2016年浙江理数第8题详解
2016年浙江省高考数学理科试题及答案
绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟。
考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1. 答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。
答案写在试卷上无效。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第I卷（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合P=错误！未找到引用源。
，Q=错误！未找到引用源。
，则P错误！未找到引用源。
=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.错误！未找到引用源。
2.已知互相垂直的平面错误！未找到引用源。
交于直线l，若直线m,n满足错误！未找到引用源。
，则A.错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
D.错误！未找到引用源。
3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域错误！未找到引用源。
中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A.错误！未找到引用源。
B.4C.错误！未找到引用源。
D.64.命题“错误！未找到引用源。
使得错误！未找到引用源。
”的否定形式是A.错误！未找到引用源。
使得错误！未找到引用源。
B.错误！未找到引用源。
使得错误！未找到引用源。
C.错误！未找到引用源。
使得错误！未找到引用源。
[浙江卷]2016年浙江卷理科数学(全解析)
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(
)
b ,又 n ^ b ,所以 n ^ l .
ì x - 2 £ 0 ï 3. 在平面上,过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影.由区域 í x + y ³ 0 中的 ï x - 3 y + 4 ³ 0 î
点在直线 x + y - 2 = 0 上的投影构成的线段记为 AB ,则 AB = ( A. 2 2 B . 4 C. 3 2 D. 6 )
é 1 ù -b Î ê - , 6ú Í [ -6, 6 ] ,于是 -13 £ 2c £ 13 ,从而 c Î [ -7, 7 ] ,此时必然有 a2 + b2 + c 2 £ 2 2 + 22 + 72 ë 4 û < 100 ,命题得证. 第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分.
2b = b 2 ,解得 b = 2 , a = 4 .
* 13.设数列 {a 的前 n 项和为 S , n Î N ,则 a1 = n } n .若 S 2 = 4 , an +1 = 2 S n + 1
, S5 =
.
【解析】1 , 121 ；依题意可得 a1 + a2 = 4 , a2 = 2a1 + 1 ,解得 a1 = 1 , a2 = 3 ；当 n ³ 2 时, an +1 = 2 S n + 1 ,
S 2 1 S
∙∙∙
S n
∙∙∙
1 hn Bn Bn +1 ,由题目中条件可知 Bn Bn +1 的长度为定值,那么 2
B 1 B 2 B 3 ∙∙∙ B n B n+1 ∙∙∙
2016年浙江省高考数学理试题及答案
2016年浙江省高考数学理试题及答案2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合P=，Q=，则P=（）A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则（）A. B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l 上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=（）A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是（）A.使得B.使得C.使得D.使得5.设函数，则的最小正周期（）A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，，，.（表示点P与Q不重合）学.科.网若，为的面积，则（）A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则（）A.且B.且C.且D.且8.已知实数. （）A.若则B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 .10.已知，则A= ，b= .11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.12.已知，若，则a= ，b= .13.设数列的前n 项和为，若，则= ，= . 14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .15.已知向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，学.科.网若对任意单位向量e ，均有|a ·e |+|b ·e |，则a ·b 的最大值是 .三、解答题：本大题共5小题，共74分。
(完整)2016年高考浙江理科数学试题及答案(word解析版),推荐文档
（16）【2016年浙江，理16，14分】在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ．
（1）证明： ；
（2）若 的面积 ，求角 的大小．
解：（1）由正弦定理得 ， ，
于是 ．又 ，故 ，所以 或 ，
因此 （舍去）或 ，所以， ．
【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．
（10）【2016年浙江，理10，6分】已知 ，则 ， ．
【答案】 ；1
【解析】∵ ， ， ．
【点评】本题考查了二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
（11）【2016年浙江，理11，6分】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是cm2，体积是cm3．
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分），区域内的点在直线
上的投影构成线段 ，即 ，而 ，由 得 ，
即 ，由 得 ，即 ，
则 ，故选C．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义以及数形结合是解决本题的关键．
（4）【2016年浙江，理4，5分】命题“ ， ，使得 ”的否定形式是（）
∵ ，∴ ，故选C．
【点评】本题考查两直线关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
（3）【2016年浙江，理3，5分】在平面上，过点 作直线 的垂线所得的垂足称为点 在直线 上的投影．由区域 中的点在直线 上的投影构成的线段记为 ，则 （）
（A） （B）4（C） （D）6
【答案】C
平面 的法向量为 ．由 ，得 ，取 ；
由 ，得 ，取 ．于是， ．
2016年浙江省高考数学试卷+理科+解析
D．?x∈R，?n∈N*，使得 n＜x2
5．（ 5 分）（ 2016?浙江）设函数 f （x）=sin2x+bsinx+c ，则 f （x）的最小 正周期（ ）
A．与 b 有关，且与 c 有关
B ．与 b 有关，但与 c 无关
C．与 b 无关，且与 c 无关
D．与 b 无关，但与 c 有关
6．（ 5 分）（ 2016?浙江）如图，点列 {An} 、{Bn} 分别在某锐角的两边上， 且 |AnAn+1|=|An+1An+2| ，An≠An+1，n∈N*， |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2| ，Bn≠Bn+1， n∈N*，（ P≠Ｑ表示点 P 与 Q不重合）若 dn=|AnBn| ，Sn 为△ AnBnBn+1的面积，则 （）
， ab=ba，则 a=
，b=
．
13．（ 6 分）（ 2016?浙江）设数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，若 S2=4，
an+1=2Sn+1，n∈N*，则 a1=
， S5=
．
14．（ 4 分）（ 2016?浙江）如图，在△ ABC中， AB=BC=，2 ∠ ABC=12°0 ．若
平面 ABC外的点 P 和线段 AC上的点 D，满足 PD=D，A PB=BA，则四面体 PBCD的体积
18．（ 15 分）（ 2016?浙江）已知 a≥3，函数 F（x）=min{2|x ﹣1| ，x2﹣ 2ax+4a﹣ 2} ，其中 min（p，q）=
（Ⅰ）求使得等式 F（x）=x2﹣2ax+4a﹣ 2 成立的 x 的取值范围 （Ⅱ）（ i ）求 F（x）的最小值 m（ a） （ ii ）求 F（x）在 [0 ，6] 上的最大值 M（a） 19．（ 15 分）（ 2016?浙江）如图，设椭圆 C： +y2=1（a＞1） （Ⅰ）求直线 y=kx+1 被椭圆截得到的弦长（用 a， k 表示） （Ⅱ）若任意以点 A（0，1）为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆 的离心率的取值范围．
2016年高考浙江理科数学试题及答案(word解析版)
2016年普通高等學校招生全國統一考試（浙江卷）數學（理科）第Ⅰ卷（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出の四個選項中，只有一項符合題目要求． （1）【2016年浙江，理1，5分】已知集合{}|13P x R x =∈≤≤，{}2|4Q x R x =∈≥，則()R P Q （ ）（A ）[]2,3 （B ）(]2,3- （C ）[)1,2 （D ）(][),21,-∞-+∞【答案】B 【解析】{}{}2|22|4Q x R x x R x x =∈≥=∈≥≤-或，即有{}|22R Q x R x -=<∈<，則()(]2,3RP Q =-，故選B ．【點評】本題考查集合の運算，主要是並集和補集の運算，考查不等式の解法，屬於基礎題． （2）【2016年浙江，理2，5分】已知互相垂直の平面α，β交於直線l ．若直線m ，n 滿足//m α，n β⊥，則（ ）（A ）//m l （B ）//m n （C ）n l ⊥ （D ）m n ⊥ 【答案】C【解析】∵互相垂直の平面α，β交於直線l ，直線m ，n 滿足//m α，∴//m β或m β⊂或m β⊥，l β⊂，∵n β⊥，∴n l ⊥，故選C ．【點評】本題考查兩直線關系の判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力の培養． （3）【2016年浙江，理3，5分】在平面上，過點P 作直線l の垂線所得の垂足稱為點P 在直線l 上の投影．由區域200340x x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩中の點在直線20x y +-=上の投影構成の線段記為AB ，則AB =（ ）（A ）22 （B ）4 （C ）32 （D ）6【答案】C【解析】作出不等式組對應の平面區域如圖：（陰影部分），區域內の點在直線20x y +-=上の投影構成線段R Q ''，即SAB ，而R Q RQ ''=，由3400x y x y -+=⎧⎨+=⎩得11x y =-⎧⎨=⎩，即()1,1Q -，由20x x y =⎧⎨+=⎩得22x y =⎧⎨=-⎩，即()2,2R -，則()()2212129932AB QR ==--++=+=，故選C ．【點評】本題主要考查線性規劃の應用，作出不等式組對應の平面區域，利用投影の定義以及數形結合是解決本題の關鍵．（4）【2016年浙江，理4，5分】命題“x ∀∈R ，n N *∃∈，使得2n x >”の否定形式是（ ）（A ）x ∀∈R ，n N *∃∈，使得2n x < （B ）x ∀∈R ，n N *∀∈，使得2n x < （C ）x ∃∈R ，n N *∃∈，使得2n x < （D ）x ∃∈R ，n N *∀∈，使得2n x < 【答案】D 【解析】因為全稱命題の否定是特稱命題，所以，命題“x ∀∈R ，n N *∃∈，使得2n x >”の否定形式是：x ∃∈R ，n N *∀∈，使得2n x <，故選D ．【點評】全稱命題の否定是特稱命題，特稱命題の否定是全稱命題．對含有存在（全稱）量詞の命題進行否定需要兩步操作：①將存在（全稱）量詞改成全稱（存在）量詞；②將結論加以否定．（5）【2016年浙江，理5，5分】設函數()2sin sin f x x b x c =++，則()f x の最小正周期（ ）（A ）與b 有關，且與c 有關 （B ）與b 有關，但與c 無關（C ）與b 無關，且與c 無關 （D ）與b 無關，但與c 有關 【答案】B【解析】∵設函數()2sin sin f x x b x c =++，∴c 是圖象の縱坐標增加了c ，橫坐標不變，故周期與c 無關，當0b =時，()211sin sin cos222f x x b x c x c =++=-++の最小正周期為22T ππ==，當0b ≠時，()11cos2sin 22f x x b x c =-+++，∵cos2y x =の最小正周期為π，sin y b x =の最小正周期為2π，∴()f x の最小正周期為2π，故()f x の最小正周期與b 有關，故選B ．【點評】本題考查了三額角函數の最小正周期，關鍵掌握三角函數の圖象和性質，屬於中檔題． （6）【2016年浙江，理6，5分】如圖，點列{}n A 、{}n B 分別在某銳角の兩邊上，且112n n n n A A A A +++=，1n n A A +≠，n N *∈，112n n n n B B B B +++=，1n n B B +≠，n N *∈，（P Q ≠表示點P 與Q 不重合）若n n n d A B =，n S 為1n n n A B B +∆の面積，則（ ） （A ）{}n S 是等差數列 （B ）{}2n S 是等差數列（C ）{}n d 是等差數列 （D ）{}2n d 是等差數列 【答案】A【解析】設銳角の頂點為O ，1OA a =，1OB b =，112n n n n A A A A b +++==，112n n n n B B B B d +++==，由於a ，b 不確定，則{}n d 不一定是等差數列，{}2nd 不一定是等差數列，設1n n n A B B+∆の底邊1n n B B +上の高為n h ，由三角形の相似可得()111n n n n a n b h OA h OA a nb +++-==+，()22111n n n n a n bh OA h OA a nb++++++==+，兩式相加可得，21222n n n h h a nb h a nb ++++==+，即有212n n n h h h +++=，由12n n S d h =⋅，可得212n n n S S S +++=， 即為211n n n n S S S S +++=--，則數列{}n S 為等差數列，故選A ．【點評】本題考查等差數列の判斷，注意運用三角形の相似和等差數列の性質，考查化簡整理の推理能力，屬於中檔題．（7）【2016年浙江，理7，5分】已知橢圓()2212:11x C y m m +=>與雙曲線()2212:10x C y n n-=>の焦點重合，1e ，2e 分別為1C ，2C の離心率，則（ ） （A ）m n >且121e e > （B ）m n >且121e e < （C ）m n <且121e e > （D ）m n <且121e e < 【答案】A【解析】∵橢圓()2212:11x C y m m +=>與雙曲線()2212:10x C y n n-=>の焦點重合，∴滿足22211c m n =-=+，即2220m n -=>，∴22m n >，則m n >，排除C ，D ，則2221c m m -<=，2221c n n =+>，則c m <．c n >，1c e m =，2c e n =，則212c c c e e m n mn ⋅=⋅=，則()()()222222212222211m n c c c c e e m n m n m n -+⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()22222222222222112111111m n m n m n m n m n m n m n+-----==+=+=+>，∴121e e >，故選A ． 【點評】本題主要考查圓錐曲線離心率の大小關系の判斷，根據條件結合雙曲線和橢圓離心率以及不等式の性質進行轉化是解決本題の關鍵．考查學生の轉化能力．（8）【2016年浙江，理8，5分】已知實數a ，b ，c （ ）（A ）若221a b c a b c +++++≤，則222100a b c ++<（B ）若22|1|a b c a b c ++++-≤，則222100a b c ++<（C ）若221||a b c a b c ++++-≤，則222100a b c ++<（D ）若22|1|a b c a b c ++++-≤，則222100a b c ++< 【答案】D 【解析】A ．設10a b ==，110c =-，則2201a b c a b c +++++=≤，222100a b c ++>；B ．設10a =，100b =-，0c =，則221||0a b c a b c ++++-=≤，222100a b c ++>；C ．設100a =，100b =-，0c =，則22|0|1a b c a b c ++++-=≤，222100a b c ++>，故選D ．【點評】本題主要考查命題の真假判斷，由於正面證明比較複雜，故利用特殊值法進行排除是解決本題の關鍵．第Ⅱ卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共7小題，多空題每題6分，單空題每題4分，共36分．（9）【2016年浙江，理9，6分】若拋物線24y x =上の點M 到焦點の距離為10，則M 到y 軸の距離是 ． 【答案】9【解析】拋物線の准線為1x =-，∵點M 到焦點の距離為10，∴點M 到准線1x =-の距離為10，∴點M 到y 軸の距離為9．【點評】本題考查了拋物線の性質，屬於基礎題． （10）【2016年浙江，理10，6分】已知()()22cos sin 2sin 0x x A x b A ωϕ+=++>，則A = ，b = ． 【答案】2；1【解析】∵2222cos sin 21cos 2sin 212cos 2sin 212sin 21224x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫+=++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2A ∴=，1b =．【點評】本題考查了二倍角の餘弦公式、兩角和の正弦函數の應用，熟練掌握公式是解題の關鍵． （11）【2016年浙江，理11，6分】某幾何體の三視圖如圖所示（單位：cm ），則該幾何體の表面積是 cm 2，體積是 cm 3． 【答案】72；32【解析】由三視圖可得，原幾何體為由四個棱長為2cm の小正方體所構成の，則其表面積為()2224672⨯-=cm 2，其體積為34232⨯=．【點評】本題考查了由三視圖求幾何體の體積和表面積，解題の關鍵是判斷幾何體の形狀及相關數據所對應の幾何量，考查空間想象能力．（12）【2016年浙江，理12，4分】已知1a b >>，若5log o 2l g a b b a +=，ba ab =，則a = ，b = ．【答案】4；2【解析】設log b t a =，由1a b >>知1t >，代入5log o 2l g a b b a +=得152t t +=，即22520t t -+=，解得2t =或12t =（舍去），所以log 2b a =，即2a b =，因為b a a b =，所以2b a b b =，則22a b b ==，解得2b =，4a =．【點評】本題考查對數の運算性質，是基礎の計算題．（13）【2016年浙江，理13，4分】設數列{}n a の前n 項和為n S ，若24S =，121n n a S +=+，*n N ∈，則1a = __，5S = __．【答案】1；121【解析】由1n =時，11a S =，可得2112121a S a =+=+，又24S =，即124a a +=，即有1314a +=，解得11a =；由11n n n a S S ++=-，可得131n n S S +=+，由24S =，可得334113S =⨯+=，4313140S =⨯+=，53401121S =⨯+=．【點評】本題考查數列の通項和前n 項和の關系：n=1時，a 1=S 1，n ＞1時，a n =S n ﹣S n ﹣1，考查運算能力，屬於中檔題．（14）【2016年浙江，理14，4分】如圖，在ABC ∆中，2AB BC ==，120ABC ∠=︒．若平面ABC 外の點P 和線段AC 上の點D ，滿足PD DA =，PB BA =，則四面體PBCD の體積の最大值是 ．【答案】12【解析】如圖，M 是AC の中點．①當3AD t AM =<=時，如圖，此時高為P 到BD の距離，也就是A 到BD の距離，即圖中AE ，3DM t =-，由ADE BDM ∆∆∽，可得 ()2131htt=-+，()231th t=-+，()()()()()22233111231,0,33263131ttV t t tt--=⋅⋅-⋅⋅=⋅∈-+-+②當3AD t AM =>=時，如圖，此時高為P 到BD の距離，也就是A 到BD の距離，即圖中AH ，3DM t =-，由等面積，可得1122AD BM BD AH ⋅⋅=⋅⋅，∴()21113122t t ⋅⋅=-+，∴()231th t=-+，∴()()()()()22233111231,3,233263131ttV t t tt--=⋅⋅-⋅⋅=⋅∈-+-+，綜上所述，()()()22331,0,23631tV t t--=⋅∈-+，令()[)2311,2m t=-+∈，則2146m V m-=⋅，∴1m =時，12max V =． 【點評】本題考查體積最大值の計算，考查學生轉化問題の能力，考查分類討論の數學思想，對思維能力和解題技巧有一定要求，難度大．（15）【2016年浙江，理15，5分】已知向量a ，b ，1a =，2b =，若對任意單位向量e ，均有6a e b e ⋅+⋅≤，則a b ⋅の最大值是 ．【答案】12【解析】∵()6a b e a e b e a e b e +⋅=⋅+⋅≤⋅+⋅≤，∴()6a b e a b +⋅=+≤，平方得：2226a b a b ++⋅≤，即221226a b ++⋅≤，則12a b ⋅≤，故a b ⋅の最大值是12． 【點評】本題主要考查平面向量數量積の應用，根據絕對值不等式の性質以及向量三角形不等式の關系是解決本題の關鍵．綜合性較強，有一定の難度．三、解答題：本大題共5題，共74分．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程． （16）【2016年浙江，理16，14分】在ABC ∆中，內角A ，B ，C 所對の邊分別為a ，b ，c ，已知2cos b c a B +=．（1）證明：2A B =；（2）若ABC ∆の面積24a S =，求角A の大小．解：（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，()2sin cos sin sin sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 於是()sin sin B A B =-．又(),0,A B π∈，故0A B π<-<，所以()B A B π=--或B A B =-，因此A π=（舍去）或2A B =，所以，2A B =．（2）由24a S =得21sin 24a ab C =，故有1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因sin 0B ≠，得sin cos C B =．又(),0,B C π∈，所以2C B π=±．當2B C π+=時，2A π=；當2C B π-=時，4A π=．綜上，2A π=或4A π=．【點評】本題考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面積の計算，考查二倍角公式の運用，屬於中檔題．（17）【2016年浙江，理17，15分】如圖，在三棱臺ABC DEF -中，已知平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，1BE EF FC ===，2BC =，3AC =． （1）求證：EF ⊥平面ACFD ；（2）求二面角B AD F --の餘弦值． 解：（1）延長AD ，BE ，CF 相交於一點K ，如圖所示．因為平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC BC ⊥，； 所以，AC ⊥平面BCK ，因此，BF AC ⊥．又因為//EF BC ，1BE EF FC ===，2BC =，所以BCK ∆ 為等邊三角形，且F 為CK の中點，則BF CK ⊥．所以BF ⊥平面ACFD ．（2）解法1：過點F 作FQ AK ⊥，連結BQ ．因為BF ⊥平面ACK ，所以BF AK ⊥，則AK ⊥平面BQF ，所以BQ AK ⊥．所以，BQF ∠是二面角B AD F --の平面角．在Rt ACK ∆中， 3AC =，2CK =，得31313FQ =．在Rt BQF ∆中，31313FQ =，3BF =，得3cos 4BQF ∠=． 所以，二面角B AD F --の平面角の餘弦值為34．解法2：如圖，延長AD ，BE ，CF 相交於一點K ，則BCK ∆為等邊三角形．取BC の 中點O ，則KO BC ⊥，又平面BCFE ⊥平面ABC ，所以，KO ⊥平面ABC ．以點O 為原 點，分別以射線OB ，OK の方向為x ，z の正方向，建立空間直角坐標系Oxyz ．由題意 得()1,0,0B ，()1,0,0C -，()0,0,3K ，()1,3,0A --，13,0,22E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，13,0,22F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． 因此，()0,3,0AC =，()1,3,3AK =，()2,3,0AB =．設平面ACK の法向量為()111,,m x y z =， 平面ABK の法向量為()222,,n x y z =．由0AC m AK m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111130330y x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取()3,0,1m =-；由0AB n AK n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22222230330x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩，取()3,2,3n =-．於是，3cos ,4m n m n m n ⋅==⋅． 所以，二面角B AD F --の平面角の餘弦值為34． 【點評】本題考查了空間位置關系、法向量の應用、空間角，考查了空間想象能力、推理能力與計算能力，屬於中檔題．（18）【2016年浙江，理18，15分】已知3a ≥，函數(){}2min 21,242F x x x ax a =--+-，其中(),min ,,p p qp q q p q ≤⎧=⎨>⎩．（1）求使得等式()2242F x x ax a =-+-成立のx の取值範圍； （2）（i ）求()F x の最小值()m a ；（ii ）求()F x 在[]0,6上の最大值()M a ．解：（1）由於3a ≥，故當1x ≤時，()()()22242212120x ax a x x a x -+---=+-->，當1x >時，()()()22422122x ax a x x x a -+---=--．所以，使得等式()2242F x x ax a =-+-成立のx の取值範圍為[]2,2a ．（2）（i ）設函數()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-，則()()min 10f x f ==，()()2min 42g x g a a a ==-+-，所以，由()F x の定義知()()(){}min 1,m a f g a =，即()20,32242,22a m a a a a ⎧≤≤+⎪=⎨-+->+⎪⎩．（ii ）當02x ≤≤時，()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，當26x ≤≤時，()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=．所以，()348,342,4a a M a a -≤<⎧=⎨≥⎩．【點評】本題考查新定義の理解和運用，考查分類討論の思想方法，以及二次函數の最值の求法，不等式の性質，考查化簡整理の運算能力，屬於中檔題．（19）【2016年浙江，理19，15分】如圖，設橢圓()222:11x C y a a+=>．（1）求直線1y kx =+被橢圓截得到の弦長（用a ，k 表示）；（2）若任意以點()0,1A 為圓心の圓與橢圓至多有三個公共點，求橢圓の離心率の取值範圍．解：（1）設直線1y kx =+被橢圓截得の線段為AP ，由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222120a k x a kx ++=，故10x =， 222221a k x a k=-+．因此22212222111a k AP k x x k a k =+-=⋅++． （2）假設圓與橢圓の公共點有4個，由對稱性可設y 軸左側の橢圓上有兩個不同の點P ，Q ，滿足AP AQ =．記直線AP ，AQ の斜率分別為1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠．由（1）知，AP =AQ =，=，所以()()22222222121212120k k k k a a k k ⎡⎤-+++-=⎣⎦．由於12k k ≠，1k ，20k >得()2222221212120k k a a k k +++-=，因此()222212111112a a k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭①因為①式關於1k ，2k の方程有解の充要條件是：()22121a a +->，所以a >．因此，任意以點()0,1A 為圓心の圓與橢圓至多有3個公共點の充要條件為12a <≤，由c e a ==得，所求離心率の取值範圍為0e <≤【點評】本題考查直線與橢圓の位置關系の綜合應用，橢圓與圓の位置關系の綜合應用，考查分析問題解決問題の能力，考查轉化思想以及計算能力．（20）【2016年浙江，理20，15分】設數列滿足11,2n n aa n N *+-≤∈．（1）求證：()()1*122n n a a n N ≥∈﹣﹣； （2）若32nn a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，*n N ∈，證明：2n a ≤，*n N ∈．解：（1）由112n n a a +-≤得1112n n a a +-≤，故111222n n n n na a ++-≤，n *∈N ， 所以31112211223122222222nn n n n n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121111222n -≤++⋅⋅⋅+1<， 因此()1122n n a a -≥-． （2）任取n *∈N ，由（1）知，對於任意m n >，1121112122222222n m n n n n m m nmn n n n m m a a a a a a a a +++-+++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111222n n m +-≤++⋅⋅⋅+112n -<，故11222m n n n m a a -⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭11132222mnn m-⎡⎤⎛⎫≤+⋅⋅⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦3224mn⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭．從而對於任意m n >，均有3224mn n a ⎛⎫<+⋅ ⎪⎝⎭．由m の任意性得2n a ≤ ①否則，存在0n *∈N ，有02n a >，取正整數000342log 2n n a m ->且00m n >，則003402log 23322244n n a m m n n a -⎛⎫⎛⎫⋅<⋅=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，與①式矛盾．綜上，對於任意n *∈N ，均有2n a ≤．【點評】本題考查了不等式の應用與證明，等比數列の求和公式，放縮法證明不等式，難度較大．。
【精品】2016年浙江省高考数学理科试题含答案
2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合P=，Q=，则P=A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.2.已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m,n满足，则A.B. C. D.3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影，由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|=A. B.4 C. D.64.命题“使得”的否定形式是A.使得B.使得C.使得D.使得5.设函数，则的最小正周期A.与b有关，且与c有关B.与b有关，但与c无关C.与b无关，且与c无关D.与b无关，但与c有关6.如图，点列分别在某锐角的两边上，且，，，.（表示点P与Q不重合）学.科.网若，为的面积，则A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列7.已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则A.且B.且C.且D.且8.已知实数.A.若则B.若则C.若则D.若则二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
9.若抛物线上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是.10.已知，则A=，b=.11.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是cm 2，体积是cm 3.12.已知，若，则a=，b=.13.设数列的前n 项和为，若 ，则=，=.14.如图，在中，AB=BC=2，.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD=DA ，PB=BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是.15.已知向量a ，b ，|a |=1，|b |=2，学.科.网若对任意单位向量e ，均有|a ·e |+|b ·e |，则a ·b 的最大值是.三、解答题：本大题共5小题，共74分。
2016年高考理科数学浙江卷及答案解析
数学试卷 第1页（共18页）数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共6页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至6页.满分150分，考试时间120分钟. 考生注意:1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别书写在试卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上书写作答，在本试卷上作答，一律无效.选择题部分(共40分)一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{13}P x x =∈R ≤≤，2{4}Q x x =∈R ≥，则()P Q =R ð( )A . []2,3B . (]2,3-C . [)1,2D . (][),21,-∞-+∞2．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m α∥，n β⊥，则 ( ) A . m l ∥ B . m n ∥ C . n l ⊥D . m n ⊥2．在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域20,0,340,x x y x y -⎧⎪+⎨⎪-+⎩≤≥≥中的点在直线20x y +-=上的投影构成的线段记为AB ，则||AB =( )A .B . 4C .D . 6 4．命题“*x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x >”的定义形式是( )A . *x n ∀∈∃∈R N ，，使得2n x <B . *x n ∀∈∀∈R N ，，使得2n x <C . *x n ∃∈∃∈R N ，，使得2n x <D . *x n ∃∈∀∈R N ，，使得2n x <5.设函数2()sin sin f x x b x c =++，则()f x 的最小正周期( )A . 与b 有关，且与c 有关B . 与b 有关，但与c 无关C . 与b 无关，且与c 无关D . 与b 无关，但与c 有关6.如图，点列{},{}n n A B 分别在某锐角的两边上，且112||||n n n n A A A A +++=，2n n A A +≠，*n ∈N ，112||||n n n n B B B B +++=，2n n B B +≠，*n ∈N （P Q ≠表示点P 与Q 不重合），若||n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则( )A . {}n S 是等差数列B . 2{}nS 是等差数列 C . {}n d 是等差数列 D . 2{}nd 是等差数列 7. 已知椭圆()212211x m C y m +=>：与双曲线()2222–10n x C y n=>：的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则 ( )A . 121m n e e >>且B . 121m n e e ><且C . 121m n e e <>且D . 121m n e e <<且 8. 已知实数a ，b ，c .( )A . 若22|||1|a b c a b c +++++≤，则222100a b c ++< B . 若22|||1|–a b c a b c ++++≤，则222100a b c ++< C . 若22|||–1|a b c a b c ++++≤，则222100a b c ++< D . 若22|||–1|a b c a b c ++++≤，则222100a b c ++<非选择题部分(共110分)二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9. 若抛物线24y x =上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______. 10. 已知()()2sin 2cos i 20s n x x A x b A ωϕ+=++>，则A =______，b =________. 11. 某几何体的三视图如图所示（单位:cm ），则该几何体的表面积是______cm 2，体积是______cm 3.12. 已知1a b >>.若log lo 52g a b b a +=，b a a b =，则a = ，b = . 13. 设数列{}n a 的前n 项和为n S 若21421n n S a S n +==+∈*N ，，，则1a = ，5S = .14. 如图，在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=︒，.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD DA PB BA ==，，则四面体PBCD 的体积的最大值是 .15. 已知向量a ，b ，|a |=1，|b |=2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |+|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是 .-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）三、解答题:本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分14分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B +=. （Ⅰ）证明:2A B =； （Ⅱ）若ABC △的面积2=4aS ，求角A 的大小.17.（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面BCFE ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，BE =1EF FC ==，2BC =，3AC =.（Ⅰ）求证:BF ⊥平面ACFD ；（Ⅱ）求二面角B AD F --的平面角的余弦值.18.（本小题满分15分） 已知3a ≥，函数2{||min 2}1242F x x x ax a =--+-（），，其中,min{}.,p p q q p q p q ⎨⎩=⎧≤，＞，（Ⅰ）求使得等式2242F x x ax a =-+-（）成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（i ）求()F x 的最小值()m a ；（ii ）求()F x 在区间[0,6]上的最大值()M a .19.（本小题满分15分）如图，设椭圆22211x y a a+=（＞）.（Ⅰ）求直线1y kx =+被椭圆截得的线段长（用a ，k 表示）；（Ⅱ）若任意以点0,1A （）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.20.（本小题满分15分）设数列{}n a 满足1||12n n a a +-≤，n ∈*Ν. （Ⅰ）证明：112(||2)n n a a --≥，n ∈*Ν；（Ⅱ）若3||2nn a ≤（），n ∈*Ν，证明：||2n a ≤，n ∈*Ν.数学试卷 第7页（共18页）数学试卷 第8页（共18页）数学试卷 第9页（共18页）2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）理科数学答案解析选择题部分一、选择题 1.【答案】B【解析】2{|}{Q x x 4x |x 2x 2}=∈≥=∈≥≤R R 或﹣，即有R {|Q x 2}x 2-=∈<<R ð， 则R P(Q)23](,=-ð【提示】运用二次不等式的解法，求得集合Q ，求得Q 的补集，再由两集合的并集运算，即可得到所求 【考点】并集及其运算 2.【答案】C【解析】∵互相垂直的平面α，β交于直线l ，直线m ，n 满足m α∥，∴m β∥，m ⊆β或m ⊥β，l ⊆β，∵n ⊥β，∴n l ⊥．故选：C ．【提示】由已知条件推导出l ⊆β，再由n ⊥β，推导出n l ⊥ 【考点】直线与平面垂直的判定【提示】做出不等式组对应的平面区域，利用投影的定义，利用数形结合进行求解即可 【考点】简单线性规划的应用． 4.【答案】D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“x ∀∈R ，n ∃∈*N ，使得2n x ≥”的否定形式是：x ∃∈R ，n ∀∈*N ，使得2n x <.故选：D ．【提示】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可 【考点】命题的否定． 5.【答案】B【解析】∵设函数2f (x)sin x bsinx c =++，∴c 是图像的纵坐标增加了c ，横坐标不变，故周期与c 无关，当b 0=时，211f (x)sin x bsinx c cos2x c 22=++=-++的最小正周期为2πT π2==， 当b 0≠时，11f x cos2x bsinx c 22=-+++（）， ∵y cos2x =的最小正周期为π，y bsinx =的最小正周期为2π， ∴f (x)的最小正周期为2π，故f (x)的最小正周期与b 有关，故选：B. 【提示】根据三角函数的图像和性质即可判断 【考点】三角函数的周期性及其求法． 6.【答案】A【解析】设锐角的顶点为O ，1|OA |a =，1|OB |b =，n n 1n 1n 2A A A |||A b |+++==，n n 1n 1n 2B B B |||B d |+++==，n d h ，可得即为n 2n 1n 1n S S S S +++-=-，则数列n {S }为等差数列．故选：A ．【提示】设锐角的顶点为O ，1|OA |a =，1|OB |b =，n n 1n 1n 2A A A |||A b |+++==，n n 1n 1n 2B B B |||B d |+++==，由于a ，b 不确定，判断C ，D 不正确，设n n n 1A B B +△的底边n n 1B B +上的高为n h ，运用三角形相似知识，n n 2n 1h h 2h +++=，由n n 1S d h 2=，可得n n 2n 1S S 2S +++=，进而得到数列n {S }为等差数列 【考点】数列与函数的综合． 212c c c e m n mn==， 221222c c e m n m (m 1)(n )-⎛⎫=⎛⎫= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭数学试卷 第10页（共18页） 数学试卷 第11页（共18页）数学试卷 第12页（共18页）∴12e e 1>，故选：A ．【提示】根据椭圆和双曲线有相同的焦点，得到222c m 1n 1-==+，即22m n 2-=，进行判断，能得m n >，求出两个离心率，先平方进行化简进行判断即可 【考点】椭圆的简单性质，双曲线的简单性质． 8.【答案】D 【解析】A ．设a b 10==，c 110=-，则22a b c ||a c 1||b 0+++++=≤，222a b c 100++>；B ．设a 10=，b 100=-，c 0=，则22a b c ||a b c 0|1|++++-=≤，222a b c 100++>；C ．设a 100=，b 100=-，c 0=，则22a b c a b c 0|||1|+++-=≤+，222a b c 100++>；故选：D ．【提示】本题可根据选项特点对a ，b ，c 设定特定值，采用排除法解答 【考点】命题的真假判断与应用．非选择题部分二、填空题 9.【答案】9【解析】解：抛物线的准线x 1=-，∵点M 到焦点的距离为10，∴点M 到准线x 1=-的距离为10，∴点M 到y 轴的距离为9，故答案为：9【提示】根据抛物线的性质得出M 到准线x 1=-的距离为10，故到y 轴的距离为9 【考点】抛物线的简单性质． 【提示】根据二倍角的余弦公式、两角和的正弦函数化简左边，即可得到答案 【考点】两角和与差的正弦函数． 11.【答案】7232【解析】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，则其表面积为222(246)72cm ⨯-=，其体积为34232⨯=，故答案为：72，32【提示】由三视图可得，原几何体为由四个棱长为2cm 的小正方体所构成的，代入体积公式和面积公式计算即可． 【考点】由三视图求面积、体积 12.【答案】4 【提示】设b t log a =并由条件求出t 的范围，代入a b log b log a 2+=化简后求出t 的值，得到a 与b 的关系式代入b a a b =化简后列出方程，求出a 、b 的值． 【考点】对数的运算性质． 13.【答案】1 121【解析】由n 1=时，11a S =，可得211a 2S 12a 1=+=+，又2S 4=，即12a a 4+=，即有13a 14+=，解得1a 1=；由n 1n 1n a S S ++-=，可得n 1n S 3S 1+=+，由2S 4=，可得3S 34113=⨯+=，4S 313140=⨯+=，5S 3401121=⨯+= 故答案为：1，121.【提示】运用n 1=时，11a S =，代入条件，结合2S 4=，解方程可得首项；再由n 1>时，n 1n 1n a S S ++-=，结合条件，计算即可得到所求和．【考点】数列的概念及简单表示法． 14.【答案】1【解析】如图，M 是AC 的中点．①当AD t AM 3=<=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AE ，h t22211t 13(3t)(23t)1326(3t)1(3t)---=-+-+②当AD t AM 3=>=时，如图，此时高为P 到BD 的距离，也就是A 到BD 的距离，即图中AH ，11AD BM BD AH 22=，∴11t 1(t 22=22211t 13(3t)V (23t)1326(3t)1(3t)--=-=-+-+213(36(3t)---[)11,2+∈214m 6m-，∴数学试卷 第13页（共18页）数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）【提示】由题意，ABD PBD △≌△，可以理解为PBD △是由△ABD 绕着BD 旋转得到的，对于每段固定的AD ，底面积BCD 为定值，要使得体积最大，PBD △必定垂直于平面ABC ，此时高最大，体积也最大． 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．15.【答案】12【解析】∵(a b)e a e b e a e b e 6+=+≤+≤，∴(a b)e a b 6+=+≤，平方得：22a b 2a b 6++≤，即22122a b 6++≤，则1a b 2≤，故a b 的最大值是12，故答案为：12．【提示】根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论 【考点】平面向量数量积的运算． 三、解答题【考点】余弦定理，正弦定理．【提示】（Ⅰ）先证明BF AC ⊥，再证明BF CK ⊥，进而得到BF ⊥平面ACFD ． （Ⅱ）先找二面角B AD F --的平面角，再在Rt BQF △中计算，即可得出； 【考点】二面角的平面角及求法，空间中直线与直线之间的位置关系． 18.【答案】解：（Ⅰ）由于a 3≥，故当x 1≤时，数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）19.【答案】解：（Ⅰ）设直线y kx 1=+被椭圆截得的线段为AP ，由222y kx 1x y 1a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(1a k )x 2a kx 0++=，221k +．轴左侧的椭圆上 【考点】椭圆的简单性质；圆与圆锥曲线的综合．m mn n nn 1m 113322222224-⎡⎤⎫⎛⎫⎛⎫≤+=+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎭⎣⎦．，均有mn n 3a 224⎛⎫<+ ⎪⎝⎭．由m 的任意性得n a 2≤①否则，数0m >03n 042n 33244⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上，对于任意n ∈*Ν，均有n a （Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论得出n m n m n 1a a 1222--<，进而得出n n 3a 224⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，利用m 的任意性可证n a 2≤ 【考点】数列与不等式的综合。