第三章05n维随机向量

Cov(Y, X) Cov(Y, Y) Cov(X, Y) DX Cov(Y, X) DY
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五、协方差矩阵和相关系数矩阵
定义3.24 如果n维随机向量(X1，X2，„，Xn)中任意两个分 量Xi与Xj的相关系数rij都存在(i,j=1,2, „,n) ，则以rij为元素 的n阶矩阵称为该随机向量的相关系数矩阵。记作R，即 r11 r12 r1n 1 r12 r1n r21 r22 r2 n r 21 1 r 2 n R r r r r r 1 nn n1 n 2 n1 n 2 其中rii=1，rij=rji ，(i,j=1,2,„,n) 如n=2时 ρ XX ρ XY 1 ρ XY R ρ ρ ρ YY 1 YX YX
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第五节*、n维随机向量
三、n维机向量函数 n维随机向量(X1，X2，„，Xn)的函数记为 Y=g(X1，X2，„，Xn) 定理3.11：设Xi~N(mi,si2)，i=1,2,„,n，且X1,X2,„,Xn相互独 立，则它们的非零线性组合仍服从正态分布，即存在不全为 零的常数a1,a2,„,an，有
例1：假设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且同服从参数 p=0.4的“0-1”分布，即P{Xi=0}=0.6,P{Xi=1}=0.4 (i=1,2,3,4)， 求行列式Z的概率分布。
Z X1 X2 X4 X3
解：由22阶行列式表示Z=X1X4-X2X3，根据X1，X2，X3，X4 的地位是等价且相互独立的，X1X4与X2X3也是独立同分布的， 因此可先求出X1X4和X2X3的分布律，再求Z的分布律. 记Y1=X1X4，Y2=X2X3，则Z=Y1-Y2，随机变量Y1和Y2独立同 分布： P{Y1=1}=P{Y2=1}=P{X2=1,X3=1}=0.16 P{Y1=0}=P{Y2=0}=1-0.16=0.84
第五节*、n维随机向量
一、联合分布与边缘分布 定义3.16 n维随机向量(X1，X2，„，Xn) 定义3.17 n维随机向量(X1,X2,„,Xn)的联合分布函数为 F(x1,x2,„,xn)=P{X1≤x1,X2≤x2,„,Xn≤xn} 记FXi(xi)=Fi(xi)=P{Xi≤xi}为关于Xi的边缘分布函数。 定义3.18 离散型n维随机向量(X1,X2, „,Xn)的联合概率函数为 p(x1,x2,„,xn)=P{X1=x1,X2=x2,„,Xn=xn} 记pXi(xi)=pi(xi)=P{Xi=xi}为关于Xi的边缘概率函数。 定义3.19 连续型n维随机向量(X1,X2,„,Xn)的联合密度函数为 f(x1,x2,„,xn) 记 fXi(xi)=fi(xi) 为关于Xi的边缘密度函数。
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例题4
参见P132
例4 已知EX=m，DX=s2，Y=3-4X，求X与Y的协方差矩阵及 相关系数矩阵.
解 由DX=s2，DY=D(3-4X)=16s2 由Y=aX+b知r=-1
r XY Cov(X, Y) DX DY
Cov(X, Y) rXY DX DY -4s 2
Cov(X, Y) s 2 - 4 DX - 4s 2 2 1 s V - 4 16 Cov(Y, X) 2 2 DY - 4s 16 s
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例题3
解 由X与Y的协方差矩阵V
Cov(X, Y) 25 12 DX V Cov(Y, X) 12 36 DY
参见P132
例3 已知X与Y的协方差矩阵V，求X与Y的相关系数矩阵.其中
25 12 V 12 36
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第五节*、n维随机向量
例1：假设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且同服从参数 p=0.4的“0-1”分布，即P{Xi=0}=0.6,P{Xi=1}=0.4 (i=1,2,3,4)， 求行列式Z的概率分布。
Z X1 X2 X4 X3
随机变量Z=Y1-Y2有三个可能值-1，0，1.易见 P{Z=-1}=P{Y1=0，Y2=1}=0.84×0.16=0.1344 P{Z=1}=P{Y1=1，Y2=0}=0.16×0.84=0.1344， P{Z=0}=1-2×0.1344=0.7312 于是行列式的概率分布为
Z X1 X3 X2 X4
0 1 -1 ~ 0.1344 0.7312 0.1344
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第五节*、n维随机向量
例2 设X1,X2,„,Xn相互独立且同分布，分布函数均为F(x)， Y=max{X1,X2,„,Xn}，Z=min{X1,X2,„,Xn}，分别求随机变量 Y和Z的分布函数。
即得DX=25，DY=36，Cov(X,Y)=12，由相关系数公式
r XY Cov(X, Y) DX DY 12 12 0.4 r YX 25 36 5 6
ρ XX ρ XY 1 ρ XY 1 0.4 R ρ ρ 0.4 1 ρ YY YX 1 YX
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作业
习题三
P198
A (46—48)
46、47、48
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①如果随机变量X1,X2,„,Xn的期望都存在，则对任意常数 n n a1,a2,„,an有 E ( ai X i ) ai EX i
i 1 i 1
1 n 1 n 特别地： E( X i ) EX i n i 1 n i 1
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第五节*、n维随机向量
②若随机变量X1,X2,„,Xn相互独立，且期望都存在，则
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第五节*、n维随机向量
四、数学期望与方差
期望向量与方差向量 定义3.22：如果n维随机向量(X1,X2,„,Xn)中每个分量的期望、 方差都存在，则称(EX1,EX2,„,EXn)为(X1,X2,„,Xn)的期望向 量；称(DX1,DX2,„,DXn)为(X1,X2,„,Xn)的方差向量。 关于n个随机变量的期望与方差的性质
j
, Xk )
④若随机变量X1,X2,„,Xn相互独立，且方差都存在，则 D(X1±X2±„±Xn)=DX1+DX2+„+DXn 并且对任意常数a1,a2,„,an有
D( ai X i ) ai2 DX i
i 1 i 1 n n
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五、协方差矩阵和相关系数矩阵
定义3.23 如果n维随机向量(X1，X2，„，Xn)中的各个分量 Xi (i=1,2, „,n)的方差都存在，则以Cov(Xi,Xj)为元素的n阶 矩阵称为该随机向量的协方差阵。记作V，即 其中vii=Cov(Xi,Xi)=DXi v11 v12 v1n vij=Cov(Xi,Xj)=Cov(Xj,Xi)=vji v21 v22 v2 n V 如n=2时 Cov(X, X) Cov(X, Y) v v v V nn n1 n 2
Y ai X i ~ N ( ai m i , ai2 si2 )
i 1 i 1 i 1 n n n
推论：设X1,X2,„,Xn相互独立且同分布，Xi~N(m,s2)， i=1,2,„,n，则 2 n
X 1 s X i ~ N (m, ) n i 1 n
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第五节*、n维随机向量
1 ρ XY 1 - 1 R ρ -1 1 1 YX
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补充例题
参见P137例2
已知X~N(0,1)，Y~N(0,1)，D(X-Y)=0，求X与Y的协方差矩阵. 解 由N(0,1)知EX=EY=0，DX=DY=1，D(X-Y)=0 而D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)，得Cov(X,Y)=1 Cov(X, Y) 1 1 DX V Cov(Y, X) 1 1 DY 练习 已知DX=25，DY=36，相关系数r=0.4，求D(X±Y). 解 由 Cov(X, Y) rXY DX DY 0.4 25 36 12 D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y)=25+36+2×12=85 D(X-Y)=DX+DY-2Cov(X,Y)=25+36-2×12=37
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第五节*、关于n维随机向量的独立性
①对于离散型n维随机向量(X1，X2，„，Xn)，则 X1,X2,„,Xn 相互独立的充分必要条件是：对于任意的 x1,x2,„,xn，有 P{X1=x1,X2=x2,„,Xn=xn}=P{X1=x1}P{X2=x2}„P{Xn=xn} 即联合概率函数等于各个边缘概率函数之积。 ②对于连续型n维随机向量(X1，X2，„，Xn) ，则 X1,X2, „,Xn 相互独立的充分必要条件是：对于任意的 x1,x2,„,xn，有 f(x1,x2,„,xn)= fX1(x1)· X2(x2)„ fXn(xn) f 即联合密度函数等于各个边缘密度函数之积。 定义3.21 (独立同分布的随机变量序列) 若随机向量序列X1,X2,„,Xn„中任意n个随机变量(n=2,3,„,) 都相互独立，且每个随机变量Xi都服从同一种分布， 则称X1,X2,„,Xn,„独立同分布的随机变量序列。
解：FY(x)=P{Y≤x}=P{max{X1,X2,„,Xn}≤x}
=P{X1≤x,X2≤x,„,Xn≤x} =P{X1≤x}∙P{X2≤x}„P{Xn≤x}=[F(x)]n
P{Z>x}=P{min{X1,X2,„,Xn}>x}
=P{X1>x,X2>x,„,Xn>x} =P{X1>x}∙P{X2>x}„P{Xn>x}=[1-F(x)]n ∴FZ(x)=P{Z≤x}=1-P{Z>x}=1-[1-F(x)]n
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第五节*、n维随机向量