第3章 随机向量 练习题
概率论与数理统计(第3版)(谢永钦)第3章 随机向量
概率论与数理统计
定义3.7 设X和Y是两个随机变量，如果对于任意实数x和y，事
件{X≤x}与{Y≤y}相互独立，即有P{ X≤x , Y≤y }=P{X≤x}P{Y≤y}，则称随 机变量X与Y相互独立。 设F(x,y)为二维随机变量(X,Y)的分布函数， (X,Y)关于X和关于Y的边缘分布 函数分别为FX(x)，FY(y)，则上式等价于
这正是参数为
的 分布的概率密度。
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论与数理统计
X
X
Y
Y
概率论与数理统计
解: (1)串联情况
X
Y
概率论与数理统计
(2)并联情况
X
Y
感谢聆听 批评指导
概率论与数理统计
二维正态分布 若(X.,Y)的概率密度为
概率论与数理统计
4. n维随机变量
设E是一个随机试验,它的样本空间是=(e).设随机变量
是定义在同一样本空间上的n个随机变量，则称向
量
为n维随机向量或n维随机变量。简记为
设 数
为n维随机变量
是n维随机变量，对于任意实 ,称n元函数
的联合分布函数。
设(X,Y)的一切可能值为(xi,yj)，i,j=1,2,… ，且(X,Y)取各对可能值的概率为 P{X=xi，Y=yj}=pij， i,j=1,2,…
称上式为(X,Y)的（联合）概率分布或（联合）分布律.离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律可用表3-1表示.
概率论与数理统计
(X,Y)的分布律也可用表格形式表示:
记作
或记为
.
第三章-多维随机向量的分布及数字特征
xi x y j y
一般求概率函数 P ( X , Y ) ( xi , y j ) 采用以下公式： P ( X , Y ) ( xi , y j ) PX xi P Y y j X xi 例3.3 整数 X 等可能的取值1,2,3,4，整数Y 等可能的取值 1~ X，求随机向量( X , Y )的概率分布列。 解: 由题目条件随机向量( X , Y )所有可能取值点为 (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4) 显然，当 y j xi时，P ( X , Y ) ( xi , y j ) 0 。 当 y j xi时，分别有 P ( X , Y ) (1,1) P X 1 P Y 1 X 1 1 1 1 4 4 P ( X , Y ) (2,1) P X 2 P Y 1 X 2
P x1 X x2 , y1 Y y2
X
pij
0 1
Y
0
1/4 1/4
1
1/4 1/4
0 x 0或y 0 1 / 4 0 x 1且0 y 1 F ( x, y ) PX x, Y y 1 / 2 0 x 1且y 1 1 / 2 x 1且0 y 1 1 x 1且y 1
表达随机试验结果的变量个数从一个增加到两个形成二 维随机向量，概率分布律的描述有了实质的变化，而二维推 广到多维只有形式上的变化并无实质性的困难，我们主要讨 论二维随机向量。 2. 二维随机向量的分布函数 Def 设( X , Y )为二维随机向量，( x, y )为平面内任意一点，则
第3章 随机向量(含习题参考答案)
∴ 选 A.
p⋅ j 1 4 1 2 1 4
·8·
则下列式子正确的是 ( （A） X=Y； （C）P(X=Y)=1/2；
·5·
解：A 显然不对.
P ( X = Y ) = P( X = −1, Y = −1) + P( X = 1, Y = 1) 1 1 1 1 1 ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 2
= P( X = −1) P(Y = −1) + P( X = 1) P(Y = 1) =
.
2. 已知(X,Y)的联合概率分布如下：
Y X
1 0 1/3
2 1/3 1/3
1 2
则 X 与 Y 的边缘概率分布为__________； X 与 Y 是否独立？__________. 解：X 的边缘概率分布为：
X
P Y 的边缘概率分布为：
1 1/3
2 2/3
1 2 1/3 2/3 1 1 1 由于 P ( X = 1) ⋅ P(Y = 1) = ⋅ = ≠ P( X = 1, Y = 1) = 0 ，故 X 与 Y 不 3 3 9
解： S阴 =
∫
e2 1
1 e2 ( − 0)dx = ln x 1 = 2 x
·2·
⎧1 ( x, y ) ∈ D ⎪ ∴ f ( x, y ) = ⎨ 2 ⎪ ⎩0 其他 f X ( x) = ∫
+∞ −∞
y
f ( x, y )dy
y=
1 x
D x
⎧ 1 1 1 1 ≤ x ≤ e2 , ⎪ ∫ 0x dy = =⎨ 2 2x ⎪ 0 其它. ⎩
2 2
解：相互独立的随机变量 Xi～N(μi,σi2)，i=1,…,n. 有
大学课件概率论第3章随机向量补充题目
0
即两个边缘分布分别服从正态分布
X ~ N 1,12
Y~N
2
,
2 2
与相关系数 无关
可见，联合分布可以确定边缘分布， 但边缘分布不能确定联合分布
例
设(
,
)服从N
(a1
,
a2
,
2 1
,
2 2
,
)分布的二维
正态随机变量，求p ( x y)、p ( y x)。
解
p( x, y) p ( x y) p ( y)
xy
0 x 1,1 y 3
1
0
其它
求：
f X |Y (x | y 2)
fY
|
X
(
y
|
x
1 3
)
1
解：先求 f X |Y (x | y 2)
第一步，求y的边缘密度函数，
fY ( y)
y, 4
y [1,3]
第二步，再求条件密度函数， 对于 0 x 1
有：
f X |Y (x | y 2)
1 )2
2 1
2
(x
1 )( y 1 2
2 )
(
y 2 )2 22
]
分别积分，可得两个边缘密度函数为：
fX (x)
1
( x1 )2
e 2
2 1
2 1
fY ( y)
1
( x2 )2
e 2
2 2
2 2
例 (X,Y)服从参数为μ1，μ2，σ1，σ2，ρ的二元正
态分布,证明X,Y相互独立的充要条件是ρ ＝0。
25
P{ i 2} P{ i} 1
5
(2) P{ i} 1
概率论与数理统计第3章随机向量
解 （1）根据概率密度函数性质（2）知
f (x, y)dxdy
Ce(3x4 y) dxdy C e3xdx e4y dy C 1
00
0
0
12
从而 C 1
12
（2）由定义3.3.1知
xy
F(x, y)
f (u,v)dudv
(1 e3x )(1 e4y ), x 0, y 0,
3
7
7
1
3.4.1 二维离散型随机向量的边缘分布
(2) 采取无放回摸球时，与（1）的解法相同，(X,Y)的 联合分布与边缘分布由表3.4给出.
表3.4
Y X
0
1 P{Y=yj} p j
01Biblioteka 2277
2
1
7
7
4
3
7
7
P{X=xi} pi
4 7 3 7
1
3.4.2 二维连续型随机向量的边缘分布
设(X,Y)是二维连续型随机向量，其概率密度为f(x,y)，
由
FX (x) F(x,)
x
f (x,y)dydx
知，X是一个连续型随机变量，且其概率密度为
f X (x)
dFX (x) dx
f (x,y)dy.
（3.4.5）
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y)
= dFY(y)
dy
f (x,y)dx.
(3.4.6)
(X ,Y )
~
N (1,
2
,
2 1
,
2 2
,
)
称(X,Y)为二维正态随机向量．
3.4 边缘分布
1 二维离散型随机向量的边缘分布 2 二维连续型随机向量的边缘分布
第三章 随机向量课后习题参考答案
第三章 随机向量1．解：222247112121322322447722211323224477223247{0,0}0;{0,1}0;1{0,2};{1,0}0;3566{1,1};{1,2};3535312{2,0};{2,1};35353{2,2};35P X Y P X Y C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C C C C P X Y P X Y C C C C P X Y P C =================================3132473132472{3,0};352{3,1};{3,2}035C C X Y C C C P X Y P X Y C ===========2．解：2421302 1.54 1.5020(1)(,)(,)[(6)]1181813(2){1,3}[(6)]881127(3){ 1.5}(1.5,)[(6)](2)82321(4){4}[(6)]8F f x y dxdy k x y dy dx k k P X Y x y dy dx P X F x y dy dx x dx P X Y x y dy dx +∞+∞-∞-∞+∞+∞==--=∴=∴=<<=--=<=+∞=--=-=+≤=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰2422020112(46)823x x x dx -=-+=⎰⎰⎰ 3．解：20124.8(2) 2.4(2)01()(,)04.8(2) 2.4(34)01()(,)0xX yY y x dy x xx f x f x y dy y x dx y y y y f y f x y dx +∞-∞+∞-∞⎧-=-≤≤⎪ ==⎨⎪⎩⎧-=-+≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰其它其它4．解：00()(,)00()(,)0y x x X yy y Y e dy ex f x f x y dy e dx yey f y f x y dx +∞--+∞-∞--+∞-∞⎧=>⎪ ==⎨⎪⎩⎧=>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰⎰⎰其它其它5． 解：2222221112222000101(1)()0101,0,(,)()()20401{}[](1)121(1)(0)]0.1445X yX Y y x xx x f x ex y X Y f x y f x f y X Y Y X P Y X e dy dx e dx dx----<<⎧ =⎨⎩⎧<<>⎪==⎨⎪⎩∆-≥≤≤==-=-=Φ-Φ≈⎰⎰⎰其它因为相互独立,所以其它(2)方程有实根则=4即6． 解：（1）21114(,)121xF dx cxydy c-+∞+∞===⎰⎰ 故 214c = （2）2224121(1)214,11()80,X x x ydy x x x f x ⎧--≤≤⎪=⎨⎪ = ⎩⎰其它2527,01()20,Y y x y f y ydx ⎧≤≤⎪=⎨⎪ = ⎩其它 7．解：（1）由于X 在(0,1)上服从均匀分布故1,01()0,x f x <<⎧=⎨⎩其它 则1y e <<又xy e =单调递增且可导，其反函数为：ln x y = 设x e Y =的概率密度为：()g y于是'1,11(ln )()00,y ey yg y ⎧⎧<<⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩g 其它 （2）由于0y <，故 X Y ln 2-=的反函数为12()y h y e-=故 '21[()](()),0()200,0yf h y h y e yg y y -⎧⎧>⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩≤⎩g 8．解法1： 由于X 和Y 是两个相互独立的随机变量， 由卷积公式()()()Z X Y f z f z y f y dy +∞-∞=-⎰可得当0z ≤时， ()Z f z =0当01z <<时， 0()1zy z Z f z e dy e --==-⎰当1z ≤时，由01x ≤≤，知01z y ≤-≤，即：1z y z -≤≤11()zy z z Z z f z e dy e e ----==-⎰解法2：可有求密度函数的定义法计算得到。
概率论与数理统计 第三章 随机向量及其概率分布 练习题与答案详解
第三章 随机向量及其概率分布（概率论与数理统计）练习题与答案详解（答案在最后）1．已知随机变量()1,3~-N ξ，()1,2~N η，且随机变量ηξ,相互独立，则~72+-ηξ ．2．设随机变量ηξ,相互独立，且均服从[]3,1区间上的均匀分布，令{}a A ≤=ξ，{}a B >=η，已知()97=B A P ，则常数=a ．3．设随机变量ηξ,独立同分布，且ξ服从二点分布()5.0,1b ，则随机变量{}ηξ,max =X 的分布律为 ． 4．假设ηξ,为随机变量，且()730,0=≥≥ηξP ，()()7400=≥=≥ηξP P ，则{}()=≥0,max ηξP ． 5．设随机变量ηξ,相互独立，下表给出了()ηξ,联合分布律和边缘分布律的部分数值，试将其余数值填入表中空白处．6．设随机变量i ξ()2,1=i 的分布律为i ξ －1 0 1P 0.25 0.5 0.25且()1021==ξξP ，则()==21ξξP ．7．假设随机变量()ηξ,的联合分布律为则q p ,应满足 ．若随机变量ηξ,相互独立，则=p ，=q ．8．假设盒子中装有3只黑球，2只红球，2只白球，从盒子中任取4只球，求黑球数ξ和红球数η的联合分布律和边缘分布律．9．掷一颗均匀骰子二次，设随机变量ξ表示第一次出现的点数，随机变量η表示两次出现点数的最大值，求二维离散型随机变量()ηξ,的联合分布律和边缘分布律．10．假设随机变量ξ服从参数为1=λ的指数分布，令⎩⎨⎧>≤=ii i ξξη，，，10 ()2 , 1=i ，求()21,ηη的联合分布律．11．设随机变量()ηξ,的联合分布律为求：(1) 常数k ； (2) ()2,21≥≤≤ηξP ； (3) ()2≥ξP ； (4) ()2<ηP ；(5) 在1=ξ条件下η的条件分布律和在2=η条件下ξ的条件分布律； (6) 随机变量ηξ,是否相互独立．12．若随机变量ηξ,相互独立，且随机变量ηξ,的分布律分别为：ξ－3 －2 －1 P 0.25 0.25 0.5 求：(1) ()ηξ,的联合分布律；(2) ηξ+2的分布律．13．设随机变量ηξ,独立同分布，均服从二点分布()p b ,1，记⎩⎨⎧++=为偶数，若，为奇数，若，ηξηξζ01问p 为何值时，ξ和ζ相互独立．14．知随机变量ηξ,互不相关，且随机变量ηξ,的分布律分别为： ξ 0 1 η 0 1 P q p P b a 其中b a q p ,,,均为大于零的常数，证明随机变量ηξ,相互独立．15．设二维随机变量()ηξ,的联合密度函数为()()⎩⎨⎧≤≤≤≤--=其它，，，，，042206,y x y x k y x f 求：(1) 常数k ； (2) 边缘密度函数； (3) ()4≤+ηξP ； (4) ()3,1<<ηξP ； (5) ()5.1<ξP ；(6) 随机变量ηξ,是否相互独立；(7) 条件密度函数()y x f ηξ，()x y f ξη．16．假设二维随机变量()ηξ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧≤≤=其它，，，，01,22y x y kx y x f 求：(1) 常数k ； (2) 边缘密度函数； (3) ()ηξ<P ； (4) 随机变量ηξ,是否相互独立．17．假设二维随机变量()ηξ,的联合密度函数为()⎩⎨⎧>>=--其它，，，，，0002,2y x e y x f y x ， 求ηξζ2+=的密度函数．答案详解1．()5,0N 2．由()97=B A P 及ηξ,相互独立得，()92=B A P ，由此得 922123=-⋅-a a ，解得：35=a 或37 3．X 0 1P 0.25 0.75 4．{}()=≥0,max ηξP ()00≥≥ηξ或P()+≥=0ξP ()-≥0ηP ()=≥≥0,0ηξP 755．由()()()11211,,y P y x P y x P ====+==ηηξηξ，可得()===11,y x P ηξ241， 因为ηξ,相互独立，所以()()()1111,y P x P y x P =====ηξηξ， 由此得()==1x P ξ41，由()()121==+=x P x P ξξ，可得()==2x P ξ43，由()()()()1312111,,,x P y x P y x P y x P ====+==+==ξηξηξηξ得()===31,y x P ηξ121，因为ηξ,相互独立，所以()()()3131,y P x P y x P =====ηξηξ， 由此得()==3y P η31，由()==3y P η()()3231,,y x P y x P ==+==ηξηξ，可得()===32,y x P ηξ41，由()()()1321==+=+=y P y P y P ηηη 可得()==2y P η1，由联合分布律性质可得()===22,y x P ηξ3，6．设,的联合分布律为：由()1021==ξξP 得：011=p ，013=p ，031=p ，033=p 由()11-=ξP 11p =12p +13p +得：25.012=p ， 由()12-=ξP 11p =21p +31p +得：25.021=p ， 由()12=ξP 13p =23p +33p +得：25.023=p ， 由()11=ξP 31p =32p +33p +得：25.032=p ，由联合分布律性质可得：022=p （也可用()5.001==ξP 得到） 所以()==21ξξP ()+-=-=1,121ξξP ()0,021==ξξP ()01,121===+ξξP7．7=+q p ，101=p ，152=q 8．ξ 1 2 3 4 5 6P 61 61 61 61 61 61η 1 2 3 4 5 6 P 361 363 365 367 369 3611 10．()()2,10,021≤≤===ξξηηP P ()111--=≤=e P ξ， ()()2,11,021>≤===ξξηηP P 0=，()()2,10,121≤>===ξξηηP P ()2121---=≤<=e e P ξ， ()()2,11,121>>===ξξηηP P ()22-=>=e P ξ11．(1) 由联合分布律性质得：361=k(2) ()2,21≥≤≤ηξP ()2,1===ηξP ()3,1==+ηξP()2,2==+ηξP ()3,2==+ηξP 3615= (3) ()2≥ξP ()2==ξP ()3=+ξP 3630=(4) ()2<ηP ()1==ηP 366=(5) 在1=ξ条件下η的条件分布律为()11==ξηP ()()11,1====ξηξP P 61366361==()12==ξηP ()()12,1====ξηξP P 31366362==()13==ξηP ()()13,1====ξηξP P 21366363==在2=η条件下ξ的条件分布律为()21==ηξP ()()22,1====ηηξP P 613612362==()22==ηξP ()()22,2====ηηξP P 313612364== ()23==ηξP ()()22,3====ηηξP P 213612366==(6) 因为()()()j P i P j i P =====ηξηξ,，故ξ与η独立12．(1) 因为随机变量ηξ,相互独立，所以()j i P ==ηξ,()j i P ===ηξ,，由此得()ηξ,的联合分布律为：(2) ηξ+2 －5 －4 －3 －2 －1 0 1 P 0.1 0.05 0.2 0.05 0.3 0.1 0.213．()0,0==ζξP ()0,0===ηξP ()21p -=，()1,0==ζξP ()1,0===ηξP ()p p -=1， ()0,1==ζξP ()1,1===ηξP 2p =， ()1,1==ζξP ()0,1===ηξP ()p p -=1，因为ξ和ζ相互独立，所以()1,0==ζξP ()0==ξP ()1=ζP ，由此得()()()p p p p p -⋅-=-1211，从而5.0=p而随机变量ηξ,的边缘分布律分别ξ 0 1 η 0 1 P q p P b a 所以q p p =+1211，p p p =+2221，b p p =+2111，a p p =+2212，又因为随机变量ηξ,不相关，所以()0,22=-=-=a p p E E E Cov ηξξηηξ，由上述式子得：a p p =22，aq a p a p =-=12， pb pa p p =-=21，bq aq q p =-=11，由此容易验证时()()()j P i P j i P =====ηξηξ,， ()1,0,=j i所以随机变量ηξ,相互独立15．(1) 因()1,2=⎰⎰R dxdy y x f ，即()⎰⎰=--204216dy y x k dx ，解得81=k (2) ()()⎰∞+∞-=dy y x f x f ,ξ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--=⎰其它，，，02068142x dy y x ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它，，，，020341x x 同理得()()⎰∞+∞-=dx y x f y f ,η()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=其它．，，，042541y y (3) ()4≤+ηξP ()⎰⎰≤+=4,y x dxdy y x f ()326812042=--=⎰⎰-x dy y x dx (4) ()3,1<<ηξP ()83681132=--=⎰⎰dy y x dx (5) ()5.1<ξP ()42,5.1≤≤<=ηξP ()32276815.1042=--=⎰⎰dy y x dx(6) 由于()()()y f x f y x f ηξ≠,，故ξ与η不独立(7) 当42≤≤y 时，()y x f ηξ()()y f y x f η,=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤---=其它，，，，0202106x y yx 当20≤≤x 时，()x y f ξη()()x f y x f ξ,=⎪⎩⎪⎨⎧≤≤---=其它，，，042266y x yx 16．(1) 由()⎰⎰⎰⎰-==11121,22x R ydy kx dx dxdy y x f ，得421=k(2) ()()⎰∞+∞-=dy y x f x f ,ξ⎪⎩⎪⎨⎧>≤=⎰101421122x x ydy x x ，，， ()⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=，，，，101182142x x x x 同理得()()⎰∞+∞-=dx y x f y f ,η⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，，0102725y y (3) ()ηξ<P ()⎰⎰<=yx dxdy y x f ,2017421102==⎰⎰-y y ydx x dy(4) 由于()()()y f x f y x f ηξ≠,，所以ξ与η不独立 17．因为()()z P z F ≤=ζζ()z P ≤+=ηξ2()⎰⎰≤+=z y x dxdy y x f 2,⎪⎩⎪⎨⎧≤>=⎰⎰---00020202z z dy e dx zx z y x ，，，⎩⎨⎧≤>--=--，，，，0001z z e z e z z 所以()()⎩⎨⎧≤>==-000z z e z dzz dF z f z ，，，ζζ。
第3章 随机向量 练习题
1、设一个袋子中装有 3 个红色、2 个白色、3 个蓝色球，从袋中任取两个球，记 X 为取到的
红球数，Y 为取到的白球数，求（1）（X，Y）的联合分布；（2）关于 X、Y 的边缘分布律。
（1）
Y
0
1
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
X
0 3 / 28 6 / 28 1 / 28
1 9 / 28 6 / 28 0
（4）判断随机变量 X1 与 X2 的独立性，说明理由 .
（1）
X2
0
X1
（2） E [ X2 X1 = 0 ] = 1 e1
1
p X1 i
0 1
e2 0
e1 e2 e1 1 e1 1 e1
（3）V
e 1 e2
e2 e3
e2 e3 e2 e4
26、设随机向量
Y 服从区间（0，x）上的均匀分布，试求 X 与 Y 的联合密度函数。（
f
(x,
y)
1 x
ex
，
0
y
x
）
0 ， 其它
24、设随机向量（X，Y）~
e y f (x, y)
0
0 x 2, 0 y ln 2 其它
，试求（1）条件密度
f Y X ( y x ) ；（2）计算 P ( X + 2Y 1 ) 的概率值。
（
（1）( 1 e2 ) / 2 ； （2）1 1 / 2e
）
19、设随机向量（X，Y）的概率密度为
ce (3x4 y) f (x, y)
0
x
0, y 其它
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（2）相互独立；
（3） Z PZ 2 1 / 36 1 1/6 0 13 / 36 1 1/3 2 1/9
z 2 0 1 / 36 2 z 1 7 / 36 1 z 0 FZ ( z ) 0 z 1 5/9 8/9 1 z 2 z2 1
（
（1）3，1，1，1，0； （2）不相关，独立性无法判断
）
18、已知随机变量 X ~ N ( 1 , 32 )，Y ~ N ( 0 , 42 )，X 与 Y 的相关系数 X，Y = 1 / 2，设
U X Y ，求（1）U 的数学期望与方差； （2）X 与 U 的相关系数 X，U ，并判断 X 与 U 是否 3 2
0 100 （ 0.5 ； 0 100
）
17、设随机向量（X，Y）服从二元均匀分布，且 X + Y 与 X Y 相互独立， 已知 E ( X + Y ) = 4，与 E ( X Y ) = 2；D ( X + Y ) = 2，与 D ( X Y ) = 2，求（1）EX，DX， EY，DY，X，Y ； （2）判断 X 与 Y 的独立性和相关性。
第3章
随机向量练习题
1、设一个袋子中装有 3 个红色、2 个白色、3 个蓝色球，从袋中任取两个球，记 X 为取到的 红球数，Y 为取到的白球数，求（1） （X，Y）的联合分布； （2）关于 X、Y 的边缘分布律。 （1） Y X 0 1 2 0 3 / 28 9 / 28 3 / 28 1 6 / 28 6 / 28 0 2
y 2 2 x 0 x 1 1 ( x, y ) D 1 （ （1） f ( x, y ) ， f X ( x) ， f Y ( y) 2 其它 其它 0 0 0 0 y2 其它
；
（2）2 / 3
）
cxe x ( y 1) 23、设（X，Y）的联合密度函数 f ( x, y) 0
4、设随机变量 X 与 Y 相互独立，都服从参数 p Z = max ( X , Y ) 的分布律.
1 的（ 0 – 1 ） 分布，求随机变量 3
Z P
0 4/9
1 5/9
5、 设随机变量 X 与 Y 相互独立、 同分布， P ( X = i ) = 1 / 3， i = 1， 2， 3。 又设 = max ( X , Y )， = min ( X , Y )。 （1）写出（，）的联合分布列，并判断 与 的独立性； （2）计算概率 P{X+Y3} 。 （1）
1 2 3
不独立； 1 1/9 2/9 2/9 0 1/9 2/9 2 3 0 0 1/9 （2） 1 / 3 。
6、某箱装有 100 件产品，其中一、二和三等品分别为 80 件、10 件和 10 件，先从箱中随机抽
1, 若取到 i 等品 取一件产品，记 X i （i = 1，2，3） ，试求： （1）随机变量 X1 与 X2 的联合 其它 0,
7、袋内有标号 1，2，2，3 的四个小球，从中任取一个球，不再放回，然后再从袋中任取一个 球，若用 X、Y 分别表示第一、二次取到球上的号码数，试求： （1） （X，Y）的联合分布表； （2） X 与 Y 是否相互独立； （3）协方差 cov ( X , Y ) 。 （1） Y X 1 2 3 1 0 1/6 1 / 12 2 1/6 1/6 1/6 3 1 / 12 1/6 0
（2）不独立 。
12、设 A、B 为随机事件，且 P ( A ) = 1 / 6，P ( B ) > 0，P ( B A ) = 1 / 3，P ( A B ) = 1 / 6，
0 , Y k 又令设随机变量 Y 服从参数为 1 的指数分布，随机变量 X k ，k = 1 , 2 . 1 , Y k
试问：X 与 Y 是否相互独立？ （ （1） P ( X x) ）
14、设方程 x2 + Bx + C = 0 中的 B、C 分别表示连续掷均匀的骰子先、后出现的点数，求此 方程有重根的概率。 （ 1 / 18 ）
15、设随机变量 X 、Y 相互独立，X ~ N ( 1 , 5 )，Y ~ N ( 0 , 5 )，求 P ( 4 < X 2Y < 1 ) 的 值，并求 Z = X 2Y 的密度函数。 （ 0.3413 ； f Z ( z)
3、将一枚均匀的骰子掷两次，记 X 为掷出的偶数点的次数，Y 为掷出 3 点或 6 点的次数。求 （1） （X，Y）的联合分布； （2）X 与 Y 是否相互独立； （3）Z = X Y 的分布列和分布函数。 （1） Y X 0 1 2 0 1/9 2/9 1/9 1 1/9 2/9 1/9 2 1 / 36 1 / 18 1 / 36
ax by 0 x y 1 2 21、设（X，Y）~ f ( x, y ) ，且 EXY ，求（1）a，b 的值； （2） 5 其它 0
概率 P ( X + Y 1 ) 的值 。 （ （1）a = 6，b = 0 ； （2）1 / 4 ）
22、设（X，Y）服从区域 D = { ( x , y ) ：x 0 , 0 y 2 2x } 上的均匀分布，求： （1） （X，Y）的联合分布密度及关于 X、Y 的边缘分布密度； （2）计算 P ( Y X ) 。
e 2 e 3 ； e 2 e 4
（4）不独立
13、已知随机变量 X 与 Y 的联合分布列为
P ( X x, Y y ) 1 (16 4 x 4 y xy ) ( x 1,2,3; y 1,2,3) ， （1）求出 X 与 Y 的边缘分布列； （2） 36 2 1 2 1 x ( x 1,2,3) ， P (Y y ) y ( y 1,2,3) ； （2）相互独立 3 6 3 6
求： （1）随机变量 X 与 Y 的联合概率分布律； （2） （X，Y）的协方差矩阵； （3）判断 X 与 Y 是否独立、是否线性相关。 （1） Y X 0 1 1 1 / 10 3 / 10 2 1/5 1 / 10 3 1 / 10 1/5
0.24 0.04 ； （2） V （3）不独立、线性相关 0.04 0.69
2 x 6, 0 y 5 其它
）
，试求： （1）
（1）23 / 28 ； （2）19 / 70
e y 20、 设随机变量 X 与 Y 独立， X 在 （0， 2） 上服从均匀分布， Y 的密度为 f ( y ) 0
y0 ， y0
求（1）P ( 1 < X < 1 , 0 < Y < 2 ) ； （2）P { ( X + Y )2 > 1 } 。 （ （1）( 1 e2 ) / 2 ； （2）1 1 / 2e ）
1 5 2
e
( z 1) 2 50
，z R
）
16、设随机向量（X，Y）服从二元正态分布，其密度函数为
( x, y)
( x2 y2 ) 1 e 200 ， < x < + ， < y < + 。求概率 P ( X < Y ) 及随机向量（X，Y） 200
1
的协差阵 V。
P( X i , Y j )
1 / 28 0 0
i C3 C2j C32i j , i, j 0,1,2 C82
（2） X PX 0 10 / 28 1 15 / 28 2 3 / 28 Y PY 0 15 / 28 1 12 / 28 3 1 / 28
2、 将一枚均匀的硬币连续掷三次， 以随机变量 X 表示三次中出现正面的次数， 随机变量 Y 表 示三次中出现正面的次数与反面的次数的差的绝对值，求（1）随机向量（X，Y）的联合分布以及 关于 X、Y 的边缘分布，并判断 X 与 Y 的独立性， （2）条件概率 P ( Y = 1 X < 2 ) 。 （1） Y X 0 1 2 3 1 0 3/8 3/8 0 3 1/8 0 0 1/8 （2） 3/4 不独立 X PX 0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8 Y PY 1 3/4 3 1/4
分布与边缘分布； （2）随机变量 X1 与 X2 的相关系数 X1 X 2 ； （3）D ( X1 X2 )、D ( X1 + X2 ) 。
（1） X2 X1 0 1
2 pX j
0 1 / 10 8 / 10 9 / 10
1 1 / 10 0 1 / 10
piX1
1/5 4/5
（2） 2 / 3 ； （3）41 / 100，9 / 100
9 / 25 6 / 25 ； （2） V （3） X , Y = 2 / 3 。 6 / 25 9 / 25
11、将两个球随机地放入三个盒子中，设 X 表示第一个盒子中球的个数，Y 表示放有球的盒 子数。 求： （1） （X，Y ）的概率分布； （2）判断 X 与 Y 是否独立，并说明理由。 （1） Y X 0 1 2 1 2/9 0 1/9 2 2/9 4/9 0
线性相关； （3）写出（X，U）的协差阵。
（
9 0 （1）1 / 3，3； （2）0，不相关； （3） 0 3
）
2x y 19、设随机向量（X，Y）具有联合分布表： f ( x, y) 210 0
P(X>3) ； （2）P ( 1 < X < 4 , Y > 2 ) 。 （
断随机变量 X 与 Y 是否相互独立。 （
x 0, y 0 其它
）
，求（1）常数 c； （2）判
9、设离散型随机变量 X 与 Y 的概率分布如下： X P 0 1/3 1 2/3 Y P 1 1/3 0 1/3 1 1/3