2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习文科数学 第一章 第4讲 算法与程序框图 (7)
2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷4
2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷文科数学(四) 【p 259】(函数的综合问题)时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1．某市统一规定，的士在城区内运营：①1公里以内(含1公里)票价5元；②1公里以上，每增加1公里(不足1公里的按1公里计算)票价增加2元的标准收费．某人乘坐市内的士6.5公里应付车费( )A ．14元B ．15元C ．16元D ．17元【解析】由题意可得： 5＋6×2＝17(元)，故选D .【答案】D2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝|lg x|C ．y ＝cos xD ．y ＝e x －1【解析】选项A 中，函数无零点，不合题意，故A 不正确．选项B 中，函数不是偶函数，不合题意，故B 不正确．选项C 中，函数是偶函数又存在零点，符合题意，故C 正确．选项D 中，函数不是偶函数，不合题意，故D 不正确．综上选C .【答案】C3．某商场将彩电的售价先按进价提高40%，然后“八折优惠”，结果每台彩电利润为360元，那么彩电的进价是( )A ．2 000元B ．2 500元C ．3 000元D ．3 500元【解析】设进价为x 元，得1.4x·0.8－x ＝360，解得x ＝3 000，故选C .【答案】C4．函数f ()x ＝⎩⎨⎧－1＋ln x ，x>03x ＋4，x<0的零点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【解析】当x>0时，令－1＋ln x ＝0，故x ＝e ，符合；当x<0时，令3x ＋4＝0，故x ＝－43，符合，所以y ＝f ()x 的零点有2个，故选B . 【答案】B5．函数f(x)＝(x －2)(x －5)－1有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，则( )A ．x 1＜2，2＜x 2＜5B ．x 1＞2，x 2＞5C ．x 1＜2，x 2＞5D ．2＜x 1＜5，x 2＞5【解析】设g(x)＝(x －2)(x －5)，∴g(x)的零点为2，5，将函数f(x)向下平移1个单位得到g(x)，结合函数图象可知x 1<2，x 2>5.【答案】C6．已知定义在R 上的函数f ()x 对任意实数x 满足f ()x ＋2＝f ()x ， f ()2－x ＝f ()x ，且当x ∈[]0，1时， f ()x ＝x 2＋1，则函数y ＝f ()x 与y ＝12||x 的图象的交点个数为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【解析】由f ()x ＋2＝f ()x 可知函数f ()x 的周期为2，由f ()2－x ＝f ()x 可知f ()x 的图象关于直线x ＝1对称，根据条件可以画出函数y ＝f ()x 与y ＝12||x 的图象，如图所示，由图可知，交点共6个．【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．把答案填在答卷中相应的横线上)．7．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可以断定该根所在区间为__________．【解析】令f ()x ＝x 3－2x －1, f ⎝⎛⎭⎫32＝278－3－1＝－58<0, f ()1＝－2<0, f ()2＝8－5＝3>0，故下一步可以断定根所在区间为⎝⎛⎭⎫32，2，填⎝⎛⎭⎫32，2. 【答案】⎝⎛⎭⎫32，28．为促进中德技术交流与合作，我国从德国引进一套新型生产技术设备，已知该设备的最佳使用年限是年均消耗费用最低的年限(年均消耗费用＝年均成本费用＋年均保养费)．该设备购买的总费用为50 000元；使用每年固定维修费为6 000元；前x 年的总保养费y 满足y ＝ax 2＋bx .已知第一年的总保养费为1 000元，前两年的总保养费为3 000元，则这种设备的最佳年限为________年．【解析】由题意，得⎩⎨⎧1 000＝a ＋b ，3 000＝4a ＋2b ，解得⎩⎨⎧a ＝500，b ＝500，所以y ＝500x 2＋500x .设该设备的年平均消耗费用为f (x )，由题意，可知年平均消耗费用为f (x )＝50 000x ＋6 000＋500x ＋500＝500x ＋50 000x ＋6 500≥16 500，当且仅当500x ＝50 000x时，等号成立，此时x ＝10，所以最佳使用年限为10年．【答案】109．设函数f (x )＝⎩⎨⎧a －2x ，x ≤0，3x ＋1，x >0.若函数f (x )有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】因为当x >0，f (x )>1，故f (x )在(0，＋∞)上没有零点，所以f (x )在(－∞，0]有且仅有一个零点．又当x ≤0时，a －1≤f (x )<a ，所以a －1≤0<a ，故0<a ≤1.【答案】(0，1]10．某驾驶员喝了500 mL 酒后，血液中的酒精含量f (x )(mg/mL)随时间x (h)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x －2，0≤x ≤1，35·⎝⎛⎭⎫13x ，x ＞1.《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定为驾驶员血液中酒精含量不得超过0.02 mg/mL ，据此可知，此驾驶员至少要过________h 后才能开车．(精确到1 h)【解析】当0≤x ≤1时，125≤5x －2≤15，此时不宜开车；由35·⎝⎛⎭⎫13x ≤0.02，得x ≥4. 【答案】4三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(13分)某市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动，活动时间不少于15小时，也不超过40小时，设在甲家租一张球台开展活动x 小时的收费为f ()x 元，在乙家租一张球台开展活动x 小时的收费为g ()x 元．(1)试分别写出f ()x 与g ()x 的解析式；(2)选择哪家比较合算？请说明理由．【解析】(1)由题设有f ()x ＝5x ()15≤x ≤40， g ()x ＝⎩⎨⎧90，15≤x ≤30，30＋2x ，30<x ≤40.(2)令5x ＝90时，解得x ＝18∈[]15，30；令5x ＝30＋2x ，解得x ＝10(]30，40，所以当15≤x <18时， f ()x <g ()x ，选甲家比较合算；当x ＝18时， f ()x ＝g ()x ，两家一样合算；当18<x ≤40时， f ()x >g ()x ，选乙家比较合算．12．(13分)已知函数f (x )＝2x －12|x |. (1)求函数y ＝f (x )的零点的集合；(2)记函数g (x )＝f (x ＋1)(－1≤x ≤0)的值域为A ，函数h (x )＝lg(a －2x )的定义域为B ，且A B ，求实数a 的取值范围．【解析】(1)令f (x )＝2x －12|x |＝0， 则2x ＝2－|x |x ＝－|x |x ≤0，函数y ＝f (x )零点的集合为(－∞，0]． (2)g (x )＝f (x ＋1)＝2x ＋1－12|x ＋1|，∵x ∈[－1，0]，∴g (x )＝2x ＋1－12x ＋1， 易知g (x )在[－1，0]上单调递增，∴g (x )∈⎣⎡⎦⎤0，32， 即A ＝⎣⎡⎦⎤0，32， h (x )＝lg(a －2x )，令a －2x >0x <a 2，∴B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，a 2， ∵A B ，∴a 2>32a >3，∴a 的取值范围是a >3.13．(14分)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，若函数y ＝f (x )在区间[－1，1]上有零点，求a 的取值范围．【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3.令2x －3＝0，得x ＝32[－1，1]， ∴f (x )在[－1，1]上无零点，故a ≠0.(2)当a >0时，f (x )＝2ax 2＋2x －3－a 的对称轴为x ＝－12a. ①当－12a ≤－1，即0<a ≤12时，应使⎩⎨⎧f （－1）≤0，f （1）≥0，即⎩⎨⎧a ≤5，a ≥1，∴a 的解集为②当－1<－12a <0，即a >12时，应使⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫－12a ≤0，f （1）≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－12a －3－a ≤0，a ≥1，解得a ≥1，∴a 的解集为[1，＋∞)． (3)当a <0时，①当0<－12a≤1， 即a ≤－12时，应使⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）≤0，f ⎝⎛⎭⎫－12a ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤5，－12a－3－a ≥0， 解得a ≤－3－72或－3＋72≤a ≤5，又a ≤－12， ∴a 的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3－72. ②当－12a >1，即－12<a <0时，应使⎩⎨⎧f （－1）≤0，f （1）≥0，即⎩⎨⎧a ≤5，a ≥1，∴a 的解集为综上所述，a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－3－72∪[1，＋∞)．。
2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第1讲 集合的概念和运算及答案
1．集合的概念了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，了解全集与空集的含义．2．集合的基本运算理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集，理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集，能使用韦恩图表达集合间的基本关系及运算．3．命题及其关系理解命题的概念．了解“若p，则q”形式的命题及其否命题、逆命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．4．简单的逻辑联结词了解“或”“且”“非”的含义．5．全称量词与存在量词理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定．1．2014～2018年全国卷Ⅰ的考查情况年份2014 2015 2016 2017 2018考查内容第1题集合的交集运算第1题交集运算、元素的个数第1题集合的交集运算第1题集合的运算(交集、并集)第1题集合的运算(交集)分值5分5分5分5分5分2.2014～2018年全国卷Ⅱ的考查情况年份201420152016 2017 2018考查内容第1题集合的运算(交集)第1题集合的运算(并集)第24题第(2)问证明不等式的充要性第1题集合的运算(交集)第1题集合的运算(并集)第2题集合的运算(交集)分值5分5分10分5分5分5分2014年至2018年全国卷Ⅰ和卷Ⅱ直接考查本单元内容的试题共11道，2015年全国卷Ⅱ考查了2道题占15分(其中24题主要是考查不等式的证明)，其他各年考查本单元的试题都为1道，占5分．高考对集合这一考点的考查主要以选择题出现，涉及的知识包括集合的概念，集合与集合的关系及集合的运算，重点是集合的运算．一般都是作为全卷第1小题，且都是基础题，难度不大，属于高考中的“送分题”．常用逻辑用语包含命题与量词，基本逻辑联结词以及充分条件、必要条件、充要条件与命题的四种形式，其中量词是新课标新增内容，2013年高考通过一道小题考查了全称命题、特称命题及复合命题真假的判定．充要条件这一内容，在全国卷高考中直接考查的试题不多，只有2015年全国卷Ⅱ在选考内容中，结合不等式的证明进行了考查．本单元是高中数学的基本内容之一，集合论是现代数学的基础，集合语言简洁、准确，是数学中不可缺少的基本语言．常用逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是描述、判断、推理的工具，它可以帮助我们准确地表达数学内容、正确地理解数学概念、合理论证数学结论．对集合这一内容的复习，要重视对集合概念的认识与理解，特别要重视对描述法表示集合的理解，掌握集合与集合之间的关系、集合的运算，要求具备数形结合的思想，会借助V enn图、数轴等工具解决集合之间的关系及集合的运算等问题．高考直接考查常用逻辑用语的试题虽然不多，但常用逻辑用语常和函数、不等式及立体几何中直线、平面的位置关系等知识结合，因此复习时仍要非常重视．在复习时，要以小题、基础题为主，要求掌握p∧q，p∨q，﹁p命题真假的判断，全称命题与特称命题真假的判断及否定，四种命题及其关系，充分条件和必要条件的判断等，同时要注意与其他知识的联系．本单元问题的解答蕴涵了丰富的数学思想方法，如数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想和函数与方程的思想等，在复习中应注意总结领会．第1讲集合的概念与运算1．了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系，了解空集、全集的意义．2．理解集合之间的包含与相等关系，能识别给定集合的子集．3．理解交集、并集、补集的概念，会求两个简单集合的交集与并集，会求给定子集的补集．知识梳理1．集合的含义与表示(1)一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合中的元素具有确定性、互异性和无序性三个特征．(2)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，如果a不是集合A 的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.(3)常见数集的记法集合符号自然数集N正整数集N*或N＋整数集Z有理数集Q实数集R(4)常用的集合表示法有：列举法、描述法和图示法.2．集合间的基本关系(1)如果集合A中任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作：A⊆B(或B⊇A).(2)如果集合A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，则称集合A是集合B的真子集，记作：A B(或B A).(3)若A⊆B且B⊆A，则集合A与集合B中的元素是一样的，则称集合A与集合B相等．3．集合的基本运算(1)交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(2)并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，叫做A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)补集：集合A是集合U的子集，由U中所有不属于A的元素组成的集合，叫做U 中子集A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}.1．空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.2．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．3．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.热身练习1．已知集合A＝{x|x<2}，a＝3，则下列关系正确的是(D)A．a⊆A B．a∉AC．{a}∈A D．{a}⊆A由于3<2，所以a∈A，即{a}⊆A. 2．(2018·达州模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则(D)A．A∩B＝∅B．∁A B＝BC．A B D．B AA＝{1,2,3}，B＝{2,3}，所以B⊆A，1∈A但1∉B，所以B A.3．(2017·天津卷)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{1,2,3,4}，则(A∪B)∩C＝(B)A．{2}B．{1,2,4}C．{1,2,4,6}D．{1,2,3,4,6}＝(－1,0)，C正确；A∪(∁B)＝(－1，＋∞)，D错误．因为A∪B＝{1,2,6}∪{2,4}＝{1,2,4,6}，所以(A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩{1,2,3,4}＝{1,2,4}．4．(2018·石家庄二模)设集合A＝{x|－1<x≤2}，B＝{x|x<0}，则下列结论正确的是(C) A．A∪B＝{x|x<0}B．(∁R A)∩B＝{x|x<－1}C．A∩B＝{x|－1<x<0}D．A∪(∁RB)＝{x|x≥0}因为A＝{x|－1<x≤2}＝(－1,2]，B＝{x|x<0}＝(－∞，0)，所以A∪B＝(－∞，2]，A错误；(∁RA)∩B＝(－∞，－1]，B错误；A∩BR5．(2018·湖南长郡中学联考)集合{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}的真子集的个数是(C)A．3B．4C．7D．8由{y∈N|y＝－x2＋6，x∈N}知，y≥0，所以－x2＋6≥0，又x∈N，所以x＝0,1,2.所以集合为{2,5,6}，其真子集的个数为23－1＝7.(2)设 a ，b ∈R ，集合⎨a ，a ，1⎬＝{a 2，a ＋b,0}，则 a 2019＋b 2019＝__________.n集合的基本概念(1)(经典真题)已知集合 A ＝{x|x ＝3n ＋2，∈N }，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合 A ∩B 中元素的个数为A ．5B ．4C ．3D ．2⎧ b ⎫ ⎩⎭(2)考虑集合{a ， ，1}中哪一个元素为 0 入手，利用集合中的元素的确定性和互异性进行(1)求解本题，关键是理解集合 A 的意义，将集合 A 进行化简，可以采用特殊化的方法．A ＝{x|x ＝3n ＋2，n ∈N }＝{2,5,8,11,14，…}，所以 A 与 B 的共同元素只有 8,14 两个，故选 D.ba分析．若 a ＝0，则b无意义，所以 a ≠0，a所以b ＝0，从而 b ＝0，所以{a ，b，1}＝{a,0,1}．a a由{a,0,1}＝{a 2，a,0}，得 a 2＝1，即 a ＝1 或 a ＝－1.又根据集合中元素的互异性 a ＝1 应舍去，所以 a ＝－1.故 a 2019＋b 2019＝(－1)2019＝－1.(1)D(2)－1(1)用描述法表示集合，首先要搞清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，分清是数集、点集还是其他类型的集合．(2)解决含有参数的集合问题时，要注意集合中元素的特征，并注意用互异性进行检验．(3)分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．1．(1)若集合 A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则 a 等于(A) A ．4 B ．2C ．0D ．0 或 2(2)已知集合 A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若 3∈A ，则 m 的值为 －3.2(1)当 a ＝0 时，方程化为 1＝0，无解，集合 A 为空集，不符合题意；当 a ≠0 时，由 Δ＝a 2－4a ＝0，解得 a ＝4.(2)因为 3∈A ，所以 m ＋2＝3 或 2m 2＋m ＝3，若 m ＋2＝3，解得 m ＝1，此时 A ＝{3,3}与集合中元素的互异性矛盾，所以 m ＝1，不符合题意；若2m 2＋m ＝3，解得 m ＝1(舍去)或 m ＝－3. 故所求 m 的值为－3.2检验知 m ＝－3满足题意．22集合间的基本关系已知集合 A ＝{x|x 2－3x －10≤0}，若集合B ＝{x|p ＋1≤x ≤2p －1}，且 B A ，则实数 p 的取值范围为________．欲求实数p的取值范围，只需找出关于p 的不等式，可由已知条件，结合数轴找到．由x2－3x－10≤0，解得－2≤x≤5，所以A＝{x|－2≤x≤5}．B A，则有①当B≠时，利用数轴可知：⎧⎪p＋1≤2p－1，⎨－2≤p＋1，解得2≤p≤3.⎪⎩2p－1≤5，②当B＝时，有p＋1>2p－1，即p<2.综合①②得实数p的取值范围是(－∞，3]．(－∞，3]解决有关集合的包含关系的问题时，要注意：(1)所给集合若能化简，则先化简；(2)充分利用数轴、韦恩图等辅助解题；(3)注意空集的特殊性，一般地，若B⊆A，则应分B＝∅与B≠∅两种情况进行讨论．2．已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，若集合B＝{x|p－6≤x≤2p－1}，且A∩B＝A，则实数p的取值范围为[3,4].由例2知，A＝{x|－2≤x≤5}．A∩B＝A，所以A B，画出示意图(如下图)，⎧⎪2p－1>p－6，所以⎨p－6≤－2，⎪⎩2p－1≥5，⎧p>－5，解得⎨p≤4，⎩p≥3.所以3≤p≤4.故p的取值范围为[3,4]．A ．A ∩B ＝⎨x|x <2⎬ B ．A ∩B ＝∅ C ．A ∪B ＝⎨x|x <2⎬ D ．A ∪B ＝R集合的基本运算(1)(2017· 全国卷Ⅰ)已知集合 A ＝{x|x<2}，B ＝{x|3－2x>0}，则()⎧ 3⎫ ⎩⎭⎧ 3⎫ ⎩⎭(2)(2018· 宝鸡二模)已知全集 U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合 M ＝{2,3,5}，N ＝{4,5}，则集合{1,6}可以表示为( )A ．M ∩NB ．M ∪NC. ∁U (M ∪N ) D ．∁U (M ∩N )因为B＝{x|3－2x>0}＝⎧⎨x|x<⎫⎬，A＝{x|x<2}，所以A∩B＝⎧⎨x|x<⎫⎬，A∪B＝{x|x<2}．所以(M∪N)＝{1,6}，故选C.(1)首先化简集合A，B，再利用数轴得到A∩B和A∪B.3⎩2⎭3⎩2⎭(2)画出韦恩图，如图，U(1)A(2)C进行集合的运算时，要注意：①明确集合中元素的意义；②注意将所给集合化简，使之明确化；③注意数形结合，利用韦恩图、数轴等辅助解题．- 21 -/23(2)(2018· 广州一模)设集合 A ＝{x| <0}，B ＝{x|x ≤－3}，则集合{x|x ≥1}＝(D)3．(1)(2018·天津卷)设集合 A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R|－1≤x<2}，则(A ∪B)∩C ＝(C)A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}x ＋3x －1A ．A ∩B B ．A ∪BC ．(∁R A)∪(∁R B)D ．(∁R A)∩(∁R B)(1)因为 A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，所以 A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又 C ＝{x ∈R|－1≤x<2}，所以(A ∪B)∩C ＝{－1,0,1}，故选 C.- 22 - / 23所以∁ A ＝{x|x ≥1，或 x ≤－3}，∁ B ＝{x|x >－3}．易知(∁ A)∩(∁ B)＝{x|x ≥1}，故选 D.x ＋3(2)因为 A ＝{x| <0}＝{x|－3<x<1}，B ＝{x|x ≤－3}，x －1 R R R R1．研究集合的有关问题，首先要理解集合的概念，其次要注意集合中元素的三个特征：确定性、无序性和互异性，尤其要注意集合中元素的互异性，当集合中的元素含有参数时， 要根据互异性进行检验．2．处理集合问题时，首先要理解用描述法表示的集合的意义，关键是抓住集合的代表元 素．首先看“{ | }”的左边元素的代表形式，然后看右边元素满足的性质，这是认清集合元 素的关键．例如，{y|y ＝f(x)}是数集，表示函数 y ＝f(x)的值域；{x|y ＝f(x)}是数集，表示函数 y ＝f(x)的定义域；{(x ，y)|y ＝f(x)}是点集，表示函数 y ＝f(x)图象上的点构成的集合．3．注意空集∅的特殊性，在解题时，若未能指明集合非空时，要考虑空集的可能性，如 A B ，则有 A ＝∅或 A ≠∅两种可能，解题时常常遗漏对空集的讨论，这一点应引起重视．4．研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几何工具 辅助解题．一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而对连续 的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化．解题时，首先要把集合进行 化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、 直观化，这实质是数形结合思想在集合中的具体应用．5．处理含参数的集合的包含关系及集合的运算时，端点值的取舍也是一个难点和重点， 其解决办法是对端点值进行单独考虑．- 23 - / 23。
2020年 高考数学(文科)总复习超级详细讲解 效率提分之第1章 1.4
§1.4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考情考向分析逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为填空题，低档难度．1．简单的逻辑联结词(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联结词．(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断2.全称量词和存在量词(1)全称量词：“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词，用符号“∀”表示．(2)存在量词：“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词，用符号“∃”表示．3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定概念方法微思考含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？提示p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，綈p：真假相反．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题“3≥2”是真命题．( √ ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ ) (3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．( × ) (4)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 都是真命题．( √ ) 题组二 教材改编2．[P11练习T3]已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题綈p ，綈q ，p ∨q ，p ∧q 中真命题的个数为________． 答案 2解析 p 和q 显然都是真命题，所以綈p ，綈q 都是假命题，p ∨q ，p ∧q 都是真命题． 3．[P15例1]命题“∃x ∈N ，x 2≤0”的否定是____________． 答案 ∀x ∈N ，x 2>04．[P21测试T6]命题“对于函数f (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，存在a ∈R ，使得f (x )是偶函数”为________命题．(填“真”或“假”) 答案 真解析 当a ＝0时，f (x )＝x 2(x ≠0)为偶函数． 题组三 易错自纠5．命题“綈p 为真”是命题“p ∧q 为假”的________条件． 答案 充分不必要解析由綈p为真知，p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假．故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件．6．下列命题中的假命题是________．(填序号)①∃x∈R，lg x＝1；②∃x∈R，sin x＝0；③∀x∈R，x3>0；④∀x∈R,2x>0.答案③解析当x＝10时，lg 10＝1，则①为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则②为真命题；当x<0时，x3<0，则③为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x>0，则④为真命题．7．已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为__________．答案(－∞，－2]解析由已知条件，知p和q均为真命题，由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断1．设a ，b ，c 是非零向量．已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0；命题q ：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .则下列命题中的真命题是________．(填序号) ①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧(綈q )；④p ∨(綈q )． 答案 ① 解析 如图所示，若a ＝A 1A →，b ＝AB →，c ＝B 1B →，则a ·c ≠0，命题p 为假命题；显然命题q 为真命题，所以p ∨q 为真命题．2．已知命题p ：∀x >0，ln(x ＋1)>0；命题q ：若a >b ，则a 2>b 2.下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④(綈p )∧(綈q )．答案 ②解析 ∵x >0，∴x ＋1>1，∴ln(x ＋1)>ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a >b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4， 此时a 2<b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题． 3．已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝52；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋x ＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题，其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上) 答案 ②③解析 因为对任意实数x ，|sin x |≤1，而52>1，所以p 为假；因为x 2＋x ＋1＝0的判别式Δ<0，所以q 为真．故②③正确．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p ，q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假． 题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假 例1 下列四个命题：①∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13x ； ②∃x ∈(0,1)，1123log log x x >；③∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x>12log x ；④∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <13log x . 其中真命题序号为________． 答案 ②④解析 对于①，当x ∈(0，＋∞)时，总有⎝⎛⎭⎫12x >⎝⎛⎭⎫13x成立，故①是假命题；对于②，当x ＝12时，有1112331111log log log 232==>成立，故②是真命题；对于③，当0<x <12时，12log x >1>⎝⎛⎭⎫12x ，故③是假命题； 对于④，∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x <1<13log x ，故④是真命题．命题点2 含一个量词的命题的否定例2 (1)命题：“∃x ∈R ，sin x ＋cos x >2”的否定是________________． 答案 ∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤2(2)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)≥0，则綈p 是__________． 答案 ∃x 1，x 2∈R ，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x 0，使p (x 0)成立． (2)对全称命题、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．跟踪训练1 (1)设命题p ：∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ；命题q ：∃x ∈(－∞，0)，3x >2x ，则下列命题为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②p ∧(綈q )；③(綈p )∧q ；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 ∀x ∈(0，＋∞)，3x >2x ，所以命题p 为真命题；∀x ∈(－∞，0)，3x <2x ，所以命题q 为假命题，因此p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )为假命题，p ∧(綈q )为真命题，故填②. (2)已知命题p ：∃x >1,2x >4，綈p 是：______________. 答案 ∀x >1,2x ≤4解析 因为命题p ：∃x >1,2x >4，是一个存在性命题，所以綈p 是：∀x >1,2x ≤4. (3)已知命题“∃x ∈R ，e x ＋a <0”为假命题，则a 的取值范围是________． 答案 [0，＋∞)解析 因为命题“∃x ∈R ，e x ＋a <0”为假命题， 所以e x ＋a ≥0恒成立，所以a ≥(－e x )max 的最大值． ∵－e x <0，∴a ≥0.题型三 命题中参数的取值范围例3 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”；命题q ：“∃x ∈R ，使得x 2＋4x ＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为____________． 答案 [e,4]解析 若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0,1]，a ≥e x ，得a ≥e ；由∃x ∈R ，使x 2＋4x ＋a ＝0，得Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e,4]．(2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝⎝⎛⎭⎫12x－m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫14，＋∞ 解析 当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 当x ∈[1,2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．跟踪训练2 (1)(2018·苏北三市期末)由命题“∃x ∈R ，x 2＋2x ＋m ≤0”是假命题，求得实数m 的取值范围是(a ，＋∞)，则实数a ＝________. 答案 1解析 由题意得命题“∀x ∈R ，x 2＋2x ＋m >0”是真命题， 所以Δ＝4－4m <0，即m >1，故实数m 的取值范围是(1，＋∞)，从而实数a 的值为1.(2)已知c >0，且c ≠1，设命题p ：函数y ＝c x 为减函数．命题q ：当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，函数f (x )＝x ＋1x >1c 恒成立．如果“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则c 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞) 解析 由命题p 为真知，0<c <1， 当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，2≤x ＋1x ≤52， 要使x ＋1x >1c 恒成立，需1c <2，即c >12，即由命题q 为真，知c >12.若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题， 则p ，q 中必有一真一假，当p 真q 假时，c 的取值范围是0<c ≤12；当p 假q 真时，c 的取值范围是c >1.综上可知，c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，12∪(1，＋∞)．常用逻辑用语有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．一、命题的真假判断例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)①∀x∈R，－x2＋x－1<0；②∀x∈R，|x|>x；③∀x，y∈Z,2x－5y≠12；④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.答案①解析命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题．(2)已知命题p：∀x∈R,3x<5x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是________．(填序号)①p∧q；②(綈p)∧q；③p∧(綈q)；④(綈p)∧(綈q)．答案②解析若x＝0，则30＝50＝1，∴p是假命题，∵方程x3＝1－x2有解，∴q是真命题，∴(綈p)∧q是真命题．二、充要条件的判断例2 (1)设命题p ：x >4；命题q ：x 2－5x ＋4≥0，那么p 是q 的________条件． 答案 充分不必要解析 命题q ：x 2－5x ＋4≥0⇔x ≤1或x ≥4， ∵命题p ：x >4，∴p 是q 的充分不必要条件．(2)已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设p ：0<r <3，q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的________条件． 答案 充要解析 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|2＝2.当r ∈(0,1)时，直线与圆相离，圆C 上没有到直线的距离为1的点；当r ＝1时，直线与圆相离，圆C 上只有1个点到直线的距离为1；当r ∈(1,2)时，直线与圆相离，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ＝2时，直线与圆相切，圆C 上有2个点到直线的距离为1；当r ∈(2,3)时，直线与圆相交，圆C 上有2个点到直线的距离为1.综上，当r ∈(0,3)时，圆C 上至多有2个点到直线的距离为1.又由圆C 上至多有2个点到直线的距离为1，可得0<r <3，故p 是q 的充要条件．三、求参数的取值范围例3 (1)若命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为命题“∃x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.(2)已知命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)·(x 2＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立．若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________． 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x ∈R ，(m ＋1)(x 2＋1)≤0，可得m ≤－1， 由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2， 因为p ∧q 为假命题，所以p ，q 中至少有一个为假命题， 当p 真q 假时，m ≤－2；当p假q真时，－1<m<2；当p假q假时，m≥2，所以m≤－2或m>－1.1．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则下列判断正确的是________．(填序号)①p∨q为真；②p∧q为真；③p真q假；④p∨q为假．答案④解析∵p假，q假，∴p∨q为假．2．命题“∃x∈R，x2－2x＋1≤0”的否定形式为________．答案∀x∈R，x2－2x＋1>0解析∵命题是存在性命题，∴根据存在性命题的否定是全称命题，命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≤0”的否定形式为：∀x ∈R ，x 2－2x ＋1>0.3．命题p 的否定是“对所有正数x ，x >x ＋1”，则命题p 可写为___________． 答案 ∃x ∈(0，＋∞)，x ≤x ＋1解析 因为p 是綈p 的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可． 4．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是________．(填序号) ①锐角三角形有一个内角是钝角； ②至少有一个实数x ，使x 2≤0； ③两个无理数的和必是无理数； ④存在一个负数x ，1x >2.答案 ②解析 ①中锐角三角形的内角都是锐角，所以①是假命题；②中当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以②既是存在性命题又是真命题；③是全称命题，又是假命题；④中对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以④是假命题．5．命题p ：∀x ∈R ，sin x <1；命题q ：∃x ∈R ，cos x ≤－1，则下列为真命题的是________．(填序号)①p ∧q ；②(綈p )∧q ；③p ∨(綈q )；④(綈p )∧(綈q )． 答案 ②解析 p 是假命题，q 是真命题，所以②正确．6．已知命题p ：若a >1，则a x >log a x 恒成立；命题q ：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q 是a m ＋a n ＝a p ＋a q 的充分不必要条件(m ，n ，p ，q ∈N *)．则下列为真命题的是______．(填序号) ①(綈p )∧(綈q )；②(綈p )∨(綈q )；③p ∨(綈q )；④p ∧q . 答案 ②解析 当a ＝1.1，x ＝2时，a x ＝1.12＝1.21，log a x ＝log 1.12>log 1.11.21＝2， 此时，a x <log a x ，故p 为假命题． 命题q ，由等差数列的性质可知， 当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q 成立，当公差d ＝0时，由a m ＋a n ＝a p ＋a q 不能推出m ＋n ＝p ＋q 成立，故q 是真命题． 故綈p 是真命题，綈q 是假命题，所以p ∧q 为假命题，p ∨(綈q )为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题，(綈p )∨(綈q )为真命题． 7．若命题“对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，则k 的取值范围是________________． 答案 (－4,0]解析 “对∀x ∈R ，kx 2－kx －1<0”是真命题，当k ＝0时，则有－1<0；当k ≠0时，则有k <0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k <0，解得－4<k <0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]． 8．已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 (－1,3)解析 原命题的否定为∀x ∈R,2x 2＋(a －1)x ＋12>0，由题意知，其为真命题，即Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，则－2<a －1<2，即－1<a <3.9．若∃x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________． 答案 (－∞，22]解析 因为∃x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，使得2x 2－λx ＋1<0成立是假命题，所以∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，2x 2－λx ＋1≥0恒成立是真命题，即∀x ∈⎣⎡⎦⎤12，2，λ≤2x ＋1x 恒成立是真命题，令f (x )＝2x ＋1x ，则当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )∈⎣⎡⎦⎤22，92，当且仅当x ＝22时，f (x )min ＝22，所以λ≤2 2. 10．命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是_________． 答案 (－∞，0)∪(4，＋∞)解析 因为命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0， 所以綈p ：∃x ∈R ，ax 2＋ax ＋1<0，则a <0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a >0，解得a <0或a >4. 11．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 答案 0解析 若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝f (0)＝0. 12．以下四个命题：①∀x ∈R ，x 2－3x ＋2>0恒成立；②∃x ∈Q ，x 2＝2；③∃x ∈R ，x 2＋1＝0；④∀x ∈R,4x 2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．答案0解析∵x2－3x＋2＝0的判别式Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题；当且仅当x＝±2时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题；对∀x∈R，x2＋1≥1，∴③为假命题；4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2，∴④为假命题．∴①②③④均为假命题．故真命题的个数为0.13．已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}．现有以下结论：①命题“p且q”是真命题；②命题“p且綈q”是假命题；③命题“綈p或q”是真命题；④命题“綈p或綈q”是假命题．其中正确结论的序号为____________．答案 ①②③④解析 ∵命题p ，q 均为真命题，∴“p 且q ”是真命题，“p 且綈q ”是假命题，“綈p 或q ”是真命题，“綈p 或綈q ”是假命题，故①②③④都正确．14．已知命题p ：∃x ∈R ，e x －mx ＝0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是________． 答案 [0,2]解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p 假q 真．由e x－mx ＝0，可得m ＝e x x ，x ≠0，设f (x )＝e xx ，x ≠0，则f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x 2，当x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )＝e xx 在(1，＋∞)上是单调递增函数；当0<x <1或x <0时，f ′(x )<0，函数f (x )＝e xx 在(0,1)和(－∞，0)上是单调递减函数，所以当x ＝1时，函数取得极小值f (1)＝e ，所以函数f (x )＝e xx 的值域是(－∞，0)∪[e ，＋∞)，由p 是假命题，可得0≤m <e.当命题q 为真命题时，有Δ＝m 2－4≤0，即－2≤m ≤2. 所以当p ∨(綈q )为假命题时，m 的取值范围是0≤m ≤2.15．已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈⎣⎡⎦⎤12，1，∀x 2∈[2,3]，f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数a 的取值范围是______________． 答案 (－∞，－3]解析 由题意知f (x )min ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤12，1≥g (x )max (x ∈[2,3])，因为f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上为减函数，g (x )在[2,3]上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝5，g (x )max ＝g (3)＝8＋a ，所以5≥8＋a ，即a ≤－3. 16．已知p ：∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1存在零点．若“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，则实数m 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫817，1解析 ∀x ∈⎣⎡⎦⎤14，12，2x >m (x 2＋1)，即m <2x x 2＋1＝2x ＋1x 在⎣⎡⎦⎤14，12上恒成立， 当x ＝14时，⎝⎛⎭⎫x ＋1x max ＝174，∴⎝⎛⎭⎫2x x 2＋1min ＝817，∴由p 真得m <817. 设t ＝2x ，则t ∈(0，＋∞)，则函数f (x )化为g (t )＝t 2＋2t ＋m －1，由题意知g (t )在(0，＋∞)上存在零点，令g (t )＝0，得m ＝－(t ＋1)2＋2，又t >0，所以由q 真得m <1. 又“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p ，q 一真一假， 则⎩⎪⎨⎪⎧m ≥817，m <1或⎩⎪⎨⎪⎧m <817，m ≥1，解得817≤m <1.故所求实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫817，1.。
2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷16
2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷文科数学(十六) 【p 283】(圆锥曲线)时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1．顶点在原点，焦点是F ()5，0的抛物线方程是( ) A ．y 2＝20x B ．x 2＝20y C ．y 2＝120x D ．x 2＝120y【解析】由p2＝5，得p ＝10，且焦点在x 轴的正半轴上，故y 2＝20x ，故选A .【答案】A2．已知点P ()2，4在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1()a>0，b>0的渐近线上，则该双曲线的离心率为( )A . 5B ．2C . 3D . 2【解析】根据点P ()2，4在双曲线的渐近线上，所以双曲线的一条渐近线方程为y ＝2x ，所以有ba ＝2，即b ＝2a ，根据双曲线中a ，b ，c 的关系，可以得c ＝5a ，所以有e ＝5，故选A .【答案】A3．已知曲线x ＝14y 2上一点P(x ，y)到点A(1，0)的距离为3，又点O(0，0)，Q(0，y)，则△OPQ 的面积为( )A ．2 2B ．2 3C ．3D ．4【解析】∵y 2＝4x ，A 为焦点，准线x ＝－1，直线PQ 平行于x 轴， 由抛物线定义可得|PA|＝1＋|PQ|＝3，∴|PQ|＝2，即P(2，y)．∴y 2＝4×2，y ＝±22，|OQ|＝22， ∴S △OPQ ＝12|OQ|·|PQ|＝2 2.【答案】A4．已知双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A .x 24－3y 24＝1B .x 24－4y 23＝1C .x 24－y 24＝1D .x 24－y 212＝1 【解析】由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±b2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝44＋b 2，y ＝2b 4＋b 2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－44＋b 2，y ＝－2b 4＋b 2，即第一象限的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫44＋b 2，2b 4＋b 2，由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b 2，4b4＋b 2，故8×4b 4＋b2＝2b ，解得b 2＝12， 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.【答案】D5．设AB 是椭圆的长轴，点C 在椭圆上，且∠CBA ＝π3.若AB ＝6，BC ＝2，则椭圆的焦距为( )A .3105 B . 263C .6105D .463【解析】设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)，由题意可知2a ＝|AB|＝6，得a ＝3，即椭圆的方程为x 29＋y 2b2＝1，因为∠CBA ＝π3，BC ＝2，如图所示，可得点C(－2，3)，代入椭圆的方程，即49＋3b 2＝1，解得b 2＝275，所以c 2＝a 2－b 2＝9－275＝185，即c ＝3105，所以椭圆的焦距为2c ＝6105，故选C .【答案】C6．已知过点P(－2，0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A 、B 两点，且|PA|＝12|AB|，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为( )A .53B .75C .97D ．2 【解析】设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则分别过A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E ， ∵|PA|＝12|AB|，∴|PA|＝13|PB|，|DA|＝13|EB|.∴3(x 1＋2)＝x 2＋2，3y 1＝y 2， 解得x 1＝23，∴点A 到抛物线C 的焦点的距离为23＋1＝53.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将各小题的结果填在题中横线上．) 7．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为________．【解析】由椭圆定义知，a ＝5，P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10，因此，到另一个焦点的距离为5.【答案】58．正三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线y 2＝2px(p>0)上，正三角形的边长为83，则p ＝________．【解析】根据抛物线的对称性可知，正三角形OAB 的另两个顶点A ，B 关于x 轴对称，设A ⎝⎛⎭⎫y 22p ，y ，则由正三角形边长为83可得2y ＝83，y ＝43，y22p＝12，解得p ＝2. 【答案】29．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________．【解析】∵△AF 1B 的周长为43，∴4a ＝43，∴a ＝3，∵离心率为33，∴c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝2，∴椭圆C 的方程为x 23＋y 22＝1.【答案】x 23＋y 22＝110．设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于______．【解析】双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，|F 1F 2|＝10，由3|PF 1|＝4|PF 2|，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝43x ，由双曲线的性质知43x －x ＝2，解得x ＝6.∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，∵|F 1F 2|＝10，∴∠F 1PF 2＝90°， ∴△PF 1F 2的面积S ＝12×8×6＝24.故答案为24. 【答案】24三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(13分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，且过点⎝⎛⎭⎫1，22.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59内，求m 的取值范围.【解析】(1)∵c a ＝22，∴b 2a 2＝a 2－c 2a 2＝1－12＝12，∴a 2＝2b 2，①∵椭圆C 过点⎝⎛⎭⎫1，22，则1a 2＋12b 2＝1，②由①②解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，则椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，x －y ＋m ＝0消去y 整理得：3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，则Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＝8()－m 2＋3>0，解得－3<m< 3.③x 1＋x 2＝－4m 3，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋2m ＝－4m 3＋2m ＝2m3，即AB 的中点为⎝⎛⎭⎫－2m 3，m3. 又∵AB 的中点不在圆x 2＋y 2＝59内，∴4m 29＋m 29＝5m 29≥59，解得，m ≤－1或m ≥1.④由③④得：－3<m ≤－1或1≤m< 3.12．(13分)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F(c ，0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．【解析】(1)∵双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，∴a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程，得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ， ∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫32c ，c2， 代入双曲线方程，得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2，② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式， 整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，∴3⎝⎛⎭⎫c a 4－8⎝⎛⎭⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0， ∵e ＞1，∴e ＝ 2.∴双曲线的离心率为 2.13．(14分)抛物线C 的方程为y ＝ax 2(a<0)，过抛物线C 上一点P(x 0，y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1，k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点(P ，A ，B 三点互不相同)，且满足k 2＋λk 1＝0(λ≠0且λ≠－1)．(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)设直线AB 上一点M ，满足BM →＝λMA →，证明：线段PM 的中点在y 轴上． 【解析】(1)由抛物线C 的方程y ＝ax 2(a<0)，得其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫0，14a ，准线方程为y ＝－14a. (2)设直线PA 的方程为y －y 0＝k 1(x －x 0)，直线PB 的方程为y －y 0＝k 2(x －x 0)．点P(x 0，y 0)和点A(x 1，y 1)的坐标是方程组的解，即⎩⎨⎧y －y 0＝k 1（x －x 0），①y ＝ax 2，② 将②式代入①式得ax 2－k 1x ＋k 1x 0－y 0＝0， 于是x 1＋x 0＝k 1a ，故x 1＝k 1a －x 0，③同理，x 2＝k 2a－x 0.由已知得，k 2＝－λk 1，则x 2＝－λa k 1－x 0.④设点M 的坐标为(x M ，y M )，由BM →＝λMA →， 则x M ＝x 2＋λx 11＋λ.将③式和④式代入上式得：x M ＝－x 0－λx 01＋λ＝－x 0，即x M ＋x 0＝0.所以，线段PM 的中点在y 轴上．。
2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习文科数学 第四章-2第25讲 考点集训 (6)
第23讲 三角函数的图象与性质夯实基础 【p 54】【学习目标】1．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象．2．会用“五点法”画函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象，理解A 、ω、φ的物理意义． 3．掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)与y ＝sin x 图象间的变换关系．4．会由函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象或图象特征求函数的解析式． 【基础检测】1．下列函数中，周期为π且为偶函数的是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π2 【解析】对于选项A ，y ＝－cos 2x ，周期为π且是偶函数，所以选项A 正确； 对于选项B ，y ＝sin 2x ，周期为π且是奇函数，所以选项B 错误； 对于选项C ，y ＝cos x ，周期为2π，所以选项C 错误； 对于选项D ，y ＝－sin x ，周期为2π，所以选项D 错误． 故选A. 【答案】A2．y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的一条对称轴是( )A ．x ＝2π3B ．x ＝π2C ．x ＝－π3D ．x ＝8π3【解析】由题意，x 2－π3＝kπ＋π2，∴x ＝2kπ＋5π3(k ∈Z )，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的一条对称轴是x ＝－π3，故选C. 【答案】C3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3 【解析】由图可得：函数的最大值为2，最小值为－2，故A ＝2，T 2＝π3＋π6，故T ＝π，ω＝2， 故y ＝2sin(2x ＋φ)，将点⎝⎛⎭⎫π3，2代入可得：2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝2， 则φ＝－π6满足要求，故y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故选A. 【答案】A4．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增( )A.⎝⎛⎭⎫－π3，π6B.⎝⎛⎭⎫－π2，π2C.⎝⎛⎭⎫－π3，π3D.⎝⎛⎭⎫－π6，23π 【解析】将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的图象上各点的横坐标变为原来的12，可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，再往上平移1个单位，得函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1的图象，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得：－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π3，π6，故选A. 【答案】A 【知识要点】1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝⎛⎭⎫π2，0，__(π，－1)__，⎝⎛⎭⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质其中相位变换中平移量为__|φ|__个单位，φ＞0时，向__左__移，φ＜0时，向__右__移；横向伸缩变换中的纵坐标不变，横坐标变为原来的__1ω__倍；振幅变换中，横坐标不变，而纵坐标变为原来的__A__倍．4．当函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0，x ∈[0，＋∞))表示一个振动时，__A__叫作振幅，T ＝__2π|ω|__叫作周期，f ＝__1T__叫作频率，__ωx ＋φ__叫作相位，__φ__叫作初相．5．根据y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点纵坐标－最低点纵坐标2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点纵坐标＋最低点纵坐标2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 取开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ. 典 例 剖 析 【p 55】考点1 画三角函数图象及图象变换例1已知函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1，x ∈R . (1)求它的振幅、周期和初相；(2)该函数的图象是由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到的？ (3)用五点法作出它一个周期范围的简图．【解析】(1)因为函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1，x ∈R ，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1， 它的振幅为A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π6. (2)①y ＝sin x 的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y ＝2sin x .②y ＝2sin x 的纵坐标不变，横坐标变为原来的12，得到y ＝2sin 2x .③y ＝2sin 2x 沿x 轴向左平移π12个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ④y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6沿y 轴向上平移1个单位，得到 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋1. (3)选取⎝⎛⎭⎫－π12，1，⎝⎛⎭⎫π6，3，⎝⎛⎭⎫5π12，1，⎝⎛⎭⎫2π3，－1，⎝⎛⎭⎫11π12，1五个点，用“五点法”能作出它一个周期范围的简图．【小结】“五点法作图”应抓住四条：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间的特殊点．考点2 由图象求三角函数解析式例2已知函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A>0，ω>0，－12<φ<12的部分图象如图所示．(1)求A ，ω，φ的值；(2)设函数g (x )＝f (x )f ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，求g (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递减区间． 【解析】(1)由图形易得A ＝4，2πω＝4×⎝⎛⎭⎫5π12－π6，解得ω＝2， 此时f (x )＝4sin (2x ＋φ)．因为f (x )的图象过⎝⎛⎭⎫π6，4，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝4，得sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1.因为－π2<φ<π2，所以－π6<φ＋π3<5π6，所以φ＋π3＝π2，得φ＝π6.综上A ＝4，ω＝2，φ＝π6.(2)由(1)得g (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6·4sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋π6＝16sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝8sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. 由π2＋2kπ≤4x ＋π3≤3π2＋2kπ， 解得π24＋kπ2≤x ≤7π24＋kπ2，其中k ∈Z .取k ＝0，得π24≤x ≤7π24，所以g (x )在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π24，7π24. 【小结】该题型考查通过图象得到三角函数周期T 、对应点的值，从而得到函数解析式．考点3 由三角函数图象的性质求解析式例3已知函数f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π2)的图象关于点B ⎝⎛⎭⎫－π4，0对称，点B 到函数y ＝f (x )的图象的对称轴的最短距离为π2，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝1. (1)求A ，ω，φ的值；(2)若0<θ<π，且f (θ)＝13，求cos 2θ的值．【解析】(1)依题意有2πω＝4×π2＝2π，∴ω＝1.又f ⎝⎛⎭⎫－π4＝Asin ⎝⎛⎭⎫－π4＋φ＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝0. ∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，∴φ＝π4.又f ⎝⎛⎭⎫π2＝Asin ⎝⎛⎭⎫π2＋π4＝22A ＝1，∴A ＝ 2. (2)f (θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝sin θ＋cos θ＝13⇒1＋2sin θcos θ＝19⇒2sin θcos θ＝－89<0. ∵0<θ<π，∴sin θ>0，cos θ<0，∴cos θ－sin θ＝－1－2sin θcos θ＝－173，∴cos 2θ＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝－179.【小结】本题的关键是用好两个对称即点对称和线对称． 【能力提升】例4已知向量a ＝(sin(ωx ＋φ)，2)，b ＝(1，cos(ωx ＋φ))⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π4，函数f (x )＝(a ＋b )(a －b )，已知y ＝f (x )的图象的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为1，且经过点M ⎝⎛⎭⎫1，72. (1)求函数f ()x 的解析式；(2)先将函数y ＝f ()x 图象上各点的横坐标变为原来的π倍，纵坐标不变，再向右平移m (m >0)个单位长度，向下平移3个单位长度，得到函数y ＝g ()x 的图象，若函数g ()x 的图象关于原点对称，求实数m 的最小值．【解析】(1)f ()x ＝()a ＋b ()a －b ＝a 2－b 2 ＝sin 2()ωx ＋φ＋4－1－cos 2()ωx ＋φ＝－cos ()2ωx ＋2φ＋3.由题可知， T4＝1, ∴T ＝4，∴由T ＝2π2ω＝4得ω＝π4.又∵函数f ()x 经过点M ⎝⎛⎭⎫1，72， ∴－cos ⎝⎛⎭⎫π2·1＋2φ＋3＝72， ∴ cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2φ＝－12. ∵0<φ<π4，∴π2＋2φ＝2π3，即φ＝π12， ∴函数f ()x 的解析式为f ()x ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π6＋3.(2)依题意知， g ()x ＝－cos ⎣⎡⎦⎤12()x －m ＋π6 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫12x －12m ＋π6， ∵函数g ()x 关于原点对称，∴函数g ()x 为奇函数，即－12m ＋π6＝k π＋π2()k ∈Z ，∴m ＝－2k π－2π3()k ∈Z .∵m >0，∴当k ＝－1时， m 的最小值为4π3，综上所述，实数m 的最小值为4π3.【小结】求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的解析式时应注意A ，ω的正负和φ的范围情况．方 法 总 结 【p 56】1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝A sin t 的性质．4．对于已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．走 进 高 考 【p 56】 1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A.π4B.π2C ．πD ．2π【解析】由已知得f (x )＝tan x1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2 ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2xcos 2x＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π，故选C.【答案】C 2．(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ]上是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π4D ．π 【解析】因为f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， 所以由0＋2k π≤x ＋π4≤π＋2k π(k ∈Z )得－π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π(k ∈Z )，当k ＝0时，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，故a max ＝3π4，故选C. 【答案】C。
2020届高考数学一轮复习讲义 第1章 1.1 集合的概念及运算
§1.1集合的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．4.在具体情境中，了解全集与空集的含义．5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图．考查学生的数形结合思想和计算推理能力．题型以选择题为主，低档难度.1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N＋(或N*)Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B⊇A)真子集如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于AA B(或B A)集合相等如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集对于给定的两个集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集如果给定集合A是全集U的一个子集，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}概念方法微思考1．若一个集合A有n个元素，则集合A有几个子集，几个真子集．提示2n，2n－1.2．从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？提示A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( × ) (3)若{x 2，1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( √ ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × ) 题组二 教材改编2．若集合A ＝{x ∈N |x ≤ 2 020}，a ＝22，则下列结论正确的是( ) A ．{a }⊆A B ．a ⊆A C ．{a }∈A D ．a ∉A答案 D3．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为______． 答案 2解析 集合A 表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点，集合B 表示直线y ＝x 上的点，圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝x 相交于两点⎝⎛⎭⎫22，22，⎝⎛⎭⎫－22，－22，则A ∩B 中有两个元素． 题组三 易错自纠4．已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m 等于( ) A ．0或 3 B ．0或3 C ．1或 3 D ．1或3或0 答案 B解析 A ＝{1,3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3，故选B. 5．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2<x <4}，则(∁R A )∪B ＝______________. 答案 {x |x ≤1或x >2}解析 由已知可得集合A ＝{x |1<x <3}， 又因为B ＝{x |2<x <4}，∁R A ＝{x |x ≤1或x ≥3}， 所以(∁R A )∪B ＝{x |x ≤1或x >2}．6．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－4x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 0或2解析 若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝16－8a ＝0，解得a ＝2.综上，a 的值为0或2.题型一 集合的含义1．设集合A ＝{x ∈Z ||x |≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈A }，则B 中的元素有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．无数个答案 C解析 依题意有A ＝{－2，－1,0,1,2}，代入y ＝x 2＋1得到B ＝{1,2,5}，故B 中有3个元素．2．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案 C 解析 因为32－x∈Z ，所以2－x 的取值有－3，－1,1,3，又因为x ∈Z ，所以x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.3．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________． 答案 －32解析 由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3， 则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m 2＋m ＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意； 当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合．(2)如果是根据已知列方程求参数值，一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性．题型二 集合间的基本关系例1 (1)集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝n 2＋1，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝m ＋12，m ∈Z ，则两集合M ，N 的关系为( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．M ＝N C ．M ⊆N D ．N ⊆M答案 D解析 由题意，对于集合M ，当n 为偶数时，设n ＝2k (k ∈Z )，则x ＝k ＋1(k ∈Z )，当n 为奇数时，设n ＝2k ＋1(k ∈Z )，则x ＝k ＋1＋12(k ∈Z )，∴N ⊆M ，故选D.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 [2 018，＋∞)解析 由x 2－2 019x ＋2 018<0，解得1<x <2 018， 故A ＝{x |1<x <2 018}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 018.引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 018}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．跟踪训练1 (1)(2018·辽宁实验中学期中)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈Z ⎪⎪⎪x ＋1x －2≤0，则集合A 的子集的个数为( )A ．7B ．8C ．15D ．16 答案 B解析 由x ＋1x －2≤0，可得(x ＋1)(x －2)≤0，且x ≠2，解得－1≤x <2.又x ∈Z ，可得x ＝－1,0,1，∴A ＝{－1,0,1}．∴集合A 的子集的个数为23＝8.(2)已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为__________． 答案 (－∞，1]解析 当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，因为A ＝{x |－1<x <3}，B ⊆A ， 所以在数轴上标出两集合，如图，所以⎩⎪⎨⎪⎧m >0，－m ≥－1，所以0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]．题型三 集合的基本运算命题点1 集合的运算例2 (1)(2018·全国Ⅰ)已知集合A ＝{}x |x 2－x －2>0，则∁R A 等于( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2} 答案 B解析 ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－1≤x ≤2}． 故选B.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2x >0}，B ＝{x |－5<x <5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ⊆B C ．B ⊆A D ．A ∪B ＝R答案 D解析 ∵A ＝{x |x >2或x <0}，∴A ∪B ＝R . 命题点2 利用集合的运算求参数例3 (1)(2018·锦州模拟)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a >2D ．a ≥2 答案 D解析 集合B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}＝{x |1<x <2}， 由A ∩B ＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图．可知a ≥2.(2)设集合A ＝{－1,0,1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，A ∩B ＝{0}，则实数a 的值为________．答案 1解析 0∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫a －1，a ＋1a ，由a ＋1a ≠0，则a －1＝0，则实数a 的值为1.经检验，当a ＝1时满足题意．(3)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是______． 答案 (－∞，－1]∪{1}解析 因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A ，因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根， 由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化． 跟踪训练2 (1)(2018·葫芦岛检测)已知集合A ＝{x |－2<x <4}，B ＝{x |y ＝lg(x －2)}，则A ∩(∁R B )等于( )A ．(2,4)B ．(－2,4)C ．(－2,2)D ．(－2,2] 答案 D解析 由题意得B ＝{x |y ＝lg(x －2)}＝(2，＋∞)， ∴∁R B ＝(－∞，2]，∴A ∩(∁R B )＝(－2,2]．(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[－1,3] C ．[2，＋∞) D ．[－1，＋∞)答案 D解析 由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0， 即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}． 又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2； ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)． 题型四 集合的新定义问题例4 (1)对于任意两集合A ，B ，定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，A *B ＝(A －B )∪(B －A )，记A ＝{y |y ≥0}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则A *B ＝______________. 答案 [－3,0)∪(3，＋∞)解析 由题意知，A －B ＝{x |x >3}，B －A ＝{x |－3≤x <0}， A *B ＝(A －B )∪(B －A )＝[－3,0)∪(3，＋∞)．(2)设数集M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________． 答案112解析 在数轴上表示出集合M 与N (图略)，可知当m ＝0且n ＝1或n －13＝0且m ＋34＝1时，M ∩N 的“长度”最小．当m ＝0且n ＝1时，M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪23≤x ≤34， 长度为34－23＝112；当n ＝13且m ＝14时，M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪14≤x ≤13， 长度为13－14＝112.综上，M ∩N 的长度的最小值为112.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程之中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．跟踪训练3 用C (A )表示非空集合A 中元素的个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B ).若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值组成的集合是S ，则C (S )＝________. 答案 3解析 因为C (A )＝2，A *B ＝1，所以C (B )＝1或C (B )＝3.由x 2＋ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝－a .关于x 的方程x 2＋ax ＋2＝0，当Δ＝0，即a ＝±22时，易知C (B )＝3，符合题意；当Δ>0，即a <－22或a >22时，易知0，－a 均不是方程x 2＋ax ＋2＝0的根，故C (B )＝4，不符合题意；当Δ<0，即－22<a <22时，方程x 2＋ax ＋2＝0无实数解，当a ＝0时，B ＝{0}，C (B )＝1，符合题意，当－22<a <0或0<a <22时，C (B )＝2，不符合题意．综上，S ＝{0，－22，22}，故C (S )＝3.1．设集合P ＝{x |0≤x ≤2}，m ＝3，则下列关系中正确的是( ) A ．m ⊆P B ．m P C ．m ∈P D ．m ∉P答案 D解析 P ＝[0，2]，m ＝3>2，故选D.2．设集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1x<2，则下列结论中正确的是( ) A ．N M B ．M N C ．N ∩M ＝∅ D ．M ∪N ＝R答案 B解析 由题意得，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ 1x <2＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <0或x >12，所以M N .故选B. 3．设集合A ＝{x ∈Z |x 2－3x －4<0}，B ＝{x |2x ≥4}，则A ∩B 等于( ) A ．[2,4) B ．{2,4} C ．{3} D ．{2,3} 答案 D解析 由x 2－3x －4<0，得－1<x <4，因为x ∈Z ，所以A ＝{0,1,2,3}，由2x ≥4，得x ≥2，即B ＝{x |x ≥2}，所以A ∩B ＝{2,3}．4．(2018·全国Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5 D ．4 答案 A解析 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个． 故选A.5．设集合M ＝{－4，－3，－2，－1,0,1}，N ＝{x ∈R |x 2＋3x <0}，则M ∩N 等于( ) A ．{－3，－2，－1,0} B ．{－2，－1,0} C ．{－3，－2，－1} D ．{－2，－1}答案 D解析 因为集合M ＝{－4，－3，－2，－1,0,1}，N ＝{x ∈R |x 2＋3x <0}＝{x |－3<x <0}，所以M ∩N ＝{－2，－1}．6．(2018·呼和浩特联考)已知全集U＝{x∈N|x2－5x－6<0}，集合A＝{x∈N|－2<x≤2}，B ＝{1,2,3,5}，则(∁U A)∩B等于()A．{3,5} B．{2,3,5}C．{2,3,4,5} D．{3,4,5}答案 A解析由题意知，U＝{0,1,2,3,4,5}，A＝{0,1,2}，则(∁U A)∩B＝{3,5}．故选A. 7．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于() A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.8．已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为()A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0，＋∞)答案 B解析用数轴表示集合A，B(如图)，由A⊆B，得a≥0.9．已知集合P＝{x|y＝－x2＋x＋2，x∈N}，Q＝{x|ln x<1}，则P∩Q＝________.答案{1,2}解析由－x2＋x＋2≥0，得－1≤x≤2，因为x∈N，所以P＝{0,1,2}．因为ln x<1，所以0<x<e，所以Q＝(0，e)，则P∩Q＝{1,2}．10．若全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2≥0}，B＝{x|log3(2－x)≤1}，则A∩(∁U B)＝________________.答案{x|x<－1或x≥2}解析集合A＝{x|x2－x－2≥0}＝{x|x≤－1或x≥2}，∵log3(2－x)≤1＝log33，∴0<2－x≤3，∴－1≤x<2，∴B＝{x|－1≤x<2}，∴∁U B＝{x|x<－1或x≥2}，∴A∩(∁U B)＝{x|x<－1或x≥2}．11．设集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，若A ∩B ＝{－1,2}，则a 的值为________． 答案 －2或1解析 ∵集合A ＝{－1,1,2}，B ＝{a ＋1，a 2－2}，A ∩B ＝{－1,2}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝－1，a 2－2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＝2，a 2－2＝－1，解得a ＝－2或a ＝1.经检验，a ＝－2和a ＝1均满足题意．12．已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.13．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝______，n ＝________.答案 －1 1解析 A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.14．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．15．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪x 24＋y 22＝1，B ＝{(x ，y )|y ＝kx ＋m ，k ∈R ，m ∈R }，若对任意实数k ，A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是____________． 答案 [－2，2]解析 由已知，无论k 取何值，椭圆x 24＋y 22＝1和直线y ＝kx ＋m 均有交点，故点(0，m )在椭圆x 24＋y 22＝1上或在其内部，∴m 2≤2，∴－2≤m ≤ 2. 16．已知集合A ＝{x |y ＝x －1}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12a ≤x ≤2a －1.若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，1)解析 由题意知，A ＝[1，＋∞)，当B ＝∅，即12a >2a －1时，a <23.符合题意． 当B ≠∅时，令⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1<1，解得23≤a <1. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，1)．。
2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷10
2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷文科数学(十) 【p 271】(数列的综合应用)时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1．若数列{}a n 的通项公式是a n ＝()－1n ⎝⎛⎭⎫12n －1，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A .52B ．5C ．10D ．－5 【解析】由条件知a n ＝()－1n ⎝⎛⎭⎫12n －1，a n ＋1＝()－1n ＋1⎝⎛⎭⎫n －12 , a n ＋a n ＋1＝()－1n⎝⎛⎭⎫－12 ， 故a 1＋a 2＝12，a 3＋a 4＝12，…，a 9＋a 10＝12，故结果为52. 故选A .【答案】A2．已知数列{}a n 满足： a 1＝1，a n >0, a 2n ＋1－a 2n ＝1()n ∈N *，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )A ．4B ．5C ．24D ．25【解析】∵a 2n ＋1－a 2n ＝1，∴{a 2n }是首项为a 21＝1，公差为1的等差数列．则a 2n ＝n ，又a n >0，∴a n ＝n .∵a n <5，∴n <5即n <25，∴使a n <5成立的n 的最大值为24.故选C.【答案】C3．在2016年至2019年期间，甲每年6月1日都到银行存入m 元的一年定期储蓄，若年利率为q 保持不变，且每年到期的存款利息自动转为新的一年定期，到2020年6月1日甲去银行不再存款，而是将所有存款的本息全部取出，则取回的金额是( )A ．m ()1＋q 4元B ．m ()1＋q 5元C.m[]()1＋q 4－()1＋q q元D.m[]()1＋q 5－()1＋q q元 【解析】到2020年6月1日止，2019年存款的本息和为m ()1＋q ，2018年存款的本息和为m ()1＋q 2，2017年存款的本息和为m ()1＋q 3，2016年存款的本息和为m ()1＋q 4，三年存款的本息和为m ()1＋q ＋m ()1＋q 2＋m ()1＋q 3＋m ()1＋q 4＝m ()1＋q []()1＋q 4－1()1＋q －1＝m []()1＋q 5－()1＋q q，选D. 【答案】D4．已知数列{a n }为等比数列，且a 1＝4，公比为q ，前n 项和为S n ，若数列{S n ＋2}也是等比数列，则q ＝( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3【解析】因为数列{S n ＋2}是等比数列，所以(S 1＋2)(S 3＋2)＝(S 2＋2)2，即6(6＋4q ＋4q 2)＝(6＋4q )2，即q (q －3)＝0，∵q ≠0，∴q ＝3.【答案】C5．已知函数f (x )＝x α的图象过点(4，2)，令a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ），n ∈N *，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 020＝( ) A. 2 019－1 B. 2 020－1 C. 2 021－1 D. 2 021＋1【解析】由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12， 则f (x )＝x 12，∴a n ＝1f （n ＋1）＋f （n ）＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ， ∴S 2 020＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 020＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 021－ 2 020)＝ 2 021－1.【答案】C6．已知数列{}a n 的通项公式为a n ＝n ＋c n，若对任意n ∈N *，都有a n ≥a 3，则实数c 的取值范围是( )A.[]6，12B.()6，12C.[]5，12D.()5，12【解析】由题意可得c >0，因为对所有n ∈N *不等式a n ≥a 3恒成立，∴⎩⎨⎧a 2≥a 3，a 4≥a 3，∴⎩⎨⎧2＋c 2≥3＋c 3，4＋c 4≥3＋c 3，∴6≤c ≤12，经验证在()1，2上递减，()3，＋∞上递增，或在()1，3上递减，()4，＋∞上递增，符合题意，故选A.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将各小题的结果填在题中横线上．)7．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是______个． 【解析】设开始的细胞数和每小时后存活的细胞数构成的数量为{a n }，则⎩⎨⎧a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，即a n ＋1－1a n －1＝2， 数列{a n －1}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n －1＝1×2n －1，a n ＝2n －1＋1，故6小时后细胞的存活数是a 7＝27－1＋1＝65.【答案】658．定义等积数列{a n }：若a n a n －1＝p (p 为非零常数，n ≥2)，则称{a n }为等积数列，p 称为公积．若{a n }为等积数列，公积为1，首项为a ，前n 项和为S n ，则S 2 020＝________．【解析】由题意可得：a n a n －1＝1，且a 1＝a ，所以a 2＝1a ，a 3＝a ，a 4＝1a ，a 5＝a ，a 6＝1a， 所以n 为奇数时a n ＝a ，n 为偶数时a n ＝1a， 当n ＝2 020时，有1 010项奇数项，有1 010项偶数项，所以S 2 020＝1 010a ＋1 010a. 【答案】1 010a ＋1 010a9．已知A n (a n ，b n )(n ∈N *)是曲线C ：y ＝e x 上的点，设A 1(0，1)，曲线C 在A n 处的切线交x 轴于点(a n ＋1，0)，则数列{b n }的通项公式是b n ＝________．【解析】∵y ＝e x 在(a n ，b n )处切线方程是y －b n ＝e a n (x －a n )，即y －e a n ＝e a n (x －a n )， 令y ＝0得x ＝a n ＋1＝a n －1，a n ＋1－a n ＝－1，∴{a n }是以0为首项，以－1为公差的等差数列，a n ＝1－n ，∴b n ＝e 1－n .【答案】e 1－n 10．设正项等比数列{}a n 的首项a 1＝2，前n 项和为S n ，且满足2a 3＋S 2＝4，则满足6665<S 2n S n<1615的最大正整数n 的值为________． 【解析】由题意，2×2q 2＋2＋2q ＝4，∵q >0，∴q ＝12， 由题意有：6665<2()1－q 2n 1－q 2()1－q n 1－q<1615， ∴6665<1＋⎝⎛⎭⎫12n <1615， ∴满足题意的最大正整数n 的值为6.【答案】6三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(13分)已知数列{a n }是等比数列，a 1＝2，且a 3＋1是a 1和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝ln a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .【解析】(1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0)，∵a 3＋1是a 1和a 4的等差中项，∴2(a 3＋1)＝a 1＋a 4，解得q ＝2.又∵a 1＝2，∴a n ＝2n .(2)∵b n ＝ln a n ＋(－1)n a n ＝ln 2n ＋(－1)n 2n ＝n ln 2＋(－1)n 2n ，∴S n ＝ln 2·（n ＋1）n 2＋[－2＋4－8＋16＋…＋(－1)n 2n ] ＝（n ＋1）n ln 22＋－2[1－（－2）n ]3＝23·(－2)n ＋（n ＋1）n ln 22－23. 12．(13分)已知公差不为零的等差数列{a n }中，S 2＝16，且a 1，a 4，a 5成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{|a n |}的前n 项和T n .【解析】(1)由S 2＝16，a 1，a 4，a 5成等比数列，得⎩⎨⎧2a 1＋d ＝16，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋4d ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝－2. 所以等差数列{a n }的通项公式为a n ＝11－2n (n ∈N *)．(2)当n ≤5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－n 2＋10n .当n ≥6时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－a 6－a 7－…－a n ＝2S 5－S n ＝2×(－52＋10×5)－(－n 2＋10n )＝n 2－10n ＋50，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋10n （n ≤5），n 2－10n ＋50（n ≥6）. 13．(14分)f (x )对任意x ∈R 都有f (x )＋f (1－x )＝12.(1)求f ⎝⎛⎭⎫12和f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n (n ∈N *)的值； (2)若数列{a n }满足：a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)，数列{a n }是等差数列吗？请给予证明；(3)令b n ＝44a n －1，T n ＝b 21＋b 22＋b 23＋…＋b 2n ，S n ＝32－16n ，试比较T n 与S n 的大小． 【解析】(1)因为f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫1－12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f ⎝⎛⎭⎫12＝12.所以f ⎝⎛⎭⎫12＝14. 令x ＝1n，得f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫1－1n ＝12， 即f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＝12.(2)a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)， 又a n ＝f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f (0)． 两式相加，2a n ＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋…＋[f (1)＋f (0)]＝n ＋12. 所以a n ＝n ＋14，n ∈N ， 又a n ＋1－a n ＝n ＋1＋14－n ＋14＝14. 故数列{a n }是等差数列．(3)b n ＝44a n －1＝4n， T n ＝b 21＋b 22＋…＋b 2n ＝16⎝⎛⎭⎫1＋122＋132＋…＋1n 2 ≤16⎣⎡⎦⎤1＋11×2＋12×3＋…＋1n （n －1） ＝16⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝16⎝⎛⎭⎫2－1n ＝32－16n＝S n ， 所以T n ≤S n .。
2020高考总复习基础版数学文科第一章第一节
基
础 知 识 · 自
课 时 三 省
主
回
顾
第一章 集合与常用逻辑用语
核
综
心
合
考
训
点
练
·
·
讲
能
练
力
互
提
动
升
菜单
高考总复习·数学(A·文科)
第一章 集合与常用逻辑用语
基
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础 知 识 · 自
知识点
考纲
课
1.集合的含义与表示
时
(1)了解集合的含义、元素与集合的属于关系.
核 心
件.
综 合
考 点
(3)分类整合思想：集合、充要条件的题目中，若涉
训 练
· 讲
及参数时，常常对参数进行分类讨论进行求解.
· 能
练
力
互
提
动
升
菜单
高考总复习·数学(A·文科)
第一章 集合与常用逻辑用语
基
础 知 识 · 自
课 时 三 省
主
回
顾
第一节 集合的概念及运算
核
综
心
合
考
训
点
练
·
·
讲
能
练
力
互
提
动
主 回
_B_∪__A__；A∪B＝__A__⇔B⊆A.
顾
(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；
核 A∩B＝A⇔A_⊆__B.
综
心 考
(3)补集的性质：A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝__∅_；
合 训
点 ·
∁U(∁UA)＝_A__；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)；
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1．已知 k 进制数 3 651(k),则 k 可能是( )
A．2 B．4
C．6
D．8
【解析】因为 k 进制数 3 651(k)中出现的最大数字 为 6,
可得 k>6,故选 D．
【答案】D
2．右边程序框图表示的算 法功能是( )
A．计算小于 100 的奇数的 连乘积
B．计算从 1 开始的连续奇 数的连乘积
【答案】D
3．某算法的程序框如图所示, 若输出结果为12,则输入的实数 x 的 值为( )
A． 2 C．52
B．－
3 2
D．4
【解析】由已知的程序框图可知,该程序的功 能是利用条件结构计算并输出分段函数 y＝ lxo－g22x，，xx≤＞11，的值,
当 x>1 时,log2x＝12,解得 x＝ 2； 当 x≤1 时,x－2＝12,解得 x＝52(舍去), 综上所述,输入的实数 x 的值为 2． 故选 A．
总数为( ) A．336 C．1 326
B．510 D．3 603
【解析】由题意知,图 2 中的“结绳计数”法是 七进制计数法,所以图 2 计算该部落在该段时间内 所擒获的猎物总数为 S＝1×73＋3×72＋2×71＋ 6×70＝510．故选 B．
【答案】B
5．公元 263 年左右,我国数 学家刘徽发现当圆内接正多边 形的边数无限增加时,多边形面 积可无限逼近圆的面积,并创立 了 “ 割 圆 术 ”. 利 用 “ 割 圆 术”刘徽得到了圆周率精确到 小数点后两位的近似值 3.14,这 就是著名的“徽率”．如图是利 用刘徽的“割圆术”思想设计 的一个程序框图,则输出 n 的值 为____________．(参考数据：
【答案】12
7．阅读如图所示程序框图,运行相应的程序．当 输入的 x∈[－2,4]时,则输出 y 的范围是__________．
【解析】当－2≤x<1 时,2≤3x2＋2≤14, 则 0≤y≤24； 当 1≤x≤4 时,－2≤y≤4； 综上所述,输出 y 的范围为[0,24]∪[－2,4]＝ [－2,24]．
故答案为 A．
【答案】A
5．如果执行如图所示的 程序框图,输入 x＝4．5,则输 出的数 i＝________．
【解析】算法的功能是 赋值,通过四次赋值得 x＝ 0．5,输出 i＝4．
【答案】4
6．如图所示(算法 流 程 图 ), 输 出 值 x ＝ ________．
【解析】程序执行中 的数据变化如下：x＝1,x ＝ 2,x ＝ 4,4<8,x ＝ 5,x ＝ 6,x ＝ 8,8 ＝ 8,x ＝ 9,x ＝ 10,x＝12,12>8 成立,输出 x＝12．
【答案】A
4．运行如图所示的程序框图,若输出的 S 的值为 －21,则判断框中可以填( )
A．a<64? C．a<128?
B．a≤64? D．a≤128?
【解析】运行程序如下：a＝1,S＝0,S＝1,a ＝－2,S＝1－2,a＝4,S＝1－2＋4,a＝－8,S＝1 －2＋4－8,a＝16,
S＝1－2＋4－8＋16,a＝－32,S＝1－2＋4－ 8＋16－32＝－21,a＝64．
【答案】24
【答案】2 021
B组 1．下图是一结构图,在方框处应填入( )来自A．图象变换 C．对称性
B．奇偶性 D．解析式
【解析】因为函数的性质包括单调性、奇偶性 和周期性,所以应填入“奇偶性”．
故答案为 B．
【答案】B
2．已知 MOD 函数是一个求余函数,其格式为 MOD(n,m), 其 结 果 为 n 除 以 m 的 余 数 , 例 如 MOD(8,3)＝2．如图所示是一个算法的程序框图,若 输出的结果为 4,则输入 n 的值为( )
C．计算从 1 开始的连续奇 数的连乘积,当乘积大于 100 时, 计算奇数的个数
D．计算 1×3×5×…×n ≥100 成立时 n 的最小值
【解析】分析每一次循环的情况,如下：第一 次：S＝1×3,i＝5；第二次：S＝1×3×5,i＝7； 第三次：S＝1×3×5×7,i＝9,此时 S<100 不成立, 输出的结果是 7,程序框图表示的算法功能是求使 1×3×5×…×n≥100 成立时 n 的最小值．选 D．
A．0
B．2
C．4
D．14
【解析】a＝14,b＝18． 第一次循环：14≠18 且 14<18,b＝18－14＝4； 第二次循环：14≠4 且 14>4,a＝14－4＝10； 第三次循环：10≠4 且 10>4,a＝10－4＝6； 第四次循环：6≠4 且 6>4,a＝6－4＝2； 第五次循环：2≠4 且 2<4,b＝4－2＝2； 第六次循环：a＝b＝2, 跳出循环,输出 a＝2,故选 B．
【答案】B
4．数的概念起源于大约 300 万年前 的原始社会,如图 1 所示,当时的人类用在 绳子上打结的方法来记数,并以绳结的大 小来表示野兽的大小,即“结绳计数”．
图 2 所示的是某个部落一段时间内所擒
获猎物的数量,在从右向左依次排列的不 同绳子上打结,右边绳子上的结每满 7 个 即在左边的绳子上打一个结,请根据图 2 计算该部落在该段时间内所擒获的猎物
6≈2.449, 3≈1.732, 2≈1.414)
【解析】当 n＝6 时,S＝62×sin3606°＝323<3．1, 不满足判断条件,所以 n＝12,S＝122×sin36102°＝ 3<3．1,不满足判断条件,继续循环,所以这时 n＝ 24,S＝224sin36204°＝3( 6－ 2)≈3．105>3．1,满足 条件,此时输出 n＝24．
A．10 B．12 C．14 D．16
【解析】由题意结合新定义的运算法则和流 程图的功能,由于输出值为 4,
故输入的值是一个除以 3 余数不为零,除以 4 余数为 0 的数,
结合选项中的数可知只有 16 符合题意．故选 D．
【答案】D
3．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学 名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程 序框图,若输入的 a,b 分别为 14,18,则输出的 a＝ ()
【答案】[－2,24]
8．下面求 2＋5＋8＋…＋2 018 的值的伪代码 中,正整数 m 的最大值为__________．
I←2 S←0 WHILE I<m
S←S＋I I←I＋3 END WHILE PRINT S
【解析】由伪代码知,这是当型循环结构的算 法,由于累加项的步长为 3,循环变量 I 的终值为 2 018,故 2 018＜m＜2 022 由于 m 是正整数,所以最 大值为 2 021．故答案为 2 021．