞b”是“a－c＞b－d”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知数列，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（）A． B．C． D．4．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )5．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于( ) A．2 B．3 C．6 D．96．育英学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A．80种 B．90种 C．120种 D．150种7． 函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是( )A ．－65<a <316B ．－85<a <－316C ．－85<a <－116D ．－65<a <－3168．如图所示，正方体的棱长为1, 分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱、交于，设，，给出以下四个命题：①平面平面；②当且仅当x =时，四边形MENF 的面积最小； ③四边形周长，是单调函数； ④四棱锥的体积为常函数； 以上命题中假．命题．．的序号为（ ） A ．①④ B ．②C ．③D ．③④二、填空题（本题共7个小题，每小题5分，共35分. 把每小题的答案填在答题纸的相应位置）（一）选做题（请考生在9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9. （选修4-1：几何证明选讲）是半圆的直径，点在半圆上，，垂足为，且，设，则的值为 . 10.（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直角坐标系中，直线l 的参数方程为. 以直角坐标系xOy中的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，圆C 的极坐标方程为，则圆心C 到直线l 距离为 11.（不等式证明选讲）若恒成立，则的范围是____________. （二）必做题（12～16题） 12．已知幂函数过点（2，），则此函数f (x )＝________. 13．若(1－2x )2 013＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2 013x2 013(x ∈R )，则a 12＋a 222＋…＋a 2 01322 013＝________.14.在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM=3，BC=10，则=________. 15． 若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________. 16.已知定义在[1,+∞）上的函数。
2021年高三第一次模拟数学(理)试题(含解析)
2021年高三第一次模拟数学（理）试题（含解析）注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内.2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.本试卷共4页，21小题，满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数在复平面内对应的点位于第三象限，则实数的取值范围是A. B. C. D.2．已知集合，集合满足，则集合的个数是A.6B. 7C. 8D. 93．已知函数的定义域为，函数的定义域为，则A. B. C. D.4．“”是“函数有零点”的A．充分非必要条件 B.充要条件C．必要非充分条件 D.非充分必要条件5．已知函数，x∈R,则是A．最小正周期为的奇函数B．最小正周期为的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数6．已知向量, ，如果向量与垂直，则的值为( )A．1 B． C. D．7．已知满足3,2,326,39xy xx yy x≤⎧⎪≥⎪⎨+≥⎪⎪≤+⎩，则的最大值是( ).A. B. C. D. 28．设为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数和向量,都有,则称为“点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是A. B.C. D.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～13题）9．的解集是▲ .10．在的展开式中常数项是▲ .（用数字作答）11．某中学举行了一次田径运动会，其中有50名学生参加了一次百米比赛，他们的成绩和频率如图所示.若将成绩小于15秒作为奖励的条件，则在这次百米比赛中获奖的人数共有▲人.12. 短轴长为,离心率的椭圆的两焦点为,过作直线交椭圆于两点,则的周长为▲13．如果实数满足等式,那么的取值范围是▲（）▲14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆上的点到直线的距离的最小值为▲ 15．（几何证明选讲选做题）如图2，点是⊙O外一点，为⊙O的一切线,是切点，割线经过圆心O，若，，则▲三、解答题:本大题共6小题，满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知数列是一个等差数列，且，. （I ）求的通项；（II ）设，,求2122232log log log log n T b b b b =++++的值。
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xyO2 1-1 2021年高三仿真模拟数学理科试卷1 含答案一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．在复平面内，复数对应的点位于(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限2．下列四个命题中，假命题为(A) ，(B) ，(C) ， (D) ， 3．已知a >0且a ≠1，函数，，在同一坐标系中的图象可能是(A)(B)(C)(D)4．参数方程为参数和极坐标方程所表示的图形分别是(A) 圆和直线 (B) 直线和直线 (C) 椭圆和直线 (D) 椭圆和圆 5．由1,2,3,4,5组成没有重复数字且2与5不相邻的四位数的个数是(A) 120 (B) 84 (C) 60 (D) 486．已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是(A) (B) (C) (D)本题就是考查正弦函数的图象变换。
最好采用排除法。
考查的关键是A ，ω，φ每一个字母的意义。
7．已知直线l ：(A ，B 不全为0)，两点，，若，且，则(A) 直线l 与直线P 1P 2不相交 (B) 直线l 与线段P 2 P 1的延长线相交 (C) 直线l 与线段P 1 P 2的延长线相交 (D) 直线l 与线段P 1P 2相交本题就是考查线性规划问题。
关键是1）的含义：点在直线的同侧；2）的含义：点到直线的距离的大小关系。
OO O O x x xxyyyy1 11 111118．已知函数，(a >0)，若，，使得f (x 1)= g (x 2)，则实数a 的取值范围是(A) (B) (C) (D) 本题虽然是一道小题，但完全可以改成一道大题，处理的关键是对“任意”、“存在”的理解。
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．圆C ：的圆心到直线3x +4y +14=0的距离是 ．10．如图所示，DB ，DC 是⊙O 的两条切线，A 是圆上一点，已知 ∠D =46°，则∠A = ．11．函数的最小正周期为 ，最大值 为 ．考查的目的是没考三角，12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ．13．如果执行右面的程序框图，那么输出的a =___．14．如图所示，∠AOB =1rad ，点A l ，A 2，…在OA 上，点B 1，B 2，…在OB 上，其中的每一个实线段和虚线段的长均为1个长度单位，一个动点M 从O 点出发，沿着实线段和以O 为圆心的圆弧匀速运动，速度为l 长度单位／秒，则质点M 到达A 3点处所需要的时间为__秒，质点M 到达A n 点处所需要的时间为__秒．本题考查了弧度制的定义，数列的基础知识。
解题关键是由特殊到一般，通过对特殊情况的观察，就可得到应进行分类讨论。
1 1正视图侧视图20.62.4 俯视图0.6ABDO开始 ，结束输出a 是否B 1 B 2 B 3 B 4 B三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知等差数列的前项和为，a 2=4， S 5=35． （Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前n 项和．本题是由下面的题经过改编后得到的，可作为练习。
已知等比数列中，a 2=9， a 5=243． （Ⅰ）求数列的通项公式a n ；（Ⅱ）若数列满足 求数列的前100项的和。
（Ⅰ）通项公式。
（Ⅱ）因为等比数列，所以偶数项构成首相为a 2=9，公比为32=9的等比数列。
因为 22223213213332223log log log 23log 23log 223kkk k k k a a -+--⋅-=⋅-⋅==⋅， 所以 奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列。
1001299100313339924100=(log +log ++log )+(++)S b b b b a a a a a a =+++++505150499(19)17(5012)9249821988⨯-=⨯+⨯+=⋅+-所以数列的前100项的和是。
若再增加难度，可将100改成n 。
16.（本小题共14分）张先生家住H 小区，他在C 科技园区工作，从家开车到公司上班有L 1，L 2两条路线（如图），L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（Ⅰ）若走L 1路线，求最多．．遇到1次红灯的概率； （Ⅱ）若走L 2路线，求遇到红灯次数的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．关于概率统计问题，几次考查都没有将概率与统计图表结合起来，请老师们注意，在复练时要有意识的进行练习。
17.（本小题共13分）已知平行四边形ABCD 中，AB =6，AD =10，BD =8，E 是线段AD 的中点．沿BD 将△BCD 翻折到△，使得平面⊥平面ABD ． （Ⅰ）求证：平面ABD ； （Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角的余弦值．本题重点考查的是翻折问题。
在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变的学生必须非常清楚。
1B C18.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）若在处取得极值，求a的值；（Ⅱ）求函数在上的最大值．19.（本小题共14分）已知抛物线P：x2=2py (p>0)．（Ⅰ）若抛物线上点到焦点F的距离为．（ⅰ）求抛物线的方程；（ⅱ）设抛物线的准线与y轴的交点为E，过E作抛物线的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点F的动直线l交抛物线于A，B两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于C，D两点，求证：以CD为直径的圆过焦点F．20.（本小题共13分）用表示不大于的最大整数．令集合，对任意和，定义，集合，并将集合中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求证：在数列中，不大于的项共有项．参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．310．67°11．，12．1213．14．6，注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知等差数列的前项和为，a2=4，S5=35．（Ⅰ）求数列的前项和；（Ⅱ）若数列满足，求数列的前n项的和．解：（Ⅰ）设数列的首项为a1，公差为d．则∴，………………5分∴．∴前项和．………………7分（Ⅱ）∵，∴，且b1=e． (8)分当n≥2时，为定值，………………10分∴数列构成首项为e，公比为e3的等比数列．………………11分∴．………………13分数列的前n项的和是．16.（本小题共14分）张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1，L2两条路线（如图），L1路线上有A1，A2，A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为；L2路线上有B1，B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为，．（Ⅰ）若走L1路线，求最多．．遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若走L2路线，求遇到红灯次数的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．解：（Ⅰ）设走L1路线最多遇到1次红灯为A事件，则．………………4分所以走L1路线，最多遇到1次红灯的概率为．（Ⅱ）依题意，的可能取值为0，1，2．………………5分，，．………………8分．………………10分（Ⅲ）设选择L1路线遇到红灯次数为，随机变量服从二项分布，，所以．………………12分因为，所以选择L2路线上班最好． (14)分17.（本小题共13分）已知平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，E是线段AD的中点．沿直线BD将△BCD翻折成△，使得平面⊥平面1ABD．（Ⅰ）求证：平面ABD；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角的余弦值．证明：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，沿直线BD将△BCD翻折成△可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，即，故． (2)分∵平面⊥平面，平面平面=，平面，∴平面． (5)分（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且，如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．………………6分∵E是线段AD的中点，∴，．在平面中，，，设平面法向量为，∴，即，令，得，故．………………8分设直线与平面所成角为，则．………………9分∴直线与平面所成角的正弦值为．………………10分（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量为，而平面的法向量为，∴，因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．………………13分18.（本小题共13分）已知函数．（Ⅰ）若在处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求函数在上的最大值． 解：（Ⅰ）∵， ∴函数的定义域为． ………………1分∴2112(2)(21)(1)()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x-+---+'=-+-==． ………………3分∵在处取得极值，即，∴． ………………5分当时，在内，在内，∴是函数的极小值点． ∴． ………………6分（Ⅱ）∵，∴． ………………7分2112(2)(21)(1)()2(2)ax a x x ax f x ax a x x x-+--+'=-+-==-∵ x ∈， ∴，∴在上单调递增；在上单调递减， ………………9分 ①当时， 在单调递增，∴； ………………10分 ②当，即时，在单调递增，在单调递减， ∴max 12()()ln 21ln 22424a a a f x f -==--+=--； ………………11分③当，即时，在单调递减，∴． ………………12分 综上所述，当时，函数在上的最大值是； 当时，函数在上的最大值是；当时，函数在上的最大值是．………………13分19.（本小题共14分）已知抛物线P ：x 2=2py (p >0)．（Ⅰ）若抛物线上点到焦点F 的距离为． （ⅰ）求抛物线的方程；（ⅱ）设抛物线的准线与y 轴的交点为E ，过E 作抛物线的切线，求此切线方程；（Ⅱ）设过焦点F 的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，连接，并延长分别交抛物线的准线于C ，D 两点，求证：以CD 为直径的圆过焦点F ．解：（Ⅰ）（ⅰ）由抛物线定义可知，抛物线上点到焦点F 的距离与到准线距离相等，即到的距离为3； ∴ ，解得．∴ 抛物线的方程为． (4)分（ⅱ）抛物线焦点，抛物线准线与y 轴交点为，显然过点的抛物线的切线斜率存在，设为，切线方程为．由， 消y 得， ………………6分 ，解得． ………………7分∴切线方程为． (8)分（Ⅱ）直线的斜率显然存在，设：，设，，由 消y 得 ． 且． ∴ ，；∵ ， ∴ 直线：， 与联立可得， 同理得． ………………10分 ∵ 焦点， ∴ ，， ………………12分 ∴2442221222212120422p x x p p p p p x x x x p p p=+=+=+=- ∴ 以为直径的圆过焦点． ………………14分20.（本小题共13分）用表示不大于的最大整数．令集合，对任意和，定义，集合，并将集合中的元素按照从小到大的顺序排列，记为数列． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求证：在数列中，不大于的项共有项． 解：（Ⅰ）由已知知(1,2)f =++++ ．所以． ………………4分（Ⅱ）因为数列是将集合中的元素按从小到大的顺序排成而成，从上表可知，每一行从左到右数字逐渐增大，每一列从上到下数字逐渐增大．且‥‥所以． (8)分（Ⅲ）任取，，若，则必有．即在（Ⅱ）表格中不会有两项的值相等．对于而言，若在（Ⅱ）表格中的第一行共有的数不大于，则，即，所以，同理，第二行共有的数不大于，有，第行共有的数不大于，有．所以，在数列中，不大于的项共有项，即项．………………13分[31383 7A97 窗40397 9DCD 鷍23877 5D45 嵅25747 6493 撓f5 (35486 8A9E 語36825 8FD9 这-22175 569F 嚟35039 88DF 裟。