2016理科高考小题综合练(三)

姓名：________ 班级：________ 学号：________高考小题综合练(三)1．(2015·韶关十校联考)已知a 是实数，a ＋i 1－i是纯虚数，则a 等于( ) A ．1B ．－1 C. 2 D ．－ 22．(2015·重庆一中月考)已知集合M ＝{x |x 2－2x <0}，N ＝{x |x <a }，若M ⊆N ，则实数a 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0]3．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，若z ＝x ＋3y ＋m 的最小值为4，则m 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．44．已知α，β，γ是三个不同的平面，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则( )A ．若m ⊥n ，α⊥βB ．若α⊥β，则m ⊥nC ．若m ∥n ，则α∥βD ．若α∥β，则m ∥n 5．已知数列{a n }满足1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )A.15B ．－15C ．5D ．－5 6．(2015·安徽改编)执行如图所示的程序框图(算法流程图)，输出的n 值为( )A ．3B ．4C ．5D ．67．(2015·课标全国Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.158．(2015·浙江省重点中学训练)将二项式(x ＋124x )n 的展开式按x 的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x 的指数是整数的项的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．69．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足c sin A ＝3a cos C ，则sin A ＋sin B 的最大值是( )A ．1B.2C ．3D. 310．(2014·山东)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0B.2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝011．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为( )A ．0 B.12 C ．1 D.5212．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( )A ．至多有一次中靶B ．两次都中靶C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶13．f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________．14.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的点，AP ＝a 3，过P 、M 、N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.15．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________.16．(2015·四川)已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝x 2＋ax (其中a ∈R )．对于不相等的实数x 1，x 2，设m ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2，n ＝g (x 1)－g (x 2)x 1－x 2， 现有如下命题：①对于任意不相等的实数x 1，x 2，都有m ＞0；②对于任意的a 及任意不相等的实数x 1，x 2，都有n ＞0；③对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝n ；④对于任意的a ，存在不相等的实数x 1，x 2，使得m ＝－n .其中的真命题有________(写出所有真命题的序号).答案精析高考小题综合练(三)1．A [因为a ＋i 1－i ＝(a ＋i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝a －12＋a ＋12i 是纯虚数，所以a －12＝0，即a ＝1， 所以应选择A.]2．A [M ＝{x |x 2－2x <0}＝(0,2)，因为M ⊆N ，所以a ≥2，故选A .]3．B [画出可行域，如图所示，设z ′＝x ＋3y ，变形为y ＝－13x ＋13z ′，当z ′取到最小值时，直线的纵截距最小，此时直线过C 点．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋y －1＝0，可知C (12，12)，代入目标函数z ＝x ＋3y ＋m ，得4＝12＋3×12＋m ，得m ＝2.] 4．D [对于D ，两个平面平行的性质定理，即两个平面平行，第三个平面与这两个平面相交，则它们的交线平行，因此D 是正确的，而A ，B ，C 均可以举出反例说明不成立．]5．D [由1＋log 3a n ＝log 3a n ＋1得a n ＋1a n＝3，{a n }为等比数列，公比为3. ∴a 5＋a 7＋a 9＝27(a 2＋a 4＋a 6)＝27×9＝35，∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－5.]6．B [执行第一次判断：|a －1.414|＝0.414>0.005，a ＝32，n ＝2； 执行第二次判断：|a －1.414|＝0.086>0．005，a ＝75，n ＝3； 执行第三次判断：|a －1.414|＝0.014>0．005，a ＝1712，n ＝4； 执行第四次判断：|a －1.414|<0.005，输出n ＝4.]7．D [如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥AA 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为111111A A B D B C D ABCD V V --＝1111111111A A B D A B C D ABCD A A B D V V V ---－＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15，选D.] 8．A [展开式的通项为T r ＋1＝C r n ·(12)r x 234n r -(r ＝0,1,2，…，n )，∴前三项的系数分别是1，n 2，n (n －1)8， ∴2·n 2＝1＋n (n －1)8，∴n ＝8， ∴当n ＝8时，T r ＋1＝C r 8(12)r x 1634r -(r ＝0,1,2，…，8)，∴r ＝0,4,8，展开式中x 的指数是整数，故共有3个，答案为A.]9．D [∵c sin A ＝3a cos C ，∴sin C sin A ＝3sin A cos C ，∵sin A ≠0，∴tan C ＝3，∵0<C <π，∴C ＝π3， ∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(2π3－A ) ＝32sin A ＋32cos A ＝3sin(A ＋π6)， ∵0<A <2π3，∴π6<A ＋π6<5π6， ∴32<3sin(A ＋π6)≤3，∴sin A ＋sin B 的最大值为 3.] 10．A [由题意知e 1＝c 1a ，e 2＝c 2a， ∴e 1·e 2＝c 1a ·c 2a ＝c 1c 2a 2＝32. 又∵c 21＝a 2－b 2，c 22＝a 2＋b 2，∴c 21c 22a 4＝a 4－b 4a 4＝1－(b a)4， 即1－(b a )4＝34， 解得b a ＝±22，∴b a ＝22. 令x 2a 2－y 2b2＝0，解得bx ±ay ＝0， ∴x ±2y ＝0.]11．B [DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC →＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →， 所以λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.] 12．D [射击两次的结果有：一次中靶；二次中靶；两次都不中靶，故至少一次中靶的互斥事件是两次都不中靶．]13．6解析 f (x )＝x 3－2cx 2＋c 2x ，f ′(x )＝3x 2－4cx ＋c 2，f ′(2)＝0⇒c ＝2或c ＝6.若c ＝2，f ′(x )＝3x 2－8x ＋4，令f ′(x )>0⇒x <23或x >2，f ′(x )<0⇒23<x <2， 故函数在(－∞，23)及(2，＋∞)上单调递增，在(23，2)上单调递减， ∴x ＝2是极小值点，故c ＝2不合题意，同样验证可知c ＝6符合题意． 14.223a解析 如图所示，连接AC ，易知MN ∥平面ABCD ，∴MN ∥PQ .又∵MN ∥AC ，∴PQ ∥AC . 又∵AP ＝a 3， ∴PD AD ＝PQ AC ＝23，∴PQ ＝23AC ＝223a . 15．91解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2， ∴a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，∴数列{a n }从第二项开始为等差数列，当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2，∴a 3＝a 2＋2＝4，∴S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋9(2＋18)2＝91. 16．①④解析 设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 1，g (x 1))，D (x 2，g (x 2))，对于①从y ＝2x 的图象可看出，m ＝k AB ＞0恒成立，故正确；对于②直线CD的斜率可为负，即n＜0，故不正确；对于③由m＝n得f(x1)－f(x2)＝g(x1)－g(x2)，即f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，令h(x)＝f(x)－g(x)＝2x－x2－ax，则h′(x)＝2x·ln2－2x－a，由h′(x)＝0，得2x·ln2＝2x＋a，(*)结合图象知，当a很小时，方程(*)无解，∴函数h(x)不一定有极值点，就不一定存在x1，x2使f(x1)－g(x1)＝f(x2)－g(x2)，不一定存在x1，x2使得m＝n；对于④由m＝－n，得f(x1)－f(x2)＝g(x2)－g(x1)，即f(x1)＋g(x1)＝f(x2)＋g(x2)，令F(x)＝f(x)＋g(x)＝2x＋x2＋ax，则F′(x)＝2x ln2＋2x＋a，由F′(x)＝0，得2x ln2＝－2x－a，结合如图所示图象可知，该方程有解，即F(x)必有极值点，∴存在x1，x2使F(x1)＝F(x2)，使m＝－n.故①④正确．。