2014高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 导数在实际问题中的应用教案2 北师大版选修1-1

导数在实际问题中的应用
目标认知
学习目标：
1. 会从几何直观了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次.
2. 了解函数在某点取得极值的必要条件(导数在极值点两端异号)和充分条件（）；会用导数求函数的极大值、极小值，对多项式函数一般不超过三次.
3．会求闭区间上函数的最大值、最小值，对多项式函数一般不超过三次.
重点：利用导数判断函数单调性；函数极值与最值的区别与联系.会求一些函数的(极)最大值与(极)最小值
难点：利用导数在解决函数问题时有关字母讨论的问题.
知识要点梳理
知识点一：函数的单调性
(一) 导数的符号与函数的单调性：
一般地，设函数在某个区间内有导数，则在这个区间上，若，则
在这个区间上为增函数；若，则在这个区间上为减函数；若恒有，
则在这一区间上为常函数.反之，若在某区间上单调递增，则在该区间上有
恒成立（但不恒等于0）；若在某区间上单调递减，则在该区间上有
恒成立（但不恒等于0）．
注意：
1. 若在某区间上有有限个点使，在其余点恒有，则仍为增
函数（减函数的情形完全类似）.即在区间(a,b)内，（或）是在(a，b)内单调递增（或减）的充分不必要条件！例如：
而f(x)在R上递增.
2. 学生易误认为只要有点使，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导
数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有，这个函数
在这个区间上才为常数函数.
3. 要关注导函数图象与原函数图象间关系.
（二）利用导数求函数单调性的基本步骤：
1. 确定函数的定义域；
2. 求导数；
3. 在定义域内解不等式，解出相应的x的范围；
当时，在相应区间上为增函数；当时在相应区间上为减函数.
4. 写出的单调区间.
知识点二：函数的极值
（一）函数的极值的定义一般地，设函数在点及其附近有定义，
（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记
作；
（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作.
极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
注意：由函数的极值定义可知：
（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较.
（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值.由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个函数的极大值未必大于极小值.极小值不一定是整个定义区间上的最小值.
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.
（5）可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立.即是
可导函数在点取得极值的必要非充分条件.在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有.但反过来不一定.如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点不是函数的极值点.
（二）求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法)
知识点三：函数的最大值与最小值
（一）函数的最大值与最小值定理
若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开
区间内连续的函数不一定有最大值与最小值.如.
（二）求函数最值的的基本步骤：
若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数
在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数（2）求
在内的极值；
（3）求在闭区间端点处的函数值，；
（4）将的各极值与，比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值.
（三）最值理论的应用
解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：
（1）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；
（2）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；
（3）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如
果所得函数在区间内只有一个点满足，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值.
规律方法指导
（1）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D.若由不等式确定的x的取值集合为A，由确定
的x的取值范围为B，则应有.如：.
（2）最值与极值的区别与联系：
①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念，最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值.函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；
③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.
④若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值.
典型例题
例1．设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。

解析：f'(x)=3ax2+1，若a≥0, f'(x)>0，对x∈R恒成立，此时f(x)只有一个单调区间，矛盾。

若a<0，∵ f'(x)=,此时f(x)恰有三个单调区间。

∴ a<0且单调减区间为，单调增区间为。

例2．求函数y=2e x+e-x的极值。

解析：y'=2e x-e-x，令y'=0, 即2e2x=1, 列表：
极小值
∴ y极小。

例3．求函数f(x)=3x-x3在闭区间的最大值和最小值。

解析：f'(x)=3-3x2, 令f'(x)=0，则x1=-1，x2=1。

则f(-1)=-2, f(1)=2，又
,
∴ [f(x)]max=2, [f(x)]min=-18。

例4．如右图所示，在二次函数f(x)=4x-x2的图象与x轴所围成图形中
有个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值。

解析：设点B的坐标为(x,0)且0<x<2,
∵ f(x)=4x-x2图象的对称轴为x=2, ∴点C的坐标为(4-x,0),
∴ |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2。

∴ 矩形面积为y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3 y'=16-24x+6x2=2(3x2-12x+8) 令y'=0，解得，∵ 0<x<2, ∴ 取。

∵ 极值点只有一个，当时，矩形面积的最大值。

例5．一艘渔艇停泊在距岸9km处，今需派人送信给距渔艇km处的海岸渔站，如果送信人步行每小时5km，船速每小时4km，问应在何处登岸再步行可以使抵达渔站的时间最省？
解析：如图示设A点为渔艇处，BC为海岸线，C为渔站，且AB=9km,
设D为海岸线上一点，CD=x，只需将时间T表示为x的函数，
∵ ，
由A到C的时间T，则（0≤x≤15）
（0≤x≤15）令T'=0，解得x=3，在x=3附近，T'由负到正，
因此在x=3处取得最小值，又，比较可知T(3)最小。