21.5 反比例函数的图象与性质1
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反比例函数的图象与性质定
两者区别
幂函数图像根据n的正负而不同， 反比例函数图像为双曲线，两者 在坐标系中的位置和形状也不同。
感谢您的观看
THANKS
04
反比例函数的应用
在物理中的应用
电流与电阻的关系
在电路中，电流与电阻成反比关系，即当电阻增大时，电流减小；反之亦然。 这是反比例函数在物理中的一个重要应用。
声速与介质的关系
声速在固体、液体和气体中的传播速度与介质的密度和介质的性质有关，通常 呈现反比例关系。
在经济中的应用
供需关系
在经济学中，供需关系可以用反比例函数来表示。当供应量增加时，需求量可能 会减少，反之亦然。
定义域
反比例函数的定义域为$xneq0$，即除 了$x=0$以外的所有实数。
奇偶性分析
奇函数
反比例函数$f(x)=frac{k}{x}$是奇函数，因为对于任意实数$x$， 都有$f(-x)=-frac{k}{x}=-f(x)$。
偶函数
反比例函数不是偶函数，因为对于任意实数$x$，都有$f(x)neq f(x)$。
k 的影响
当 k > 0 时，图像位于第 一象限和第三象限；当 k < 0 时，图像位于第二象 限和第四象限。
渐近线
反比例函数的图像有两条 渐近线，分别是 x 轴和 y 轴。
反比例函数的性质
当 x > 0 时，y 随着 x 的增大而减小； 当 x < 0 时，y 随着 x 的增大而增大。
无界性：反比例函数的值域和定义域 都是无限的，但在实数范围内是有界 的。
反比例函数的图象与性 质
目录 CONTENT
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图像特点 • 反比例函数的性质分析 • 反比例函数的应用 • 反比例函数与其他函数的比较
反比例函数反比例函数的图象与性质
匀速运动
在匀速运动中，速度与时间成反比例 关系。通过给定的速度和时间条件， 可以建立反比例函数求解相关问题。
变速运动
在某些变速运动问题中，速度可能与 位移或时间成反比例关系。根据具体 条件建立反比例函数模型，可以求解 变速运动的相关问题。
浓度问题求解
溶液稀释
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶 液的体积成反比例关系。通过给定的 溶质质量和溶液体积条件，可以建立 反比例函数求解相关问题。
题目6
已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 与反比例函数 y = m/x (m ≠ 0) 的图象交于 A、B 两点 ，且点 A 的坐标为 (2, 1)，则不等式 kx + b > m/x 的解集为 _______．
历年中考真题回顾
题目7
(2019年中考)已知反比例函数 y = k/x (k > 0) 的图象上有 两点 A(x1, y1)，B(x2, y2)，且 x1 < 0 < x2，则 y1 _______ y2．(填“>”、“<”或“=”)
与一次函数关系比较
相似之处
两者都是线性函数，具有直线型的图象。
不同之处
一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，一次函数的斜率是常数，而反比 例函数的斜率则随着x的变化而变化。
与二次函数关系比较
相似之处
两者都是非线性函数，具有曲线型的图象。
不同之处
二次函数的图象是一个抛物线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，二次函数的对称 轴是y轴或x轴，而反比例函数的对称中心是原点。
06
练习题及解析
基础知识练习题
03
题目1
已知反比例函数 y = k/x (k ≠ 0) 的图象 经过点 (2, -3)，则 k 的值为 _______．
在匀速运动中，速度与时间成反比例 关系。通过给定的速度和时间条件， 可以建立反比例函数求解相关问题。
变速运动
在某些变速运动问题中，速度可能与 位移或时间成反比例关系。根据具体 条件建立反比例函数模型，可以求解 变速运动的相关问题。
浓度问题求解
溶液稀释
在溶液稀释过程中，溶质的质量与溶 液的体积成反比例关系。通过给定的 溶质质量和溶液体积条件，可以建立 反比例函数求解相关问题。
题目6
已知一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 与反比例函数 y = m/x (m ≠ 0) 的图象交于 A、B 两点 ，且点 A 的坐标为 (2, 1)，则不等式 kx + b > m/x 的解集为 _______．
历年中考真题回顾
题目7
(2019年中考)已知反比例函数 y = k/x (k > 0) 的图象上有 两点 A(x1, y1)，B(x2, y2)，且 x1 < 0 < x2，则 y1 _______ y2．(填“>”、“<”或“=”)
与一次函数关系比较
相似之处
两者都是线性函数，具有直线型的图象。
不同之处
一次函数的图象是一条直线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，一次函数的斜率是常数，而反比 例函数的斜率则随着x的变化而变化。
与二次函数关系比较
相似之处
两者都是非线性函数，具有曲线型的图象。
不同之处
二次函数的图象是一个抛物线，而反比例函数的图象是双曲线。此外，二次函数的对称 轴是y轴或x轴，而反比例函数的对称中心是原点。
06
练习题及解析
基础知识练习题
03
题目1
已知反比例函数 y = k/x (k ≠ 0) 的图象 经过点 (2, -3)，则 k 的值为 _______．
反比例函数图象的性质
当k>0时，图象分别位于第一、三象 限；当k<0时，图象分别位于第二、 四象限。
反比例函数图象的变化规律
随着x的增大，y值逐渐减小或增 大，取决于k的符号。
当k>0时，在第一象限和第三象 限内，随着x的增大，y值逐渐减 小；在第二象限和第四象限内，
随着x的增大，y值逐渐增大。
当k<0时，在第一象限和第三象 限内，随着x的增大，y值逐渐增 大；在第二象限和第四象限内， 随着x的增大，y值逐渐减小。
在物理中的应用
1 2 3
电学
在电路分析中，反比例函数可以用于描述电阻、 电容和电感之间的关系，如RC电路和RL电路等。
光学
在光学中，反比例函数可以用于描述光的干涉和 衍射现象，如在计算光束的衍射角和干涉条纹间 距时需要考虑反比例关系。
热力学
在热力学中，反比例函数可以用于描述气体分子 之间的相互作用和分布规律，如理想气体状态方 程和麦克斯韦分布等。
02 反比例函数的图象
反比例函数图象的形状
反比例函数图象是双 曲线，位于两个象限 内。
反比例函数图象关于 原点对称。
当k>0时，图象在第 一、三象限；当k<0 时，图象在第二、四 象限。
反比例函数图象的位置
k的符号决定了反比例函数图象所在的 象限。
无论k的取值如何，反比例函数的图象 都不会与x轴、y轴相交。
反比例函数的图象是关于原点对称的。
当x增大或减小时，y的值会无限接近 于x轴或y轴，但永远不会与之相交。
反比例函数的应用
在物理学、工程学和经济学等领域中，反比例函数有着广泛 的应用。
例如，在电学中，电流与电阻的关系可以用反比例函数表示 ；在经济学中，商品的需求量与其价格之间的关系也可以用 反比例函数表示。
反比例函数图像和性质ppt课件
反比例函数的定义域和值域
定义域
反比例函数的定义域是 x ≠ 0 的所有实数，即 x 可以取任何实数值，除了 0。
值域
反比例函数的值域是除了 y = 0 以外的所有实数，即 y 可以取任何实数值，但 永远不会等于 0。
02
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
总结词
反比例函数在其定义域内并非单 调，但在各自象限内具有单调性。
表达式形式
反比例函数的一般形式为 y = k/x (k ≠ 0)，其中 x 和 y 是自变量和 因变量，k 是常数。
反比例函数图像的绘制
图像绘制方法
反比例函数的图像通常在二维坐标系 中绘制，通过选择不同的 k 值，可 以绘制出不同的反比例函数图像。
图像特性
反比例函数的图像位于 x 轴和 y 轴的 有限区域，呈现出双曲线的形状，随 着 x 的增大或减小，y 的值会无限接 近于 0 但永远不会等于 0。
积分是数学中计算面积和体积的方法，分为定积分和不定积分。
反比例函数的不定积分
反比例函数y=1/x的不定积分为ln|x|+C（C为常数），这表明反比例函数可以通过对ln|x|进行不定积分得 到。
反比例函数与复数的关系
复数的概念
复数是实数和虚数的组合，形式为a+bi（a,b为实数）。
反比例函数在复数域的表现
投资回报
投资回报与投资风险成反比，即投资风险越大，投资回报越小；反之亦然。
反比例函数在日常生活中的应用
药物剂量
在药物治疗过程中，药物剂量与药效 成反比关系，即当药物剂量增加时， 药效可能会减弱。
体育训练
在体育训练中，训练强度与训练效果 成反比关系，即当训练强度增加时， 训练效果可能会减弱。
高中数学-反比例函数的图像与性质
02 对于值域问题，由于反比例函数在定义域内总是 大于0或小于0（取决于k的正负），因此其值域为 $y neq 0$的所有实数。
02 在求解具体问题时，需要注意题目中给出的其他 条件，如函数的定义域限制等。
判断单调性和奇偶性问题
反比例函数在其定义域内没有单调性， 即在不同的区间内可能具有不同的单调
反比例函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)，图像关 于原点对称。
偶函数性质
反比例函数不是偶函数，即不满足f(-x)=f(x)，图 像不关于y轴对称。
周期性探究
无周期性
反比例函数不具有周期性，即不 存在一个正数T，使得对于所有x ，都有f(x+T)=f(x)。
图像特征
反比例函数的图像是两条分别位 于第一、三象限和第二、四象限 的双曲线，且无限接近于坐标轴 但永不相交。
03
反比例函数性质分析
单调性判断方法
01 求导判断法
通过对反比例函数求导，根据导数的正负判断函 数的单调性。
02 图像观察法
通过观察反比例函数的图像，可以直接得出其在 不同区间上的单调性。
03 定义法
根据反比例函数的定义，结合不等式的性质，可 以推导出函数在不同区间上的单调性。
奇偶性讨论
奇函数性质
劳动力供给与工资率关系
劳动力供给量通常与工资率成反比。当工资率提高时，劳动力供给量减少；当 工资率降低时，劳动力供给量增加。这种关系也可以用反比例函数来表示。
工程学中应用场景
杠杆原理
在机械工程中，杠杆原理指出动力臂与阻力臂成反比。当动 力臂增长时，阻力臂缩短；反之亦然。这种关系可以用反比 例函数来描述。
性。
对于奇偶性的判断，可以根据函数的定 义进行判断。若$f(-x) = -f(x)$，则函 数为奇函数；若$f(-x) = f(x)$，则函数
02 在求解具体问题时，需要注意题目中给出的其他 条件，如函数的定义域限制等。
判断单调性和奇偶性问题
反比例函数在其定义域内没有单调性， 即在不同的区间内可能具有不同的单调
反比例函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)，图像关 于原点对称。
偶函数性质
反比例函数不是偶函数，即不满足f(-x)=f(x)，图 像不关于y轴对称。
周期性探究
无周期性
反比例函数不具有周期性，即不 存在一个正数T，使得对于所有x ，都有f(x+T)=f(x)。
图像特征
反比例函数的图像是两条分别位 于第一、三象限和第二、四象限 的双曲线，且无限接近于坐标轴 但永不相交。
03
反比例函数性质分析
单调性判断方法
01 求导判断法
通过对反比例函数求导，根据导数的正负判断函 数的单调性。
02 图像观察法
通过观察反比例函数的图像，可以直接得出其在 不同区间上的单调性。
03 定义法
根据反比例函数的定义，结合不等式的性质，可 以推导出函数在不同区间上的单调性。
奇偶性讨论
奇函数性质
劳动力供给与工资率关系
劳动力供给量通常与工资率成反比。当工资率提高时，劳动力供给量减少；当 工资率降低时，劳动力供给量增加。这种关系也可以用反比例函数来表示。
工程学中应用场景
杠杆原理
在机械工程中，杠杆原理指出动力臂与阻力臂成反比。当动 力臂增长时，阻力臂缩短；反之亦然。这种关系可以用反比 例函数来描述。
性。
对于奇偶性的判断，可以根据函数的定 义进行判断。若$f(-x) = -f(x)$，则函 数为奇函数；若$f(-x) = f(x)$，则函数
21.5.2反比例函数的图象和性质
解析
答案
13
课前预习 1 2
课堂合作 3 4 5
当堂检测 6
3.已知反比例函数 y= ,下列结论中不正确的是( A.图象经过点(-1,-1) B.图象在第一、三象限 C.当 x>1 时,0<y<1 D.当 x<0 时,y 随着 x 的增大而增大
1 ������
)
关闭
D
答案
14
课前预习 1 2
课堂合作 3 4 5
1 2������
������ ������
)
B.y=-
1 2������ 2 ������
2 ������
D.y=-
关闭
当 x=-1 时,y=-2×(-1)=2,所以点 A(-1,2),将 A 点坐标代入 y= ,得 k=-2,所以反比例函数的
2 表达式为 y=- . ������ D
关闭
������ ������
第2课时
反比例函数的图象和性质
课前预习
课堂合作
当堂检测
1.反比例函数 y= (k 为常数,且 k≠0)的图象叫做 双曲线 . (1)当 k>0 时,图象的两个分支分别位于
第一、三象限
������ ������
,在每个象 ,在每个象
限内,图象自左向右下降,函数 y 随 x 的增大而 减小 ; (2)当 k<0 时,图象的两个分支分别位于 第二、四象限 限内,图象自左向右上升,函数 y 随 x 的增大而 增大 . 2.反比例函数 y= (k≠0)关于 原点 成中心对称.
3 ������
y2(填“>”“<”或
关闭
双曲线 y= 上,在第一象限内,y 随 x 的增大而减小,所以由 1<2,得 y1>y2.
函数及其图象反比例函数反比例函数的图象和性质
反比例函数图像的变换规律
伸缩变换
当k值变化时，反比例函数的图像 会沿着x轴或y轴方向伸缩。当k增 大时，图像会向原点靠近；当k减 小时，图像会远离原点。
平移变换
当反比例函数沿x轴或y轴平移时 ，其图像也会相应地沿x轴或y轴 方向移动。
03
反比例函数的性质
反比例函数的单调性
递减性
当$k > 0$时，反比例函数在$(\infty,0)$和$(0,+\infty)$上单调递 减。
溶质溶解度
在溶质溶解度中，溶解度 与温度也成反比关系，即 温度越高，溶解度越低。
反比例函数在经济问题中的应用
供需关系
在市场经济中，供需关系 呈反比关系，即供应量越 大，需求量越小；反之亦 然。
货币流通速度
在货币流通中，货币流通 速度与货币供应量也成反 比关系，即货币供应量越 大，货币流通速度越慢。
热力学中的气体定律
在热力学中，气体的压强与体积也成反比关系，即压强越大，体积 越小。
反比例函数在化学问题中的应用
01
02
03
化学反应速率
在化学反应中，反应速率 与反应物的浓度成反比关 系，即浓度越高，反应速 率越快。
化学平衡
在化学平衡中，反应物的 转化率与反应温度成反比 关系，即温度越高，转化 率越低。
04
反比例函数的图像是双 曲线。
反比例函数的应用场景
在物理学中，反比例函数可以用来描述一些物理量之间的关系，例如电 流与电阻之间的关系可以表示为 $I = \frac{V}{R}$。
在化学中，反比例函数可以用来描述一些化学反应速率与反应物浓度之 间的关系。
在经济学中，反比例函数可以用来描述一些经济现象之间的关系，例如 需求与价格之间的关系可以表示为 $D = \frac{N \times P}{M}$。
21.5.2反比例函数的图象和性质
y
A y1
k 反比例函数 y x ( k 0) 的图象上，则y1与
o
x2
x
B
x1
y2
例题2
已知反比例函数的图象经过点A(2,6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限？ y随x的增大如何变化？
1 (2)点B(3,4)、C( 2 2
, 这个函数的图象上？
4 4 5
)、D(2,5)是否在
解析
k 解：(1)设这个反比例函数为 y x ，
因为它经过点A，把点A的坐标代入函数 式，得: k 6 解得 k=12
12 这个反比例函数的表达式为 y . x 2
因为k>0，所以这个函数的图象在 第一、第三象限，在每个象限内，y随x 的增大而减小。
12 （2）把点B、C和D的坐标代入 y ， x
m5 下图是反比例函数 y x
解析
解： （1）反比例函数图象的分布只有
两种可能，分布在第一、第三象限，或 者分布在第二、第四象限。这个函数的 图象的一支在第一象限，则另一支必在 第三象限。 因为这个函数的图象分布在第一、 第三象限，所以 m-5 > 0. 解得 m > 5
(2)因为m – 5 > 0,在这个函数图象的 任一支上，y随x的增大而减小，所以当 a>a′时b<b′.
描点法
6 5 4
3 2 1 -2 -1 -1 -2
列 表
描 点
连 线
-5 -4 -3
（ 1， 6） （ 2， 3） （ 3， 2） （4，1.5） （5，1.2）
0 1 2 3 4 5
o
x
（-5，-1.2） （-4，-1.5） （-3，-2） （-2，-1） （-1，-6）
A y1
k 反比例函数 y x ( k 0) 的图象上，则y1与
o
x2
x
B
x1
y2
例题2
已知反比例函数的图象经过点A(2,6).
(1)这个函数的图象分布在哪些象限？ y随x的增大如何变化？
1 (2)点B(3,4)、C( 2 2
, 这个函数的图象上？
4 4 5
)、D(2,5)是否在
解析
k 解：(1)设这个反比例函数为 y x ，
因为它经过点A，把点A的坐标代入函数 式，得: k 6 解得 k=12
12 这个反比例函数的表达式为 y . x 2
因为k>0，所以这个函数的图象在 第一、第三象限，在每个象限内，y随x 的增大而减小。
12 （2）把点B、C和D的坐标代入 y ， x
m5 下图是反比例函数 y x
解析
解： （1）反比例函数图象的分布只有
两种可能，分布在第一、第三象限，或 者分布在第二、第四象限。这个函数的 图象的一支在第一象限，则另一支必在 第三象限。 因为这个函数的图象分布在第一、 第三象限，所以 m-5 > 0. 解得 m > 5
(2)因为m – 5 > 0,在这个函数图象的 任一支上，y随x的增大而减小，所以当 a>a′时b<b′.
描点法
6 5 4
3 2 1 -2 -1 -1 -2
列 表
描 点
连 线
-5 -4 -3
（ 1， 6） （ 2， 3） （ 3， 2） （4，1.5） （5，1.2）
0 1 2 3 4 5
o
x
（-5，-1.2） （-4，-1.5） （-3，-2） （-2，-1） （-1，-6）
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巩固练习
6 3k (5)已知反比例函数y ，在每个象限内，y随x的 x 增大而增大，那么k的取值范围是 k 2 .
k (6)已知反比例函数y 的图象与正比例函数 x y 2 x的图象无交点，那么k的取值范围是 k 0 .
拓展提高
k 反比例函数y ( x 0)图象上任意一点向两个坐标 x 轴作垂线段，与坐标轴所围成的长方形的面积是 k .
揭示概念
k 一般地，如果变量x、y有关系y (k是 x 不等于零的常数)，那么称变量x、y成反比例， k 函数y 叫做反比例函数. x
概念辨析
在下列解析式中，哪些是反比例函数？ 2 (1) y ; x 7 (4) y 2 ; x x (2) y ; 2 (5) y 3 x 1. 1 2时，y 9. (1)写出y与x之间的函数解析式； ( 2)当x 3时，求y的值； (3)当y 5时，求x的值.
感悟体验
8 画反比例函数y 的图象 x
巩固练习
3 (1)反比例函数y 的图象在第一、三 象限， x 在每个象限内，y随x的增大而 减小 .
m (2)已知反比例函数y ，在每个象限内，y随x x 的增大而增大，则m的取值范围是 m 0 .
巩固练习
k2 1 (3)反比例函数y 的图象在第一、三 象限， x 在每一个象限内，y随x的增大而 减小 .
3 k (4)已知反比例函数y 的图象在第一、三象限内， x 那么k的取值范围是k 3 .
2 已知点P是反比例函数y 图象上的一点，PA x轴， x 垂足为A，PB y轴，垂足为B，连结OP，求POA、 POB的面积.