3.4曲线与方程 第1课时 课件(北师大版选修2-1) (1)
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曲线与方程 课件-北师大版高中数学选修2-1 优秀教学课件
第二章 圆锥曲线与方程
曲线与方程（第一课时）
Y
O
X
直线与圆的方程的一般形式分别是
直线：Ax＋By＋C＝0. （A、B不同时为0）
圆：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （D2＋E2－4F＞0）
曲线和方程之间有什么对应关系呢？
分析特例归纳定义
探究：（1）求第一、三象限里两坐标轴间夹角 平分线的坐标满足的关系
2.设 M1(x1, y1)是方程f(x,y)=0的解， 证明点 M1(x1, y1在) 曲线C上.
X
Y
知识迁移升华
O
请同学们完成以下出题任务：
第一组：列举一个方程与曲线，使它们的关系满足条件①不满足条件②
第二组：列举一个方程与曲线，使它们的关系不满足条件①满足条件②
第三组：继续研究概念及正反实例，准备迎接第一、二组同学的挑战。
Y
课堂小结
O
X
上联：曲线点方程解线无杂点 下联：方程解曲线点解无缺漏 横批：曲线方程
而 x1 , y1 正是点 M1到纵轴，横轴的距离，因此点 M1到这
两条直线的距离的积是常数 k ,即点 M1是曲线的点.
由(1）（2)可知，满足条件的点的轨迹方程是 xy k
Y
步骤总结
O
X
证明已知曲线的方程的方法和步骤：
1.设 M(x0, y0) 是曲线C上任一点，证明 (x0,y0)是方程f(x0,y0)=0的解.
方程是C：xy k
y
证明：（1）设 M(x0, y0) 是曲线C上任一点.
因为点 M与 x 轴的距离为 y0 ,与 y 轴的距离为 x0 ，
RM
所以 x0 y0 k, x0 Байду номын сангаасy0 k
曲线与方程（第一课时）
Y
O
X
直线与圆的方程的一般形式分别是
直线：Ax＋By＋C＝0. （A、B不同时为0）
圆：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. （D2＋E2－4F＞0）
曲线和方程之间有什么对应关系呢？
分析特例归纳定义
探究：（1）求第一、三象限里两坐标轴间夹角 平分线的坐标满足的关系
2.设 M1(x1, y1)是方程f(x,y)=0的解， 证明点 M1(x1, y1在) 曲线C上.
X
Y
知识迁移升华
O
请同学们完成以下出题任务：
第一组：列举一个方程与曲线，使它们的关系满足条件①不满足条件②
第二组：列举一个方程与曲线，使它们的关系不满足条件①满足条件②
第三组：继续研究概念及正反实例，准备迎接第一、二组同学的挑战。
Y
课堂小结
O
X
上联：曲线点方程解线无杂点 下联：方程解曲线点解无缺漏 横批：曲线方程
而 x1 , y1 正是点 M1到纵轴，横轴的距离，因此点 M1到这
两条直线的距离的积是常数 k ,即点 M1是曲线的点.
由(1）（2)可知，满足条件的点的轨迹方程是 xy k
Y
步骤总结
O
X
证明已知曲线的方程的方法和步骤：
1.设 M(x0, y0) 是曲线C上任一点，证明 (x0,y0)是方程f(x0,y0)=0的解.
方程是C：xy k
y
证明：（1）设 M(x0, y0) 是曲线C上任一点.
因为点 M与 x 轴的距离为 y0 ,与 y 轴的距离为 x0 ，
RM
所以 x0 y0 k, x0 Байду номын сангаасy0 k
3.2抛物线 第1课时 课件(北师大版选修2-1) (1)
一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线l(抛物线的准线)；一个
定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1)．
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2．利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离
转化为到准线的距离，这一相互转化关系会给解题带来方
便．要注意灵活运用定义解题． 3．在抛物线的定义中，焦点F不在准线l上，这是一个重 要的隐含条件，若F在l上，则抛物线退化为一条直线． 4．标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离，
[解析] 如图把点 B 的横坐标代入 y2＝4x 中， 得 y＝± 12， 因为 12>2，所以 B 在抛物线内部，自 B 作 BQ 垂直准线于 Q， 交抛物线于 P1. 此时，由抛物线定义知：|P1Q|＝|P1F|. 那么 |PB| ＋ |PF|≥|P1B| ＋ |P1Q| ＝ |BQ| ＝ 3 ＋ 1 ＝4. 即最小值为 4.
3
知能自主梳理
7
名师辩误作答
4
学习方法指导
8
课堂巩固训练
5
思路方法技巧
9
课后强化作业
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知能目标解读
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1．了解抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程， 能根据条件确定抛物线的标准方程． 2．通过抛物线的定义的学习，加深离心率的理解． 3．通过对抛物线的标准方程的学习，培养学生数形结合、
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[点评] 解法二利用抛物线的定义把到焦点的距离转化为 到准线的距离，既快捷又方便，要善于转化．
高中数学北师大选修2-13.4.1曲线与方程课件.
∴轨迹是过定点(1,2)且垂直于3x＋4y－5＝0的直线． 答案：直线
1．直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何 量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达， 那么只需把这种关系转化成含有数值的表达式，通过化 简整理便可得到曲线的方程，这种求曲线方程的方法是 直接法．
2．用直接法求曲线方程的一般步骤为： (1)建立适当的坐标系，设出动点坐标； (2)列出等量关系； (3)用坐标条件化为方程f(x，y)＝0；
曲线上的点”，则这个方程可能只是部分曲线的方 程，而非整个曲线的方程.
二、求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)． (3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率
公式等将其转化为x，y的方程式，并化简． (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹 方程．
解析：设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝ 0得2x－y＋5＝0. 答案：D
3．已知点F( 点M的轨迹是
，0)，直线l：x＝－
，点B是l上的动点，
过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则 ( )
A．双曲线
C．圆
B．椭圆
D．抛物线
解析：由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨 迹是以F为焦点，l为准线的抛物线． 答案：D
三、曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)
＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的
实数解，若此方程组 无解 ，则两曲线无交点．
1．设k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1表示的曲
1．直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何 量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达， 那么只需把这种关系转化成含有数值的表达式，通过化 简整理便可得到曲线的方程，这种求曲线方程的方法是 直接法．
2．用直接法求曲线方程的一般步骤为： (1)建立适当的坐标系，设出动点坐标； (2)列出等量关系； (3)用坐标条件化为方程f(x，y)＝0；
曲线上的点”，则这个方程可能只是部分曲线的方 程，而非整个曲线的方程.
二、求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系． (2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)． (3)列式——列出动点P所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率
公式等将其转化为x，y的方程式，并化简． (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹 方程．
解析：设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝ 0得2x－y＋5＝0. 答案：D
3．已知点F( 点M的轨迹是
，0)，直线l：x＝－
，点B是l上的动点，
过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则 ( )
A．双曲线
C．圆
B．椭圆
D．抛物线
解析：由已知：|MF|＝|MB|.由抛物线定义知，点M的轨 迹是以F为焦点，l为准线的抛物线． 答案：D
三、曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)
＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的
实数解，若此方程组 无解 ，则两曲线无交点．
1．设k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1表示的曲
北师大版数学高二曲线与方程(第一课时)参考教案 北师大版选修2-1 (2)
高中数学 曲线与方程（第一课时）参考教案 北师大版选修2-1（2）一、教学目标：1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义及其对应关系，感受数形结合的基本思想；2．根据曲线方程的概念解决一些简单问题．二、教学重点，难点：教学重点：曲线方程的概念 ；教学难点：曲线方程概念的理解．三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）．问题情境1．情境： 在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．2．问题： 怎样理解这个表述？（二）．学生活动在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．这句话的含义是，圆C 上的点的坐标(,)x y 都是方程222()()x a y b r -+-=的解，且以方程222()()x a y b r -+-=的解为坐标的点都在圆C 上．（三）．新知探究1、圆的方程及其意义2、两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x －y =0.这就是说，如果点M （x 0,y 0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x 0=y 0，那么它的坐标（x 0,y 0）是方程x －y=0的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程x －y =0的解，即x 0=y 0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.3、函数y =x 2的图象是关于y 轴对称的抛物线.这条抛物线是所有以方程y =x 2的解为坐标的点组成的.这就是说，如果M （x 0,y 0）是抛物线上的点，那么（x 0,y 0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程y =x 2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上，这样，我们就说y =x 2是这条抛物线的方程.4、在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个方程F (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线c 上的点的坐标都是方程F (x ,y )=0的解；（2）以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线c 上的点那么，方程F (x ,y )=0叫做曲线c 的方程；曲线c 叫做方程F (x ,y )=0的曲线.5．从集合的角度看，曲线c 上所有点组成的集合记作A ；B 是所有以方程F (x ,y )=0的实数解为坐标的点组成的集合关系(1)指集合A 是集合B 的子集，关系(2)指集合B 是集合A 的子集．这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：B A A B B A =⇔⎭⎬⎫⊆⊆)2()1( 一般地，如果曲线C 上点的坐标(,)x y 都是方程(,)0f x y =的解且以方程(,)0f x y =的解(,)x y 为坐标的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0f x y =的曲线．（四）．知识运用例1．判断点(2,，(3,1)是否是圆2216x y +=上．分析：判断点是否在曲线上，就看该点的坐标是否是这个曲线方程的解，即点坐标是否满足曲线方程．解：∵22241216+=+=，即点(2,的坐标是方程2216x y +=的解， 所以该点在圆上．∵22311016+=≠，即点(3,1)的坐标不是圆方程2216x y +=的解，所以该点不在这个圆上．例2．已知一座圆拱桥的跨度是36m ，圆拱高为6m ，以圆拱所对的弦AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy （如图所示），求圆拱的方程．解：依据题意，圆拱桥所在圆的圆心在y 轴上，可设为1(0,)O b ，设圆拱所在圆的半径为r ，那么圆上任意一点(,)P x y 应满足1O P r =，即 22(0)()x y b r -+-=即222(0)()x y b r -+-=∵点(18,0),(0,6)B C 的圆上， ∴222222(180)(0)(00)(6)b r b r ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩解得2430b r =-⎧⎨=⎩ 由于圆拱只是它所在的圆位于x 轴上方的一部分（包括x 轴上的点），所以，圆拱的方程是222(24)30(06)x y y ++=≤≤例3．画出方程的曲线：0log log =-x y y x ． 解：由0log log =-x y y x ，得：⎪⎩⎪⎨⎧≠≠±=11lg lg y x x y ，即原方程的曲线等价于)1,0(1≠>=x x xy 或)1,0(≠>=x x x y ，（图略）． 说明：（1）围绕曲线的方程和方程的曲线说明；（2）方程的变形要做到同解变形。
北师大版高中数学选修2-1课件：3.4.1曲线与方程
方程不动，曲 线 ： 修改曲线
y
(1,1)
O
x
概念辨析
第二组：
曲 线 ：OAB中AB边 上 的 中 线 ， 其 中
O(0，0), A(2，0), B(0，2); 方程：x y 0. 曲线不动， 方程：x y 0(0 x 1) 修改方程
方程不动， 曲线： y B 修改曲线
O Ax
（3）曲线：到坐标原点距离为2的圆在x轴上方的部分； 方程：x 4 y2。
概念辨析
问题3：能否将三组曲线与方程其中一个加以修改，使得 曲线是方程 的曲线，方程是曲线的方程？
第一组：曲线：过点（1,1） 且斜率为1的直线; 方 程 ：y 1 1. x 1
曲线不动，方程：y x 修改方程
时 难 入 微
时 少 直 观
。，。，
深化理解
证明：圆心为坐标原点，半径等于5的圆的方程是
x2 y2 25。
证明：
一方面，设 P( x0 , y0 )是已知圆上任意一点，由
于点P到圆心O的距离等于5，所以有：
x02 y02 5,即：x02 y02 25 这说明圆上任一点的坐标 ( x0 , y0 )都是方程 x2 y2 25 的一组解。
方程的解
判断点A(4，2), B(3,4)是否在这个圆上？
深化理解
思考:
前面，我们推导过焦点为 F1(c,0), F2(c,0),长轴长
为 2a 的椭圆方程，主要过程如下：
以 直 线F1, F2为x轴 ， 以 线 段F1F2的 中 垂 线 为y轴 建 系 设M（x, y)是 椭 圆 上 任 意 一 点 ， 由定 义| MF1 | | MF2 | 2a
概念辨析
3.4曲线与方程 第1课时 课件(北师大版选修2-1)
方程；反过来，这条曲线就叫作方程的曲线．
第三章
3.4
第1课时
在曲线的方程的定义中，曲线上的点与方程的解之间的关
系(1)和(2)缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方程 的任意一个实数解而言的．从集合的角度来看，设A是曲线C上 的所有点组成的点集，B是所有以方程f(x，y)＝0的实数解为坐 标的点组成的点集．则由关系 (1) 可知 A⊆B ，由关系 (2) 可知
第三章
圆锥曲线与方程
第三章
3.4
第1课时
第三章
3． 4
第1课时
曲线与方程
曲线与方程、圆锥曲线的共同特征
第三章
3.4
第1课时
1 2 重点难点点拨
知能目标解读 6 探索拓研创新
3
知能自主梳理
7
名师辩误作答
4
学习方法指导
8
课堂巩固训练
5
思路方法技巧
9
课后强化作业
第三章 3.4 第1课时
知能目标解读
第三章
一般由已知条件列出等式，再将点的坐标代入这个等式，就得
到x、y的方程，于是符合某种条件的点的集合，就变换到x、y 的二元方程的解的集合，当然要求两集合之间有一一对应的关 系，也就是：
第三章 3.4 第1课时
(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上． 这样一来，一个二元方程也就可以看作它的解所对应的点 的全体组成的曲线；二元方程所表示的 x、y之间的关系，就是 以(x ，y) 为坐标的点所符合的条件．这样的方程就叫作曲线的
①根据已知条件，求出表示曲线的方程；
②通过曲线的方程，研究曲线的性质．
第三章
3.4
2019北师大版高中数学选修2-1课件：3.4.1 曲线与方程
新课导入
[导入一] 情景引入 幻灯片展示：现实生活中飞逝的流星，雨后的彩虹，古代的石拱桥和现代繁华都市 的立交桥的图片． [导入二] 点的问题解决了，我们下面来研究曲线，由于点运动成为线，因此我们需要找到一 个曲线上所有点的坐标都满足的一个方程，从而用方程来代替曲线，研究方程的性 质，就等同于研究曲线的性质．但满足什么样的条件时，曲线与方程才能够相互代 替呢？ 学完这节课，我们就知道问题的答案了.
考点类析
考点四 定义法求动点轨迹
[答案] (1)D
考点类析
考点类析
【变式】 已知圆C:x2+(y3)2= 9,过原点作圆C的弦OP,求OP 的中点Q的轨迹方程.
[小结]如果所给几何条件恰好符合已学曲线的定义, 则可直接利用这些已学曲线的方程写出动点的轨 迹方程.
备课素材
1．概念法
在判断曲线与方程时，常常利用曲线与方程的概念．
考点类析
例3 (2)设不等边三角形 ABC的外心与重心分别为 M,G,若A(-1,0),B(1,0)且 MG∥AB,求△ABC的顶点C 的轨迹方程.
考点类析
【变式】 已知△ABC的两顶点A,B的坐标分别为A(0,0),B(6,0),顶点C在曲线y=x2+3 上运动,求△ABC重心的轨迹方程.
[小结] 利用代入法求轨迹方程是一种常见题型,难度适中.代入法(或相关点法)适 用于已知一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹方程的问题.
[答案] (1)D [解析]设到x轴、y轴的距离之积等于 常数k(k>0)的点为P(x,y),则|x||y|=k,所 以点P的轨迹在第一、二、三、四象 限.
考点类析
例2 (2)已知两定点 A,B,动点P到A与B的距 离的比值为正数λ,求点 P的轨迹方程,并说明点 P的轨迹是什么曲线.
数学北师大选修2-1课件：第三章 圆锥曲线与方程 习题课1
A.1������62 + ���9���2=1 B.1������62 + ���1���22=1
C.���4���2 + ���3���2=1
D.���3���2
+
������2 4
=1
解析:因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,所以
|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
反思感悟解决直线与椭圆的位置关系问题,一般采用代数法,即 将直线方程与椭圆方程联立,通过判别式Δ的符号决定位置关系.同 时涉及弦长问题时,往往采用设而不求的办法,即设出弦端点的坐 标,利用一元二次方程根与系数的关系,结合弦长公式进行求解.
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直线与椭圆的位置关系问题 【例2】 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 思维点拨:(1)将直线方程与椭圆方程联立,根据判别式Δ的符号,建 立关于m的不等式求解;(2)利用弦长公式建立关于m的函数关系式, 通过函数的最值求得m的值,从而得到直线方程.
圆方程
������2 ������2
+
������������22=1
(a>b>0)联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二
次方程,记该方程的判别式为Δ.那么:若Δ>0,则直线与椭圆相交;若
Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.
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(如此例)．
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2，若l1交x轴于A点，
l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．
[ 解析 ] 解法一：如图所示，设点
A(a,0)，B(0，b)，M(x，y)，因为 M 为线 段 AB 的中点，所以 a＝2x，b＝2y，即 A(2x,0)， B(0,2y)． 因为 l1⊥l2， 所以 kAP· kPB 4－0 4－2y ＝－1.而 kAP＝ (x≠1)，kPB＝ ， 2－2x 2－0
一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足
某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建 立了如下的关系： 曲线上点的坐标都是这个方程的解 (1)__________________________________ ； 以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 (2)____________________________________ ． 方程的曲线 那么，这条曲线叫作______________，这个方程叫作 曲线的方程 ______________ ．
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方法三 a2(x≠± a)．
由△ ABC 是直角三角形可知 |OC| ＝ |OB| ，所以
x2＋y2＝a(x≠± a)，化简得直角顶点 C 满足的方程为 x2＋y2＝
[点评] 坐标系的选取，一般将定点或定直线选在坐标轴 上，原点有时选在定点处较为方便，有时也要考虑“对称”性
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本节重点：曲线和方程的概念；确定曲线的方程．圆锥曲 线的共同特征． 本节难点：曲线与方程的关系；寻求动点所满足的几何条
件．圆锥曲线统一定义的应用．
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
知能自主梳理
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
解法二： 设 M ( x， y)， 则易知 A、 B 两点的坐标分别是(2x,0)， 1 (0,2y) ， 连 结 PM. 因 为 l1 ⊥ l2 ， 所 以 |PM| ＝ 2 |AB|. 而 |PM| ＝ x－22＋y－42， |AB|＝ 2x2＋2y2， 所以 2 x－22＋y－42＝ 4x2＋4y2， 化简，得 x＋2y－5＝0 为所求轨迹方程．
2．掌握曲线的方程和方程的曲线的概念．
3．掌握求曲线方程的一般步骤． 4．结合已学过的曲线，了解曲线与方程的对应关系，进 一步感受数形结合的基本思想． 5．了解圆锥曲线的统一定义．
6．能解决椭圆和双曲线第二定义的常见问题．
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重点难点点拨
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第三章
圆锥曲线与方程
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第三章
3．4
第1课时
曲线与方程
曲线与方程、圆锥曲线的共同特征
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1 2 重点难点点拨
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判断下列结论的正误，并说明理由． (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝0；
(2)到x轴距离为2的点的直线方程为y＝－2；
(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy＝ 1； (4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为BC 中点，则中线AD的方程为x＝0.
5．过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关
的数，当椭圆的焦点落在y轴上时，焦半径公式为：|PF1|＝a＋ ey1，|PF2|＝a－ey1.
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6．解题时可以把椭圆、双曲线上一点到焦点的距离转化
为到准线的距离，简化计算．
7．如果遇到有动点到两定点距离的问题，应自然联想到 椭圆、双曲线的第一定义，如果遇到有动点到一个定点及定直 线的距离问题，应联想到椭圆、双曲线的第二定义．
即(2a)2＝(x＋a)2＋y2＋(x－a)2＋y2，化简得 x2＋y2＝a2.依题意可 知 x≠± a. 故所求直角顶点 C 满足的方程为 x2＋y2＝a2(x≠± a)． 方法二 由△ ABC 是直角三角形可知 AC ⊥ BC ，所以 y y kAC· kBC＝－1，则 · ＝－1(x≠± a)，化简得直角顶点 C 满 x＋a x－a 足的方程为 x2＋y2＝a2(x≠± a)．
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[解析] (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x＝3.
∴结论不正确． (2)因到x轴距离为2的点的直线方程还有一个y＝2，即不 具备完备性． ∴结论错误．
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般由已知条件列出等式，再将点的坐标代入这个等式，就得到
x、y的方程，于是符合某种条件的点的集合，就变换到x、y的 二元方程的解的集合，当然要求两集合之间有一一对应的关系， 也就是：
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(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上． 这样一来，一个二元方程也就可以看作它的解所对应的点 的全体组成的曲线；二元方程所表示的x、y之间的关系，就是 以(x，y)为坐标的点所符合的条件．这样的方程就叫作曲线的
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1．圆锥曲线的共同特征 圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距 离之比为定值e. 0＜e＜1 时，圆锥曲线是椭圆；当________ e ＞1 当__________ 时，圆
＝1 锥曲线是双曲线；当e ________ 时，圆锥曲线是抛物线．
知能目标解读 6 探索拓研创新
3
知能自主梳理
7
名师辩误作答
4
学习方法指导
8
课堂巩固训练
5
思路方法技巧
9
课后强化作业
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知能目标解读
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1．了解曲线上的点集与方程的解集之间的一一对应关 系．
求曲线的方程
已知 Rt△ABC，|AB|＝2a(a＞0)，求直角顶点 C 满足的方程．
[解析] 以AB所在直线为x轴，AB中点为坐标原点，建立
如图所示的直角坐标系，则有A(－a,0)，B(a,0)，设顶点C(x， y)．
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方法一
由△ABC 是直角三角形可知|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，
Fx，y＝0 Gx，y＝0
的实数解就可以得到．
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4．曲线与方程的基本思想是在坐标系的基础上，用坐标
表示点，用方程表示曲线，通过研究方程的特征来研究曲线的 性质． 那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方 程．
[答案]C [分析] 从“曲线的方程”和“方程的曲线”两方面判断．
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[解析] 直接法：原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是 曲线l上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命
题即“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线l
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8．选取坐标的常见方法：
(1)若条件中只出现一个定点，常以定点为原点建立直角坐 标系； (2)若已知两定点，常以两定点的中点为原点，两定点所在 的直线为x轴建立直角坐标系； (3)若已知两条互相垂直的直线，则以它们为坐标轴建立直 角坐标系；
2．圆锥曲线的统一定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离的比等 于常数e的点的集合叫作圆锥曲线． 这个定点F叫作圆锥曲线的焦点，这条定直线l叫作圆锥曲
线的准线，常数e叫作圆导 ·北师大版 ·数学 ·选修2-1
学习方法指导
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2 2－y 所以 · 1 ＝－1(x≠1)． 1－x 整理得，x＋2y－5＝0(x≠1)． 因为当 x＝1 时，A、B 的坐标分别为(2,0)，(0,4)，所以线 段 AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程 x＋2y－5＝0. 综上所述，点 M 的轨迹方程是 x＋2y－5＝0.
1．坐标法：借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成
满足某条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标(x，y)所满
足的方程f(x，y)＝0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来 研究曲线的性质，这就叫坐标法． 用坐标法研究几何图形的知识形成的学科叫作解析几何， 解析几何研究的主要问题是：
①根据已知条件，求出表示曲线的方程；
方程；反过来，这条曲线就叫作方程的曲线．
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在曲线的方程的定义中，曲线上的点与方程的解之间的关
系(1)和(2)缺一不可，而且两者是对曲线上的任意一点以及方 程的任意一个实数解而言的．从集合的角度来看，设A是曲线 C上的所有点组成的点集，B是所有以方程f(x，y)＝0的实数解 为坐标的点组成的点集．则由关系(1)可知A⊆B，由关系(2)可