新教材人教版高中数学B版必修第一册第2章 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用 课件
人教B版高中数学必修第一册第二章《均值不等式及其应用》第2课时课件
新知探究
【探索与研究】用Excel或其他计算机软件，完成下列数学 实验： （1）任取多组三个正教a，b，c，计算 a b c 和 3 abc 运后，比较它
3 们的大小，总结出一般规律；
（2）对四个正数、五个正数做同样的实验，总结出普遍规律．
一般地，a1 a2 n
等号成立．
an ≥ n a1a2
2
2
新知探究
例4 （1）已知a，b，cR，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca； （2）已知a，b，c为正实数，求证： a2b2 b2c2 c2a2 ≥abc； abc （3）已知a2＋b2＝1，x2＋y2＝1，求证：ax＋by≤1．
证明： （1）由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， 三个不等式相加即能得证；
情境与问题
复习：上节课我们一起学习了均值不等式，请同学们回顾一下 均值不等式的内容，以及我们利用均值不等式可以解决什么样 的问题？
如果a，b都是正数，那么 a b ≥ ab ，当且仅当a＝b时，等号成 2
立．利用均值不等式可以求最值、解决实际应用问题等．
问题：我们利用均值不等式还能解决什么问题呢？
新知探究
问题2 我们利用均值不等式可以证明不等式，可以直接利 用 a b ≥ ab（a，b都是正数），也可使用a＋b≥ 2 ab ．
2 你还有哪些变形呢？
(a b)2 ≥ 4ab ，ab ≤ ( a b)2． 2
新知探究
例1
已知ab＞0，求证：ba
a b
≥2，并推导出等号成立的条件．
证明：因为ab＞0，所以 b 0 ，a 0 ， ab
根据均值不等式，得 b a ≥ 2 b a 2 ，即 b a ≥ 2 ，
2.2.4 均值不等式及其应用(第2课时)高一数学(人教B版2019必修第一册)
即时训练 知识点四：利用均值不等式解决实际应用问题
设该厂每 x 天购买一次面粉，其购买量为 6x 吨. 由题意可知，面粉的保管费及其他费用为 3×[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1). 设平均每天所支付的总费用为 y1 元， 则 y1＝1x[9x(x＋1)＋900]＋6×1 800＝9x＋90x0＋10 809≥2 9x·90x0＋10 809 ＝10 989(元)，当且仅当 9x＝90x0，即 x＝10 时，等号成立.所以该厂每 10 天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少.
【解析】∵实数 x，y 满足 xy＋3x＝3 0<x<12 ，∴x＝y＋3 3，
∴0<y＋3 3<12，解得 y>3.则3x＋y－1 3＝y＋3＋y－1 3＝y－3＋y－1 3＋
6≥2 （y－3）·y－1 3＋6＝8，当且仅当 y＝4，x＝37时取等号.
新知探索 知识点三：建立目标不等式求最值
利用均值不等式与已知条件建立求解目标的不等式，求出 不等式的解集即得求解目标的最值.
提示：(1)已知 x，y 都是正数，如果和 x＋y 等于定值 S， 那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 1S2.
4 (2)已知 x，y 都是正数，如果积 xy 等于定值 P，那么当 x ＝y 时，和 x＋y 有最小值 2 P.
新知探索 知识点一：“常数代换法”求最值
若题中不存在满足均值不等式的条件，则需要创造条件对 式子进行恒等变形，灵活运用“1”的代换.在不等式解题过 程中，常常将不等式乘“1”、除以“1”或将不等式中的某个 常数用等于“1”的式子代替.
新教材人教B版必修第一册 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用 课件(29张)
解析：∵a，b，c>0，∴利用均值不等式可得ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b， ca2＋a≥2c，∴ab2＋bc2＋ca2＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，故ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋ c，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
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第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
归纳提升：利用均值不等式证明不等式的注意点： (1)多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立． (2)累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使 用． (3)对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，达到使用均值不 等式的条件．
1．无附加条件的不等式的证明 典例 1 已知 a，b，c>0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
思路探究：由条件中 a，b，c>0 及待证不等式的结构特征知，先用 均值不等式证ab2＋b≥2a，bc2＋c≥2b，ca2＋a≥2c，再进行证明即可．
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第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
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第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
归纳提升：求实际问题中最值的一般思路 1．读懂题意，设出变量，列出函数关系式． 2．把实际问题转化为求函数的最大值或最小值问题． 3．在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑用均值不 等式，当用均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑利用第三章要学 习的函数的单调性求解． 4．正确地写出答案．
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第二章 等式与不等式
数学[必修 · 第一册 RJB]
2．有附加条件的不等式的证明 典例 2 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，求证：(1＋1a)(1＋b1)≥9.
思路探究：本题的关键是把分子的“1”换成 a＋b，由均值不等式即可 证明．
人教B版高中数学必修第一册精品课件 第2章 等式与不等式 2.2.4 第2课时 均值不等式的应用
+ 2
,当且仅当 x=y 时,等号成立.
2
能说 x+y 的最小值为 2 吗?能说 xy 的最大值是
提示:不能.最大(小)值必为常数,而 2 ,
+ 2
随
2
+ 2
吗?
2
x,y 的变化而变化.
2.设a,b均为正数.
(1)若 a+b 为定值 S,则当 a=b 时,积 ab 取最大值
1 2
生产x(x>0)件,每件产品的平均仓储时间为
天,且每件产品每天的仓储费
8
用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批
应生产产品多少件?
8
800+ ··1
解:由题意,得平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为
元,
又 x>0,
8
800+ ··1
则
=
800
当且仅当
1
1
(x+y)
3
=
9
,
+
9
即
+ = 3,
16
故所求最小值为 3 .
=
1
(10+
3
+
+
9
的最小值.
9 1
)≥3
3
9
x=4,y=4时,取等号.
10 + 2
9
·
=
16
.
3
1.应用均值不等式求最值,必须按照“一正、二定、三相等”的条件进行.若
人教B数学(新教材)必修第一册课件：2.2.4第2课时均值不等式的应用
第二章等式与不等式第2课时均值不等式的应用第二章等式与不等式考点证明不等式学习目标会利用均值不等式证明不等式问题核心素养逻辑推理会利用均值不等式解决与函解决实际问题b数关的实际问题数学建模解决恒成立问题会将不等式的恒成立问题,过分离参数转化为均值不等式问题求解逻辑推理、数学运算讲练互动已知a, b9 cW(O, +°°),且a+b+c = l・求证：~~1yr 丿探究点利用均值不等式证明不等式解惑•探究•突破OO【证明】因为a, b, cG(O, +°°), a+b+c = l9所以1=同理A* A*上述三个不等式两边均为正，分别相乘,得当且仅当a=b=c=^f等号成立.互动探究在本例条件下，求证：:+£+*$9.证明：因为 a, b, cG(O, + °°),且 “+方+c = l, 所以++出。
+方+0+"+心+心+。
+〃+(a rM3+2+2+2=9・当且仅当a=〃=c=f 时，等号成立.b=3+件辺0113圈利用均值不等式证明不等式的思路利用均值不等式证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的结构特征，若不能直接使用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等，使之达到能使用基本不等式的形式；若题目中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，当已知条件中含有“1”时，要注意“1”的代换.另外，解题时要时刻注意等号能否取到.1.已知a, b都是正实数，且ab=2f求证：（l+2a）（l+〃）M9. 证明：因为a, 〃都是正实数，且ab=2f所以寸而=4,所以（l+2«）（l+〃） = l+2a+方+2ab=5+2a+〃M5+4=9・即（1+勿）（1+方）$9・护方2 c22.已知a, b, c>0,求证：牛+7+［纹+方+c.2证明：因为a, b, c>0,所以利用均值不等式可得,+心2a,12 2 2 12 2—+cM2b, —+aM2c,所以〒+—+—+a+〃+cM2«+2方+2c, c a u c d2>22故彳+7+》Ma+b+c,当且仅当a=b=c时，等号成立.探究点酉利用均值不等式解实际应用题每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均某食品厂定期购买面粉, 已知该厂每天需用面粉6吨,每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元.求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少?【解】 设该厂每兀天购买一次面粉，其购买量为6x 吨. 由题意可知,面粉的保管费等其他费用为3X[6x+6(x-l)+6(x-2) + -+6Xl]=9x(x+l)(元).设平均每天所支付的总费用为y 元，则 J = ~[9x(x + 1) + 900] + 6X1 800 = 9兀 +型+ 10 809M故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用 最少.也+10 809=10 989(元),当且仅当％=響即x = 10时，等号成立.利用均值不等式解决实际问题的思路利用均值不等式解决应用问题的关键是构建模型，一般来说, 都是从具体的几何图形，通过相关的关系建立关系式.在解题过程中尽量向模型ax^~^2\[ab(a>09 b>09兀>0)上靠拢•1.某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产 的产品可获得的总利润刃单位：万元)与机器运转时间班单位: -X 2 + 18X -25(X EN*),则当每台机器运转解析：每台机器运转x 年的年平均利润为^=18—兀+丁，且 X \ X ) x>0,故［W18-2何=8,当且仅当x=5时等号成立，此时年 平均利润最大，最大值为8万元.答案：5 8年时，年平均利润最大，最大值是 万元•年)的关系为y =25、2・用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长.宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?解：设矩形菜园的长为x m＞宽为ym, 则2(x+j)=36, x+j = 18, 矩形菜园的面积为xjm2.可得巧W81,当且仅当x=j,即x=y=9时，等号成立.因此，这个矩形的长、宽都为9: 面积为81 m2.m时，菜园的面积最大，最大2働［3）不等式9x +1（常数a>0）,对一切正实数x 成立, 求。
2020新教材人教B版高中数学必修第一册课件：第二章 2.2 2.2.4 均值不等式及其应用
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
[解] (1)∵x>0，y>0，1x＋9y＝1， ∴x＋y＝1x＋9y(x＋y)＝yx＋9yx＋10≥6＋10＝16， 当且仅当yx＝9yx，1x＋9y＝1， 即 x＝4，y＝12 时，上式取等号． 故当 x＝4，y＝12 时，(x＋y)min＝16.
课后课时精练
【新知拓展】
1．由均值不等式变形得到的常见的结论
(1)ab≤a＋2 b2≤a2＋2 b2(a，b∈R)；
(2) ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a，b 均为正实数)；
(3)ba＋ab≥2(a，b 同号)；
(4)(a＋b)1a＋1b≥4(a，b 同号)； (5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
[解析] 当 a，b 是正数时，
a2＋abb≤ ab≤a＋2 b≤
a2＋2 b2(a，b∈R＋)，
令 b＝1，得a2＋a1≤ a≤a＋2 1.
又 a＞1，即 a≠b，故上式不能取等号，选 C.
[答案] C
核心概念掌握
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
解析
答案
[题型探究] 对一切正数 m，不等式 n＜m4 ＋2m 恒成立，求常数 n 的取值 范围．
核心素养形成
随堂水平测试
课后课时精练
解析
②因为 a∈R，a≠0 不符合均值不等式成立的条件，所以4a＋a≥2 4a·a＝ 4 是错误的；
③由 xy<0 得xy，yx均为负数，但在推导过程中将xy＋yx看成一个整体提出负 号后，－xy，－yx均变为正数，符合均值不等式成立的条件，故正确．
人教B版高中数学必修第一册 2-2-4《均值不等式及其应用》课件PPT
2 +2
值.
另外,在连续使用公式求最值时,取等号的条件很严格,要求同时满足
任何一次等号成立的字母取值存在且一致.
微思考
应用两个重要结论时,要注意哪些事项?
提示:应用时要注意三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取
得相等的值.即“一正二定三相等”.
即时训练
.
已知x,y>0,且x+4y=1,则xy的最大值为
1
1
1
1
解析:因为 x,y>0,且 x+4y=1,所以 xy=4x·
4y≤4 × 4(x+4y)2=16,当且仅
1
1
1
1
2
2
8
16
当 x=4y= ,即 x= ,y= 时,等号成立.所以 xy 的最大值为 .
1
答案:16
1.对均值不等式的理解
例1 (1)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(
答案:B
2.已知a,b∈R,且a2+b2=4,则ab(
)
A.有最大值2,有最小值-2 B.有最大值2,但无最小值
C.有最小值2,但无最大值 D.有最大值2,有最小值0
解析:这里没有限制a,b的正负,则由a2+b2=4,a2+b2≥2|ab|,得|ab|≤2,所以-2≤ab≤2,可知ab
的最大值为2,最小值为-2.
即
,
反思感悟 通过拼凑法利用均值不等式求最值的策略
拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意
以下几个方面的问题:
(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.
最新人教B版高中数学必修第一册第二章等式与不等式2.2.4 均值不等式及其应用
2.2.4 均值不等式及其应用课后篇巩固提升合格考达标练1.已知0<x<1,则当x (1-x )取最大值时,x 的值为( )A.13 B.12C.14D.230<x<1,∴1-x>0.∴x (1-x )≤(x+1-x 2)2=14,当且仅当x=1-x ,即x=12时,等号成立.2.(多选题)(2020江苏南京师大附中高一期中)已知a>1,b>1,且ab-(a+b )=1,那么下列结论正确的有( )A.a+b 有最大值2√2+2B.a+b 有最小值2√2+2C.ab 有最大值√2+1D.ab 有最小值2√2+3a+b=s ,ab=t ,由题意可得s>2,t>1,t-s=1,由均值不等式得s ≥2√t ,则t-1≥2√t ,由t>1可得t 2-2t+1≥4t ,则t ≥3+2√2,当且仅当a=b=√2+1时,等号成立;s ≥2√s +1,由s>2可得s 2-4s-4≥0,则s ≥2+2√2,当且仅当a=b=√2+1时,等号成立.故选BD . 3.已知a ,b 是不相等的正数,x=√a+√b√2,y=√a +b ,则x ,y 的关系是( )A.x>yB.x<yC.x>√2yD.y<√2x2=a+b+2√ab2<2(a+b )2=a+b ,y 2=a+b ,所以x 2<y 2,∵x>0,y>0,∴x<y. 4.(多选题)下列不等式一定成立的是( ) A.x 2+14>x (x>0)B.x+1x ≥2(x>0)C.x 2+1≥2|x|(x ∈R )D.1x 2+1>1(x ∈R )中,当x=12时,x 2+14=x ,所以A 不一定成立;B 中,当x>0时,不等式x+1x≥2,当且仅当x=1时,等号成立,所以B 一定成立;C 中,不等式x 2+1-2|x|=(|x|-1)2≥0,即x 2+1≥2|x|恒成立,所以C 一定成立;D 中,因为x 2+1≥1,所以0<1x 2+1≤1,所以D 不成立.5.(2021广东广州第二中学高一期末)已知x<3,则函数f (x )=4x -3+x 的最大值是 .1解析因为x<3,所以f (x )=3-(3-x )+43-x ≤3-2√(3-x )×43-x =3-4=-1.当且仅当3-x=43-x ,即x=1时等号成立.故函数f (x )的最大值是-1.6.已知x>0,y>0,且满足x 3+y 4=1,则xy 的最大值为 ,取得最大值时y 的值为 .2x>0,y>0且1=x3+y4≥2√xy12,所以xy ≤3.当且仅当x3=y4=12,即x=32,y=2时取等号. 7.求函数y=(x+4)(x+9)x(x<0)的最大值. y=(x+4)(x+9)x =x+36x+13,当x<0时,-x>0,-36x >0,(-x )+(-36x )≥2√(-x )(-36x )=12.所以y=13-[(-x )+(-36x)]≤13-12=1. 当且仅当-x=-36x,即x=-6,等号成立, 所以当x=-6时,y max =13-12=1.等级考提升练8.(多选题)下列说法正确的是( )A.x+1x 的最小值为2 B.x 2+1的最小值为1 C.3x (2-x )的最大值为2 D.x 2+7x 2+2的最小值为2√7-2x<0时,x+1x<0,故选项A 错误;∵x 2≥0恒成立,∴x 2+1≥1,故选项B 正确;∵3x (2-x )=-3(x-1)2+3≤3,当x=1时取等号,∴3x (2-x )的最大值为3,故选项C 错误;∵x 2+7x 2+2=(x 2+2)+7x 2+2-2≥2√(x 2+2)×7x 2+2-2=2√7-2,当且仅当x 2+2=7x 2+2时,等号成立,故选项D 正确.故选BD . 9.已知当x=a 时,代数式x-4+9x+1(x>-1)取得最小值b ,则a+b=( ) A.-3 B.2 C.3 D.84+9x+1=x+1+9x+1-5,由x>-1,得x+1>0,9x +1>0,所以由均值不等式得y=x+1+9x+1-5≥2√(x +1)×9x+1-5=1,当且仅当x+1=9x+1,即(x+1)2=9,所以x+1=3,即x=2时,等号成立.所以a=2,b=1,a+b=3.10.已知a>b>c ,则√(a -b )(b -c )与a -c2的大小关系是 .√(a -b )(b -c )≤a -c 2a>b>c ,∴a-b>0,b-c>0,∴a -c2=(a -b )+(b -x )2≥√(a -b )(b -c ).当且仅当b=a+c2时取等号. 11.若正数a ,b ,c 满足1a+4b+9c≤36a+b+c ,则2b+3ca+b+c= .由1a+4b+9c≤36a+b+c ,得(1a +4b +9c )(a+b+c )≤36,即1+b a +c a +4+4a b +4c b +9+9a c +9xc ≤36, 即ba +ca +4ab +4cb +9ac +9bc ≤22.又因为ba +ca +4ab +4cb +9ac +9bc =(ba +4ab )+(4cb +9bc )+(ca +9ac )≥22,当且仅当b=2a ,c=3a 时取等号.所以ba +ca +4ab +4cb +9ac +9bc =22,得b=2a ,c=3a.所以2b+3ca+b+c =4a+9aa+2a+3a =136. 12.已知不等式(x+y )(1x +ay )≥9对任意正实数x ,y 恒成立,求正实数a 的最小值.(x+y )(1x +ay )=1+a+yx +axy ,又x>0,y>0,a>0, ∴y x+ax y ≥2√y x ·axy =2√a , ∴1+a+y x+axy ≥1+a+2√a , ∴要使(x+y )(1x +ay )≥9对任意正实数x ,y 恒成立,只需1+a+2√a ≥9恒成立即可.∴(√a +1)2≥9,即√a +1≥3,∴a ≥4,∴正实数a 的最小值为4.新情境创新练13.若a>0,b>0,且(a+b )√ab =1. (1)求ab 的最大值;(2)是否存在a ,b ,使得12a +13b 的值为√63?并说明理由.∵(a+b )√ab =1,∴(a+b )=√ab. ∵a>0,b>0,∴a+b ≥2√ab ,当且仅当a=b 时取等号, ∴√ab≥2√ab ,∴ab ≤12. 当且仅当a=b 时取等号,∴ab 的最大值为12. (2)不存在.理由如下, ∵a>0,b>0,∴12a +13b ≥2√12a ·13b=√6ab ≥2√33,当且仅当a=b 时,等号成立.∵√63<2√33,∴不存在a ,b 使得12a +13b 的值为√63.。
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证明：因为 x>0，y>0，z>0，所以yx＋xz≥2 xyz>0，
xy＋yz≥2 yxz>0，xz＋yz≥2 zxy>0，
所以yx＋xzxy＋yzxz＋yz≥8
yz· xz· xyz
xy＝8，当且仅当
x＝y＝z
时等号成立．
分别对yx＋xz，xy＋yz，xz＋yz用基本不等式⇒同向不等式相乘．
题型二 利用基本不等式解决实际问题
ny＝－2n＋4n9－20≤－22 n·4n9－20＝12， 当且仅当 n＝4n9，即 n＝7 时上式取等号． 所以，当捕捞 7 年后年平均利润最大，最大是 12 万元．
状元随笔
1.盈利等于总收入－支出，注意支出，由两部分组成． 2．利用基本不等式求平均利润．
(2)设矩形的长与宽分别为 x 与 y，依题意得 2(x＋y)＝36，即 x ＋y＝18.
因为 x>0，y>0，所以128＝x＋2 y≥ xy， 因此 xy≤9，即 xy≤81.
当且仅当 x＝y 时，等号成立，由xx＝＋yy，＝18 可知此时 x＝y＝9. 因此，当矩形的长和宽都是 9 时，它的面积最大，最大面积为 81.
ca2＋a≥2 ca2·a＝2c， 当且仅当ca2＝a 时等号成立．
相加得ab2＋b＋bc2＋c＋ca2＋a≥2a＋2b＋2c， ∴ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
状元随笔
判断a，b，c，ab2，bc2，ca2 → 证ca2＋a≥2c → 得所证不等式
证ab2＋b≥2a
两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．
教材反思
利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问 题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等 式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的 变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或 最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．
方法归纳
(1)在利用 a＋b≥2 ab时，一定要注意是否满足条件 a>0，b>0. (2)在利用基本不等式 a＋b≥2 ab或a＋2 b≥ ab(a>0，b>0)时要 注意对所给代数式通过添项配凑，构造符合基本不等式的形式． (3)另外，在解题时还要注意不等式性质和函数性质的应用．
跟踪训练 1 已知 x>0，y>0，z>0. 求证：yx＋xzxy＋yzxz＋yz≥8.
型一 利用基本不等式证明不等式[经典例题] 例 1 已知 a、b、c>0，求证：ab2＋bc2＋ca2≥a＋b＋c.
【解析】 ∵a，b，c，ab2，bc2，ca2均大于 0，
∴ab2＋b≥2 ab2·b＝2a. 当且仅当ab2＝b 时等号成立．
bc2＋c≥2 bc2·c＝2b. 当且仅当bc2＝c 时等号成立．
跟踪训练 2 某渔业公司今年年初用 98 万元购进一艘渔船用于 捕捞，第一年需要各种费用 12 万元．从第二年起包括维修费在内 每年所需费用比上一年增加 4 万元．该船每年捕捞总收入 50 万元．
(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？ (2)问捕捞几年后的平均利润最大，最大是多少？
解析：(1)设该船捕捞 n 年后的总盈利 y 万元．则 y＝50n－98－12×n＋nn2－1×4 ＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102， ∴当捕捞 10 年后总盈利最大，最大是 102 万元． (2)年平均利润为
【解析】 (1)设矩形的长与宽分别为 x 与 y，依题意得 xy＝100. 因为 x>0，y>0，所以x＋2 y≥ xy＝10， 所以 2(x＋y)≥40.
当且仅当 x＝y 时，等号成立，由xx＝y＝y，100 可知此时 x＝y＝10. 因此，当矩形的长和宽都是 10 时，它的周长最短，最短周长 为 40.
[教材 P71 例 3] 例 2 (1)已知矩形的面积为 100，则这个矩形的长、宽各为多 少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？ (2)已知矩形的周长为 36，则这个矩形的长、宽各为多少时， 它的面积最大？最大面积是多少？
【分析】 在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，要求长与宽之和的两 倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽之和的两倍是一个常数，要求 长与宽的积的最大值．