单纯形法的矩阵描述ppt课件
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单纯性法的矩阵描述.ppt
记为：σN= CN-CBB-1N
基变量XB检验数为0,实质上是σB =CB-CBB-1B=0
XB=B-1b-B-1NXN
Z=CBB-1b+σNXN
令非基变量XN=0，得到如下公式（经过迭代后）：
由于B是可行基，则得到：
基变量的取值：XB =B -1b ≥0 ； 基可行解： X =（XB,XN)T = (B－1b，0)T ； 目标函数值： z =CB B -1b ；
XB 0
I
-Z 1 0
B-1N
B-1b
CN -CBB-1N
-CBB-1b
将增广矩阵左乘B-1并令非基变量XN=0后
得到下列计算公式：
-z XB
XN
RHS
1 CB
CN
0
0
I
B-1N
B-1b
0B
N
b
1
0
CN -CBB-1N
-CBB-1b
1.
X B B1b, XN = 0 , X =(XB ,XN)T = (B-1b ,0)T
=CBXB+CNXN
=CB (B-1b - B-1NXN) +CNXN
=CBB-1b +(CN - CBB-1N)XN =CBB-1b +σNXN 式中：CBB-1b是z的常数项，
σA= C-CBB-1A σj=cj-CBB-1Pj
（当非基变量XN=0时，Z=CBB-1b）
CN-CBB-1N是非基变量XN 的系数，也是XN的检验数.
x5
20
已知可行基
2
B1
此表达式是用非基变量来表达的
注意：两边左乘B-1 ，相当于对增广矩阵(A,b)进行了初等行 变换, 即相当于对原来的单纯形表进行了一次迭代，
《单纯形方法》课件
结论：单纯形方法在资源分配问题中具有广泛的应用前景，可以帮助企业实现资源的合理分配和优化利用，提 高生产效率和市场竞争力。
定义：通过选择一组资产，使得 在给定风险水平下，期望收益最 大化
方法：利用单纯形方法求解投资 组合优化问题
添加标题
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目标：实现投资组合的收益最大 化
添加标题
添加标题
实际应用：在金融领域中，用于 管理资产组合，降低风险并提高 收益
● a. 求解线性规划问题的有效方法 ● b. 广泛应用于经济、管理、工程等领域 ● c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法的应用前景： a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 b. 在人 工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 c. 在未来，单纯形方法将不断 优化，提高求解速度和精度
● a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 ● b. 在人工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 ● c. 在未来，单纯形方法将不断优化，提高求解速度和精度
单纯形方法在算法改进方面 的潜力
单纯形方法在优化领域的应 用前景
单纯形方法在实际问题中的 应用挑战
未来研究方向和可能的突破 点
汇报人：PPT
计算复杂度：对于大 规模问题，单纯形方 法的计算复杂度较高 ，可能需要较长的计 算时间。
单纯形方法在解决复杂问 题时的局限性
未来发展方向：与其他优 化算法的结合与改进
面临的挑战：提高算法的 稳定性和效率
未来展望：拓展应用领域， 推动相关领域的发展
单纯形方法的重要性： a. 求解线性规划问题的有效方法 b. 广泛应用于经济、 管理、工程等领域 c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法在资源分配问题中的应用：单纯形方法是一种线性规划方法，可以用于解决资源分配问题。通过构建和 求解线性规划模型，单纯形方法可以找到最优的资源分配方案，使得资源利用效率最高或满足特定的目标函数。
定义：通过选择一组资产，使得 在给定风险水平下，期望收益最 大化
方法：利用单纯形方法求解投资 组合优化问题
添加标题
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目标：实现投资组合的收益最大 化
添加标题
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实际应用：在金融领域中，用于 管理资产组合，降低风险并提高 收益
● a. 求解线性规划问题的有效方法 ● b. 广泛应用于经济、管理、工程等领域 ● c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法的应用前景： a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 b. 在人 工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 c. 在未来，单纯形方法将不断 优化，提高求解速度和精度
● a. 在大数据时代，单纯形方法将更加高效 ● b. 在人工智能领域，单纯形方法将与机器学习结合 ● c. 在未来，单纯形方法将不断优化，提高求解速度和精度
单纯形方法在算法改进方面 的潜力
单纯形方法在优化领域的应 用前景
单纯形方法在实际问题中的 应用挑战
未来研究方向和可能的突破 点
汇报人：PPT
计算复杂度：对于大 规模问题，单纯形方 法的计算复杂度较高 ，可能需要较长的计 算时间。
单纯形方法在解决复杂问 题时的局限性
未来发展方向：与其他优 化算法的结合与改进
面临的挑战：提高算法的 稳定性和效率
未来展望：拓展应用领域， 推动相关领域的发展
单纯形方法的重要性： a. 求解线性规划问题的有效方法 b. 广泛应用于经济、 管理、工程等领域 c. 快速、准确、稳定，受到广泛认可
单纯形方法在资源分配问题中的应用：单纯形方法是一种线性规划方法，可以用于解决资源分配问题。通过构建和 求解线性规划模型，单纯形方法可以找到最优的资源分配方案，使得资源利用效率最高或满足特定的目标函数。
运筹学讲义-单纯形方法(ppt 78页)
为变量xj关于基B的判别数，j=1,2, -------, n。
7 2020/11/2
五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
9 2020/11/2
五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
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五、 单纯形方法
2、判别向量与判别数： （的b）判λ别N=向CN量-C，BB其-1中N为任对一应分基量Bλ的j=c所j-C有BB非-1基Aj变量XN 为-非---基-, 变n。量xj关于基B的判别数，j=m+1,m+2, ----（c）所有基变量的判别向量是零向量，所有基变
（一）人工变量消除法——M法 2、M法的辅助线性规划问题：
原问题：
Max z=c1x1+c2x2+……+cnxn s.t. a11x1+a12x2+……+a1nxn=b1 a21 x1+ a22x2+…… +a2nxn =b2
……
am1x1+am2x2+……+amnxn=bm x1,x2, ……,xn ≥ 0
函数值Z/ >0，则原问题无解。 [证明]（请同学们自己做一做）。 （3）辅助问题在最优基B下目标函数的值Z/=0，此时有 两种情况：第一种情况，若辅助问题的最优基B对应的 基变量中无人工变量，则该最优基也是原问题的可行 基，这时候只要在单纯形表中去掉人工变量所在的列 和最后一行，即可得到原问题的初始可行单纯形表。
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五、 单纯形方法
（三）单纯形方法：表上作业法
1、单纯形表的构造
方法1：C-CBB-1A=(CB,CN)-CBB-1(B,N) =(0,CN-CBB-1N)
两边同乘上X得：
（C-CBB-1A）X= (0,CN-CBB-1N)X，化简得： Z=CBB-1b+(CN-CBB-1N) XN
3 X2 1.5 0.5 1 0.25 0
单纯形法的矩阵描述
1
当前检验数
其中
B Pj
1
当前 x j 对应的系数列
线性规划问题可以等价写成： 单纯形乘子
对 偶 问 题
max z CB B b (CN CB B N ) X N s.t. X B B NX N B b X B 0, X N 0
此形式为线性规划对应于基B的
1 1
1
1
上页 下页 返回
典则形式（典式）。
7
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ... x X Bm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m 0
xm 非基变量 X 1 .... x nN a1m 1 ...a1n a2 m 1 ...a2 n N
令
1 1 1
XN 0
得
1
当前基可行解
XB B b
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
目标函数
XB z (CB CN ) CB X B CN X N XN 1 1 CB B b (CN CB B N ) X N
令
XN 0
得
非基变量的 检验数
列初始单纯形表
11
上页 下页 返回
初始单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
I
0
上页 下页 返回
XB XN XS
B
CB
12
0
XS
检验数
b
N
CN
初始单纯形表
对 偶 问 题
迭代成基变量
当前检验数
其中
B Pj
1
当前 x j 对应的系数列
线性规划问题可以等价写成： 单纯形乘子
对 偶 问 题
max z CB B b (CN CB B N ) X N s.t. X B B NX N B b X B 0, X N 0
此形式为线性规划对应于基B的
1 1
1
1
上页 下页 返回
典则形式（典式）。
7
单纯形表
对 偶 问 题
-Z x1 基变量 x2 ... x X Bm 0 1 1B 0 基矩阵 ....... 1 0 1 c c ... c 1 C 2B m 0
xm 非基变量 X 1 .... x nN a1m 1 ...a1n a2 m 1 ...a2 n N
令
1 1 1
XN 0
得
1
当前基可行解
XB B b
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
目标函数
XB z (CB CN ) CB X B CN X N XN 1 1 CB B b (CN CB B N ) X N
令
XN 0
得
非基变量的 检验数
列初始单纯形表
11
上页 下页 返回
初始单纯形表
对 偶 问 题
价值系数
基变量 的价值 系数 基变量 等式 右边 RHS
CB
CN
0
I
0
上页 下页 返回
XB XN XS
B
CB
12
0
XS
检验数
b
N
CN
初始单纯形表
对 偶 问 题
迭代成基变量
第1节 单纯形法的矩阵描述
XS1 XS2
基变量 非基变量
7
线性规划问题可表示为：
目标函数 maxzCBXB CNXN
CBXB CN1XN1 CS2 XS2 (21) 约束条件 BXBNXN BXB N1XN1 S2XS2 b
(22)
非负条件 XB,XN 0
(32)
8
将（2-2）式移项及整理后：
BX B b N1 X N1 S2 X S2 ; X B B 1b B 1N 1 X N1 B 1S2 X s2 ; 目标函数： z C B B 1b ( C N1 C B B 1N 1 ) X N1
第2章 对偶理论和灵敏度分析
第1节 单纯形法的矩阵描述 第2节 改进单纯形法(略) 第3节 对偶问题的提出 第4节 线性规划的对偶理论 第5节 对偶问题的经济解释——影子价格 第6节 对偶单纯形法 第7节 灵敏度分析 第8节* 参数线性规划
1
第1节 单纯形法的矩阵描述
设线性规划问题 :
目标函数 max z = CX； 约束条件 AX ≤ b； 非负条件 X ≥ 0
2
给这线性规划问题的约束条件加入松弛 变量以后，得到标准型：
max z=CX+0Xs ； AX+IXs=b ；X, X s≥0 这里 I 是 m×m 单位矩阵。
I
1
0
0 1
3
若以Xs为基变量，并标记成XB
这时将系数矩阵（A，I）分为（B，N）两 块。B是基变量的系数矩阵，N是非基变量 的系数矩阵。
11
（2）单纯形表与矩阵表示的关系
矩阵关系式：
0 1
I 0
B1N1 CN CBB1N1
z
CBBB1 1XXXN NB12
3.1单纯形法的矩阵描述
0 0 σj7 x115 x2来自0 x30 x4
0 x5 0 0 1
二、单纯形法矩阵描述 Page 9 bi 6 θi 6/1 8/2 3/1 0 3 3/1 2/1 — 45 的应用
1 检查计算是否正确
x3
x4 x5
1
1 0 7
1
2 1 15
1
0 0 0
0
1 0 0
8 3
0
-1 -2 1 -15 1 -2 1
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 11 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
x3 x1 x2 σj 解：
0
0
1 0 0 0
1
-1 1 0 -7
1 -2 1 -1
1 2 3
松弛变量的价值系数为0 x1、x2的价值系数设为c1、c2
1 0 0
0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 B ( B ) 0 1 2 0 1 2 p3 0 0 1 0 0 1
p1
p2
0 − c1 = −7
c1 = 7
0 +2c1−c2 = −1
故：
c2 = 15
目标函数值：
常数项：
1 1 1 6 1 1 X B B b 0 1 2 8 2 0 0 1 3 3
z C B B 1b 1 0 7 15 2 59 3
运筹学
( Operations Research )
( Duality Theory )
0 x5 0 0 1
二、单纯形法矩阵描述 Page 9 bi 6 θi 6/1 8/2 3/1 0 3 3/1 2/1 — 45 的应用
1 检查计算是否正确
x3
x4 x5
1
1 0 7
1
2 1 15
1
0 0 0
0
1 0 0
8 3
0
-1 -2 1 -15 1 -2 1
2 由最终表反推出初始表 例2：设用单纯形法求解某个线性规划问题的最终表如下（目标max， 约束 Page 11 为≤形式，x3,x4,x5为松弛变量），试写出原始线性规划模型。
x3 x1 x2 σj 解：
0
0
1 0 0 0
1
-1 1 0 -7
1 -2 1 -1
1 2 3
松弛变量的价值系数为0 x1、x2的价值系数设为c1、c2
1 0 0
0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1 B ( B ) 0 1 2 0 1 2 p3 0 0 1 0 0 1
p1
p2
0 − c1 = −7
c1 = 7
0 +2c1−c2 = −1
故：
c2 = 15
目标函数值：
常数项：
1 1 1 6 1 1 X B B b 0 1 2 8 2 0 0 1 3 3
z C B B 1b 1 0 7 15 2 59 3
运筹学
( Operations Research )
( Duality Theory )
单纯形法的矩阵描述
σj
7 0 0 0 -15
45
0 x3 0 0 1 -1 1 1
B-1b
7 x1 1 0 0 1 -2 2
15 x2 0 1 0 0 1 3
σj
0 0 0 -7 -1
59
最优基矩阵旳逆矩阵B-1
Page 11
基矩阵：
1 1 1
B p3
p1
p2
0 0
1 0
2 1
基矩阵旳逆矩阵：
1 1 1
0 1 -1 00 1 10 0 0 0 -7
1 1 1 1 1 1 2 0 1 0 1 0 0
11 -2 2 13 -1
1 2
p3
p1
1
松弛变量旳价值系数为0 x1、x2旳价值系数设为c1、c2
p2
0 − c1 = −7
0 +2c1−c2 = −1
c1 = 7 c2 = 15
1 1 1 1 1 0 0
量旳系数矩阵,则
(
X
,
X
S
)
X X
B N
，(C
,
CS
)
(CB
,
CN
);
§3.1 单纯形法旳矩阵描述 Page 5
目标函数
约束条件 非负条件
max
z
CX
(CB ,CN
)
XB XN
CB XB CN XN
(3 2)
( B,
N
)
XB XN
BX B
NX N
b
(3 3)
X B，X N 0
Page 13
例3：试验证X=(0,2,0,0,2)T是否是下列线性规划问题旳最优解。
Chapter 2.7 单纯形法的矩阵描述
x6 0 0 1
0
j
0
4
0
-3
5
故此单纯形表不是最优表，下面我们利用矩阵的 关系分析一下。
从前面的分析知道，在初始单纯形表中的(B,N) 矩阵最后我们会化为矩阵(I, B 1 N )
由于给定基变量为x3,x2,x5，因此表格中 x3,x2,x5的列向量分别为
1 0 , 0
2.7 单纯形法的矩阵描述
一、为什么要研究单纯形法的矩阵描述？
& 进一步讨论改进单纯形法 & 便于理论推导（如对偶定理的证明）
二、怎样进行矩阵描述？
关键——写出两个基本的表达式。
1、准备工作：
（1）标准型的矩阵形式—— MaxZ CX
AX b s.t. X 0 （2）将式中矩阵写成分块矩阵形式
b
B-1b -CBB-1bXBI 0 NhomakorabeaXN
B-1N CN-CBB-1 N
XS
B-1 -CBB-1
单纯形法的矩阵描述
XB CB B-1b x1 x2 x3 x4 x5
ɵ
90
40 30 30.8 20 100
x3
x4 x5 x3 x4 x2
0
0 0 0 0 12
360
200 300 240 50 30
9
C (C B C N )
X ( X B X N )T
A ( P , P2 ,, Pn ) ( B N ) 1
2、将分块形式代入矩阵形式标准 型，得出两个基本表达式：
（1）由约束条件
XB AX ( B N ) BX B NX N b X N
CB ( B 1b B 1 NX N ) C N X N CB B 1b CB B 1 NX N C N X N CB B b (C N CB B N ) X N Z CB B 1b N X N
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min
i
B1Pj i
B 1 Pj
0 i
偶
问 题
价值系数
0 CB CN
基变量的 基变量 等式
价值系数
右边
上页
RHS
XB XN XS
下页 CB X B B1b I B1N B1
返回
z0检 C验B B数1b
0 CN CBB1N CB B1
当前基可行解
偶
问 题
X
B
B 1b
上页
N B1N
下页
N
CN
CB B1N
返回
z0
CB B1b
9
9
单纯形法计算的矩阵描述
对 偶
线性规划问题
问
max z CX
题
AX b
上页
s.t.
X 0
下页 化为标准型，引入松弛变量 X s
返回
max z CX 0X s
b1
b2
下页
基.矩..阵.... ......非基阵
返回 0
1 amm1...amn bm
1 c1 cC02.B.. cm
cm1CN cn
0
8
8
当出矩已B阵知1 描一，个述再线用时性这的规些划常运的算用可公公行式基式可B得时到，单先纯求
对 形法所要求的结果。
X B B1b
4
单纯形法的矩阵描述
对 偶
目标函数
问 题
z (CB
CN
)
X X
B N
CB
X
B
CN
X
N
CBB1b (CN CBB1N )X N
令 XN 0 得
非基变量的 检验数
z0 CB B1b
当前目标值
5
单纯形法的矩阵描述
对 偶
检验数
问 题
当前检验数
15
对
偶 问
下一节
题
对偶问题的提出
上页
——掌握如何写出对偶问题
下页
返回
16
16
1 c1 cC2.B.. cm
cm1CN cn
0
3
3
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问 题
约束方程组
AX b (B
N
)
X X
B N
BX B NX N b X B B1(b NX N ) B1b B1NX N
令 XN 0 得
当前基可行解
对
偶 问
第一节
题
单纯形法的矩阵描述
上页
单纯形法的矩阵描述
下页
单纯形法计算的矩阵描述
返回
1
1
单纯形法的矩阵描述
对 偶 问
设线性规划问题
max z CX
题
AX b
s.t
X
0
上页
不妨设基为
下页
B P1 P2 Pm
返回
则 A (P1 P2 Pn) (B N) X (XB X N ) C (CB CN )
价值系数
0 CB CN
基变量 基变量 等式
的价值
上页
系数
右边 X B X N X S
RHS
下页 0 X S b B N I
返回
检验数
CB CN 0
12
初始单纯形表 迭代成基变量
对
偶
问 题
价值系数
0 CB CN
基变量 基变量 等式
的价值
上页
系数
右边 RHS
XB XN XS
下页 0 X S b B N I
返回
检验数
CB CN 0
初始基变量 13
迭代后单纯形表
对
偶
问 题
价值系数
0 CB CN
基变量 基变量 等式
的价值
上页
系数
右边 RHS
XB XN XS
b I B N 下页 CB X B B1 B1 B1 B1
返回
检验数
0 CN CBB1N CB B1
14
对
迭代后单纯形表 B1b
N CN CB B1N
(Cm1， ，Cn ) CB (B1Pm1， ，B1Pn )
m1
Cm1
CB
Bห้องสมุดไป่ตู้
P 1 m1
当前检验数
n Cn CB B1Pn
其中 B1Pj
当前x j 对应的系数列
6
线性规划问题可以等价单纯写形成乘子：
对
偶
问 题
max z CB B1b (CN CB B1N ) X N
s.t.
AX IX X 0, X
s s
b 0
10
10
标准型
对
偶 问 题
max z CB X B CN X N 0 X S
上页 下页
s.t.
BX B NX XB, XN, X
N S
IX S 0
b
返回
列初始单纯形表
11
11
初始单纯形表
对
偶
问 题
基变量
非基变量
2
2
单纯形表
对
偶 问
-Z x1 基x变2.量..XxBm
xm非基1.变..量. xXNn
b
题
0 1
上页
0
1B
a1m1 ...a1n a2m1N ...a2n
b1
b2
下页
基.矩..阵.... ......非基阵
返回 0
1 amm1...amn bm
s.t.
X B B1NX N B1b
上页
X B 0, X N 0
下页
返回 此形式为线性规划对应于基B的
典则形式（典式）。
7
7
单纯形表
对
偶 问
-Z x1基x变2.量..XxBm xm非1基..变..量xXnN
b
题
0 1
上页
0
1B
a1m1 ...a1n a2m1N ...a2n