3-2矩阵的秩

T
由此可知
Ax = 0与AT Ax = 0同解,
故 R( AT A) = R( A).
子式的最高阶数 .
对于 A ， 显有 R( A ) = R( A).
T T
例1
1 2 3 求矩阵 A = 2 3 − 5 的秩 . 4 7 1
1 2 在 A 中， ≠ 0. 2 3
解
又 ∵ A的 3 阶子式只有一个 A， 且 A = 0，
∴ R ( A ) = 2.
1 0 5 1
r2 ÷ 2 r3 − r2
r4 + 3r2
1 − 2 0 0 0 0 0 0
1 − 2 0 0 0 0 0 0
2 −1 2 1 0 0 0 0
1 0 5 1
r3 ÷ 5
r4 − r3
2 − 1 1 2 1 0 0 0 1 0 0 0
1 2 B= −2 3
−2 −4
− 1 1 8 0 2 4 − 2 3 3 − 6 0 − 6 4 2
r2 − 2r1 1 − 2 2 − 1 r3 + 2r1 0 0 4 2 0 0 2 1 r4 − 3r1 0 0 − 6 − 3
由阶梯形矩阵有三个非零行可知 R( A) = 3.
求 A 的一个最高阶子式 . ∵ R( A) = 3, 知 A 的最高阶非零子式为 3阶 . 阶
3 3 A 的 3 阶子式共有 C 4 • C 5 = 40 个 .
考察A的行阶梯形矩阵， 考察 的行阶梯形矩阵， 记A = ( a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ), 则矩阵 B = (a1 , a2 , a4 )的行 阶梯形矩阵为
= 0.
∴ R ( A ) = 2.
1 3 − 2 2 做初来自变换， 另解 对矩阵 A = 0 2 − 1 3 做初等变换， − 2 0 1 5 1 3 − 2 2 1 3 − 2 2 ∴ 0 2 − 1 3 ~ 0 2 − 1 3 , − 2 0 1 5 0 0 0 0
显然，非零行的行数为 ， 显然，非零行的行数为2，
∴ R ( A ) = 2.
此方法简单！ 此方法简单！
二、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Am×n ,总可经过有限次初 梯形. 等行变换把他变为行阶
问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 问题：经过变换矩阵的秩变吗？
定理1 若 A ~ B,则 R( A) = R( B).
∴ R ( A ) = 2,
R ( B ) = 3.
三、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1)利用定义 (1)利用定义 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数 (即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); 即寻找矩阵中非零子式的最高阶数); (2)初等变换法 (2)初等变换法 (把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩). 阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩
设A经初等列变换变为 B , 也有 R( A) = R( B ).
设 A 经初等列变换变为 B ,
则 AT 经初等行变换变为 BT ,
∵ R( AT ) = R( BT ), 且 R( A) = R( AT ), R( B ) = R( BT ),
∴ R( A) = R( B ).
综上, 若 A 经有限次初等变换变为 B( 即 A ~ B ), 则 R( A) = R( B ).
∴ R ( B ) = 3.
1 例3 已知 A = 0 − 2 1 3 = 2 ≠ 0, 解 ∵ 0 2
3 − 2 2 2 − 1 3 ，求该矩阵的秩． 求该矩阵的秩． 0 1 5
计算A的 阶子式 阶子式， 计算 的3阶子式，
3 −2 1 3 2 3 −2 2 1 −2 2 =0 , 0 2 − 1 = 00 2 3 = 2 , − 1 3 = 00 − 1 3 = 0, = , −2 0 1 −2 0 5 0 1 5 −2 1 5 1
−2 −4
− 1 1 8 0 2 , b = 3 4 −2 3 4 − 6 0 − 6 2
求矩阵 A 及矩阵 B = ( A b )的秩 .
~ ~ ~ 分析： 解 分析： B 的行阶梯形矩阵为 B = ( A, b ), 设 ~ 的行阶梯形矩阵， 则 A 就是 A 的行阶梯形矩阵， ~ ~ ~ 故从 B = ( A, b ) 中可同时看出 R( A) 及 R( B ).
作初等行变换， 阶梯形矩阵： 解 对A作初等行变换，变成行 阶梯形矩阵：
0 5 0 3 2 6 − 1 3 − 2 3 A= 2 0 1 5 − 3 1 6 − 4 −1 4
r1 ↔ r4
1 6 − 4 −1 4 6 − 1 3 − 2 3 2 0 1 5 − 3 3 2 0 5 0
因此 D r ≠ 0，从而 R( B ) ≥ r .
分三种情况讨论： 当A → B时，分三种情况讨论：
（1）Dr中不含第 i行； （2）Dr中同时含第 i行和第 j行； （3）Dr中含第 i行但不含第 j行；
ri + kr j
两种情形， 对 (1), ( 2) 两种情形，显然 B 中与 Dr 对应的 子式 D r = Dr ≠ 0, 故 R( B ) ≥ r .
的一个最高阶非零子式. 则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式
设 n 阶可逆矩阵 A ，
∵
A ≠ 0, ∴ A 的最高阶非零子式为 A ,
R( A ) = n, 故 A 的标准形为单位阵 E , A ~ E .
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵 . 奇异矩阵为降秩矩阵 .
1 2 例5 设 A = − 2 3
0 5 0 3 2 6 − 1 3 − 2 3 A= 2 0 1 5 − 3 1 6 − 4 −1 4
r1 ↔ r4 r2 − r4
1 6 − 4 −1 4 1 − 1 0 − 4 3 2 0 1 5 − 3 3 2 0 5 0
1 6 − 1 0 − 4 1 0 0 4 0 0 0
∵ R ( B ) = 3,
故 B 中必有 3 阶非零子式 . 且共有 4 个.
计算B 计算 的前三行构成的子式
3 2
2 0
5
3 2
5
5 =2 0 5 3 − 2 6 6 0 11
2 5 = −2 = 16 ≠ 0. 6 11
对情形 ( 3)，
⋮
⋮
⋮
ˆ D r = ri + kr j = ri + k r j = Dr + kDr , ⋮ ⋮ ⋮ ˆ 若Dr ≠ 0,
ˆ 因 Dr 中不含第 i 行知 A 中有不含第 i 行的 r 阶 非零子式 ,
∴ R( B ) ≥ r .
ˆ 若Dr = 0,
则 D r = Dr ≠ 0, 也有 R( B ) ≥ r .
k k m × n 矩阵 A 的 k 阶子式共有 C m • C n 个.
定义2 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 k 阶子 阶子式（ 式 D，且所有 r + 1 阶子式（如果存在的话 ）全等 的最高阶非零子式， 于 0，那末 D 称为矩阵 A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 的秩， 等于零 . m × n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的
r3 − 3r2
r4 − 4r2
1 6 − 4 −1 1 0 − 4 3 0 0 0 4 0 0 0 4
4 − 1 − 8 − 8
r4 − r3
1 6 − 4 −1 4 1 − 1 0 − 4 3 0 0 0 4 − 8 0 0 0 0 0
思考题
设 A 为任一实矩阵, R( AT A)与R( A)是否相等 ?
思考题解答
答 相等. 相等
因为对于任一实向量 x ≠ 0 , 当Ax = 0时, 时
必有AT Ax = 0, 反之当 AT Ax = 0时, 有x T AT Ax = 0
即
( Ax ) ( Ax ) = 0 ⇒ Ax = 0;
0 5 0 3 2 6 − 1 3 − 2 3 A= 2 0 1 5 − 3 1 6 − 4 −1 4
r1 ↔ r4 r2 − r4
r3 − 2r1 r4 − 3r1
6 4 −4 −1 1 3 1 −1 0 − 4 0 − 12 9 7 − 11 0 − 16 12 8 − 12
一、矩阵秩的概念
任何矩阵 Am × n , 总可经过有限次初等行 变换 梯形， 把它变为行阶 梯形，行阶 梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 .
矩阵的秩
定义1 在 m × n 矩阵 A 中任取 k 行 k 列（k ≤ m , k ≤ n），位于这些行列交叉 处的个 k 2 元素, 不改 ），位于这些行列交叉 阶行列式， 变它们在 A 中所处的位置次序而得 的k阶行列式， 称为矩阵 A 的 k 阶子式 .
证毕
初等变换求矩阵秩的方法： 初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩
0 5 0 3 2 6 − 1 3 − 2 3 例4 设 A = , 求矩阵 A 的 2 0 1 5 −3 1 6 − 4 −1 4 秩，并求 A 的一个最高阶非零子式 ．
B 若A经一次初等行变换变为 ，则R( A) = R(B). 又由于B 也可经一次初等变换变 A, 为