14.2012年全国高中数学联赛模拟卷(七)(一试+二试,附详细解答)

2012年全国高中数学联赛模拟卷(七)第一试(考试时间：80分钟 满分：120分)姓名：_____________考试号：______________得分：____________一、填空题1、若33223(2011)x y ax bx y cxy dy +=+++，则248a b c d -+-= ． 答案：8-．解：令1,2x y ==-，条件式立即化为：3(2)248a b c d -=-+-．2、若一个椭圆的焦点和顶点分别是双曲线221916y x -=的顶点和焦点，则椭圆的方程为： ． 答案：2211625x y +=． 解：双曲线的两顶点为()0,3±，两焦点为()0,5±，故由条件，椭圆的两焦点为()0,3±， 两顶点为()0,5±，因此，3,5c a ==，22216b a c =-=，则椭圆的方程为2211625x y +=． 3、实数,x y 满足22236x y y +=，则x y +的最大值是 ．答案：1 解：令x y t +=，则x t y =-，由()22236t y y y -+=，得()22522320y t y t -++=，因y 为实数，则判别式()224234520t t ∆=+-⨯⨯≥t ≤≤． 4、四面体ABCD 中，,,,1CD BC AB BC CD ACAB BC ⊥⊥===平面BCD 与平面ABC 成045的二面角，则点B 到平面ACD 的距离为 ．解：DC AC ==作DE ⊥平面ABC ，垂足为E ，连,C E A E ，由三垂线逆定理，EC BC ⊥，所以045DCE ∠=，故12CE DE DC ===，1136ABCD ABC V DE S =⋅=，又因ABCE 为正方形，1AE =，则AD =，因此正三角形ACD ，设B 到平面ACD 的距离为h ，由1136ACD h S ⋅=，得3h =5、二次函数2y ax bx c =++的图像经过点(3,6)A 和1,62B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若其与X 轴的两个交点,C D的距离满足12CD =，则函数的具体表达式为y = ．答案：2253y x x =-+．解：由条件得16(3)()2y a x x -=-+，于是二次函数2y ax bx c =++又可表为253622a a y ax x =--+，设其两根为12,x x ，有1252x x +=，1212x x -=，12632x x a =-， 据22121212()()4x x x x x x +=-+，得2a =，代入得2253y x x =-+． 6、函数322()(1)x x f x x -=+的值域是 ． 答案：11[,]44-．解：2221()11x x f x x x-=⋅++，令tan x α=，则11sin 2cos 2sin 424f ααα=⋅=，由此， 1144f -≤≤，当tan ,tan 88x ππ=-时两边分别取得等号． 7、247cos cos cos cos 15151515ππππ--+= ．答案：12-．解：原式7244cos cos cos cos 2cos cos 2cos cos 15151515155155ππππππππ⎛⎫⎛⎫=+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 42cos cos cos 4cos sin sin515155610ππππππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭12cos sin 5102ππ=-=-． （注：由000000sin 722sin36cos364sin18cos18cos36==，则01sin18cos364=，即1c o s s i n 5104ππ=．）8、九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,,a a a ，若13579a a a a a ++++为一平方数，2468a a a a +++为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是 ． 答案：18000．解：设这九数为 4,3,2,1,,1,2,3,4a a a a a a a a a ----++++，则有，25a m =，34a n =，9S a =，则2254m n a ==，得 2345m n = ………①令112,5n n m m ==，得231110040m n =，所以 231152m n =，再取122m m =，125n n =， 化为 2222225m n =，取2210,2m n ==，可使左式成立，这时20,100n m ==，2000a =， 918000S a ==．二、解答题9、给定Y 轴上的一点(0,)A a （1a >），对于曲线212x y =-上的动点(,)M x y ，试求,A M 两点之间距离AM 的最小值（用a 表示）．解：如图，易求得曲线上诸点的坐标为：(0),0),(0,1)E F D当22x<，即x ≤≤212x y =- ……①；而当22x ≥时，曲线方程为212x y =- ……②，对于情形①，即x ≤≤M 位于顶点D 处时，距离AM 取得最小值1a -；对于情形②，即在x ≤x ≥2(,1)2x M x -，由于 2222221(1)(2)2124x AM x a x a a =+--=-++，因1a >，则22a >>于是，当x =时，AM；再比较AD 与AM ：令222()(1)(21)(4)f a AD AMa a a a =-=--+=-，则当14a <≤时，()0f a ≤，AD AM ≤，即最小值为1AD a =-； 而当4a >时，()0f a >，则最小值AM =10、各项均为正数的数列{}n a ，12,a a a b ==，且对满足m n p q +=+的正整数,,,m n p q 都有.(1)(1)(1)(1)p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++（1）当14,25a b ==时，求通项;n a（2）证明：对任意a ，存在与a 有关的常数λ，使得对于每个正整数对于每个正整数n ，都有1.n a λλ≤≤ 解：（1）由(1)(1)(1)(1)p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++得 121121.(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a --++=++++将1214,25a a ==代入化简得 1121.2n n n a a a --+=+所以11111,131n n n n a a a a ----=⋅++故数列1{}1nn a a -+为等比数列，从而11,13n nn a a -=+即31.31n n n a -=+可验证，3131n n na -=+满足题设条件. (2) 由题设(1)(1)m n m n a a a a +++的值仅与m n +有关,记为,m nb +则111.(1)(1)(1)(1)n nn n n a a a a b a a a a +++==++++考察函数 ()(0)(1)(1)a x f x x a x +=>++,则在定义域上有1,111()(),12,011a a f x g a a aa a ⎧>⎪+⎪⎪≥==⎨⎪⎪<<⎪+⎩故对*n N ∈， 1()n b g a +≥恒成立.又 222()(1)n n n a b g a a =≥+,注意到10()2g a <≤,解上式得n a ≤≤.. 11、用()P n 表示正整数n 的各位数字之和，求所有这样的三位数n ，使得满足：1(3)()3P n P n +=．解：由于(),(3)P n P n +都是正整数，则据条件，()P n 是3的倍数，因此n 与3n +都是3的倍数，设n abc =，且数n 加3后必须产生进位，则7c ≥，（因为，如果6c ≤，则数n 加3后不会产生进位，于是(3)()3()P n P n P n +=+>，矛盾）；并且b 不能是9，（这是因为，若9b =，则当9a =时，99n c =，数n 加3后成为1100c ，{}10,1,2c ∈，这时1(3)()3P n P n +<，当9a <时，9n a c =，若1113n a b c +=，则1111,0,310a a b c c =+==+-，由3(3)()P n P n +=，得[]3(1)0(310)9a c a c ++++-=++，即2()27a c +=，矛盾！所以9b <；今由[]3(1)(310)a b c a b c ++++-=++得9a b c ++=，其中1,7,8a c b ≥≥≤，依次考虑,,c a b 的取值，得到三个数：117,207,108，验证知，它们皆合题意．第 二 试（加试）一、ABC ∆中，D 是角A 平分线上的任一点，,E F 分别是,AB AC 延长线上的点，且CE ∥BD ，BF ∥CD ；若,M N 分别是,CE BF 的中点；证明：AD MN ⊥． 证：如图，延长,BD CD ，分别与,AC AB 交于,H G ，注意,DBG DCH ∆∆关于顶点D 的等高性及等角性，由面积比定理，BG DBG DB DG CH DC DHDCH ∆⨯==⨯∆，（记号∆表示面积），所以BG DC DH CH DB DG ⋅⋅=⋅⋅ …… ① 又由CE ∥BD ，BF ∥CD ，得 GB GD BE DC =，HC HDCF DB=，所以BE BG DC DH CF CH DB DG ⋅⋅=⋅⋅ ……②，由①、②得1BECF=，即BE CF = ……③． 取BC 的中点K ，据中位线知，MK ∥BE ,12MK BE =,NK ∥CF ,12NK CF =．由③，KM KN =，作角分线KP ，则K P M N ⊥，因MK ∥AB ，NK ∥AC ，所以其角分线AD∥KP ，因KP MN ⊥，得AD MN ⊥． 二、在锐角三角形ABC 中，证明：()()()()()()sin sin sin sin sin sin 0sin 2sin 2sin 2A B A C B A B C C A C B A B C------++≥．证：由于()()()()sin sin sin cos sin sin cos sin sin 22sin cos A B A C A B A C B A A C A A A-----=()()cos sin cos cos sin sin sin cos cos sin 2cos 2sin B A C A C B A C A C A A--=-cos cos sin cos sin sin cos sin sin cos 2cos 222sin B C A B C B C B C A A A =--+=()sin cos cos sin sin sin cos 2cos 22sin B C B C A B C AA A +-+ =cos cos sin sin sin sin cos 2cos 22sin B C A A B C AA A-+；同理有 ()()sin sin sin 2B A B C B--=cos cos sin sin sin sin cos 2cos 22sin C A B B C A BB B -+； ()()sin sin sin 2C A C B C--=cos cos sin sin sin sin cos 2cos 22sin A B C C A B CC C -+．因此所证不等式化为：sin sin cos cos cos sin sin sin cos cos cos sin ()()sin cos sin cos A B C A B C B C A B C A C C A A +++sin sin cos cos cos sin ()sin sin sin sin cos C A B C A B A B C B B++≥++ (1)令cot ,cot ,cot x A y B z C ===，则,,,1x y z R xy yz zx +∈++=，而 sin sin cos cos cos sin sin cos A B C A B C C C+1z z=2=sin sin cos cos cos sin sin cos B C A B C A A A+2=，sin sin cos cos cos sin sin cos C A B C A BB B+2=222≥+……○2．注意 ()()221x xy yz zx x x y x z +=+++=++；()()221y xy yz zx y x y y z +=+++=++，()()221z xy yz zx z x z y z +=+++=++；○2化为222≥……○3 此式关于对称，故可设，，由于22x x y z yz x y x z -++--==2y z y x --2z x z y --=．x y x z --y z y x --0z x z y --≥ …… ○4 因为0x y x z --≥，y z y x --z x z y --()y z =-)=()y z -)0≥，故○4成立， 因此结论得证．证二：据对称性，不妨设A B C ≥≥，则00006090,90,45A B C B A ≤<+><≤，所以()()00sin 2sin 1802sin 1802sin 2A A B B =-≤-=，()()()()sin sin sin sin sin 2sin 2A B B C A B B C A B----≥，则()()()()sin sin sin sin sin 2sin 2B A B C B A B C B A----≥，于是()()()()sin sin sin sin sin 2sin 2A B A C B A B C A B----+()()()()sin sin sin sin 0sin 2sin 2A B A C B A B C A A ----≥+≥；因()()sin sin 0sin 2C A C B C--≥，所以()()()()()()sin sin sin sin sin sin 0sin 2sin 2sin 2A B A C B A B C C A C B A B C------++≥．三、如果既约分数n m 满足：2011,,mn m n ≤为正整数，则称nm为“兔分数”；现将所有“兔分数”按递增顺序排成一个数列312123,,,nn n m m m ，称为“兔数列”；证明：对于兔数列中的任两个相邻项11,k k k k n nm m ++，都满足：111k k k k m n m n ++-=．证：对任一正整数n ，将兔数列中分母不大于n 的子数列记为n T ，当1n =，数列11232011,,,,1111T ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 显然满足条件； 对n 归纳：据数列1T 知，2n <时结论成立，设结论对于n k <成立，考虑数列k T ，注意1k k T T -⊂，而k T \1k T -中的分数ab满足，分母b k =，(),1a b =；设,,,1a c a c bc ad b d b d ⎛⎫<-= ⎪⎝⎭是1k T -中的一对相邻分数，如果它们在k T 中也相邻，则显然满足条件；如果它们在k T 中不相邻，即有k T \1k T -中的分数mk插入它们之间，其中2011mk ≤，(),1m k =．a m c b k d <<，（插入的分数中总有一个与a b 或c d相邻，不妨设m k 与c d 相邻），于是111c m m a b d bd d k k b dk bk bdk+⎛⎫⎛⎫=-+-≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……①，所以k b d ≥+ …②， 又易知，分数a c b d ++也介于,a c b d 之间，（这是由于，()10a c a b d b b b d +-=>++，()10c a c d b d d b d +-=>++），注意()()1b a c a b d bc ad +-+=-=，可知a c +与b d +互质，即a c b d++为既约分数．如果()()2011a c b d ++>，注意2011mk ≥及k b d ≥+，相乘得a c m +>，而由()2011m b d mk +≤≤，得k mT b d∈+， 因m m a c c k b d b d d +≤<<++，且,m ck d 在k T 中相邻，所以k b d =+，且①中成立等号， 则1c m c a c c a cd k dk d b d d k++-==-=-+，得a c m +=，这与a c m +>矛盾，因此，()()2011a c b d ++≤；如果分数1\k k a cT T b d-+∈+， 则b d k += ……③， 如果,,a a c cb b d d++是k T 中的相邻项，则对于前一对分数而言，有 ()()1b a c a b d bc ad +-+=-=；而对于后一对分数而言，有()()1c b d d a c bc ad +-+=-=；因此插入a cb d++后的分数列合于条件； 又由③知，①式成立等号，于是有1c m d k dk -=以及1m a k b bk-=，而由()11c m c a c c a cd k dk d b d d b d d k++-===-=-++，所以a c m +=；……④ 因此得m a c k b d +=+；并且a c b d ++是k T 中能够插入1k T -中的一对相邻分数a b ，c d之间的唯一分数，即是说，在由数列1k T -过度到数列k T 时，不论相邻分数间是否插入了新的分数，所得数列k T 都满足条件，因此对于每个正整数n ，结论成立．特别是数列2011T 满足条件，故本题得证．四、从圆周的九等分点中，任取五点染为红色；证明：存在以红点为顶点的不同的六个三角形126,,,∆∆∆ ，满足：1∆≌2∆；3∆≌4∆；5∆≌6∆．证：注意如下事实：()1、以,A D B C 为底的等腰梯形ABCD 中，存在两对全等三角形：ABC ∆≌DCB ∆；BAD ∆≌CDA ∆．并且梯形的每个顶点都在其中一对全等三角形中两次出现．()2、若M 是等腰梯形ABCD 两底,AD BC 中垂线上的任一点，则MAB ∆≌MCD ∆．（一）、先证明，五个红点中，必有某四点构成等腰梯形的四个顶点：不妨设，圆周上九等分点相邻两个分点间的弧长为1．一条弦，如果其所对的劣弧长为k ，则称该弦的“刻度”为k ，于是，以分点为端点的弦的刻度只有1,2,3,4四种情况，显然，两弦相等当且仅当其刻度相等；五个红点，共得2510C =条红端点的弦，其中必有三条弦具有相同的刻度，由于对每个k ，同一点只能发出两条刻度为k 的弦．注意到以九等分点为端点的任一条弦不为直径，因此，若两条等弦无公共端点，则其四个端点便构成等腰梯形的四个顶点；若这三条等弦不围成三角形，则其中有两条等弦无公共端点，于是其四个端点构成等腰梯形的四个顶点；若这三条等弦围成三角形，则是正三角形，于是这三弦的刻度皆为3．若还有刻度为3的弦l ，则该弦与正三角形的每条边无公共端点，这时弦l 与正三角形的每一条边所形成的四个端点都构成等腰梯形的四个顶点；若除了正三角形的边之外，再无刻度为3的弦，去掉这三条弦，剩下的7条弦，只有1,2,4这三种刻度，其中必有三条弦具有相同的刻度，这三条等弦不可能围成三角形，因此其中有两条等弦无公共端点，于是其四个端点便构成等腰梯形的四个顶点；（二）、由于弦的刻度只有1,2,3,4四种情况，故等腰梯形上下两底的“刻度对”只有()1,2,()1,3,()1,4,()()()2,3,2,4,3,4这六种可能，顺次如以下六图所示．（以下用梯形两底的“刻度对”表示相应的梯形图）． 据()1知，每个等腰梯形中都存在两对全等三角形；再考虑第五个红点，若该红点为两底中垂线上的点M ，据()2知，存在另一对全等三角形：MAB ∆≌MDC ∆；若该红点异于点M ，据图形的对称性，只需考虑红点为P 或Q 的情况；我们来证明，无论增加红点P 或Q ，图形中都将新增一个等腰梯形．若增加红点P ，则在图()1,2中，增加了梯形PBAD ；在图()1,3中，增加了梯形PDCB ；在图()1,4中，增加了梯形PCBD ；在图()2,3中，增加了梯形PBAD ；在图()2,4中，增加了梯形PADC ；在图()3,4中，增加了梯形PBAC ；若增加红点Q ，则在图()1,2中，增加了梯形QDBC ；在图()1,3中，增加了梯形QADC ；在图()1,4中，增加了梯形QBCD ；在图()2,3中，增加了梯形QABC ；在图()2,4中，增加了梯形QCAB ；在图()3,4中，增加了梯形QABD ；而据()1，新增红点必在新增梯形的一对全等三角形中两次出现．也就是增加了一对新的全等三角形．因此，给出的五个红点中，存在六个以红点为顶点的三角形，它们可配成全等的三对．即证。