13 达朗伯原理
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13达朗贝尔原理
∑ m ar = (∑ m )ar = mar
例13-3飞轮质量为m，半径为Ｒ，以匀角速度 ω 定轴转动，设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘 上，不考虑重力的影响。 求：轮缘横载面的张力。
解：(1)受力分析 (2)加速度分析，写出 FI ,i m n FIi = mi ai = R∆θ iω 2 R 2πR (3)建立动静法平衡方程
达朗贝尔原理
惯性力· 质点的达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
13.2 13. 质点系的达朗贝尔原理
Fi + FN i + FI i = 0 i = 1,2, L , n
质点系的达朗贝尔原理：质点系中每个质点上作用 的主动力、约束力和惯性力在形式上组成平衡力系。 记
解 ： F = ma I
( )
( )
= ∑ mi riα cosθ i zi + ∑ (−mi riω 2 sin θ i zi )
M Ix = ∑ mi riα cos θ i zi + ∑ (−mi riω sin θ i zi )
2
由
xi yi cos θi = , sinθi = ri ri
有 MI x =α
∑m x z −ω ∑m y z
M = m2 ge sin ωt + m 2 eω 2 h sin ωt
Fx = − m2 eω ⋅ sin ωt
例13-6 电动绞车安装在梁上，梁的两端搁在支座 上，绞车与梁共重为P。绞盘半径为R，与电机转子 固结在一起，转动惯量为J，质心位于O处。绞车以加 速度a提升质量为m的重物，其它尺寸如图。 已知: P, R, J , a, m. 求：支座A，B受到的附加约束力。
理论力学 第十三章达朗贝尔原理
二、质点系的达朗贝尔原理
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
设有一质点系由n个质点组成 第i个质点Mi，质量mi，受主动力 F， i 约束反力 FNi 作用，加速度为 ai ,对每一个质点，有： G G Fi mi ai Fi FNi Fi 0 (i 1, 2,, n)
表示为力系形式： G G G (F1,, Fi ,, Fn , FN1,, FNi ,, FNn , F 1 ,, F i ,, F n )0
G rC为刚体质心相对于质心 的矢径， rC 0MC 0
结论：刚体作平动时，惯性力系对质心C的主矩为零。
19
mi ri aC mrC aC
§13–2 刚体惯性力系的简化
三、刚体作定轴转动
讨论具有质量对称平面且转轴垂直于质量对称平面 的情况。（刚体的空间惯性力系投影在对称平面内 的平面力系，再将此平面力系向O点简化，O点为质 量对称平面与转轴Z的交点。） 空间惯性力系 平面惯性力系 （质量对称面） 直线 i : 平动， 过Mi点，惯性力系 G 为
将质点系受力按内力、外力划分：
（内力是大小相等，方向相反成 对出现，所以内力主矢和对任意点 的主矩分别恒为零）
e e e G G G (F1 ,, Fi ,, Fn , F1 ,, Fi ,, Fn ) 0 e G Fi Fi 0 e G M O ( Fi ) M O ( Fi ) 0
1
第十三章
达朗贝尔原理
§13–1 达朗贝尔原理 §13–2 刚体惯性力系的简化
§13–3 绕定轴转动刚体的动约束力
静平衡和动平衡的概念
2
第十三章
达朗贝尔原理
法国科学家达朗贝尔（J.le Rond d’Alembert)将适 用于自由质点的牛顿定律（第二定律）推广至受约束质 点，并于1743年提出了受约束质点动力学问题的一个原 理—达朗贝尔原理。 达朗贝尔原理为非自由质点系动力学的发展奠定了 基础。该原理提出一百多年后，后人引入了惯性力的概 念，并应用达朗贝尔原理中包含的用静力学中研究平衡 的方法研究动力学中不平衡问题的思想，将这一原理发 展成求解非自由质点系动力学问题的普遍而有效的方法， 称为动静法。 由于动静法简单有效，易于掌握，因此在工程技 术中得到了广泛应用。
达朗伯原理
求：BC 绳的张力及A处的约束反力。
解： 取AB杆为研究对象
分析AB杆的运动，计算惯性力
dFg
m 2x sin
l
dx
Fg
l m 2x sin dx 1 ml 2 sin
0l
2
X 0 FAx Fg FT 0
Y 0 FAy mg 0
MA 0
FTl cos
Fg
2 l cos
M
B
C
l
FCy
M
MC F 0 M MgC mgR FAg R 0
MgC
A C FCx
FAg maA
其中：
mg
M gC
J C C
1 mR2 2
aA R
1 2 mRaA
aA
2(M mgR) 3mR
A
mg FAg
X 0 FCx 0 Y 0 FCy mg mg FAg 0
O θ l
解：以小球为研究的质点。质点作匀速圆
周运动，只有法向加速度，在质点上
O
除作用有重力mg和绳拉力F外，再加
θ
上法向惯性力F*，如图所示。
F*
man
m
v2 l sin
l
F b
根据达朗伯原理，这三力在形 式上组成平衡力系，即
n
t
mg F*
F mg F * 0
解得：
取上式在自然轴上的投影式，有：
具有质量对称平面的刚体作平面运动，并且运动平面与质量 对称平面互相平行。对于这种情形，先将刚体的空间惯性力系向 质量对称平面内简化，得到这一平面内的平面惯性力系，然后再 对平面惯性力系作向质心简化。
FgR
MgC
惯性力主矢:
C
13 达朗贝尔原理
M IC J C
FIC
第十三章 达朗贝尔
例题13-2 均质杆长 l ，质量m，与水平面铰接，杆由与
平面成角位置静止落下，求初始瞬时OA杆的角
加速度及O点支座反力
A
C
O
mg
第十三章 达朗贝尔
例题13-3
绕线轮重为P，半径分别为R 和r ，对质心O的 转动惯量为JO ，在与水平成角的常力T 作用下 作纯滚动，不计滚阻力偶，求轮心O的加速度并
第十三章 达朗贝尔
若将作用于每个质点的力分为内力和外力，则： e i Fi Fi FIi 0 由空间任意力系平衡条件： e i Fi Fi FIi 0 e i M O Fi M O Fi M O FIi 0
它主动力时不论位置如何总能平衡，这叫静平衡 动平衡
若转轴过中心惯性主轴，则刚体转动时不出
现附加约束力，这叫动平衡
•第十三章 达朗贝尔
如图(a)、(b)、(c)、(d)所示定轴转动情形， 哪些情况满足静平衡，哪些情况满足动平衡?
m m
r
r
r
m
2m
r
r
2r
r
m
m m
r
(b)
m
(a )
(c)
(d )
静约束力 附加动约束力
FBz FRz
•第十三章 达朗贝尔
要使附加动约束力为零，则必须有：
FIx FIy 0
M Ix M Iy 0
由定轴转动刚体惯性力计算公式：
FIx maCx FIy maCy 0
M Ix J xz J yz 2 0 M Iy J yz J xz 2 0
理论力学——达郎贝尔原理
力和一个力偶，这个力等于刚体质量与质心的加速度的 乘积，方向与加速度方向相反，作用线通过转轴；这个 力偶的矩等于刚体对转轴的转动惯量与角加速度的乘积， 转向与角加速度相反。
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB
1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
（e） FIR - Fi -ma c
M IO M Iz -J z
讨论 ①刚体作匀速转动，转轴不通过质点C 。
求解步骤 ①选取研究对象。原则与静力学相同。 ②受力分析。画出全部主动力和外约束反力。
③运动分析。主要是刚体质心加速度，刚体角加速
度，标出方向。 ④虚加惯性力。在受力图上画上惯性力和惯性力偶， 一定要 在 正确进行运动分析的基础
上。熟记刚体惯 性力系的简化结果。
⑤列动静方程。选取适当的矩心和投影轴。 ⑦求解求知量。
M
y
解得
1 M y FRxOB M Ix M IxOB FAx AB
1 M x FRyOB M Ix FIyOB FAy AB
1 M y FRxOA M Ix FIxOA FBx AB
1 M x FRyOA M Ix FIyOA FBy AB
min
求:轴承A,B的约束力
解:
0.1 12000π 1 an e m 158 m 2 s s 1000 30
2
2
F man 3160N
n I
FNA FNB
1 20 9.8 3160N 1680N 2
内容
§13-1
惯性力〃质点的达朗贝尔原理
Force of Inertia ·D’Alembert’s Principle of a Particle
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
13第十三章 达朗贝尔原理(动静法)
系的简化方法将刚体的惯性力系加以简化，这样在解题时就可
以直接施加其简化结果，使动静法切实可行。
常见的刚体运动有平动、定轴转动和平面运动。
13
一、刚体作平动
刚体内各点的加速度都与质心C的加速度 aC相等，任一
质点的惯性力 FIi mi aC ，组成一同向的平行力系。 这个惯性力系简化为通过质心C的合力：
IC
α
FIR m aC m R M IC J C m 2
由动静法，得：
FIR
O
mg
28
X 0 , F T F 0 Y 0 , N m g S 0 M ( F ) 0 , M FR M
IR C
(1) (2)
IC
IC
α mg
法。
达朗贝尔----J.le R.d’Alembert ,1717~1783。 达朗贝尔原理：1743年提出。
3
第十三章
§13–1 §13–2 §13–3 §13–4
达朗贝尔原理
惯性力·质点的达朗贝尔原理 质点系的达朗贝尔原理 刚体惯性力系的简化 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
§13-1
惯性力·质点的达朗贝尔原理
FI ma ( FI ma)
由动静法, 有
FI
X 0 , mg sin F cos 0
I
将 FI ma代入
a g tg 解得 角随着加速度 a 的变化而变化，当 a 不变时， 角也
不变。只要测出 角，就能知道列车的加速度 a 。摆式加速
计的原理。
9
FIin
i
yi
xi y
法向惯性力： FIin mi ain mi ri 2 惯性力系向O点简化的主矢为：
理论力学13—达朗贝尔原理12
例 2 一 圆 锥 摆 ， 如图 所 示 。质 量 m=0.1kg 的 小 球 系 于 长 l=0.3m的绳上，绳的另一端系在固定点O，并与铅直线成 θ=600 角。如小球在水平面内作匀速圆周运行。用达朗伯原 理求解小球的速度v与绳的张力F的大小。 解： （1）取小球为研究对象 （2）作用于质点的力有重力mg 和绳的拉力F。 选取在自然轴。 （3）加惯性力 质点作匀速圆周运动，只有法向 v2 加速度。即 FIn = ma n = m l sin α
M IO = ∑ M O ( F ) = − ∑ F ⋅ ri
t Ii t Ii
= − ∑(mi riα )ri = − ∑(mi ri 2 )α
即
M IO = − J O α
综上可得结论：定轴转动刚体的惯性力系, 可以简化 为通过转轴O的一个惯性力FIR和一个惯性力偶MIO。 力FIR的大小等于刚体的质量与其质心加速度大小的 乘积, 方向与质心加速度的方向相反，作用线通过转 轴；力偶MIO的矩等于刚体对转轴的转动惯量与其角 加速度大小的乘积, 转向与角加速度的转向相反。
r (e) r ΣFi + ΣFI i = 0
r r (e) r r ΣM O ( Fi ) + ΣM O ( FI i ) = 0
即：作用在质点系上的所有外力与虚加在每个质点 上的惯性力在形式上组成平衡力系。这是质点系达 朗贝尔原理的又一表述。 称ΣFIi为惯性力系的主矢， ΣMO(FIi)为惯性力 系的主矩。
r r r Fi + FN i + FI i = 0
(i = 1, 2, ⋅⋅⋅, n)
即：质点系中每个质点上作用的主动力、约束力和 它的惯性力在形式上组成平衡力系。这就是质点系 的达朗贝尔原理。
达朗伯原理(2010)
动力学中的不平衡问题。 将动力学问题 虚加惯性力 形式上的静力学 主要内容： 问题，再用静力学方法解决。
主要手段：虚加惯性力。
本章重点：惯性力。
第十三章
达朗伯原理
二、惯性力 (Inertial Force)
二、惯性力 (Inertial Force)
定义：
受力体因惯性而对 施力体的反抗。 FI ma
作用线： 过C点。
四、刚体惯性力系的简化
2、 刚体惯性力系简化结果------主矢与主矩
② 定轴转动 (Fixed-axis Rotation)
条件：具有质量对称面，且质量对称面⊥固定转轴。
向O点简化：
FIR＝－maC
大小： maC
方向： 与aC反向。
作用线：过O点。 大小： J O
第三篇 动力学
第十三章 达朗伯原理
（达朗贝尔原理） （D´Alembert´s Principle）
第十三章
达朗伯原理
一、引
言
一、引 言 (Introduction)
如何求解复杂机器的动反力 及内部构件的受力？
一、引 言 (Introduction)
主要思想：用静力学中研究平衡问题的方法来研究
原理：
若对质点系内的每个质点都假想地加上各自的惯性力， 则质点系的所有外力和所有惯性力组成平衡力系。
三、达朗伯原理 (D´Alembert´s Principle）
2、质点系的达朗伯原理
e Fi FIi 0 e M O Fi M O FIi 0
aC
O
FIR＝－maC
平动
FIR＝－maC
主要手段：虚加惯性力。
本章重点：惯性力。
第十三章
达朗伯原理
二、惯性力 (Inertial Force)
二、惯性力 (Inertial Force)
定义：
受力体因惯性而对 施力体的反抗。 FI ma
作用线： 过C点。
四、刚体惯性力系的简化
2、 刚体惯性力系简化结果------主矢与主矩
② 定轴转动 (Fixed-axis Rotation)
条件：具有质量对称面，且质量对称面⊥固定转轴。
向O点简化：
FIR＝－maC
大小： maC
方向： 与aC反向。
作用线：过O点。 大小： J O
第三篇 动力学
第十三章 达朗伯原理
（达朗贝尔原理） （D´Alembert´s Principle）
第十三章
达朗伯原理
一、引
言
一、引 言 (Introduction)
如何求解复杂机器的动反力 及内部构件的受力？
一、引 言 (Introduction)
主要思想：用静力学中研究平衡问题的方法来研究
原理：
若对质点系内的每个质点都假想地加上各自的惯性力， 则质点系的所有外力和所有惯性力组成平衡力系。
三、达朗伯原理 (D´Alembert´s Principle）
2、质点系的达朗伯原理
e Fi FIi 0 e M O Fi M O FIi 0
aC
O
FIR＝－maC
平动
FIR＝－maC
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第十三章 达朗伯原理
第一节 达朗伯原理 第二节 刚体惯性力系的简化 第三节 达朗伯原理的应用 本章重点 1.刚体惯性力系的简化 2.达朗伯原理的应用
1
第一节 达朗伯原理
一、质点的达朗伯原理
I
质量为m的质点M 在主动力F和约束反力FN
的作用下作曲线运动，在图示瞬时,其加速度为a。
N R
由质点动力学方程得:
I I
ri (mi ri ) mi ri 2 J z
6
IR
也可以将惯性力系的主矢、主矩向质心C简化得： FI R mac M IC J C 几种特殊情况：
I I I
1．刚体转轴不通过质心，作匀速转动
M IC 0
M IC J C
n FI R FIR
F 0
IR
2m gsin 30 FIR 0 2m g cos30 FAE FBF 0
Fn 0
M A FBF cos30 1 2mg 0.75
2 g
FIR cos30 0.25 FIR sin 30 0.75 0
FBF 45.5 N
惯性力:质点受到其他物体作用而使运动状态发生变化时，由质点本身的惯 性，对施力物体产生的反作用力。
2
质量m=10kg的物块A沿与铅直面夹角q600的悬臂梁下滑。不计
梁的自重，并忽略物块的尺寸，试求当物块下滑至距固定端O的距离 l=0.6m，加速度a=2m/s2时固定端O的约束反力。
q
解：物块和悬臂梁一起为研究对象。
M
A vC
A
aC aB B aC C
W1
B W2 C C P B
B
vC
C
vA= vB=2 vC aA= aB=2 aC
A = 2aC /R B = aC /r
10
惯性力
M AI
FAy MAI A M W1 FBI MBI B W2 FCI C P FAx
W1 2 W R A 1 RaC 2g g
作用线通过质心C。
IR
2．刚体转轴通过质心，角加速度≠０
FI R 0
3. 刚体绕质心轴匀速转动
M IC 0
FI R 0
三、刚体作平面运动
刚体具有质量对称平面，且刚体平行于对称平 面作平面运动。将平面运动分解为随质心的平动和 绕质心的转动，将惯性力系向质心C简化:
IR
惯性主矢
I
FIR maC
a g (1 sin q ) / 2
I N
FOx W (1 sin q ) cosq / g
FOy W (1 sin q )2 / 2
5
第二节 刚体惯性力系的简化
一、刚体作平动
I IR 2 I2 2 2 I1 1 1 1
主矢 FI R FI i (mi ai ) ( mi ) ai maC 主矩 M I C M C ( FI i ) ri (mi ai ) ( mi ri ) ac mrc aC 0
3
三、质点系的达朗伯原理
有n个质点组成的质点系，取其中任意一质量为mi的质点Mi， FIi mi ai 在质点M 上假想地加上惯性力:
i
质点i的达朗伯原理:
Fi FNi FIi 0
在每个质点上加上惯性力，则作用于整个质点系的主动力系、约束力 系和惯性力系组成一平衡力系，力系的主矢和力系向任一点O简化的主矩 都等于零，即
M BI
W2 2 W r B 2 raC 2g 2g
FBI FCI
MA 0
W2 P aC g
M M AI M BI (W2 P FBI FCI )r 0
ac
M r (W2 P)g 2W1 1.5W2 P r
Fy 0 FAy W1 W2 P FBI FCI 0
Fi FNi FIi 0 MO (Fi ) MO (FNi ) MO (FIi ) 0
重量WA=WB=W的两个物块A和B，系在一无重软绳的两端，软绳绕过 半径为R的无重定滑轮，光滑斜面的倾角为q 。试求物块A下降的加速度及 轴承O的反力。
令
I F ma 称为质点 M 的惯性力.
F FN ma
F FN (ma) 0
质点的达朗伯原理：
I F FN F 0
质点在运动的每一瞬时，作用在质点上的主动力，约束反力与质点的惯性 力构成一形式上的平衡力系。
二、质点惯性力的概念
M IC J C
7
惯性主矩
第三节 达朗伯原理的应用
两均质杆AB和BD，质量均为3kg，AB=BD=1m，焊接成直角形刚体，以绳 AF和两等长且平行的杆AE、BF支持。试求割断绳AF的瞬时两杆所受的力。杆 的质量忽略不计。
0.75m
0.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5m
30°
30°
解：取杆为研究对象；
aC aA 4.9 m/s2
FAE 5.4 N
8
均质杆AB的质量为m，长l，A端用光滑铰链水平铰接， B端用绳子拉住, 位于水平面上。试求当圆盘以匀角速度w绕圆心转动时，绳的拉力的大小。
A
C
450 O B
w
FAy
A FI C aC FAx
解： 取杆为研究对象；
MA 0
FB
2 1 l FI l 0 2 2
450 B FB
O
FB
2 2 lw 4
9
滑轮A和B视为均质圆盘，重量分别为W1和W2 半径分别为R和r，且R = 2r， 物体C重P，作用于A轮的转矩M 为一常量，求物体 C上升的加速度，A处的约束 反力。 解：系统为研究对象. 受力分析
FAy M A MA FAx
速度分析 vA
加速度分析 aA A vB B
将惯性力系向刚体的质心C简化，
二、刚体作定轴转动
设刚体具有质量对称平面，且转轴垂直于质量对称平面。 将惯性力系向质量对称平面与转轴的交点O简化 FIR FIi ( mi ai ) maC 主矢 n 主矩 M I O M z ( FI i ) M z ( FI i ) I M z ( FIi )
FAy W1 W2 P
Fx 0 FAx 0
M r (W2 P)(W2 P) 2W1 1.5W2 P r
11
小 结
一、惯性力的计算
1.质点
2.刚体
FI ma
取刚体质心C为简化中心
(1)刚体作平动 (2)刚体作定轴转动
FI R maC
Fx 0 Fy 0
MO 0
I
FOx FI sin q 0 FOy W FI cosq 0 M O Wl sin q 0
FOx FI sin q 17.3 N FOy W FI cosq 88N M O mglsin q 50.9 N m
FIR ma C M I C J Cα
(3)刚体作平面运动
二、质点的达朗伯原理
F + FN + FI = 0
三、质点系的达朗伯原理
Fi FNi FIi 0
M O (Fi ) M O (FNi ) M O (FI i ) 0
12
q
4
解：物块B为研究对象 Fy 0 FN B WB cosq 0
/ /
FN B WB cosq W cosq
系统为研究对象
T I
Fx 0
q
N
FOx FIB cosq FN B sin q 0
FOx Wa cosq / g W sin q cosq
Fy 0 FOy FI A WA FI B sin q WB FN B cosq 0
FOy Wa (1 sin q ) / g W (1 sin 2 q )
MO 0
I
WB R sin q WA R FI A R FI B R 0
W (sinq 1) R 2WRa / g 0
第一节 达朗伯原理 第二节 刚体惯性力系的简化 第三节 达朗伯原理的应用 本章重点 1.刚体惯性力系的简化 2.达朗伯原理的应用
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第一节 达朗伯原理
一、质点的达朗伯原理
I
质量为m的质点M 在主动力F和约束反力FN
的作用下作曲线运动，在图示瞬时,其加速度为a。
N R
由质点动力学方程得:
I I
ri (mi ri ) mi ri 2 J z
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IR
也可以将惯性力系的主矢、主矩向质心C简化得： FI R mac M IC J C 几种特殊情况：
I I I
1．刚体转轴不通过质心，作匀速转动
M IC 0
M IC J C
n FI R FIR
F 0
IR
2m gsin 30 FIR 0 2m g cos30 FAE FBF 0
Fn 0
M A FBF cos30 1 2mg 0.75
2 g
FIR cos30 0.25 FIR sin 30 0.75 0
FBF 45.5 N
惯性力:质点受到其他物体作用而使运动状态发生变化时，由质点本身的惯 性，对施力物体产生的反作用力。
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质量m=10kg的物块A沿与铅直面夹角q600的悬臂梁下滑。不计
梁的自重，并忽略物块的尺寸，试求当物块下滑至距固定端O的距离 l=0.6m，加速度a=2m/s2时固定端O的约束反力。
q
解：物块和悬臂梁一起为研究对象。
M
A vC
A
aC aB B aC C
W1
B W2 C C P B
B
vC
C
vA= vB=2 vC aA= aB=2 aC
A = 2aC /R B = aC /r
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惯性力
M AI
FAy MAI A M W1 FBI MBI B W2 FCI C P FAx
W1 2 W R A 1 RaC 2g g
作用线通过质心C。
IR
2．刚体转轴通过质心，角加速度≠０
FI R 0
3. 刚体绕质心轴匀速转动
M IC 0
FI R 0
三、刚体作平面运动
刚体具有质量对称平面，且刚体平行于对称平 面作平面运动。将平面运动分解为随质心的平动和 绕质心的转动，将惯性力系向质心C简化:
IR
惯性主矢
I
FIR maC
a g (1 sin q ) / 2
I N
FOx W (1 sin q ) cosq / g
FOy W (1 sin q )2 / 2
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第二节 刚体惯性力系的简化
一、刚体作平动
I IR 2 I2 2 2 I1 1 1 1
主矢 FI R FI i (mi ai ) ( mi ) ai maC 主矩 M I C M C ( FI i ) ri (mi ai ) ( mi ri ) ac mrc aC 0
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三、质点系的达朗伯原理
有n个质点组成的质点系，取其中任意一质量为mi的质点Mi， FIi mi ai 在质点M 上假想地加上惯性力:
i
质点i的达朗伯原理:
Fi FNi FIi 0
在每个质点上加上惯性力，则作用于整个质点系的主动力系、约束力 系和惯性力系组成一平衡力系，力系的主矢和力系向任一点O简化的主矩 都等于零，即
M BI
W2 2 W r B 2 raC 2g 2g
FBI FCI
MA 0
W2 P aC g
M M AI M BI (W2 P FBI FCI )r 0
ac
M r (W2 P)g 2W1 1.5W2 P r
Fy 0 FAy W1 W2 P FBI FCI 0
Fi FNi FIi 0 MO (Fi ) MO (FNi ) MO (FIi ) 0
重量WA=WB=W的两个物块A和B，系在一无重软绳的两端，软绳绕过 半径为R的无重定滑轮，光滑斜面的倾角为q 。试求物块A下降的加速度及 轴承O的反力。
令
I F ma 称为质点 M 的惯性力.
F FN ma
F FN (ma) 0
质点的达朗伯原理：
I F FN F 0
质点在运动的每一瞬时，作用在质点上的主动力，约束反力与质点的惯性 力构成一形式上的平衡力系。
二、质点惯性力的概念
M IC J C
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惯性主矩
第三节 达朗伯原理的应用
两均质杆AB和BD，质量均为3kg，AB=BD=1m，焊接成直角形刚体，以绳 AF和两等长且平行的杆AE、BF支持。试求割断绳AF的瞬时两杆所受的力。杆 的质量忽略不计。
0.75m
0.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5m
30°
30°
解：取杆为研究对象；
aC aA 4.9 m/s2
FAE 5.4 N
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均质杆AB的质量为m，长l，A端用光滑铰链水平铰接， B端用绳子拉住, 位于水平面上。试求当圆盘以匀角速度w绕圆心转动时，绳的拉力的大小。
A
C
450 O B
w
FAy
A FI C aC FAx
解： 取杆为研究对象；
MA 0
FB
2 1 l FI l 0 2 2
450 B FB
O
FB
2 2 lw 4
9
滑轮A和B视为均质圆盘，重量分别为W1和W2 半径分别为R和r，且R = 2r， 物体C重P，作用于A轮的转矩M 为一常量，求物体 C上升的加速度，A处的约束 反力。 解：系统为研究对象. 受力分析
FAy M A MA FAx
速度分析 vA
加速度分析 aA A vB B
将惯性力系向刚体的质心C简化，
二、刚体作定轴转动
设刚体具有质量对称平面，且转轴垂直于质量对称平面。 将惯性力系向质量对称平面与转轴的交点O简化 FIR FIi ( mi ai ) maC 主矢 n 主矩 M I O M z ( FI i ) M z ( FI i ) I M z ( FIi )
FAy W1 W2 P
Fx 0 FAx 0
M r (W2 P)(W2 P) 2W1 1.5W2 P r
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小 结
一、惯性力的计算
1.质点
2.刚体
FI ma
取刚体质心C为简化中心
(1)刚体作平动 (2)刚体作定轴转动
FI R maC
Fx 0 Fy 0
MO 0
I
FOx FI sin q 0 FOy W FI cosq 0 M O Wl sin q 0
FOx FI sin q 17.3 N FOy W FI cosq 88N M O mglsin q 50.9 N m
FIR ma C M I C J Cα
(3)刚体作平面运动
二、质点的达朗伯原理
F + FN + FI = 0
三、质点系的达朗伯原理
Fi FNi FIi 0
M O (Fi ) M O (FNi ) M O (FI i ) 0
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q
4
解：物块B为研究对象 Fy 0 FN B WB cosq 0
/ /
FN B WB cosq W cosq
系统为研究对象
T I
Fx 0
q
N
FOx FIB cosq FN B sin q 0
FOx Wa cosq / g W sin q cosq
Fy 0 FOy FI A WA FI B sin q WB FN B cosq 0
FOy Wa (1 sin q ) / g W (1 sin 2 q )
MO 0
I
WB R sin q WA R FI A R FI B R 0
W (sinq 1) R 2WRa / g 0