Proakis的数字通信第四版的习题答案(中文版)

２.9 根据柯西分布有当x 很大时， 所以有 (b) 当当0v ≤， 因此有：2.10 (a)(b ）(ｃ)因为ｎ→∞， 不是高斯分布,因此中心极限定理不适用,原因是柯西分布没有有限的差异。

２.1１ 假定 是实值随机过程。

复值过程的处理也类似。

(a)(b)当x (t ), y (t )不相关时， 同理因此（3)当ｘ(ｔ), y (t )不相关并且零均值时：0v ≥2.12 随机过程ｘ(ｔ)的功率谱密度为:滤波器输出功率谱密度为:因此滤波器输出总功率为：2.１ 4令因此２．16 滤波器的传递函数为:（ａ) (b）令a = RC，v =2πf. 那么２.１9 因为输出序列的自相关:这里的最后等式来自于X(n)的自相关函数:因此离散时间系统的频率响应为：综上,系统输出的功率密度谱为：2.2０已知功率密度谱为:２．21本题中引用下标d表示离散过程，下标a表示连续时间过程，同样，f表示模拟频率。

f d表示离散频率。

（a）因此取样信号的自相关函数等于X(t）的取样自相关函数。

(b)令fd ＝ｆT,则有：又因为离散时间的自相关函数是它的功率谱密度的反变换，于是有:比较(1)，（２):得(c) 从（3)式可以得出：否则出现混叠。

2.22 (a)(b) 如果 那么：K ＝0其他因此序列X (n )是白噪声序列，Ｔ的最小值可以从下图的取样过程的功率谱密度得到为了得到一个谱平坦序列,最大的抽样速率应满足:(ｃ)可由得到。

因此2211sin w ()()()w πτφτφτπτ==,2.23 假设那么：这里Y （f ）是y (ｔ)的傅里叶变换，因为：又有:当ｆ=0时：２．24由于Ｇ=1，有对低通滤波器,可得到:将H(f)代入可得下式3.4 要证而利用不等式当且仅当可得因为3．6 通过定义,差熵为:对均匀分布随机变量(ａ)ａ=1，Ｈ（X)＝0(b）a=４,H(X）＝log４＝2log2(c) a=１/4，Ｈ(X)=log 14=-2log2３．７(a)（b)每信源字符的平均二进制个数为：(ｃ)信源熵为：通过比较,信源熵要少于每个码字的平均长度。

３.9 (a)(ｂ)3.11 (a）Ｐ（ｘ)可以通过求得。

因此类似地可证明（b)利用不等式ln 1w w ≤-和()()(,)p x p y w p x y =，可以得到将不等式两边乘以P (x, y )并对ｘ，y 求和，即可得故有当 =1时取等号。

(c) 从（b) 联立两个关系式可得:当x,y 独立取等号。

３.13对于平稳过程 和中n 是独立的，因此就有()()(,)p x p y p x y3.18 在给定的1x 下,32,x x 的条件互信息可定义为:又因为 有：３.1９ 假设a ＞0,已知Y ＝ ａX + b 是线性变换,有 令 那么同理,当ａ<０时,有：3.２0 线性变换因为{ y i }和｛x i ｝有相同的概率分布,即有因此D ＭS 的熵通过线性变换是不产生影响的。

3.２1 (a)霍夫曼码的设计如下,平均比特率：(b）一次编码两个电平符号,霍夫曼码的设计如下：每电平对的二进制平均比特数为:一个电平的平均比特数为:(c)因为3.25 采用Lｅｍpｅl-Ziｖ编码方法分解题中序列,可以得到一下码段：０, ００, １，０0１, 000，00０１, 10,00010,０000, ０010, ００0０0, １0１, 00001，0000００，１1, ０1,000００00, １10, ...码段数是18,对每一码段需要5位加一个附加位来表征一个新的信源输出。

3.27 因为可得下图描述了R(D)在λ取0，1,2,3时的值，从图中可看出，λ增加,失真率也在增加。

3.3０(ａ)由于X，G是相互独立,因此有ｐ(x, g) =p(x)ｐ(ｇ）,p(x|g) =p（ｘ)．(b)因为X,G是相互独立,所以Y也是独立，由于Y=Ｘ+G,有所以:这里，利用了从H(Y ),Ｈ(Y |X）,3．３13.363.38 一阶预测器系数a11对预测数据的预测误差的正交性可使得均方误差减小：最小均方误差为:（b ）对二阶预测器,根据Levinso ｎ－Durbin 算法最小均方误差为: 3.39如果12,x x 用相同的间隔长度∆分别量化，所需要的电平数为: 比特数：利用2∆矢量量化，有2715x ab L '=∆,27log log 15x X ab R L ''==∆，比特差：３.41 X,Ｙ的联合概率密度函数为: 边缘分布Ｐ（x):当20x -≤≤，当02x ≤≤,()x p x 的图如下:根据对称性:(b)总的失真为每对(ｘ,y)所要的比特数为：(c）采用矢量量化，失真度D4．２这里h(ｔ)= 1 t ,它的傅里叶反变换：而４．3 （a）然而,因此有：(ｂ),从(ａ)的结果有4.5从傅里叶变换特性知道，如果ｘ(ｔ）是实值的，那么它的傅里叶变换满足,因此()l s t 为实值的条件是:*()()l l s f s f -=。

对于带通信号()s t ，有*()()c c s f f s f f ++-=+。

而*()()l l s f s f -=,满足此条件的()l s t 说明是实值低通信号，等效的带通信号正频部分在中心频率c f 附近应该具有埃尔米特对称性，但一般来讲,带通信号不满足这个特性，因此,对应的低通信号是复值信号。

４.6利用估计理论中基于均方误差准则的结论,当误差正交于级数展开式的每一个函数时,获得e ε的最小值，因此:因为函数{()}n f t 是正交的，（1)式只存在k=n 的部分即可简化为：也即有相应的残余误差e ε为：４．9信号波形()m s t '的能量为:相关系数：4.10 （a) 波形()n f t 是正交的，只要证明因此()n f t 是正交的。

(b)先确定加权系数由上看到,从信号波形()n f t ,n=1，２,3来看，()x t 是正交的，因此它不能表示为这些函数的线性组合。

4.11(a)作为正交基函数集,考虑集合：用矩阵表示4个波形为:因此波形的维数是4.(ｂ)波形由向量表示为:（c) 第1,2向量之间的距离为：同理:因此，任意两个向量之间的最小距离为４.1３()x t的功率谱密度从2.１4题有: Y(t)的功率谱密度如图：4．14(a ） 因为每个序列信号速率是１／２T ，ｇ(t)的间隔为２T,在2nT ≤t ≤2ｎT ＋T ，(b)功率谱密度:这里：又因为exp()exp()sin 2jx jx x j--=,很容易得到（c) 上述功率谱密度与M ＳK 是相同的,因此ＭSK 可以产生交错四相PSK 信号,其中ｇ(t)是半个周期的正弦脉冲。

4．１６对于u(ｔ)是广义平稳，必须有[()](,)()uu uu E u t t t φτφτ=+=常数，的条件。

４．17 第一个基函数为：第二个基函数:所以：3E 表示3()g t '的能量，第三个基函数:所以有第四个基函数4.2０ ()u t ∆的自相关函数：令,,(,)a nT da d a =∆+=∆∈-∞∞,那么：4．21(ａ) 因为 1n n n B I I -=+，所以有：每个符号概率(2)(2)1/4n n P B P B ===-=,信号空间为:（b)序列{}n I 包含的独立符号为:所以（c)转移矩阵为：相应的马尔可夫链:４．２２ (a ）序列{}n a 与随机变量不相关，所以有:(ｂ） 而：因此有：(c)如果{}n a 取0,1并且等概,那么E （ａn ） = 1/2，1/4,0()[1()]/41/2,0n m n m E a a m m δ+≠⎧⎫==+⎨⎬=⎩⎭则有:4.24 ｋ=2,121/2p p ==为了简化计算，定义/2/2T t T -≤≤,有：当0i f >>时,的乘积项可以忽略。

那么就有:类似地，对2()l S T (用ｍ代替n ），如果ｎ(m ）是偶数，1(2)()0lS T=，对于所有的l ，除了在这种情况下:()/2l n m =±,对于12()()S f S f 和的乘积项可以忽略,因为没有频谱重叠,因此：和MSK 信号比较,这个信号在频谱上有冲击脉冲。

4.26 ＱPRS 信号:(a) 同4.20题，序列n B 可以取 Ｐ(Bn = 2) ＝ Ｐ（Ｂn =−2) = 1/4， P(Ｂｎ = 0) = 1/２对序列n C ,因为两个序列是独立的,有 Ｐ{Bn = ｉ,Cn = ｊ} ＝ P{Bn ＝ １}P ｛Ｃn = j ｝ 信号空间：(b) 如果令Ｚn = Bn + jCn,因为序列Bn ， Ｃn 是独立的,具有相同的统计特性,有:2()2cos BB f fT φπ= ，有 (c) 马儿可夫链及转移概率:4.28 相位树图:从相位树图模2 得状态网格图: 状态图：4.31 脉冲C k (t)定义为:脉冲Ｃk （t)的持续时间 ˆn使得S ＝ Ｌ(2 − ａk ，n ) − n , 易知ˆn =Ｌ-1,只需用找到,k n a ，ｎ＝0,１，L-1是０，如果所有的-------－-－－---－--－-－---------－-------－-----－－－--－--－---－-----－－－--------－-------－-－－----------－－-----－--－--------- ４.3３ 如果,则。

因此可以充足的消除线性频谱。

假想,，例如，,那么就有，s(t)是单脉冲。

然而，如果对所有的n ，S (n/T ) = 0，线性频谱消失。

一个单脉冲就满足这个条件,如下图：在此种情况下，所有对所有n,Ｓ(n/T ） = 0，所以条件是不必要的。

4.34有，(b ） 对非独立的序列，功率谱密度S （ｔ) ， 21()()()ss bb f G f f Tφφ= 然而因此：需要结果的功率谱：(c) 引入零点的条件在f = l/４Ｔ,l = ±1,±２， .．．得到212cos /20k k l π++=，不是所有的l 都满足,通过预编码可以避免这个情况,设b n = aｎ+ka n −4。

类似于(ｂ),k=-1，在１/4T 的倍数处出现频谱的零点。

4.3６ FSK 的功率谱密度可以通过等式(4-4－60）且K=2，ｐ0 = p 1 = １／2得到,因此在这个条件下,载波01,θθ的相位是确定的，可以得到:这里01(),()S f S f 是01(),()s t s t 的傅里叶变换，特定情况下:同理：，因为载波相位01,θθ影响*01Re()S S ，对随机相位求平均值,有(b)如果f k 足够大,乘积因此对c f f ,2()k S f 按比例地衰减 接近5．2 (a)匹配滤波器的脉冲响应:(b)在t=Ｔ 匹配滤波器的输出:(c) 在t ＝Ｔ 相关器的输出:５.4 (a) 因为:相关器的抽样输出:，噪声n 是零均值,方差的高斯随机变量,抽样输出的概率密度函数:因为信号是等概的，如果 最优判决选取0S ,否则1S ,判决规则:或者等效为:最优门限：12A T(b) 平均错误概率:1()()mm mn n n s t s f t ==∑5.５ 因此对任意的n:５.8 已知的波形是等效低通信号:12εεε==，（b) 每个匹配滤波器都有等效的低通脉冲响应：(c)(d)(e）匹配滤波器的输出不同于相关器的输出,在取样周期t＝T时，两个输出集合相同。