2015届高三数学模拟试题理 Word版含答案

高2015届高三数学模拟（理工类）一、选择题（本大题10个小题，每题5分，共50分,请将答案涂在答题卷上) 1．已知全集}{4,3,2,1,1-=U ，集合{}3,2,1=A ，{}4,2=B ，则()U C A B 为（ ）A ．{}4,2,1B ．{}4,3,2C ．{}4,2,1-D ．{}4,3,2,1-2．已知i 是虚数单位，则复数2123z i i =++所对应的点落在(A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．如图所示，程序框图输出的所有实数对(),x y 所对应的点都在函数（ ）A ．1y x =+的图象上B ．2y x =的图象上C ．12x y -=的图象上 D ．2xy =的图象上4．设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，给出下列条件，能得到β⊥m 的是（ ）A ．αβα⊂⊥m ,B ．βαα⊥⊥,mC ．⊥n m ,5．设k R ∈,若关于x 方程210x kx -+=的二根分别在区间)1,0(和(1,2)内,则k 的取值范围为 （ ）A ．(,2)(2,)-∞-+∞B ．5(2,)2C ．(1,3)D ．5(,2)(,)2-∞+∞6．将函数()sin (0)f x x ωω=>的图象向右平移4π个单位长度，所得图象过点3(,0)4π，则ω的最小值是（ ）A ．2B ．1C ．53D ．137．若21()ln (1,)2f x x m x =-++∞在上是减函数，则m 的取值范围是（ ） A ．[1,)+∞ B ． (1,)+∞ C ．(,1]-∞ D ． (,1)-∞8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于（ ）A B ．2 C ．32D ．59．定义在()02π，上的函数()f x ,()f x '是它的导函数,且恒有()()tan f x f x x '<⋅成立,则（ ） A ()()ππ>B ．()()12sin1f f π<C ()()64f ππ>D ()()63f ππ<10．已知函数()224log ,021512,22x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足()()()f a f b f c ==()f d =，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是（ ）A ．(16,21)B ．()16,24C ．(17,21)D ．(18,24)二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上。

） 11．函数()f x =____________12．一个多面体的直观图及三视图如图所示（其中M 、N 分别是AF 、BC 的中点），则多面体F —MNB 的体积为13．体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法 有________种14．如图，在正方形ABCD 中，已知2AB =，M 为BC 的中点，若N 为正方形内（含边界）任意一点，则AM AN ⋅的取值 范围是15．在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”。

类似的，我们在平面向量集(){}=,,,D a a x y x R y R =∈∈上也可以定义一个称“序”的关系，记为“”。

定义如下：对于任意两个向量()()11122212,,,,a x y a x y a a ==“”当且仅当“12x x >”或“1212x x y y =>且”。

按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若()()()12121,0,0,1,00,0,0e e e e ===则；②若1223,a a a a ，则13a a ；③若12a a ，则对于任意12,a D a aa a ∈++；④对于任意向量()12120,00,0,aa a a a a a =⋅>⋅，若则.其中真命题的序号为__________三、解答题：（本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 16．已知函数2()2cos cos 1f x x x x =+-（1）求()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,,c b a 若()22Cf =且2c ab =，试判断ABC ∆的形状。

17．已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前四项和413714,,,S a a a =且成等比。

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11{}n n n T n a a +为数列的前项和，若*1n n T a n N λ+≤∈对一切恒成立， 求实数λ的最小值.18．某高校经济管理学院在2014年11月11日“双11购物节”期间，对[25，55]岁的人群随机抽取了1000人进行调查，得到各年龄段人数频率分布直方图．同时对这1000人是否参加“商品抢购”进行统计，结果如下表： （1）求统计表中a 和p 的值；（2）从年龄落在（40，50]内的参加“商品抢购”的人群中，采用分层抽样法抽取6人参加满意度调查，①设从年龄落在（40，45]和（45，50]中抽取的人数分别为m ，n ，求m 和n 的值；②在抽取的6人中，有2人感到“满意”，设没感到“满意”的2人中年龄在（40，45]内的人数为X ，求事件X 的分布列和数学期望．19．在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，12AD BC =，60ABC ∠=，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90，得到梯形ABC D ''（如图）．（1）求证：AC ⊥平面ABC '； （2）求证：//C N '平面AD D '；（3）求二面角A C N C '--的余弦值．20．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，且过点(2,1)。

（1）求抛物线的标准方程；（2）与圆22(1)1x y ++=相切的直线:l y kx t =+交抛物线于不同的两点,M N 若抛物线上一点C 满足(),(0)OC OM ON λλ=+>，求λ的取值范围.21．已知函数2()ln f x x x =+.（1）若函数()()g x f xax =-在定义域内为增函数，求实数a 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若1a >，3()3x xh x e ae =-，[0,ln 2]x ∈，求()h x 的极小值；(3)设2()2()3()F x f x x kx k R =--∈，若函数()F x 存在两个零点,(0)m n m n <<，且满足02x m n =+，问：函数()F x 在00(,())x F x 处的切线能否平行于x 轴？若能，求出该切线方程，若不能，请说明理由..0.0.0.0 ACDB N D 'C '高2015级理科数学答案1-10：CBCDB ACADB 11、(,]()24k k k Z ππππ-++∈ 12、8/3 13、10 14、[]6,0 15、①②③16、解：（Ⅰ）1cos sin 32cos 2)(2-+=x x x x f x x 2sin 32cos +=)2sin 232cos 21(2x x +=)62sin(2π+=x周期为2.2T ππ== ……………………5分 （Ⅱ）因为 ()2sin()226C f C π=+=，所以sin()16C π+=因为0C π<<，所以7666C πππ<+<，所以62C ππ+=，所以3C π=222222cos c a b ab C a b ab ab =+-=+-=，整理得 b a = 所以三角形ABC 为等边三角形……………………12分17、解：（1）设公差为d,由已知得：121114614(2)(6)a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩，联立解得1d =或0d =（舍去）12a ∴=，故1n a n =+ ……5分（2）λ∴的最小值为1/16 ………12分②X 0 12P1/158/156/15X 19、（1）证明：因为12AD BC =，N 是BC 的中点。

所以AD NC =，又//AD BC所以四边形ANCD 是平行四边形，所以AN DC = 又因为等腰梯形，60ABC ∠=，所以 AB BN AD ==，所以四边形ANCD 是菱形， 所以1302ACB DCB ∠=∠=所以90BAC ∠=，即AC AB ⊥由已知可知 平面C BA '⊥平面ABC ，因为 平面C BA '平面ABC AB = 所以AC ⊥平面ABC ' ……………………4分（2）证明：因为//AD BC ，//AD BC ''， ,AD AD A BC BC B ''==所以平面//ADD '平面BCC '又因为C N '⊂平面BCC ',所以 //C N '平面ADD ' ………………7分（3）因为AC ⊥平面ABC ',同理AC '⊥平面ABC ，建立如图如示坐标系。

设1AB =，则(1,0,0)B ,3,0)C , 3)C '，13(2N ， 则(13)BC '=-，(0,3,3)CC '=-设平面C NC '的法向量为(,,)n x y z =，有 0BC n '⋅=，0C C n '⋅=得 (3,1,1)n = 设平面'ANC 的法向量为),,(z y x m =，有0',0=⋅=⋅，得 )0,1,3(-=所以55cos -=⋅⋅=n m m n由图形可知二面角A C N C '--为钝角，所以二面角A C N C '--的余弦值为520、 (1)24x y =………4分（2）由圆心()0,1-到直线l 的距离2111t d k +==+222k t t ⇒=+设交点()11,M x y ，()22,N x y ，由24y kx t x y=+⎧⎨=⎩2440x kx t ⇒--= 其中216160k t ∆=+>23003t t t t ⇒+>⇒><-或12212124424x x ky y k t x x t+=⎧⇒+=+⎨=-⎩ ………9分 ()1212(,)OC OM ON x x y y λλ∴=+=++2(4,42)k k t λ=+代入24x y =得()2244(42)k k t λλ=+即 222211112222k t t k k t λ+==+=+⋅+ ………11 分 03t t ><-或，在(),3,(0,)-∞-+∞都是单调递减函数15,11,24λ⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…13分21、解：（Ⅰ）21()()ln ,()2.g x f x ax x x ax g x x a x '=-=+-=+-由题意，知()0,(0,)g x x '≥∈+∞恒成立，即min 1(2)a x x≤+.…… 2分又10,22x x x >+≥22x =时等号成立.故min 1(2)22x x+=，所以22a ≤. ……4分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，12 2.a <≤令x e t =，则[1,2]t ∈，则3()()3.h x H t t at ==-2()333()().H t t a t a t a '=-=-+……5分zADD 'C '由()0H t '=，得t =t =，34(1,2[1,2]a ∈， ①若1t <≤()0,()H t H t '<单调递减；()h x 在也单调递减； 2t ≤，则()0,()H t H t '>单调递增.()h x 在2]也单调递增；故()h x的极小值为2h =-……8分（Ⅲ）设()F x 在00(,())x F x 的切线平行于x 轴，其中2()2ln .F x x x kx =--结合题意，有220002ln 0,2ln 0,2,220,m m km n n kn m n x x k x ⎧--=⎪--=⎪⎪+=⎨⎪⎪--=⎪⎩ ……10分①—②得2ln ()()().m m n m n k m n n -+-=-，所以02ln2.mn k x m n=--由④得0022.k x x =- 所以2(1)2()ln .1m m m n n m n m n n--==++⑤ ……11分设(0,1)m u n =∈，⑤式变为2(1)ln 0((0,1)).1u u u u --=∈+设2(1)ln ((0,1))1u y u u u -=-∈+， 2222212(1)2(1)(1)4(1)0,(1)(1)(1)u u u u u y u u u u u u +--+--'=-==>+++ 所以函数2(1)ln 1u y u u -=-+在(0,1)上单调递增，因此，1|0u y y =<=，即2(1)ln 0.1u u u --<+ 也就是，2(1)ln 1m m n m n n-<+，此式与⑤矛盾.所以()F x 在00(,())x F x 处的切线不能平行于x 轴.……14分① ② ③④。