竖直平面内的圆周运动与临界问题
竖直面内的圆周运动(解析版)
竖直面内的圆周运动一、竖直平面内圆周运动的临界问题——“轻绳、轻杆”模型1.“轻绳”模型和“轻杆”模型不同的原因在于“轻绳”只能对小球产生拉力，而“轻杆”既可对小球产生拉力也可对小球产生支持力。
2.有关临界问题出现在变速圆周运动中，竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动，一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况。
物理情景最高点无支撑最高点有支撑实例球与绳连接、水流星、沿内轨道的“过山车”等球与杆连接、球在光滑管道中运动等图示异同点受力特征除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上受力示意图力学方程mg＋F N＝mv2R mg±F N＝mv2R临界特征F N＝0mg＝mv2minR即v min＝gRv＝0即F向＝0F N＝mg过最高点的条件在最高点的速度v≥gR v≥0【典例1】如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R 的圆周运动。
小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F－v2图象如图乙所示，则()A ．小球的质量为aRbB ．当地的重力加速度大小为RbC ．v 2＝c 时，小球对杆的弹力方向向上D ．v 2＝2b 时，小球受到的弹力与重力大小相等 【答案】： ACD【典例2】用长L ＝ 0.6 m 的绳系着装有m ＝ 0.5 kg 水的小桶，在竖直平面内做圆周运动，成为“水流星”。
G ＝10 m/s 2。
求：(1) 最高点水不流出的最小速度为多少？(2) 若过最高点时速度为3 m/s ，此时水对桶底的压力多大？ 【答案】 (1) 2.45 m/s (2) 2.5 N 方向竖直向上【解析】(1) 水做圆周运动，在最高点水不流出的条件是：水的重力不大于水所需要的向心力。
这是最小速度即是过最高点的临界速度v 0。
以水为研究对象， mg ＝m v 20L解得v 0＝Lg ＝0.6×10 m/s ≈ 2.45 m/s(2) 因为 v ＝ 3 m/s>v 0，故重力不足以提供向心力，要由桶底对水向下的压力补充，此时所需向心力由以上两力的合力提供。
圆周运动中的临界问题
（当 v rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（3）不能过最高点条件： v rg
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
如图所示，固定在竖直平点为轨道最高点，DB为竖
特点
在最高点时，没有物体支 撑，只能产生拉力
轻杆对小球既能产生拉 力，又能产生支持力
圆周运动的临界问题
1.竖直平面内的圆周运动 ①轻绳模型 ：
能过最高点的临界条件：
小球在最高点时绳子的拉力刚好 等于0，小球的重力充当圆周运 动所需的向心力。
m gmR 2 v临界 Rg
轻绳模型
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没 有力的作用：
B、的压力 D、24N的压力
例3：长L＝，质量可以忽略的的杆，其下端
固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg的小 球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过 最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当A的速率v1＝1m／s时:
②当A的速率v2＝4m／s时:
变式训练
.一轻杆下端固定一质量为M的小球,上端连在轴 上,并可绕轴在竖直平面内运动,不计轴和空气阻 力，在最低点给小球水平速度v0时,刚好能到达最 高点,若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大,
2
双体转动模型
如图所示，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直 面内转动，杆的两端固定有质量均为m=1kg的 小球A和B，球心到轴O的距离分别为，。已知 A球转到最低点时速度为vA=4m/s，问此时A、B 球对杆的作用力的大小和方向？
B
vB
vA
A
谢谢观赏
N
fA AB mg
变式训练
圆周运动中的临界问题公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
AB mg
第19页
变式训练
如图所表示，A、B、C三个物体放在 旋转平台上，最大静摩擦因数均为μ， 已知A质量为2m，B、C质量均为m， A、B离轴距离均为R，C距离轴为 2R，则当平台逐步加速旋转时 （ ABC） A.C物向心加速度最大 B.B物摩擦力最小 C.当圆台转速增长时，C比A先滑动 D.当圆台转速增长时，B比A先滑动
下球对管壁作用力. 取g=10m/s2 (1)A速率为1.0m/s (2)A速率为4.0m/s
m A
O
N1
m
m
A mg O
A mg N2 O
第16页
滑动是否临界问题：
如图所表示，在匀速转动水平圆盘上，沿半径方向放置 用长L=0.1m细线相连A、B两小物体。已知A距轴心O距 离r=0.2m，A、B质量均为m=1kg，它们与盘面间互相作 用最大静摩擦力为其重力0.3倍，取g=10m/s2，求： （1）当细线刚要出现拉力时，圆盘转动角速度ω0？ （2）当A与盘面间刚要发生相对滑动时，细线受到拉力？ （3）当即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何？
B、6.0N压力 D、24N压力
第13页
例3：长L＝0.5m，质量能够忽略杆，其下端
固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg小球A ，A绕O点做圆周运动（同图5），在A通过最高 点，试讨论在下列两种情况下杆受力：
①当A速率v1＝1m／s时: ②当A速率v2＝4m／s时:
第14页
变式训练
.一轻杆下端固定一质量为M小球,上端连在轴上, 并可绕轴在竖直平面内运动,不计轴和空气阻力， 在最低点给小球水平速度v0时,刚好能到达最高点, 若小球在最低点瞬时速度从v0不断增大,则可知
A 300
B 450 m
专题：圆周运动中的临界问题
专题：圆周运动中的临界问题一、竖直平面内的圆周运动 1.受力分析 小球用轻绳拉着在竖直平面内做圆周运动是典型的变速圆周运动。
如图所示，把重力分解可知，除最高点和最低点外，其他各点，小球切线方向加速度均不为零，因此小球做变速（速度、方向）圆周运动。
2.最高点的临界状态分析 （1）“绳模型”（或单圆形轨道，球在轨道内做圆周运动模型，此处简称为“单轨模型”）a.小球能通过最高点的临界条件为：mg ＝m Rv 2得：v ＝gR ，此时物体处于完全失重状态，绳上没有拉力；b.当v ＞gR ，小球能过最高点，绳上有拉力；c.当v ＜gR故球不能过最高点。
（2）“杆模型”（或双圆形轨道，球在双轨道内部运动，此处简称为“双轨模型”）因轻杆可以产生拉力，也可产生支持力，双轨模型时，内轨可产生支持力，外轨产生向下的压力。
a.小球能通过最高点的临界条件为：v ＝0，F ＝mg （F 为支持力）；b.当０＜v ＜gR 时，v 增大，F 减小且0<F<mg （F 方向沿半径向外），mg －F ＝m Rv 2 ；c. 当v ＝gR 时，F=0 ，完全失重状态；d.当v ＞gR 时，F 方向沿半径向内， F ＋mg ＝m Rv 2；最低点时，对于各种模型，都是拉力（或者支持力N ）T －mg ＝m Rv 2。
例1、长L=0.5m ，质量可忽略不计的轻杆，其一端固定于O 点，另一端连有质量m ＝2kg 的小球，它绕O 点在竖直平面内做圆周运动。
当通过最高点时，如图所示，求下列情况下杆对小球的作用力（计算大小，并说明是拉力还是支持力） （1）当v ＝1m/s 时，大小为 16 N ，是 支持 力； （2）当v ＝4m/s 时，大小为 44 N ，是 拉力 力。
解析： 此题先求出v ＝gR ＝5.010⨯m/s ＝5m/s 。
（1）因为v ＝1m/s ＜5m/s ，所以轻杆作用给小球的是支持力，有mg －F ＝m R v 2得：F ＝16N ；（2）因为v ＝4m/s ＞5m/s ，所以轻杆作用给小球的是拉力，有mg ＋F ＝m Rv 2得：F ＝44N ；3.竖直平面内的匀速圆周运动 如果某物体固定在电动机或其他物体上绕水平轴匀速转动，则该物体将做匀速圆周运动，此时电动机或转动体对该物体的作用力与物体的重力的合力提供向心力，向心力大小不变，方向始终指向圆心。
圆周运动临界问题
圆周运动的临界问题通常涉及到物体在竖直平面内做变速圆周运动的情况，如轻绳模型过最高点或最低点的情况，以及物体通过其他特殊点的情况。
在这些情况下，临界状态通常是由于圆周运动的向心力和离心力的平衡状态被打破所导致的。
以轻绳模型过最高点为例，当物体通过最高点时，轻绳对物体的拉力与物体的重力相等，即T = mg。
当拉力大于或小于重力时，物体将处于超重或失重状态，并可能出现临界情况。
在这种情况下，可以通过牛顿第二定律和向心力公式来求解物体的运动状态。
在求解时，首先根据题意确定物体通过最高点时的受力情况，然后根据牛顿第二定律列式，最后根据向心力公式求解出物体在最高点时的速度。
根据速度的大小，可以判断出物体是否处于临界状态，并求出相应的临界条件。
需要注意的是，在圆周运动的临界问题中，物体的运动状态可能会发生突变，因此需要特别注意物体的加速度和速度的变化情况。
此外，在求解临界条件时，需要将物体的运动状态与受力情况结合起来考虑，并灵活运用向心力和牛顿第二定律进行求解。
竖直面内圆周运动的临界问题分析
ʏ赵世渭 吕志华当物体从一种特性变化为另一种特性时,发生质的飞跃的转折状态,叫临界状态㊂出现临界状态时,即可理解为 恰好出现 ,也可理解为 恰好不出现 ㊂竖直面内圆周运动的临界问题主要包括绳(环)约束模型㊁杆(管)约束模型和拱桥模型等,下面举例说明㊂一㊁绳(环)约束模型绳(环)约束模型的特点是绳(环)对物体只能产生指向圆心的弹力作用㊂图11.临界条件:在最高点绳(环)对物体恰好没有弹力作用㊂此时重力提供向心力,即m g =m v 2m i nr,解得v m i n =g r (可理解为恰好通过或恰好不通过最高点的速度)㊂2.能够通过最高点的条件:物体在最高点的速度v ȡg r ,绳(环)产生弹力作用㊂3.不能通过最高点的条件:物体在最高点的速度v <g r (实际上物体还没运动到最高点就已经脱离圆周做斜抛运动)㊂ 图2例1 如图2所示,长度均为L 的两根轻绳,一端共同系住质量为m 的小球,另一端分别固定在等高的A ㊁B 两点,A ㊁B 两点间的距离也为L ,重力加速度大小为g ㊂现使小球在竖直面内以A B 连线为轴做圆周运动,当小球在最高点的速率为v 时,两根绳的拉力恰好均为零,则小球在最高点的速率为2v 时,两根绳的拉力大小均为( )㊂A .3m g B .23m gC .3m gD .433m g当两根绳的拉力恰好均为零时,重力提供向心力;当小球在最高点的速率为2v 时,重力和两根绳拉力的合力提供向心力㊂根据等边三角形的几何关系可得,小球做圆周运动的半径r =32L ㊂当小球在最高点的速率为v 时,根据牛顿第二定律得m g =m v2r㊂当小球在最高点的速率为2v 时,设两根绳的拉力大小均为F ,根据牛顿第二定律得m g +2F c o s30ʎ=m(2v )2r㊂联立以上各式解得F =3m g ㊂答案:A解决本题的关键是清楚小球运动到最高点时的临界状态,抓住小球做圆周运动所需向心力的来源,结合牛顿第二定律列式求解㊂二㊁杆(管)约束模型物体在轻杆作用下的运动,或在管道中运动时,随着速度的变化,轻杆或管道对物体的作用力可以是支持力,也可以是压力,还可能为零㊂图31.临界条件:物体在最高点的速度v =0㊂2.物体运动到最高点:当m g =mv2r,即v =g r 时,轻杆或管道对物体的作用力F =0;当v >g r 时,轻杆或管道对物体产生向下的拉力;当v <g r 时,轻杆或管道对物体产生向上的弹力㊂例2 如图4所示,一轻杆一端A 固定质量为m 的小球,以另一端O 为圆心,使小球在竖直面内做半径为R 的圆周运动,重力33物理部分㊃知识结构与拓展高一使用 2021年3月图4加速度为g ㊂下列说法中正确的是( )㊂A .小球过最高点时,轻杆受到的弹力可以等于零B .小球过最高点的最小速度是g RC .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而增大D .小球过最高点时,轻杆对小球的作用力一定随速度的增大而减小小球过最高点时,当m g =mv2R,即v =g R 时,轻杆对小球的作用力F =0,根据牛顿第三定律可知,轻杆受到的弹力为零,选项A 正确㊂因为轻杆能够支撑小球,所以小球过最高点的速度最小可以为零,选项B 错误㊂当小球在最高点的速度v <g R 时,轻杆对小球产生向上的弹力,根据牛顿第二定律得m g -F =m v 2R ,变形得F =m g -m v2R,因此当v 增大时,F 减小,选项C 错误㊂当小球在最高点的速度v >g R 时,轻杆对小球产生向下的拉力,根据牛顿第二定律得m g +F =m v2R,变形得F =mv2R-m g ,因此当v 增大时,F 增大,选项D 错误㊂答案:A轻绳模型与轻杆模型的临界条件不同,对于轻绳模型来说物体能通过最高点的临界速度是v 临=gR ,对轻杆模型来说物体过最高点的临界速度是v 临=0㊂三㊁拱桥模型图5当汽车通过拱形桥顶部的速度v =g R 时,根据m g -N =mv2R可知,汽车对弧顶的压力N =0,汽车将脱离桥面做平抛运动,因此汽车过拱形桥时需限速,即v ɤg R ㊂例3如图6所示,半径为R 的光滑半 图6圆球固定在水平面上,顶部有一可视为质点的物体,现给它一个水平初速度v 0=g R ,则该物体将( )㊂A .沿球面下滑至M 点B .先沿球面下滑至某点N ,然后离开球面做斜下抛运动C .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R D .立即离开球面做平抛运动,且水平射程为2R假设物体在最高点受重力和球面的支持力N 作用做圆周运动,根据牛顿第二定律得m g -N =mv 2R,解得N =0,即物体只受重力作用,因此物体将立即离开球面做平抛运动㊂根据平抛运动规律可得,物体做平抛运动的时间t =2Rg,水平位移x =v 0t =2R ,因此物体做平抛运动的轨迹曲率半径大于半圆球的半径,物体不可能中途落在球面上㊂答案:C解决本题的关键是利用牛顿第二定律分析出物体在最高点时受到的球面对它的支持力为零,进而判断出物体仅受重力作用,且初速度方向水平,物体离开球面做平抛运动,然后利用平抛运动规律求物体的水平射程㊂拓展:倾斜面内圆周运动的临界问题㊂在斜面上做圆周运动的物体,可能由静摩擦力提供向心力,也可能由轻绳或轻杆的作用力提供向心力㊂ 图7例4 如图7所示,一块足够大的光滑平板放置在水平面上,绕水平固定轴MN 可以调节其与水平面间的夹角㊂平板上一根长度l =0.8m 的轻质细绳的一43 物理部分㊃知识结构与拓展 高一使用 2021年3月端系住一质量m=0.2k g的小球,另一端固定在平板上的O点㊂当平板的倾角固定为α时,将小球拉至最高点,然后给小球一沿着平板并与细绳垂直的初速度v0=2m/s㊂(取g=10m/s2)(1)若小球能保持在板面内做圆周运动,倾角α的值应在什么范围内?(2)若细绳所能承受的最大拉力F= 8N,则当平板的倾角α最大时,小球经过最高点的速度最多多大小球在运动过程中,受重力㊁细绳拉力和斜面支持力作用㊂小球运动到最高点时,由细绳的拉力和小球的重力沿斜面分力的合力提供向心力㊂(1)小球恰好能过最高点的临界条件是细绳的拉力F=0,设此时平板的倾角为α0,根据牛顿第二定律得m g s i nα0=m v20l,解得α0=30ʎ,即小球能保持在板面内做圆周运动,平板的倾角α的值应满足0<αɤ30ʎ㊂(2)设小球经过最高点时的最大速度为v m a x,由(1)得平板的最大倾角α0=30ʎ,根据牛顿第二定律得F+m g s i nα0=m v2m a x l,解得v m a x=6m/s㊂与分析竖直面内圆周运动问题类似,分析斜面上的圆周运动问题也是先分析物体在最高点的受力情况,再根据牛顿第二定律列式求解㊂注意:在进行受力分析时,一般需要先将立体图转化为平面图,这是解斜面上圆周运动临界问题的难点㊂图81.如图8所示,一根轻绳系着装有水的小桶,在竖直面内绕O点做圆周运动,小桶的质量M=1k g,水的质量m=0.5k g,绳长L=0.6m,取g=10m/s2㊂求:(1)要使水桶运动到最高点时水不流出,最小速率多大(2)如果水桶运动到最高点时的速率v=3m/s,那么水桶对轻绳的拉力多大?(3)如果水桶运动到最低点时的速率v=3m/s2,那么水对桶底的压力多大?图92.如图9所示,将内壁光滑的导管弯成半径为R的圆周轨道竖直放置,其质量为2m,质量为m的小球在管内滚动㊂当小球运动到最高点时,导管刚好要离开地面,此时小球的速度多大?图103.如图10所示,质量为m的小物体(可视为质点)随水平传送带运动,A为终端皮带轮㊂已知皮带轮半径为r,传送带与皮带轮间不会打滑,当小物体可被水平抛出时()㊂A.传送带的最小速度为g rB.传送带的最小速度为g rC.皮带轮每秒的转数最少是12πg rD .皮带轮每秒的转数最少是12πg r图114.如图11所示,一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动,盘面上离转轴2.5m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止㊂小物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力),盘面与水平面间的夹角为30ʎ,取g=10m/s2㊂求ω的最大值㊂参考答案:1.(1)v m i n=6m/s;(2)T=7.5N;(3)N'=12.5N㊂2.v=3g R㊂3.A C4.ωm a x=1r a d/s㊂作者单位:山东省青州第一中学(责任编辑张巧)53物理部分㊃知识结构与拓展高一使用2021年3月。
竖直平面内的圆周运动临界问题(超级经典全面)
例：质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道 的内侧运动如图所示，经过最高点而不脱离 轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速度经 过最高点时，对轨道的压力值是（ ）
A.0
B.mg
C.3mg
D.5mg
例：一根绳系着装有水的水桶，在竖直平面 内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，绳长l ＝60 cm，g取10 m/s2
A .O
C B
2、轻杆和圆管模型 ：
N
能过最高点的临界条件：
mg
v临界＝0
O
杆（管的下壁）对球的支持力FN=mg
N
mg O
小结二:有支撑的物体
小球与杆相连，球在光滑封闭管中运动
1、临界条件：
由于支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度V临界=0，此时弹力 等于重力
FN ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱg
2、小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：
有 mg m v2 所以： R
V临界 Rg
2、能通过最高点的条件：
v Rg
mg O 绳
v大于 Rg时，绳(轨道）对球产生拉力（压力）。
3、不能通过最高点的条件：
v小于 Rg
实际上小球还不到最高点时就脱离了轨道。
mg
O 轨道
例：如图所示，一质量为m的小球，用长为L细绳 系住，使其在竖直面内作圆周运动。若过小球恰 好能通过最高点，则小球在最高点的速度为多少？ 小球的受力情况如何？
7 如下图,质量为0.5 kg的小杯里盛有1 kg的水，用绳子系住小 杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为lm，小杯通过 最高点的速度为4 m/s，g取10 m/s2,求：
（1）在最高点时，绳的拉力？
（2）在最高点时水对小杯底的压力？
圆周运动的临界问题
圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题圆周运动中的临界问题的分析方法是首先明确物理过程，对研究对象进行正确的受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找到临界值。
竖直平面内作圆周运动的临界问题是典型的变速圆周运动。
一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。
在绳模型中，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况如图6-11-1所示。
小球能过最高点的临界条件为绳子和轨道对小球刚好没有力的作用，即mg=mv^2/R，从而得到小球能过最高点的条件为v≥√(Rg)，不能过最高点的条件为v<√(Rg)。
在杆模型中，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况如图6-11-2所示。
小球能过最高点的临界条件为v=0，F=mg（F为支持力），当0F>0（F为支持力），当v=Rg时，F=0，当v>Rg时，F随v增大而增大，且F>0（F为拉力）。
拱桥模型与杆模型类似，但因可以离开支持面，在最高点当物体速度达v=√(Rg)时，F_N=0，物体将飞离最高点做平抛运动。
若是从半圆顶点飞出，则水平位移为s=2R。
细线模型中，如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F表示球到达最高点时细线对小球的作用力，则F可能是拉力、推力或等于零。
最后，对于一个质量为0.5kg的小杯里盛有1kg的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1m，小杯通过最高点的速度为4m/s，g取210m/s。
可以利用向心力公式和受力分析，求出小杯通过最高点的临界条件。
1.长度为0.5m的细杆OA，A端挂着一个质量为3.0kg的小球，在竖直平面内做圆周运动。
求小球通过最高点时细杆OA所受的力。
答案：C。
24N的拉力2.在竖直放置的光滑圆形管道内，质量为m的小球做圆周运动。
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F3 G
V2
最低点：F1
mg
m v12 R
最高点:
mg
F2
m v22 R
F2
;
mg
F3
m
v22 R
F1
思考：小球在最高点的最小速
V1
度可以是多少？
G
最小速度v=0，此时mg=F3
F3
最高点:
mg
F2
m v22 R
V2GmgF3m
v22 R
F2
思考：在最高点时，什么时候
外管壁对小球有压力，什么时
;
F1
候内管壁对小球有支持力?什么
V1
时候内外管壁都没有压力？
G
临界速度：F 0,v0 gR
当v<v0，内壁对球有向上的支持力； 当v>v0，外壁对球有向下的压力。
实例一：水流星
在“水流星”表演中，杯子在竖直平面做圆周
运动，在最高点时，杯口朝下，但杯中水却不
会流下来，为什么？
对杯中水：mg FN
当v gr 时，FN =
0
m
v2 r
FN G
水恰好不流出
表演“水流星” ，需要保证杯 子在圆周运动最高点的线速度不
得小于v gr 即：v gr
实例二：过山车
专题：竖直平面内的 圆周运动与临界问题
学习目标
1.了解竖直面上圆周运动的两种基本模型。 2.掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的
相关分析。 3.学会分析圆周运动问题的一般方法。
问题1：绳球模型
长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面
内做圆周运动。
试分析：
v2 B
（1）当小球在最低点A的速度
为v1时，绳的拉力与速度的关 系如何？
gr
在最高点时速 度应不小于
gr
在最高点速度 应大于0
在最高点速度 应大于0
作业：如图所示，质量m=0.2kg的小球固定在 长为Ｌ＝0.9m的轻杆的一端，杆可绕Ｏ点的水 平轴在竖直平面内转动，g=10m/s2，求：
（１）当小球在最高点的速度 为多大时，小球对杆的作用力 为零？ （２）当小球在最高点的速度 分别为６m/s和1.5m/s时，杆 对小球的作用力的大小和方向 （３）小球在最高点的速度能 否等于零？
临界问题：由于物体在竖直平面内做圆周运动 的依托物（绳、轨道、轻杆、管道等）不同， 所以物体恰好能通过最高点的临界条件也不同。
N
N
mg
O 绳
mg
O 轨道
mg O 杆
mg
O 管道
物体在最高点的最小速度取决于该点所受的 最小合外力。
竖直平面内圆周运动的临界问题
物理情景
细绳拉着小球 在竖直平面内
运动
小球在竖直放 置的光滑圆环
问题2：杆球模型：
B
F3
v2
最低点：F1
mg
m
v12 L
mg
F2
o
最高点：F2
mg
m
v22 L
拉力
F1
v1 A mg
mg
-
F3
m
v22 L
支持力
思考:最高点的最小速度是多少?
最小速度v=0，此时mg=F3
问题2：杆球模型：
B F3 v2
最高点：F2
mg
m
v22 L
拉力
mg
F2
o
F1
mg
-
F3
m
v22 L
支持力
思考:在最高点时，何时杆表现为
拉力？何时表现为支持力？试求
v1 A mg
其临界速度。
临界速度：F 0,v0 gL
当v<v0，杆对球有向上的支持力； 当v>v0，杆对球有向下的拉力。
拓展：物体在管型轨道内的运动
如图，有一内壁光滑、竖直放 置的管型轨道，其半径为R， 管内有一质量为m的小球有做 圆周运动，小球的直径刚好略 小于管的内径。问：
o
（2）当小球在最高点B的速度
L
为v2 时，绳的拉力与速度的关
A
v1 系又如何？
v2 mg
T2
o T1
最低点：T1
mg
m
v12 L
最高点：T2
mg
m
v22 L
v1
mg
思考：小球过最高点的最小速 度是多少?
T2 0,v0 gL
当v=v0，小球刚好能够通过最高点；
当v<v0，小球偏离原运动轨迹，不能通过最高点； 当v>v0，小球能够通过最高点。
要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度
必须满足：v gr
问题2：杆球模型：
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使 小球在竖直平面内做圆周运动。
试分析： B
（1）当小球在最低点A的速度 为v2时，杆的受力与速度的关 系怎样？
（2）当小球在最高点B的速度
为v1时，杆的受力与速度的关
A
系怎样？
内侧运动
小球固定在轻 杆上在竖直面
内运动
小球在竖直放 置的光滑管中
运动
图示
在最高点的临界特点 做圆周运动条件
T=0
mg m v2 r
v gr
N=0
v2 mg m
r
v gr
V>0 F向>0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
V>0 F向>0 F向=FT+mg 或F向=mg-Fn
在最高点时速 度应不小于
思考：过山车为什么在最高点也不会掉下来？
拓展：物体沿竖直内轨运动
有一竖直放置、内壁光滑圆环，其半径为r，
质量为m的小球沿它的内表面做圆周运动，分
析小球在最高点A的速度应满足什么条件？
A
mg FN
mg
FN
m
v2 r
思考：小球过最高点的最小速度
是多少? FN 0,v0 gr
当v=v0，小球刚好能够通过最高点； 当v<v0，小球偏离原运动轨道，不能通过最高点； 当v>v0，小球能够通过最高点。