9.2.4 总体离散程度的估计

解 (1)－x甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝110×300＝30(cm)，
－x乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝110×310＝31(cm). 所以－x甲<－x乙. 即乙种玉米苗长得高.
(2)s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19 －30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121 ＋81＋81＋144)＝110×1 042＝104.2(cm2)， s2乙＝110[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－31)2]＝110×1 288＝ 128.8(cm2).
量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差.
二、素养训练
1.在某次测量中得到的A样本数据如下：42，43，46，52，42，50，若B样本数据恰好
是A样本数据每个都减5后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是
() A.平均数
B.标准差
C.众数
D.中位数
解析 由B样本数据恰好是A样本数据每个都减5后所得数据，可得平均数、众数、
问题 若从二人中选一人去和兄弟部队参加射击大赛，只用平均数能否作出选择？ 提示 不能.平均数只能说明二人的平均水平相同，还要用方差来判断谁的射击水 平更稳定.
1.一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
若数据 x1，x2，…，xn 的平均数为－ x，方差为 s2，则数据 mx1＋a，mx2＋a，…，mxn ＋a 的平均数为 m－ x＋a，方差为 m2s2
(2)总体方差的加权形式：如果总体的 N 个变量值中，不同的值共有 k(k≤N)个，不
妨记为 Y1，Y2，…，Yk，其中 Yi 出现的频数为 fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为 S2 ＝__N1_i∑_＝k_1f_i(_Y_i－__Y－ __)2______.
3.样本方差和标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为 y1，y2，…，yn，样本平均数为－y，则称 s2＝ ___1n_∑ i＝n_1_(y_i_－__－y_)2_____为样本方差，s＝_____s2__为样本标准差.
教材拓展补遗 [微判断] 1.计算分层随机抽样的均值与方差时，必须已知各层的权重.( √ ) 2.若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.( √ ) 3.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个
样本数据在样本平均数周围越分散.( × ) 提示 3.标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散；标准差越小， 表明各个样本数据在样本平均数周围越集中.
规律方法 折线统计图中数字特征的求解技巧 根据折线统计图研究样本数据的数字特征与横坐标和纵坐标的统计意义有关，但一 般情况下，整体分布位置较高的平均数大，数据波动性小的方差小.
【训练3】 为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社 区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成频率 分布直方图(如图所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为s1，s2，s3，则它 们的大小关系为________________(用“>”连接).
∴s2＝410(x21＋x22＋…＋x240－40－x2)＝410(291 040－40×852)＝51， ∴s＝ 51.
题型二 分层随机抽样的方差 【例2】 甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60 kg，方差为200，
乙队体重的平均数为70 kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4， 那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是多少？ 解 由题意可知－x甲＝60，甲队队员在所有队员中所占权重为1＋1 4＝15， －x乙＝70，乙队队员在所有队员中所占权重为1＋4 4＝45， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为－x＝15×60＋45×70＝68(kg)， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为 s2＝15[200＋(60－68)2]＋45[300＋(70－68)2]＝296.
解析 根据频率分布直方图知，甲的数据绝大部分都处在两端，离平均值较远，表 现的最分散，标准差最大，乙的数据分布均匀，不如甲组中偏离平均值大，标准差 比甲的小；丙的数据大部分数都在平均值左右，数据表现的最集中，方差最小，故 s1>s2>s3. 答案 s1>s2>s3
一、素养落地 1.通过学习方差、标准差的计算与应用，重点培养数学运算素养及数据分析素养. 2.标准差的平方s2称为方差，两者都可以测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测
中位数分别是原来结果减去5，即与A样本不相同，标准差不变，故选B.
规律方法 计算分层随机抽样的方差 s2 的步骤： (1)确定－x1，－x2，s21，s22， (2)确定－x； (3)应用公式 s2＝nn1[s21＋(－x1－－x)2]＋nn2[s22＋(－x2－－x)2]，计算 s2.
【训练2】 已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2019年8月份调查得知该 省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市的房产均价分 别为2.4万元/平方米，1.8万元/平方米，0.8万元/平方米，三、四线城市房价的方差分 别为10，8，则二线城市房价的方差为________. 解析 设二线城市的房价的方差为 s2，由题意可知 20＝1＋13＋6[s2＋(1.2－2.4)2]＋ 1＋33＋6[10＋(1.2－1.8)2]＋1＋63＋6[8＋(1.2－0.8)2]，解得 s2＝118.52，即二线城市 房价的方差为 118.52. 答案 118.52
题型一 标准差、方差的计算与应用 【例1】 从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：(1)哪种玉米苗长得高？ (2) 哪种玉米苗长得齐？ 方差是体现一组数据波动大小的特征数
2.某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7，8，7，9，5，4，9，10，7，4
则：(1)平均命中环数为________； (2)命中环数的标准差为________. 解析 (1)－x＝7＋8＋7＋9＋5＋104＋9＋10＋7＋4＝7. (2)∵s2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－ 7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2. 答案 (1)7 (2)2
9.2.4 总体离散程度的估计
课标要求
素养要求
1.结合实例，能用样本估计总体的离 散程度参数(标准差、方差、极差). 2.理解离散程度参数的统计含义.
在学习和应用标准差、方差和极差的过程 中，要进行运算，对数据进行分析，发展 学生的数学运算素养和数据分析素养.
教材知识探究
甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环 数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5. 经过计算可知甲、乙的命中环数的平均数都是7环.
[微训练] 1.在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩分布如图，假设三个班的平均分
都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三个班数学测试成绩的标准差，则有( )
A.s3＞s1＞s2 C.s1＞s2＞s3
B.s2＞s1＞s3 D.s3＞s2＞s1
解析 所给图是成绩分布图，平均分是75，在图1中，集中在75分附近的数据最多， 图3中从50分到100分均匀分布s3＞s2＞s1. 答案 D
组别
平均数
标准差
第一组
90
4
第二组
80
6
求全班这次考试成绩的平均数和标准差.
解 设第一组数据为 x1，x2，…，x20，第二组数据为 x21，x22，…，x40，全班平均成
绩为－x，标准差为 s. 根据题意，有－x＝90×20＋ 4080×20＝85， 42＝210(x21＋x22＋…＋x220－20×902)， 62＝210(x221＋x222＋…＋x240－20×802)， ∴x21＋x22＋…＋x240＝20×(42＋62＋902＋802)＝291 040.
所以 s2甲<s2乙.即甲种玉米苗长得齐.
规律方法 用样本的标准差、方差估计总体的方法 用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均数、标准差的近似.在 实际应用中，常常把平均数与标准差结合起来进行决策.在平均值相等的情况下， 比较方差或标准差以确定稳定性.
【训练1】 某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示：
2.如何理解方差与标准差的概念？ 提示 (1)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越 大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小. (2)标准差、方差的取值范围：[0，＋∞). 标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离 散性. (3)因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然 方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一 般多采用标准差.
题型三 方差、标准差与统计图表的综合应用 【例3】 甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差； (2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价.
解 (1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为 甲：10，13，12，14，16；乙：13，14，12，12，14. －x甲＝10＋13＋152＋14＋16＝13，－x乙＝13＋14＋152＋12＋14＝13， s2甲＝15×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4， s2乙＝15×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8. (2)s2甲>s2乙可知乙的成绩较稳定.从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩 上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高.