朴实中孕育基础常规中彰显能力--2014年高考解析几何试题分析

朴实中孕育基础㊀常规中彰显能力２０１４年高考解析几何试题分析湖北省武穴市实验高中㊀㊀４３５４００㊀㊀刘胜林㊀㊀２０１４年高考虽已悄然离去，但留给我们无尽的思索．相比前几届的高考试题，２０１４年高考数学试题整体难度略有所降低．笔者特别关注了一下今年的高考解析几何试题，其试题设计的问题情境熟悉，问题设置常规，给人一种 似曾相识燕归来 的感觉，但若真正动笔具体操作起来时不时有些 咔 ，一不留神，还会陷入泥潭，不能自拔．下面邀大家一起从试题设计的背景㊁试题考查的基本数学思想㊁基本技能等角度来对２０１４年高考解析几何试题进行剖析，期望对２０１５年高考解析几何的备考复习工作带来些启发与帮助．１㊀试题设计的背景深刻㊁内涵丰富高考试题是高考命题专家㊁一线优秀教师团队经过几个月的精心准备㊁苦心钻研命制而成，其试题设计的背景常通过不同的载体来实现和依托不同的方式来呈现，常见的有：以课标为背景，以往年高考试题为背景，以国外高考试题为背景，以经典的数学名题为背景，以重要的数学结论为背景等．许多试题是可进行横㊁纵向的拓展与延伸，其内涵颇为丰富．图１如（２０１４年福建高考数学理科卷第１９题）已知双曲线Ｅ：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的两条渐近线分别为ｌ１：ｙ＝２ｘ，ｌ２：ｙ＝－２ｘ．（１）求双曲线Ｅ的离心率；（２）如图１示，Ｏ为坐标原点，动直线ｌ分别交直线ｌ１，ｌ２于Ａ，Ｂ两点（Ａ，Ｂ分别在第一㊁四象限），且әＯＡＢ的面积恒为８．试探究：是否存在总与直线ｌ有且只有一个公共点的双曲线Ｅ？如存在，求出双曲线Ｅ的方程；如不存在，说明理由．本题主要考查双曲线的几何性质，直线与双曲线位置关系，其第二问是一道开放型试题，自主探究是否存在双曲线Ｅ，使得总有动直线ｌ与Ｅ有且只有一个交点，且ＳәＯＡＢ恒为８．通过探究最终求得双曲线Ｅ：ｘ２４－ｙ２１６＝１，深入挖掘可以发现，该问的设置是在双曲线如下一个重要几何性质下孕育而生的．性质：过双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）上任意一点作其切线，则切线与双曲线两渐近线所围成的三角形的面积恒为ａｂ．利用上述性质易知ａｂ＝８，又ｂａ＝２，从而得ａ２＝４，ｂ２＝１６，即得双曲线Ｅ的方程为ｘ２４－ｙ２１６＝１．至此可以发现，在该问题的求解过程中，若能理解并掌握双曲线的这一重要结论，进而就可洞察出试题的设计背景，站在一个高观点下审视此题，继而问题求解起来就会游刃有余．２㊀试题考查的数学思想鲜明所谓解析几何即是通过将平面中的点坐标化，继而利用数量关系来刻画平面中的直线㊁曲线及其几何关系，进而将几何问题转化为相应的代数问题，并最终通过纯粹的代数运算来解决平面几何问题．因此解析几何问题的求解常常会渗透函数与方程㊁不等式等重要的数学思想．图２如（２０１４年辽宁高考数学理科卷第２０题）：圆ｘ２＋ｙ２＝４的切线与ｘ轴正半轴，ｙ轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为Ｐ（如图２）．双曲线Ｃ１：ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１过点Ｐ且离心率为３．（Ⅰ）求Ｃ１的方程；（Ⅱ）椭圆Ｃ２过点Ｐ且与Ｃ１有相同的焦点，直线ｌ过Ｃ２的右焦点且与Ｃ２交于Ａ，Ｂ两点．若以线段ＡＢ为直径的圆过点Ｐ，求ｌ的方程．本题第一问要求双曲线Ｃ１的方程，需先求出切点Ｐ的坐标．利用圆的切线及直角三角形的性质，借助重要均值不等式ＯＰ２＝ＰＤ㊃ＰＥɤＰＤ＋ＰＥ２æèçöø÷２（当且仅当ＰＤ＝ＰＥ时取 ＝号），可得当点Ｐ为ＤＥ中点，即ＲｔәＤＯＥ为等腰３５中学数学杂志㊀２０１４年第１１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀Ｒｔә时，ＳәＤＯＥ最小，从而可得Ｐ（２，２），于是利用Ｐ在双曲线Ｃ１上及ｅ＝３来建立关于参数ａ，ｂ的方程组进行求解即可得到双曲线Ｃ１的方程．而本题第二问是解析几何中一道很典型的求某一参数取值的问题，待定系数法，设直线ｌ的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－３），Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），而后利用题目条件所给等量关系（或利用平面几何图形的几何性质去分析挖掘题设条件背后所隐含的等量关系）来建立关于参数ｋ的方程，最后通过解方程组来求其参数ｋ．在这里主要是利用以线段ＡＢ为直径的圆过点Ｐ的几何性质得øＡＰＢ＝９０ʎ，从而ＰＡң㊃ＰＢң＝０，即（２－ｘ１）（２－ｘ２）＋（２－ｙ１）（２－ｙ２）＝０．又点Ａ，Ｂ均在直线ｌ上，从而利用直线ｌ的方程，可将参数ｘ１，ｘ２，ｙ１，ｙ２统一为仅含参数ｘ１，ｘ２的等式，即４＋２６ｋ＋３ｋ２－（２＋２ｋ＋３ｋ２）（ｘ１＋ｘ２）＋（１＋ｋ２）ｘ１ｘ２＝０①，最后利用直线与椭圆相交的代数形式，即将直线方程与椭圆方程联立，借助韦达定理利用根与系数的关系即可将ｘ１＋ｘ２，ｘ１ｘ２用参数ｋ来表示，进而代入①式得到关于参数ｋ的方程，求出ｋ来．本题的求解，解题思路自然㊁明确，思维量不大，主要考查了函数与方程㊁不等式等重要的代数思想，对运算求解的能力提出了一定的要求．正因如此，使得绝大部分考生拿到考题都倍感 亲切 ，但真正做起来又跌跌撞撞，这正体现了高考的人文关怀及以 能力为宗旨 的命题理念，突出了高考试题的选拔功能．解析几何作为几何学的一个重要组成部分，数形结合思想也是高考试题的一个重要考查．借助图形的直观㊁形象来分析㊁挖掘潜藏在题设条件背后的有用信息，可有效地避开思维的盲点㊁漏洞，快速找准问题的着眼点，形成解题思路．当然 形 的直观还需 数 的辅助，这样 形 才能更入微．正如著名的数学家华罗庚所言 数缺形时不直观，形无数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休 ．如（２０１４年湖北高考理科卷第２１题）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，点Ｍ到点Ｆ（１，０）的距离比它到ｙ轴的距离多１．记点Ｍ的轨迹为Ｃ．（Ⅰ）求轨迹Ｃ的方程；（Ⅱ）设斜率为ｋ的直线ｌ过定点Ｐ（－２，１），求直线ｌ与轨迹Ｃ恰好有一个公共点㊁两个公共点㊁三个公共点时ｋ的相应取值范围．本题第一问求得轨迹Ｃ的方程为ｙ２＝４ｘ，ｘȡ０，０，ｘ＜０，{在第二问的求解过程中，若仅从方程组解的个数角度去代数分析求解，一不留神就会陷入 山穷水尽疑无路 的局面，但若依题意作其示意图，以形助数，借助图形的直观性来分析求解，将会图３豁然开朗 ， 柳暗花明 ．如图３示，当过点Ｐ的直线ｌ位于直线ｌ１，ｌ４及直线ｌ２ ｌ３之间（不包括直线ｌ３）时，直线ｌ与轨迹Ｃ恰有两个公共点；当直线ｌ位于直线ｌ３及ｌ４ ｌ１之间（直线ｌ４逆时针旋转到ｌ１，且不包括直线ｌ１㊁ｌ４）时，直线ｌ与轨迹Ｃ恰有一个公共点；当直线ｌ位于直线ｌ１ ｌ２之间（不包括直线ｌ１㊁ｌ２）及直线ｌ３ ｌ４之间（不包括直线ｌ３㊁ｌ４）时，直线ｌ与轨迹Ｃ恰有三个公共点，其中直线ｌ１㊁ｌ４过点Ｐ且与曲线ｙ２＝４ｘ相切．设直线ｌ的方程为ｙ－１＝ｋ（ｘ＋２）（ｋʂ０），联立直线与抛物线方程ｙ－１＝ｋ（ｘ＋２），ｙ２＝４ｘ，{消去ｘ得ｋｙ２－４ｙ＋４（１＋２ｋ）＝０，从而Δ＝０，得ｋ＝１２或－１，从而由图可知ｋｌ１＝－１，ｋｌ４＝１２．又ｋｌ２＝－１２，ｋｌ３＝０，所以当ｋɪ（－ɕ，－１）ɣ１２，＋ɕæèçöø÷ɣ｛０｝时，直线ｌ与轨迹Ｃ恰有一个公共点；当ｋɪ－１２，０éëêêöø÷ɣ－１，１２{}时，直线ｌ与轨迹Ｃ恰有两个公共点；当ｋɪ（－１，－１２）ɣ（０，１２）时，直线ｌ与轨迹Ｃ恰有三个公共点．利用图形的直观性，数形结合分析求解，整个过程行云流水，简捷而又实效，充分体现了数形结合思想在试题求解中的作用．３㊀运算中突出技巧，朴实中彰显能力解析几何的显著特征就是几何问题代数化，因此代数运算的复杂性，过大的运算量就成了解析几何问题求解的拦路虎，时常困扰着广大考生．如何去突破解析几何试题运算求解中的繁琐性，克服冗长的运算而带来的心理压力？除了要求考生其有过硬的运算求解能力外，必要的运算化简技巧㊁合理的引进设置参数㊁适当地表示等量关系㊁合理的消参可使运算求解更加简约，解题过程更优化，进而大大提高解题的效率．如（２０１４年北京高考数学理科卷第１９题）已知椭圆Ｃ：ｘ２＋２ｙ２＝４．㊀（Ⅰ）求椭圆Ｃ的离４５㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀中学数学杂志㊀２０１４年第１１期心率；（Ⅱ）设Ｏ为原点，若点Ａ在椭圆Ｃ上，点Ｂ在直线ｙ＝２上，且ＯＡʅＯＢ，试判断直线ＡＢ与圆ｘ２＋ｙ２＝２的位置关系，并证明你的结论．本题第一问得ｅ＝２２；第二问要判断直线ＡＢ与圆ｘ２＋ｙ２＝２的位置关系，由圆的性质知，只需比较圆心Ｏ到直线ＡＢ的距离ｄ与半径ｒ＝２间的大小关系，为此需先求其直线ＡＢ的方程．基于ＯＡʅＯＢ，因此可设直线ＯＡ的方程为ｙ＝ｋｘ（ｋʂ０），从而直线ＯＢ的方程为ｙ＝－１ｋｘ，于是联立直线ＯＡ与椭圆方程即可求其Ａ点坐标（显然点Ａ坐标可用参数ｋ来表示），同理联立直线ＯＢ与方程ｙ＝２可求其Ｂ点坐标，从而利用Ａ㊁Ｂ两点坐标即可将直线ＡＢ的方程用参数ｋ来表示，最后利用点到直线的距离公式求其ｄ，并比较ｄ与ｒ＝２的大小．该做法理论上是很合情合理的，但真正具体运算起来其过程极其繁琐，原因在于联立直线ＯＡ与椭圆方程求其Ａ点坐标时，虽点Ａ坐标可以用参数ｋ来表示，但含有根式，这将为下面直线ＡＢ方程的表示及点到直线的距离ｄ的求解带来极大的麻烦，以致整个问题的求解陷入僵局．然而倘若此处利用 设而不求 的解几思想，设Ａ（ｘ０，ｙ０），Ｂ（ｔ，２），利用ＯＡʅＯＢ及点Ａ在椭圆上来建立关于参数ｘ０，ｙ０，ｔ的等量关系式，进而实现参数间的统一，即用参数ｘ０来表示参数ｙ０，ｔ，而后利用点到直线的距离公式求出ｄ（用参数ｘ０来表示），最后比较ｄ与半径ｒ＝２的大小，整个问题的求解虽有复杂性，但相对于上述解法可操作性会更强，运算更简捷，解题过程更优化．具体步骤如下：设Ａ（ｘ０，ｙ０），Ｂ（ｔ，２），因为ＯＡʅＯＢ，所以ＯＡң㊃ＯＢң＝０，即ｔｘ０＋２ｙ０＝０．又ｋＡＢ＝２－ｙ０ｔ－ｘ０，从而直线的方程为ｙ－２＝２－ｙ０ｔ－ｘ０（ｘ－ｔ），即（２－ｙ０）ｘ－（ｔ－ｘ０）ｙ－２ｘ０＋ｔｙ０＝０，从而点Ｏ到直线ＡＢ的距离ｄ＝ｔｙ０－２ｘ０（２－ｙ０）２＋（ｔ－ｘ０）２．由ｔｘ０＋２ｙ０＝０知ｔ＝－２ｙ０ｘ０，所以ｄ＝２ｘ２０＋ｙ２０ｘ２０＋４．又点Ａ在椭圆Ｃ上，所以ｘ２０＋２ｙ２０＝４，得ｙ２０＝２－ｘ２０２，从而ｄ＝２＝ｒ，故直线ＡＢ与圆ｘ２＋ｙ２＝２相切．该做法除参数的合理设置外，适时的消参是关键，也是难点，朴实之处充分考查了考生的数学能力及数学素养，同时也折射出了高考命题者的智慧．通过上述对２０１４年高考解析几何试题的透析，不难发现，试题的设置朴实之中孕育着基础，常规之中彰显能力．作为全国范围内的选拔性考试 高考，其题目的设计是在立足课本的基础上，依照考纲由课本例习题经过改编㊁引申㊁嫁接㊁创新而来，是在立足双基的基础上强化能力的考查，具有较强的甄别功能．而作为高考试题的改革，其力度是稳中求进㊁难度适宜，逐步深入的．现结合２０１４年高考解析几何试题的整体特征，对２０１５年高考复习备考提出以下几点建议，仅作参考．１．夯实双基，强化能力高考试题的设计宗旨是着重于基础知识㊁基本数学思想方法㊁技能的考查，进而深化对考生自身数学能力及素养的考查．因此在高考解析几何的复习中，一定要依纲靠本，注重基础知识㊁基本思想方法㊁基本技能的学习与巩固（如各类不同圆锥曲线的几何性质㊁曲线上点坐标的合理设置㊁待定系数法的合理使用，定值㊁定点问题的常见处理策略等），与之同时，广大教师还应有意识地不断去锻炼与提高学生的各项数学能力与数学素养（如运算求解能力㊁转化与化归能力㊁分析处理问题的能力等）．２．注重数学思想在解析几何学习中的渗透解析几何的显著特征是将几何问题转化为相应的代数问题来运算求解，因此在复习过程中，要注意一些常见的代数思想在解析几何中的渗透（如方程与函数思想㊁不等式思想㊁分类讨论会思想等），这样有助于我们更好地把握几何问题的代数本质．当然，数形结合思想在解析几何中的渗透也不可小视，它可使抽象的问题㊁隐含的条件更加直观㊁显突，进而使得我们更好找准思维的起点，寻求突破．３．加强解析几何中重要结论㊁公式的学习与提炼高考试题是命题专家们潜心钻研㊁精雕细琢而成．许多试题可作进一步的延伸㊁拓展与变式，其试题的背后往往蕴藏着丰富的内涵，试题的设置常常是在一些重要结论的背景下来命制而成．因此在日常的高考复习备考中，广大师生需有意识地提炼与总结潜藏在一些试题中的重要结论与性质，这样可使我们与命题者站在同一思维高度，高观点下审视高考试题，进而更好地把握问题的内在本质，切中问题要害，使得问题求解起来快捷而又高效．５５中学数学杂志㊀２０１４年第１１期㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ㊀。